EXA1-CINTEGRAL-RAÚL ANDRÉS GUILLÉN RANGEL-IMKT-MARZO-JULIO 2021

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO EN CELAYA 
INGENIERÍA MECATRÓNICA 
CÁLCULO INTEGRAL 
PRIMER PARCIAL EXAMEN (VALOR:50%) 
 
INSTRUCCIONES: 
Para responder el ejercicio, es importante utilizar un documento en Word para subir las 
imágenes generadas en Geogebra. 
Insertar las fotos que se generan de los ejercicios que se estarán realizando en forma escrita 
debajo de cada uno de los ejercicios. No al final del documento y subrayar el resultado o 
indicarlo con un color resaltador. 
El documento se sube a Schoology con extensión en pdf y el nombre del archivo es: EXA1-
CINTEGRAL-NOMBRE DEL ALUMNO-IMKT-MARZO-JULIO 2021 
La duración del examen es de 1:30 hora como máximo y 10 minutos complementarios para 
escanear, integrar y subir el documento a la plataforma. 
ÁREA DE EJERCICIOS 
1.0 Encuentre primero la solución general (que incluya una constante C) para la ecuación diferencial 
dada. Después encuentre la solución particular que satisfaga la condición que se indica. 
'( ) 2 3tf t e sent= + (0) 0f = ( ) 0f  = 
 
𝑓(𝑡) = ∫(2𝑒𝑡 + 3𝑆𝑖𝑛𝑡)𝑑𝑡 
𝑓(𝑡) = 2∫𝑒𝑡𝑑𝑡 + 3∫𝑆𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡 
2∫𝑒𝑡𝑑𝑡 =2∫𝑒𝑢𝑑𝑢 
2∫𝑒𝑢𝑑𝑢 = 2(𝑒𝑢) + 𝑐 
Raúl Andrés Guillén Rangel 20030941 
26/03/2021 
2𝑒𝑡 + 𝑐 
3∫𝑆𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡 = 3∫𝑆𝑖𝑛𝑢𝑑𝑢 
3∫𝑆𝑖𝑛𝑢𝑑𝑢 = 3(−𝐶𝑜𝑠𝑢) + 𝑐 
−3𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝑐 
𝑓(𝑡) = 2𝑒𝑡 − 3𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝑐 
𝑓(0) = 2𝑒0 − 3𝐶𝑜𝑠(0) + 𝑐 
0 = 2 − 3 + 𝑐 
𝑐 = 1 
𝑓(𝑡) = 2𝑒𝑡 − 3𝐶𝑜𝑠𝑡 + 1 
𝑓(𝜋) = 2𝑒𝜋 − 3𝐶𝑜𝑠𝜋 + 𝑐 
0 = 46.281 + 3 + 𝑐 
𝑐 = −49.281 
 
2.0 Resuelva las siguientes integrales, mostrando su procedimiento en forma detallada. Subraye su 
resultado con un color de contraste o encierre en un círculo su respuesta. 
 
cos te sentdt 
𝑢 = 𝐶𝑜𝑠𝑡 
𝑑𝑢 = −𝑆𝑖𝑛𝑡 
−∫𝑒𝑢𝑑𝑢 = −𝑒𝑢 + 𝑐 
𝑓(𝑡) = −𝑒𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝑐 
 
 
(ln )sen x
dx
x
 
∫𝑆𝑖𝑛(ln 𝑥)𝑥−1𝑑𝑥 
𝑢 = ln⁡(𝑥) 
𝑑𝑢 = 𝑥−1 
∫𝑆𝑖𝑛𝑢𝑑𝑢 = −𝐶𝑜𝑠𝑢 + 𝑐 
𝑓(𝑥) = −𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) + 𝑐 
 
 
2
2 3
t
t
dt
+
 
 
𝑢 = 2𝑡 + 3 
𝑑𝑢 = 2𝑡 
∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln|𝑢| + 𝑐 
𝑓(𝑡) = ln|2𝑡| + 𝑐 
 
 
21 cos
senx
dx
x+
 
 
𝑢 = 𝐶𝑜𝑠𝑥 
𝑑𝑢 = −𝑆𝑖𝑛𝑥 
−∫
𝑑𝑢
1 + 𝑢2
= −
1
𝑎
𝐴𝑡𝑔 (
𝑢
𝑎
) + 𝑐 
𝑓(𝑡) = −𝐴𝑡𝑔(𝐶𝑜𝑠𝑡) + 𝑐 
 
 
1z
z
e
dz
e z
+
+
 
𝑢 = 𝑒𝑧 + 𝑧 
𝑑𝑢 = 𝑒𝑧 + 1 
∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln|𝑢| + 𝑐 
𝑓(𝑧) = ln|𝑒𝑧 + 𝑧| + 𝑐 
 
9 16
dx
x−
 
 
𝑢 = 9 − 16𝑥 
𝑑𝑢 = 16 
−
1
16
∫
1
√𝑢
𝑑𝑢 = −
1
16
∫𝑢−
1
2𝑑𝑢 = (−
1
16
)(
𝑢1−
1
2
1 −
1
2
) + 𝑐 
𝑓(𝑥) =
√9 − 16𝑥
8
+ 𝑐 
 
3.0 Resolver las siguientes sumatorias 
 
a) b) 
 
4.0 Utilizar el proceso de límite para encontrar el área de la región entre la gráfica de la función y el 
eje x sobre el intervalo indicado. Dibujar la región. 
 
2 1y x= + [0,3] 
∆𝑥 =
3
𝑥
 
𝑥𝑖 = 0 + 𝑖∆𝑥 
𝑓(𝑥) = (𝑖∆𝑥)2 + 1 
𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 = ((𝑖∆𝑥)
2 + 1)∆𝑥 
𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 = (
3𝑖
𝑛
)
2
(
3
𝑛
) + (
3
𝑛
) 
𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 =
27𝑖2
𝑛3
+
3
𝑛
 
∑𝑖2 =
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
𝑛
𝑖=1
 
(
27
𝑛3
) (
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
) +
3
𝑛
 
54𝑛3 + 81𝑛2 + 27𝑛
6𝑛3
 
lim
𝑛→∞
(9 +
81
6𝑛
+
27
6𝑛2
) 
𝐴 = 9 
 
 
5.0 Utilizar sumas superiores e inferiores para aproximar el área de la región empleando el número 
dado de subintervalos (de igual ancho). 
 
 
𝑛 = 5 
∆𝑥 = 1 − 0 = 1 
∆𝑥
𝑛
=
1
5
 
Inferior 
𝐴 = [∑
(
 (√1 −
1
5
2
)+ (√1 −
2
5
2
)+ (√1−
3
5
2
)+ (√1 −
4
5
2
)+ (√1 − 12)
)
 ](
1
5
) 
𝐴 = (3.296)(
1
5
) 
𝐴 = 0.659 
Superior 
𝐴 = [∑
(
 (√1 − 02) + (√1 −
1
5
2
)+ (√1−
2
5
2
)+ (√1 −
3
5
2
)+ (√1 −
4
5
2
)
)
 ](
1
5
) 
𝐴 = (4.296)(
1
5
) 
𝐴 = 0.859 
 
 
6.0 El diámetro de una esfera se mide y se obtiene un valor de 18 centímetros, con un error máximo posible 
de 0.05 centímetros. Utilizar diferenciales para aproximar los posibles error propagado y error porcentual al 
calcular el área de la superficie y el volumen de la esfera 
𝑑𝐴 = 2𝜋𝐷𝑑𝐷 
𝑑𝐴 = 2𝜋(18)(0.05) 
𝑑𝐴 = 5.655⁡𝑐𝑚 
%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟Á𝑟𝑒𝑎 = 0. 555തതതതത% 
 
𝑑𝑉 =
𝜋𝐷2
2
𝑑𝐷 
𝑑𝑉 =
𝜋(18)2
2
(0.05) 
𝑑𝑉 = 25.447⁡𝑐𝑚 
%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 0.833തതതത%