Tarea 3

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Lista de valores para investigación Profesora: Eloísa Bernardett Villalobos Oliver 
 
 
Criterio Puntuación 
asignada 
Puntuación lograda 
Incluye todos los temas y 
tratados con adecuada profundidad. 
30 puntos 
La información está muy bien organizada con párrafos bien 
redactados y refleja una síntesis de la información encontrada. 
 
20 puntos 
Los diagramas e ilustraciones son ordenados, precisos y añaden al 
entendimiento del tema. 
 
30 puntos 
La conclusión incluye los descubrimientos que se hicieron y lo que 
se aprendió del trabajo. 
10 puntos 
Cita textos pertinentes en calidad, contenido y actualidad. Mínimo 
consulta 3 libros y/o artículos y 2 páginas de Internet. Todas las 
fuentes de información están bien documentadas y de acuerdo a 
la nomenclatura de APA. 
10 puntos 
 
TOTAL 
 
Nombres 
 
 JOSE DANIEL FAJARDO GONZALEZ 
JULIO AXEL CERVANTES VAZQUEZ 
PABLO ARMANDO GARCIA GUZMAN 
RAÚL ANDRÉS GUILLÉN RANGEL 
No. 
Problemario/Tarea 
 
#3 
Fotos 
 
 
Especialidad 
Ingenieria Mecatronica 
Calificación 
Fecha 
 05 de octubre de 2021 
 
 
 
TECNOLOGICO NACIONAL DE 
MEXICO EN CELAYA. 
 
INGENIERIA MECATRONICA. 
 
CALCULO VECTORIAL. 
 
TAREA 2.3_SUPERFICIES CUADRATICAS. 
 
 
 
INTEGRATES: 
o JOSE DANIEL FAJARDO GONZLEZ. 
o JULIO AXEL CRVANTES VAZQUEZ. 
o PABLO ARMANDO GARCIA GUZMAN. 
o RAUL ANDRES GUILLEN RANGEL. 
 
PROFESORA: 
o ELOÍSA BERNARDETT VILLALOBOS OLIVER. 
06/octubre/2021 
 
 
 
CONTENIDO 
RESULTADOS. ................................................................................................................................. 4 
SUPERFICIES CUADRATICAS. ............................................................................................... 4 
ELIPSOIDE. ............................................................................................................................... 5 
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA. .......................................................................................... 6 
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS. ....................................................................................... 7 
CONO ELIPTICO. .................................................................................................................... 9 
PARABOLOIDE. ..................................................................................................................... 11 
PARABOLOIDE HIPERBOLICO. ......................................................................................... 12 
CILINDROS. ................................................................................................................................ 14 
CONCLUSIONES. .......................................................................................................................... 15 
REFERENCIAS. ............................................................................................................................. 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESULTADOS. 
 
SUPERFICIES CUADRATICAS. 
Además de los cilindros, existen otras formas geométricas en el espacio. Para ser 
precisos, hay seis superficies espaciales que describen fenómenos reales muy 
frecuentemente. Primero es necesario saber cómo distinguir la ecuación de una 
superficie cuadrática. Como primer indicador, siempre en una superficie cuadrática 
existen las tres variables espaciales x, y, z. De solo poseer una ecuación de os 
variables, se trataría de un cilindro. La siguiente señal es que al menos dos de esas 
variables están elevadas al cuadrado. (Capello) 
“Una superficie cuadrática (ó cuádrica) es la gráfica de una ecuación de segundo 
grado con tres variables x, y, z.” 
La forma general de la ecuación es: (Stewart) 
2 2 2 0Ax By Cz Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J+ + + + + + + + + = 
Donde A, B, C, …, J son constantes. 
Aunque son seis las superficies cuadráticas, es importante mencionar una superficie 
especial: la esfera. La esfera una figura geométrica bastante conocida y común. 
Matemáticamente, las esferas poseen una representación algebraica como la 
siguiente. (Stewart) 
2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r− + − + − = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELIPSOIDE. 
El elipsoide es una superficie cuadrática fácil de identificar. Las características de 
su forma algebraica es que las tres variables x, y, z están elevadas al cuadrado y 
todas son positivas. Además, es su forma más simple están igualadas a 1. Tiene 
por ecuación: (Larson) 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + = 
2 2 2
0 0 0
2 2 2
( ) ( ) ( )
1
x x y y z z
a b c
− − −
+ + = 
Se puede observar que las tres variables son positivas y todo esta igualado a 1. Las 
constantes a, b, y c representan la máxima extensión del elipsoide en los ejes x, y, 
z respectivamente. 
 
GRAFICA. 
(Geogebra) 
 
 
EJEMPLOS. 
 
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA. 
El hiperboloide de una hoja es una forma que parece familiar al verla pero que en 
realidad no es tan común en la naturaleza visible. El hiperboloide se puede entender 
como la revolución de una hipérbola sobre el eje que por el que no pasan los 
vértices, adquiriendo así su volumen. 
La ecuación de un hiperboloide se identifica porque, en primer lugar, todas las 
variables están igualadas a 1. Sin embargo, una de ellas es negativa. De hecho, la 
variable que es negativa será la que indique hacia que eje abre el hiperboloide. 
Tiene por ecuación: (Larson) 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − = 
Las constantes a, b y c designan la extensión en los ejes de cada variable. En el 
caso anterior, el hiperboloide tiene su centro en el origen, sin embargo, esto puede 
cambiar si se suman o restan valores a las variables lineales y el resultado se eleva 
al cuadrado. 
 
 
 
GRAFICA. 
(Geogebra) 
EJEMPLOS. 
 
 
 
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS. 
El hiperboloide de dos hojas es la revolución de una hipérbola sobre el eje por el 
que si pasan los vértices. El resultado es una figura segmentada. 
 
 
 
Al rotarse respecto al eje y se obtiene un hiperboloide de una hoja. Pero al rotarse 
respecto al eje x, el resultado es un hiperboloide de dos hojas. 
La ecuación algebraica de esta superficie cuadrática es igual a la anterior, pero en 
este caso son dos de las variables las que son negativas. Para identificar el eje 
hacia donde abre este hiperboloide hay que ubicar la variable que es positiva, 
aquella se identifica de las demás. Tiene por ecuación: (Larson) 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
− − + = 
El caso anterior es el de un hiperboloide de dos hojas concentro en el origen y que 
abre hacia el eje x. La variable z es positiva mientras que las x, y son negativas. 
 
 
 
GRAFICA. 
(Geogebra) 
 
EJEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONO ELIPTICO. 
El cono o cono elíptico es una superficie cuadrática que es similar a un hiperboloide 
de una hoja. La diferencia es que su forma es mas recta y existe un punto de 
convergencia del que emergen dos formas cónicas. 
La ecuación de un cono es similar también a la del hiperboloide de una hoja. Las 
tres variables están elevadas al cuadrado y solo una es negativa. Dicha variable 
señala hacia cual eje abre el cono. Sin embargo, todo está igualado a 0. Tiene por 
ecuación: (Larson) 
 
 
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
+ = 
Para conos, el centro puede entenderse como el punto de convergencia donde el 
volumen se termina. Como se ve en la figura, el centro esta en el origen y de el 
parten los dos conos. 
 
GRAFICA. 
(Geogebra) 
 
 
 
 
EJEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARABOLOIDE. 
El paraboloide es una forma mas o menos común. No tanto en la naturaleza, pero 
si coincide con las antenas parabólicas de transmisión de señales que se usan en 
todo el mundo. El paraboloide resulta de rotar una parábola en dos dimensiones 
sobre un eje. 
La ecuación de paraboloide es similar a la del cono. Pero tiene otra peculiaridad. 
Todo esta igualado a cero. Unavariable es negativa, sin embargo, esa misma 
variable es lineal, es decir, no esta elevada al cuadrado. Tiene por ecuación: 
(Larson) 
2 2
2 2
x y z
a b c
+ = 
La variable z es negativa pero pasa al otro lado de la ecuación con el signo contrario. 
Además de ser negativa, es lineal. Otro detalle importante es que el denominador 
que pudiera presentarse dividiendo a z es lineal también. El paraboloide no tiene 
centro, pero si vértice y se obtiene igual. En este caso es un paraboloide con centro 
en el origen. 
 
 
 
GRAFICA. 
(Geogebra) 
EJEMPLOS. 
 
PARABOLOIDE HIPERBOLICO. 
El paraboloide hiperbólico es sin duda la superficie cuadrática más compleja y así 
mismos, más difícil de graficar. Se considera que tiene la forma de una silla de 
montar. 
La ecuación algebraica tiene varios distintivos. Primero, todos los elementos están 
igualados a 0. Existe una variable lineal. Esta variable indica hacia que eje apunta 
el “asiento” de la silla. Esta variable puede ser negativa o positiva, y de ello depende 
que la silla apunte hacia el eje positivo o al negativo respectivamente. La siguiente 
peculiaridad es que alguna de las variables cuadráticas es negativa. Dicha variable 
indica hacia donde apunta el costado de la silla. Tiene por ecuación: (Larson) 
 
 
2 2
2 2
x y z
a b c
− = 
El caso anterior es de un paraboloide con centro en el origen. La variable z es lineal 
y positiva del otro lado de la ecuación. 
 
GRAFICA. 
(Geogebra) 
 
 
EJEMPLOS. 
 
CILINDROS. 
En geometría, un cilindro es una superficie de las denominadas cuádricas formada 
por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz, a lo largo de una 
curva plana, denominada directriz. La cual tiene por ecuación: (Larson) 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la 
superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por 
lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del 
cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al 
eje también es llamado cilindro. Este sólido es utilizado como una superficie 
Gausiana. (Apostol) 
En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquier 
superficie reglada generada por una familia uniparamétrica de líneas paralelas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRAFICA. 
(Geogebra) 
EJEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSIONES. 
 
El estudio de superficies cuadraticas y cilindros es muy importante para el 
desarrollo de la sociedad, ya que presenta nuevos modelos geometricos (en R3) 
los cuales ayudan a la invencion de nuevos prototipos, diseños, estructuras de 
cualquier sector; ya que como se meciono en el documento, estas se encuentran 
presentes en todo momento en nuestra vida cotidiana. He ahí donde gracias al 
Calculo Vectorial se pueden plantear las ecuaciones y la metodologia necesaria 
para llevar acabo estos modelos. 
 
REFERENCIAS. 
 
CAPELLO, I. V. (s.f.). Superficies Cuádraticas. Buenos Aires: Facultad Regional la 
Plata (UTN). 
Diario de Calculo Vectorial. (2021). Obtenido de 
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/superficies-cuadraticas 
LARSON, HOSTETLER. Cálculo con Geometría Analítica. Volumen II. 
STEWART J. (2013). Cálculo de Varias Variables Trascendentes tempranas. (7ª 
Ed.).México: Cengage Learning 
APOSTOL, TOM M., Calculus. Volumen 2; Editorial reverté, S. A. 
GeoGebra. Recuperado el 06 de octubre de 2021, de 
https://www.geogebratube.org/