Mecanica-de-Materiales-TareaV

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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de 
Estudios Superiores Plantel Aragón 
 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA PROFESORA: MARTHA BERENICE FUENTES 
FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE ENTREGA: 13 DE FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
ÍNDICE 
INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 2 
UNIDAD 4. INTRODUCCIÓN AL PANDEO ................................................................................ 3 
4.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 3 
4.2 NATURALEZA DEL PROBLEMA VIGA – COLUMNA. ................................................. 5 
4.3 ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA VIGA - COLUMNA .................................................. 7 
4.4 COLUMNA. ............................................................................................................................. 8 
4.4.1 CLASIFICACION DE COLUMNAS .............................................................................. 9 
4.4.2 CARGA CRÍTICA (PCR) ............................................................................................ 11 
4.5 ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO .................................................................................... 12 
4.6 CARGA DE PANDEO DE EULER (PARA DIFERENTES TIPOS DE APOYOS) .... 14 
4.6.1 COLUMNA ARTICULADA EN SUS EXTREMOS ................................................... 14 
4.6.2 COLUMNA DOBLEMENTE EMPOTRADA .............................................................. 16 
4.6.3 COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y LIBRE EN EL OTRO .............. 17 
4.6.4 COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y ARTICULADA EN EL OTRO. 17 
4.7 LIMITACIÓN DE LA ECUACIÓN DE PANDEO ELÁSTICO ....................................... 18 
4.8 MODIFICACIÓN EN LA ECUACIÓN DE LA CARGA CRÍTICA DE EULER ............ 18 
4.9 COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE. ....................................................... 21 
UNIDAD 5. FLEXIÓN Y CARGA AXIAL .................................................................................... 22 
5.1 CARGA EXCÉNTRICA Y NÚCLEO CENTRAL ............................................................. 22 
5.1.2 CARGA EXCÉNTRICA ................................................................................................ 22 
5.1.2 NÚCLEO CENTRAL .................................................................................................... 24 
5.2 ECUACIÓN DE ESFUERZOS POR CARGA NORMAL AXIAL Y FLEXIÓN 
UNITARIA. ................................................................................................................................... 26 
5.2.1 CARGA AXIAL: ............................................................................................................. 26 
5.2.2 DEFORMACIÓN POR CARGA AXIAL: ................................................................... 28 
5.3 ECUACIONES DE ESFUERZOS POR CARGA NORMAL AXIAL Y FLEXION 
BIAXIAL. ...................................................................................................................................... 30 
5.3.1 FLEXIÓN BIAXIAL: ...................................................................................................... 30 
CONCLUSIÓN ................................................................................................................................ 31 
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 32 
2 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
En el presente trabajo se estudiara como en las uniones de miembros en 
estructuras de acero se pueden generar excentricidades en la transmisión de 
cargas que pueden producir momentos flexionantes. La aparición de deflexión por 
pandeo que limita severamente la resistencia en compresión de un pilar o 
cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto valor de la carga 
axial de compresión, denominada carga crítica de pandeo, que puede producirse 
en una situación de inestabilidad elástica y entonces fácilmente a la deformación 
aumentará produciendo tensiones adicionales que superarán la tensión de rotura, 
provocando la ruina del elemento estructural. Además del pandeo flexional 
ordinario existe el pandeo torsional o inestabilidad elástica provocada por un 
momento torsor excesivo. 
Así también los momentos flexionantes también pueden ser producidos por cargas 
transversales o por momentos aplicados en los extremos o en el claro del 
miembro. Independientemente del origen de los momentos, si sus valores son 
significativos, estos no pueden ser despreciados y deberán considerarse actuando 
en combinación con los otros efectos de carga presentes en el miembro. 
Dividiendo en dos unidades para introducir las deformaciones al estudio específico 
del pandeo, así como también los tipos de deformaciones ejercidas por la flexión 
de una barra o las cargas axiales. 
 
3 
 
 
UNIDAD 4. INTRODUCCIÓN AL PANDEO 
 
4.1 INTRODUCCIÓN 
Al principio de la materia se estableció que la selección de elementos estructurales 
se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. 
Los procedimientos de análisis de esfuerzos de algunos elementos se han 
estudiado, en esta unidad se tomará en cuestión la posible inestabilidad de los 
sistemas estructurales. Una columna la podemos definir como un elemento axial 
sometido a compresión, lo bastante delgado respecto de su longitud, para que 
bajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o 
pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperla por 
aplastamiento. 
Esto se diferencia a un poste corto sometido a compresión, el cual, aunque esté 
cargado excéntricamente, desprecia una flexión lateral despreciable. Aunque no 
existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele 
considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más 
de diez veces su dimensión transversal menor. 
 Las columnas se suelen dividir en dos grupos: Largas e intermedias aunque en 
ocasiones a los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer 
grupo. La diferencia entre los tres grupos viene determinada por su 
comportamiento. Las columnas largas se rompen por su pandeo o flexión lateral; 
las intermedias, por una combinación de aplastamiento y pandeo; y las cortas se 
rompen por aplastamiento. 
Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sección recta constante, 
inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresión. Sin embargo, las 
columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y 
fabricación, así como la inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la 
carga. 
 
4 
 
 
Existen diferentes maneras o modos de fallo por pandeo. Para un elemento 
estructural frecuentemente hay que verificar varios de ellos y garantizar que las 
cargas están lejos de las cargas críticas asociadas a cada modo o manera de 
pandear. Los modos típicos son: 
Pandeo flexional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión se fleta 
lateralmente sin giro ni cambios en su sección transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
Pandeo torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión gira 
alrededor de su centro de corte. 
 
 
 
 
 
 
Pandeo flexo-torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión 
se fleta y gira simultáneamente sin cambios en su sección transversal. 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Pandeo lateral-torsional. Modo de pandeo de un elemento a flexión que 
involucra deflexión normal al plano de flexión y, de manera simultánea, giro 
alrededor del centro de corte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2NATURALEZA DEL PROBLEMA VIGA – COLUMNA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
El comportamiento de vigas columnas reales se puede entender mejor 
considerando primer un ejemplo idealizado, que se muestra en la Figura .a. Aquí, 
para simplificar, una barra perfectamente rígida de longitud L se mantiene 
inicialmente en posición vertical por medio de un resorte en A que tiene una 
rigidez a la torsión k. Luego una fuerza vertical P y una horizontal F se aplican en 
el extremo superior. A diferencia del procedimiento seguido en todos los 
problemas anteriores, se deben escribir ahora las ecuaciones de equilibrio para la 
condición deformada. 
6 
 
 
Teniendo presente que kθ es el momento resistente que desarrolla el resorte en A 
se obtiene 
O sea. 
 
 
 
 
La solución expresada por la ecuación (9.1) es para rotaciones arbitrariamente 
grandes. En problemas complejos es muy difícil alcanzar soluciones de tal 
generalidad. Además en la mayoría de las aplicaciones no se pueden tolerar 
desplazamientos de gran magnitud. Por consiguiente de ordinario es posible 
limitar el estudio del comportamiento de sistemas al caso de desplazamientos 
pequeños y moderadamente grandes. En este problema lo anterior se puede 
realizar poniendo senθ ∼= θ y cosθ = 1. De esta forma la ecuación se simplifica a 
 
o 
 
Para una combinación crítica de los parámetros k, P y L, el denominador (k − PL) 
en el último término de la ecuación anterior sería cero y presumiblemente daría 
lugar a una rotación θ infinita. Esto es completamente irreal y resulta de una 
formulación matemática impropia del problema. No obstante, tal solución 
proporciona una buena guía acerca del valor de la magnitud de la fuerza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
Respuesta fuerza-desplazamiento de un sistema con un grado de libertad axial P 
a la que las deflexiones llegan a ser intolerablemente grandes. La asíntota 
correspondiente a esta solución, obtenida de la igualdad (k − P L) = 0, define la 
fuerza PC como: 
 
 
Es significativo observar que en sistemas reales las grandes deformaciones 
asociadas a fuerzas del mismo orden de magnitud que PC por lo general causan 
tensiones tan grandes que hacen inservible el sistema. Por otra parte, el análisis 
no lineal de sistemas estructurales debido al cambio de configuración geométrica y 
al comportamiento inelástico de los materiales es muy complejo y requiere de 
herramientas computacionales que no siempre están al alcance del analista. Por 
consiguiente, en el análisis de pandeo de miembros a compresión desempeña el 
papel más importante la determinación de PC con una base simplificada. 
 
4.3 ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA VIGA - COLUMNA 
 
 
Para una más completa comprensión del problema de la viga - columna resulta 
instructivo deducir varias relaciones diferenciales entre las variables involucradas. 
Con ese objetivo consideremos un elemento diferencial de viga columna. Para 
vigas ordinarias (comportamiento lineal) cargadas transversalmente esto no es 
necesario. Por otro lado los desplazamientos que se tratan en este análisis son 
pequeños en relación con la luz de la viga columna, lo cual permite las siguientes 
simplificaciones 
 
 
 
Con esta base, las dos ecuaciones de equilibrio son: 
 
 
 
La primera de estas ecuaciones da: 
 
 
8 
 
 
+ q 
dx 
y,v 
v 
dv 
dv/dx 
P 
P 
M
T 
T+dT 
M+dM 
A 
x 
Que no cambia respecto a lo visto en el caso de plantear el equilibrio en la 
posición informada. La segunda, despreciando infinitesimales de orden superior, 
da: 
 
 
Por lo tanto, para vigas columnas, la fuerza cortante T, además de depender de la 
derivada del momento M como en la vigas, depende ahora de la magnitud de la 
fuerza axial y de la pendiente de la curva elástica. El último término es la 
componente de P a lo largo de las secciones inclinadas que se muestran en la 
Figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 COLUMNA. 
Una columna la podemos definir como un elemento axial sometido a compresión, lo 
bastante delgado respecto de su longitud, para que bajo la acción de una carga 
gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho 
menor que la necesaria para romperla por aplastamiento. 
 
9 
 
 
Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se 
suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más de 
diez veces su dimensión transversal menor. 
4.4.1 CLASIFICACION DE COLUMNAS 
 
 
 
 
 
 
 
La diferencia entre los tres grupos viene determinada por su comportamiento. Las 
columnas largas se rompen por su pandeo o flexión lateral; las intermedias, por 
una combinación de aplastamiento y pandeo; y las cortas se rompen por 
aplastamiento 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sección recta constante, 
inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresión. Sin embargo, las 
columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y 
fabricación, así como la inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la 
carga 
10 
 
 
 
La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga, dan lugar a 
una excentricidad indeterminada e, con respecto al centro de gravedad en una 
reacción cualquiera m-n. El estado de carga en esta sección es similar al de un 
poste corto cargado excéntricamente, y el esfuerzo resultante está producido por 
el esfuerzo sobrepuesto de flexión y compresión. 
Si la excentricidad es pequeña y el elemento es corto, la flexión lateral es 
despreciable, y el esfuerzo de flexión es insignificante comparado con el esfuerzo 
de compresión directo. 
Sin embargo, en un elemento largo, que es mucho más flexible, con un valor 
relativamente pequeño de carga P puede producirse un esfuerzo de flexión grande 
acompañado de un esfuerzo de compresión directo despreciable. 
Cuando aumenta la longitud de la columna, disminuye la importancia y efectos de 
los esfuerzos de compresión directos y aumenta correlativamente el esfuerzo de 
flexión. 
Por desgracia en longitudes intermedias no es posible determinar exactamente la 
forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, o la proporción en la que cada 
uno contribuye al esfuerzo total. 
 
 
11 
 
 
4.4.2 CARGA CRÍTICA (PCR) 
 
Es la carga axial máxima a la que puede someterse una columna permaneciendo 
recta aunque el equilibrio inestable de manera que un pequeño empuje lateral 
haga que se deforme y quede pandeada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta, articulémosla en sus extremos 
mediante rótulas que permitan la flexión en todas sus direcciones. 
Apliquemos una fuerza horizontal H en su punto medio, de manera que produzcan 
flexión según la dirección de máxima flexibilidad. 
 
Como los esfuerzos de flexión son proporcionales a la deflexión, no 
experimentarán variación alguna si se añade una fuerza axial P en cada extremo, 
y haciendo que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de manera 
que la deflexión δ en el centro no varíe. 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 En estas condiciones, el momento flexionante en el centro es: 
P
LH
M +





=
22
 
 Y, en el límite, cuando H ha disminuido hasta anularse: 
CRPM = 
Entonces, como se indica en la figura, PCR es la carga crítica necesaria para 
mantener la columna deformada sin empuje lateral alguno. 
Un pequeño incremento de P sobre este valor crítico hará que aumente la 
deflexión δ, lo que incrementará M, con lo cual volverá a aumentar δ y así 
sucesivamente hasta que la columna se rompa por pandeo 
 
Por el contrario, si P disminuye ligeramente por debajo de su 
valor crítico, disminuye la deflexión, lo que a su vez hace 
disminuir M, que vuelve a disminuir la deflexión y así 
sucesivamente,y la columna termina por enderezarse por 
completo. 
 
 
4.5 ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO 
 
Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede considerarse en 
equilibrio. Sin embargo, la menor perturbación de éste o la imperfección más 
pequeña en su fabricación harían imposible tal estado. Se dice que esta clase de 
equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones análogas en sistemas 
estructurales. 
Para aclarar más el problema, consideremos de nuevo una barra vertical rígida 
con un resorte de torsión, de rigidez k, en su base, como se muestra en la Figura 
siguiente. El comportamiento de tal barra sometida a una fuerza vertical P y una 
fuerza horizontal F se consideró en la sección. La respuesta de este sistema a 
medida que aumenta la fuerza P se indica en la Figura del lado derecho para una 
fuerza F grande y una fuerza F pequeña. 
13 
 
 
0 
θ 
F=0 
Punto de 
bifurcación 
Condición inestable 
de equilibrio 
P 
F grande 
F pequeña 
P c k/L = 
Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Cómo se comportará este sistema si F = 
0? Este es el caso límite y corresponde al estudio del pandeo perfecto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 
P 
F 
A 
θ 
P 
14 
 
 
4.6 CARGA DE PANDEO DE EULER (PARA DIFERENTES TIPOS 
DE APOYOS) 
 
LAS FÓRMULAS DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS 
En el año 1757, el matemático Leonhard Euler realizó una análisis teórico de la carga 
crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica. 
Ahora se sabe que este análisis solamente es válido hasta esfuerzos que alcanzan el límite 
de proporcionalidad. Cabe mencionar que en tiempos de Euler no se habían establecido 
los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad 
 
 
 
 
 
 
4.6.1 COLUMNA ARTICULADA EN SUS EXTREMOS 
 
La figura muestra la línea eje de una columna en equilibrio bajo la acción de la 
carga crítica P. Se supone que la columna tiene los extremos articulados, de 
manera que no pueden tener desplazamientos laterales. 
La deflexión máxima δ es lo suficientemente pequeña para que no exista 
diferencia apreciable entre la longitud inicial y final de la columna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
En estas condiciones, la pendiente dy/dx es pequeña y se puede aplicar la 
ecuación diferencial de la elástica de una viga 
 
PyyPM
dx
yd
EI −=−== )(
2
2
 
Esta ecuación no se puede integrar directamente, por lo que existen dos métodos 
para resolverla. 
Aplicando métodos matemáticos, tenemos que la ecuación de Euler para el valor 
de carga crítica de una columna larga es: 
 
2
2
2
L
EI
nP

=
 
Donde el valor de n, depende de las condiciones de apoyo de la columna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El valor de n=0 no tiene sentido, ya que haría que la fuerza P=0. Para los demás 
valores de n la columna se pandea en la forma indicada en la figura. 
De las tres formas presentadas, la más importante es la a), ya que las demás 
ocurren únicamente cuando la columna tiene sujeciones laterales. 
16 
 
 
 
Por lo tanto, la carga crítica para una columna articulada en sus extremos es: 
2
2
L
EI
Pcr

=
 
Para columnas con otras condiciones de sujeción en sus extremos, se puede 
expresar la carga crítica en función de la ecuación anterior, ya que es considerada 
como una ecuación fundamental. 
 
4.6.2 COLUMNA DOBLEMENTE EMPOTRADA 
 
Por simetría, los puntos de inflexión están en los cuartos del largo, por lo cual 
podemos decir que en estos puntos, el momento flexionante es nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, si vemos la imagen, podemos deducir que la mitad central de la 
columna doblemente empotrada equivale a una columna articulada en sus 
extremos, de longitud Le=L/2. Introduciendo este valor en la ecuación general, la 
carga crítica para este tipo de columna es: 
2
2
2
2
2
2
4
2
L
EI
Pcr
L
EI
L
EI
P
e

==






==
 
17 
 
 
4.6.3 COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y LIBRE EN EL OTRO 
La carga crítica de este tipo de columna y la de doblemente empotrada son 
iguales, pero teniendo en cuenta que esta última es 4 veces más larga que la 
primera tenemos: 
 
 2
2
2
2
2
2
4
1
)4(
44
L
EI
Pcr
L
EI
L
EI
P
e

==== 
 
 
4.6.4 COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y ARTICULADA EN EL 
OTRO. 
 
El punto de inflexión aparece, como puede demostrarse, a 0.7L del extremo 
articulado, por lo que introduciendo en la ecuación del caso fundamental esa 
longitud, da como valor de carga crítica: 
 
2
2
2
2
2
2
2
)7.0( L
EI
Pcr
L
EI
L
EI
P
e

====
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
4.7 LIMITACIÓN DE LA ECUACIÓN DE PANDEO ELÁSTICO 
 
En las deducciones anteriores de las fórmulas de pandeo para columnas se 
supuso tácitamente que el material se comportaba de manera linealmente 
elástica. Para poner de manifiesto esta significativa limitación, la ecuación 
(9.26) puede escribirse en forma diferente. Por definición, I = Ar2, donde A es 
el área de la sección transversal y r es su radio de giro. La substitución de esta 
relación en la ecuación (9.26) da: 
 O bien 
 
Donde la tensión crítica, σC, para una columna se define como un promedio en el 
área transversal A de la misma, debido a la carga crítica PC. La longitud 4 de la 
columna es L y r el radio de giro mínimo del área de la sección, puesto que la 
fórmula original de Euler se da en términos del valor mínimo de I. La relación L r 
de la longitud de la columna al radio de giro mínimo de un área transversal se 
llama relación de esbeltez (λ) de la columna. De la ecuación (9.32) se puede 
concluir el límite de proporcionalidad del material es el límite superior de la tensión 
con la cual la columna pandeará elásticamente. La modificación necesaria de la 
fórmula para incluir la respuesta inelástica del material se estudiará en la siguiente 
sección. 
 
4.8 MODIFICACIÓN EN LA ECUACIÓN DE LA CARGA CRÍTICA DE 
EULER 
 
Una columna siempre tenderá a pandearse en la dirección en la cual es más 
flexible. 
Como la resistencia a la flexión varía con el momento de inercia, el valor de I en la 
fórmula de Euler es siempre el menor momento de la sección recta. 
La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de 
momento de inercia mínimo de la sección recta. 
La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el 
pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y el 
módulo de elasticidad. 
19 
 
 
Por este motivo, dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta 
resistencia y otra de acero suave, se pandearán bajo la misma carga crítica, ya 
que aunque sus resistencias son muy diferentes tiene prácticamente el mismo 
módulo elástico. 
Así pues, para aumentar la resistencia al pandeo lo que realmente debemos 
aumentar es el momento de inercia de la sección. 
Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produce en el 
pandeo no debe exceder el límite de proporcionalidad. 
 
Para determinar este esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia I 
por Ar2, donde A es el área de la sección recta y r el radio de giro mínimo, por lo 
que tenemos: 
2
2
2
22
2
2
)/( rL
E
A
P
L
EAr
P
L
EI
P

=→=→=
 
Cabe señalar que la L adoptará valores según la condición de apoyo de la 
columna. 
El valor de P/A es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y 
se llama esfuerzo crítico. 
Su límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad. 
La relación L/r se llama esbeltez mecánica, o simplemente esbeltez de la columna. 
 
2
2
)/( rL
E
A
P 
=
 
Por conveniencia, se definen a las columnas largas o muy esbeltas aquellas a las 
que se puede aplicar la fórmula de Euler. 
La esbeltez mínima, que fija el límite inferior de la aplicación de la fórmula de 
Euler,se obtiene sustituyendo en la ecuación anterior los valores conocidos del 
límite de proporcionalidad y módulo elástico de cada material. Así pues, el límite 
mínimo de la esbeltez varía con el material. 
 
20 
 
 
 
Por ejemplo, para un acero que tenga un esfuerzo en el límite de proporcionalidad 
de 2,040 kg/cm2, y un módulo de elasticidad de 2,040,000 kg/cm2 el límite mínimo 
de esbeltez mecánica con el que puede aplicarse la fórmula de Euler es: 
100
000,10
/2040
)/000,040,2(
2
222
=
==





r
L
cmkg
cmkg
r
L 
 
Como se puede ver en la gráfica, en la parte punteada de la curva de Euler el 
esfuerzo que daría la carga de Euler excedería el límite de proporcionalidad, por lo 
que para L/r< 100 la fórmula no es aplicable 
 
 
 
La gráfica muestra también que el esfuerzo crítico en una columna disminuye 
rápidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que al proyectar una pieza de 
este tipo, conviene que la esbeltez sea lo menor posible. 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
4.9 COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE. 
 
En el estudio anterior del pandeo de columnas se supuso que tales elementos 
eran idealmente rectos. Puesto que en realidad todas las columnas tienen 
imperfecciones, las cargas de pandeo que se obtienen para columnas ideales son 
las mejores posibles. Tales análisis sólo proporcionan indicios acerca del mejor 
funcionamiento posible de columnas. Por lo tanto, no es sorprendente que el 
funcionamiento de columnas haya sido explorado también con base en algunas 
imperfecciones determinadas estadísticamente o en posibles des alineamientos de 
las cargas aplicadas. Como una ilustración de este enfoque, se considerará una 
columna cargada excéntricamente que es un problema importante en sí mismo. 
Una columna cargada excéntricamente se indica en la Figura 9.11.a. Esta fuerza 
es equivalente a una fuerza axial concéntrica P y a momentos de extremo M0 = 
Pe. Tal viga columna ya ha sido analizada en el ejemplo 2, donde se encontró que 
debido a la flexibilidad del miembro, el máximo momento flexionante Mm´ax, es 
igual a: 
. 
Por lo tanto, la tensión máxima de compresión, que ocurre a la mitad de la altura 
en el lado cóncavo de la columna, se puede calcular como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLUMNA CARGADA EXCÉNTRICAMENTE. 
 
e e 
22 
 
 
UNIDAD 5. FLEXIÓN Y CARGA AXIAL 
 
5.1 CARGA EXCÉNTRICA Y NÚCLEO CENTRAL 
 
5.1.2 CARGA EXCÉNTRICA 
Cuando a un miembro se le aplica una carga axial, la carga debe coincidir con el 
eje de este para que sea válida la ecuación σ = P/A. En algunos casos la carga se 
aplica paralela al eje centroidal del miembro, pero a cierta distancia de él. Este tipo 
de carga se describe como excéntrica, siendo la excentricidad e la distancia entre 
la carga y eje centroidal. 
Para resolver este tipo de problema, la carga excéntrica se descompone en una 
fuerza que pasa por el centroide de la sección y un par, como se muestra en la 
figura 5.1 (d) y (e). 
 
Ilustración 5-1 (a) Carga concéntrica, (b) Carga Excéntrica. 
 
La ecuación de Euler se obtiene a partir de la hipótesis de que la carga (“P”) 
siempre se aplica en el centroide de la sección transversal de la columna, y 
que ésta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga). Esta situación 
es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadas no son perfectamente 
rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto de aplicación de la carga. Por 
tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino que comienzan a 
flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente después de la aplicación 
de la carga. 
 
Consideremos entonces una columna sometida a una carga ejercida con 
una pequeña excentricidad “e” respecto al centroide de la sección 
transversal, como se muestra. Podemos plantear una expresión para 
determinar el momento flector en cualquier sección transversal: 
 
𝑀 = −𝑃𝑐𝑟𝑖 ∗ (𝑒 + 𝑦) 
23 
 
 
 
Ilustración 5-3 
• Al plantear la ecuación de la elástica de la viga, queda: 
IE
yeP
IE
xM
dx
yd cri

+−
=

=
)()(
2
2
 
• La solución general de esta ecuación es: 
 
ex
IE
P
Cx
IE
P
Cy −









+









= cossin 21 
 
• Al plantear los límites de frontera, se obtiene que cuando ‘x=0’ → ‘y=e’, de 
modo que ‘C2=e’ . Luego, cuando ‘x=L’ → ‘y=e’, de modo que: 










=
2
tan1
L
IE
P
eC 
• Finalmente, la ecuación queda de la forma: 








−









+



















= 1cossin
2
tan x
IE
P
x
IE
PL
IE
P
ey 
• La deflexión máxima en la viga ocurre cuando ‘x=0,5L. Si introducimos este 
valor en la ecuación, obtenemos: 
 










=
2
secmax
L
IE
P
ey 
24 
 
 
• En esta ecuación puede observarse que ‘y=0’ cuando ‘e=0’. Sin embargo, 
si la excentricidad “e” es muy pequeña, y el término dentro de la función 
trigonométrica la hiciese tender a infinito, “y” tendría un valor no nulo. 
Entonces, como ‘sec(x)→∞’ cuando ‘x→p/2’, podemos plantear: 
 
22

=

L
IE
Pcri 
• Finalmente, se puede determinar el valor de la carga crítica: 
 
2
2
L
IE
Pcri

=

 
 
5.1.2 NÚCLEO CENTRAL 
El núcleo central de una sección es el lugar geométrico de los puntos en los 
cuales, al aplicar una fuerza normal a la sección, todas las tensiones normales 
son del mismo signo que la fuerza aplicada. El núcleo central de es un 
concepto de resistencia de materiales importante en el dimensionado de piezas 
alargadas sometidas a flexión mecánica y compresión. 
 
Sección Rectangular 
 
 
Ilustración 5-4 
 
 
25 
 
 
Si se aplica en el punto A un axil de compresión, las tensiones normales serán: 
Sustituyendo y haciendo  (x) = 0 , se tiene: 𝑒𝑦 = ℎ/6 ; análogamente: 𝑒𝑧 = 𝑏/6 
 
 
Por tanto, el núcleo central queda: 
 
Ilustración 5-5 
SECCIÓN CIRCULAR 
 
Ilustración 5-6 
 
 
26 
 
 
SECCIÓN TRIANGULO EQUILATERO 
 
Ilustración 5-7 
5.2 ECUACIÓN DE ESFUERZOS POR CARGA NORMAL AXIAL Y 
FLEXIÓN UNITARIA. 
 
5.2.1 CARGA AXIAL: 
Cuando un elemento recto de sección constante, se somete a un par de fuerzas 
axiales, F, aplicadas en el centroide de la sección transversal, se producen 
esfuerzos normales en todo el elemento. Bajo algunas condiciones adicionales 
(dadas más adelante), se dice que este elemento está sometido a carga axial, 
soportando un esfuerzo uniforme dado por: 
 
 
 
Donde A es el área de la sección transversal (el apéndice 2 presenta las fórmulas 
para el cálculo de las áreas y otras propiedades seccionales de algunas secciones 
comunes). El signo es positivo si el esfuerzo es de tracción, es decir, cuando la 
carga es de tracción (figura 2.4.a). 
 
 
27 
 
 
Se toma el signo negativo para esfuerzos de compresión, producidos al aplicar 
una carga de compresión como la de la figura 2.4.b. 
 
 
 
 
Figura 2.4 Elementos sometidos a carga axial 
Al hacer un corte en una sección cualquiera del elemento de la figura 2.4, se 
obtiene una distribución uniforme de esfuerzos en dicha sección, tal como se 
muestra en la figura 2.5.a, para tracción, y 2.5.b, para compresión. El estado de 
esfuerzo en cualquier punto de la sección es uniaxial (sólo hay esfuerzo en una 
dirección) 
 
 
 
 
Figura 2.5 Carga axial. Distribución uniforme de esfuerzos. El estado de esfuerzo de cualquier 
punto es uniaxial 
 
Como se dijo, la ecuación 2.5 se cumple bajo ciertas condiciones ideales, las 
cuales sólo se cumplen aproximadamente en la práctica: 
1. El elemento es completamente recto. 
2. Las secciones a lo largo del material son uniformes. 
3. La superficie es completamente lisa. 
4. La sección a analizar está alejada de sitios de aplicación de cargas puntuales. 
28 
 
 
5. La carga F está aplicada exactamente en el centroide de la sección del 
elemento y en dirección axial. 
6. La carga es estática. 
7. El material es completamente homogéneo. 
8. El material no tiene tensionesresiduales. 
9. Si el elemento está en compresión, su longitud es tal que no existe posibilidad 
de pandeo. 
Cuando las cargas son puntuales, como en las figuras 2.5 y 2.6, el esfuerzo 
calculado como S = ± F/A es sólo el esfuerzo promedio, ya que el esfuerzo no se 
distribuye uniformemente. La figura 2.6 muestra las distribuciones de esfuerzo en 
una sección alejada del punto de aplicación de una carga puntual, y en una 
cercana a dicho punto. 
 
 
 
Figura 2.6 Distribuciones de esfuerzo normal bajo cargas axiales puntuales 
 
5.2.2 DEFORMACIÓN POR CARGA AXIAL: 
La figura 2.7 muestra una pieza sometida a tracción. Debido a la acción de las 
fuerzas, ésta se ha alargado una cantidad δ, denominada deformación total. 
Cuando la carga es de compresión, la pieza se acorta en vez de alargarse. Nótese 
también de la figura 2.7 que la pieza sufre una deformación transversal; el 
elemento se adelgaza bajo carga de tracción y se ensancha bajo carga de 
compresión. 
 
29 
 
 
 
 
 
Figura 2.7 Deformación total, δ, de un elemento a tracción. Las líneas punteadas indican la forma 
inicial de la pieza 
 
Cuando un elemento a compresión es relativamente esbelto, es decir, su longitud 
es mucho mayor que las dimensiones de la sección transversal, éste tiende a 
flexionarse o pandearse; en ciertos puntos del elemento el esfuerzo superará la 
relación F/A. Estos elementos se denominan columnas. 
Algunas veces es conveniente trabajar con la deformación por unidad de longitud 
o deformación unitaria, ε, la cual es una variable adimensional y está dada por: 
 
 
donde δ es la deformación total (en unidades de longitud) y L es la longitud de la 
pieza. Como S = ±F/A y S = Eε (dentro del límite de proporcionalidad) 
 
 
 
 
Donde F es la fuerza axial, A es el área de la sección transversal y E es el módulo 
de elasticidad del material. El signo ‘+’ se toma para una carga de tracción, y el 
signo ‘–’ para compresión, indicando que la pieza se acorta. Como está implícito 
arriba, la ecuación 2.8 es válida sólo dentro del límite de proporcionalidad. 
 
30 
 
 
5.3 ECUACIONES DE ESFUERZOS POR CARGA NORMAL AXIAL Y FLEXIÓN 
BIAXIAL. 
 
5.3.1 FLEXIÓN BIAXIAL: 
La flexión biaxial se presenta cuando un elemento es sometido a cargas que 
actúan sobre direcciones que son oblicuas a los ejes de simetría de su sección 
transversal. Un ejemplo lo constituye la viga en voladizo de la siguiente figura 
sometida a la acción de una carga P, cuya dirección es oblicua a los ejes de 
simetría. 
Sobre esta, se presentan además de los momentos flectores, fuerzas cortantes. 
Para analizar los esfuerzos causados por flexión se descompone la fuerza P en 
cada uno de los ejes de simetría de la sección transversal para realizar un análisis 
de flexión por separado para cada dirección y luego superponerlos para 
determinar los esfuerzos y deflexiones totales. 
Formula: 
 
 
 
 
 
 
Para determinar la distribución de las Tensiones Normales en la sección, se 
realiza de la misma manera que para la Flexión Biaxial, con la salvedad que se le 
adiciona la componente del Esfuerzo Axial (P), el que debe estar ubicado en el 
Centroide de la Sección. 
 
 
31 
 
 
CONCLUSIÓN 
 
Cualquier elemento alargado que soporta una carga en su extremo 
superior es clasificado como columna. Como por ejemplo el pie de un 
tendedero, la pata de una mesita de televisor, un bastón, la columna 
de una glorieta, etc. Podemos concluir que el pandeo es un fenómeno 
de inestabilidad elástica que puede darse en elementos comprimidos 
esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de desplazamientos 
importantes transversales a la dirección principal de compresión. 
En nuestra carrera el fenómeno aparece principalmente en pilares y 
columnas, y se traduce en la aparición de una flexión adicional en el 
pilar cuando se halla sometido a la acción de esfuerzos axiales de 
cierta importancia. 
Así también el comportamiento estructural de las vigas-columnas 
depende principalmente de la configuración y dimensiones de la 
sección transversal, de la ubicación de la carga excéntrica aplicada, de 
la longitud de columna y de las condiciones de apoyo lateral. 
 
32 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
http://tecnologiaadi.blog.com/files/2012/09/Apunte-II-Pandeo.pdf 
http://www.buenastareas.com/ensayos/Introducci%C3%B3n-Al-
Pandeo/42900394.html 
http://ocw.usal.es/ensenanzas-tecnicas/resistencia-de-materiales-ingeniero-
tecnico-en-obras-publicas/contenidos/Tema10-Pandeo.pdf 
http://www.efn.unc.edu.ar/departamentos/estruct/mec1_ic/cap9.pdf 
http://ing.unne.edu.ar/mecap/Apuntes/Estabilidad_2/Cap10-Pandeo.pdf 
http://html.rincondelvago.com/resistencia-de-materiales_ensayo-de-pandeo.html 
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/carrillo_c_mm/capitulo3.pdf 
http://www.retineo.es/archivos/Resistencia%20de%20materiales.pdf 
http://www.utp.edu.co/~lvanegas/disI/Cap2.pdf 
Mecánica de Materiales, Robert W. Fitzgerald, Edit. Alfaomega.