PRACTICA 4 (A MAT I)

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Aplicaciones de la función derivada 
36 
 
PRÁCTICA 4 
 
 
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA 
 
 
 
1) Calcular los siguientes límites: 
 a) 
1
sen
2
0 


x
x e
xx
lim d) 
)1sen(
)12ln(
1 

 x
x
lim
x
 
 b) 
xx
xx
lim
x 2
5
2
2
0 


 e) 
x
x
lim
x 2
)ln(sen
2
 
 
 c) 
3
0
tg
x
xx
lim
x


 f) 
x
x
lim
xx
x
2)2(
0


 
 
 
2) Calcular los siguientes límites 
 a) 
x
x
lim
x ln
2

 d) 
2
3
4
3
xe
xe
lim
x
x
x 


 
 b) 
x
x e
x
lim
26

 e) 
xx
xx
lim
x ln
ln 

 
 c) 
)ln(
)ln(
lim
0 tgx
senx
x 
 
 
 
3) Calcular los siguientes límites 
 a) 





 x
senx
x
2
lim 
 b) xe x
x
ln)1(lim
0


 
 c) tgxx
x







 2
lim
2


 
 
 
4) Calcular los siguientes límites 
 a) 







 2
1
4
4
lim
22 xxx
 
b) 






 xe
lim
x
x 2sen
1
1
1
2
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicaciones de la función derivada 
37 
 
 
5) Calcular los siguientes límites 
a) seny
y
y
0
lim e) z
z
z ln
1
)(lnlim

 
b) 
2
3
0
)2(cos x
x
xlim

 f) 
1
1 )2ln(
1

 





x
x x
lim 
c) 
z
z z
z
1
ln
lim 






 g)   xx
x
exlim sen
1
0
2 

 
d) 
2
32
12

 





x
x x
x
lim 
 
 
6) Indicar en que subconjuntos del dominio las siguientes funciones son crecientes o 
decrecientes, de acuerdo con el signo de su derivada primera 
a) xxxxf 1292)( 23  
b) 
x
x
xf



1
23
)( 
c) xxexf 4
2
.2)(  
 
 
 
7) Indicar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y hallar extremos relativos si existen 
para las siguientes funciones: 
a) 
3
4
3
8
)( 34  xxxf 
b) 
2
2
1
)(
x
x
xf

 
c) xexxf .)( 2 
d) 3 2)( xxf  
e) |3|)(  xxf 
 
 
8) Indicar intervalos de concavidad positiva y concavidad negativa. Hallar los puntos de 
inflexión. 
a) 33)( 3  xxxf 
b) 
53
13
)(



x
x
xf 
c) xxf ln)(  
d) 2
2
)(
x
exf

 
 
 
 
 
 
Aplicaciones de la función derivada 
38 
 
9) Realizar el estudio completo de las siguientes funciones: 
a) 2)1()(  xxxf 
b) 
1
22
)(
2



x
xx
xf 
c) 
4
8
)(
2 

x
xf 
d) xexxf  .)( 
 
 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
 
10) Dada la función de demanda de una empresa 0290  px y su función de costo 
promedio: 
x
xxC
125
1205.392  . Se pide determinar el nivel de producción que: 
a) maximiza el ingreso total 
b) minimiza el costo marginal 
c) maximiza el beneficio 
 
 
11) Una empresa tiene la función de demanda: 05.022  px y la función de costo 
promedio 
x
xxC
90
5085
3
1 2  
Determinar el nivel de producción que maximice: 
a) El ingreso total. 
b) El beneficio total. 
 
 
12) Sea la función de demanda de un bien particular 120)12( 2
1
 xxp en donde x es 
la cantidad demandada y p es el precio por unidad. Determinar precio y cantidad para los 
cuales el ingreso es máximo 
 
 
 
Aplicaciones de la función derivada 
39 
 
RESPUESTAS 
 
 
 
1) 
 a) 0 d) 2 
 b) 
2
5
 e) 0 
c) 
3
1
 f) 0 
 
 
2) 
 a) + d) 
4
1
 
 b) 0 e) 0 
 c) 1 
 
 
3) 
a) 2 
b) 0 
c) -1 
 
 
4) 
a) 
4
1
 b) 
2
1
 
 
 
5) 
a) 1 e) 1 
b) 6e f) 1 
c) 1 g) 3e 
d) 1e 
 
 
6) 
 a) Crece ),2()1,(  , decrece )2,1( . 
 b) Crece ),1()1,(  . 
 c) Crece ),2(  , decrece )2,( . 
 
 
7) 
 a) Decrece )2,0()0,(  ., crece ),2(  , mínimo )4;2(  . 
 b) Decrece )0,( , crece ),0(  , mínimo )0;0( . 
c) Decrece )0,2( , crece ),0()2,(  , máximo )4;2( 2 e , mínimo )0;0( . 
Aplicaciones de la función derivada 
40 
 
 d) Decrece )0,( , crece ),0(  , mínimo )0;0( 
 e) Decrece )3,( , crece ),3(  , mínimo )0;3( . 
 
 
8) 
 a) Cóncava positiva ),0(  , cóncava negativa )0,( , punto de inflexión )3;0( . 
 b) Cóncava negativa 





 ,
3
5
, cóncava positiva 






3
5
, , no existe punto de 
inflexión. 
 c) Cóncava negativa en todo su dominio de definición, no existe punto de inflexión. 
 d) Cóncava positiva );1()1;(  , cóncava negativa )1;1( , puntos de inflexión 
);1( 2/1 e y );1( 2/1e 
 
 
9) 
 a) Dominio IR, no existen asíntotas, crece ),1(
3
1
, 





 , decrece 





1,
3
1
, máximo 






27
4
;
3
1
, mínimo )0;1( , cóncava positiva 





,
3
2
, cóncava negativa 






3
2
, , punto de 
inflexión 





27
2
;
3
2
. 
 b) Dominio IR-{1}, asíntota vertical 1x , asíntota oblicua 1 xy , crece 
),2()0,(  , decrece )2,1()1,0(  , máximo )2;0(  , mínimo )2;2( , cóncava negativa 
)1,( , cóncava positiva ),1(  , no existe punto de inflexión. 
 c) Dominio IR-{-2,2}, asíntota vertical 2x y 2x , asíntota horizontal 0y , crece 
)0,2()2,(  , decrece ),2()2,0(  , máximo )2;0(  , cóncava positiva 
),2()2,(  , cóncava negativa )2,2( , no existe punto de inflexión. 
 d) Dominio IR, asíntota horizontal 0y , crece )1,( , decrece ),1(  , máximo );1( 1e , 
cóncava positiva ),2(  , cóncava negativa )2,( , punto de inflexión )2;2( 2e . 
 
 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
 
10) 
 a) 45x b) 
6
79
x c) 25x 
 
 
11) 
 a) 22x b) 835,168x 
 
 
12) 8x 2p