mecanica-de-Materiales-Unidad-2D

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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de 
Estudios Superiores Plantel Aragón 
 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA PROFESORA: MARTHA BERENICE FUENTES 
FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE ENTREGA: 13 DE FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Deformación por torsión de un eje circular 
El par de torsión es un momento que tiende a torcer 
un elemento sobre su eje longitudinal. Su efecto es 
de gran importancia en el diseño de ejes o árboles 
de transmisión utilizados en vehículos y 
maquinaria. Se puede ilustrar físicamente lo que 
ocurre cuando un par de torsión se aplica sobre un 
eje circular considerando que el eje está fabricado 
de un material altamente deformable como el 
caucho, figura a. Cuando se aplica el par de torsión, 
los círculos y las líneas longitudinales en forma de 
cuadrícula marcados en un principio en el eje, 
tienden a distorsionarse para formar el patrón 
mostrado en la figura b. Observe que el torcimiento 
ocasiona que los círculos se conserven como 
círculos, y que cada línea longitudinal de la 
cuadrícula se deforme en una hélice que interseca 
los círculos en ángulos iguales. Además, las 
secciones transversales de los extremos a lo largo 
del eje seguirán siendo planas (es decir, no se arrugan o pandean hacia adentro 
o hacia afuera) y las líneas radiales se conservan rectas durante la deformación, 
figura b. A partir de estas observaciones, se puede suponer que si el ángulo de 
giro es pequeño, la longitud del eje y su radio se mantendrán sin cambio. 
2.2 Fórmula de la torsión 
Cuando un par de torsión externo se aplica sobre un eje, en éste se genera un 
par de torsión interno correspondiente. En esta sección se desarrollará una 
ecuación que relaciona este par de torsión interno con la distribución del esfuerzo 
cortante en la sección transversal de un eje o tubo circular. 
Si el material es elástico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke,𝜏 = 𝐺𝛾, y en 
consecuencia cualquier variación lineal en la deformación cortante conducirá a 
una correspondiente variación lineal en el esfuerzo cortante a lo largo de 
cualquier línea radial ubicada en la sección transversal, tal como se señaló en la 
sección anterior. Por consiguiente, 𝜏 variará desde cero en la línea central 
longitudinal del eje hasta un valor máximo, 𝜏𝑚á𝑥 en su superficie externa. Esta 
variación se muestra en la figura sobre las caras frontales de un número 
seleccionado de elementos, los cuales se ubican en una posición radial 
intermedia 𝜌 y en el radio exterior 𝑐. A partir de la proporcionalidad de triángulos, 
se puede escribir 
 
Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección 
transversal en función de la posición radial 𝜌 del elemento. Con base en ella, 
ahora es posible aplicar la condición de que el par de torsión producido por la 
distribución de esfuerzos sobre toda la sección transversal sea equivalente al par 
de torsión interno resultante 𝑇 en la sección, lo cual mantendrá al eje en el 
equilibrio, figura. 
 
En específico, cada elemento de área 𝑑𝐴, ubicado en 𝜌, está sometido a una 
fuerza de 𝑑𝐹 = 𝜏𝑑𝐴. El par de torsión producido por esta fuerza es 𝑑𝑇 = 𝜌(𝜏𝑑𝐴). 
Por lo tanto, para toda la sección transversal se tiene 
 
Como 𝜏𝑚á𝑥 𝑐⁄ es constante, 
 
La integral depende sólo de la geometría del eje. Representa el momento polar 
de inercia del área de la sección transversal del eje alrededor de su línea central 
longitudinal. Su valor se simboliza como 𝐽 y, por lo tanto, la ecuación anterior 
puede reordenarse y escribirse de una manera más compacta, es decir, 
 
Aquí 
𝜏𝑚á𝑥= el esfuerzo cortante máximo en el eje, que se produce en la superficie 
externa 
𝑇 = el par de torsión interno resultante que actúa en la sección transversal. Su 
valor se determina a partir del método de las secciones y la ecuación de equilibrio 
de momentos aplicados respecto a la línea central longitudinal del eje 
𝐽 = el momento polar de inercia del área de la sección transversal 
𝑐 = el radio exterior del eje 
Si se combinan las ecuaciones anteriores, el esfuerzo cortante a la distancia 
intermedia 𝜌 puede determinarse a partir de 
 
Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores suele llamarse la fórmula de la 
torsión. Recuerde que sólo se usa si el eje es circular, el material es homogéneo 
y se comporta de manera elástico lineal, puesto que su derivación se basa en la 
ley de Hooke. 
 
Eje sólido. 
 
 
Eje tubular 
 
 
Ángulo de giro 
En ocasiones, el diseño de un eje depende de la restricción de la cantidad de 
rotación o giro que puede ocurrir cuando el eje se somete a un par de torsión. 
Además, cuando se analizan las reacciones de los ejes estáticamente 
indeterminados, es importante poder calcular el ángulo de torsión del eje. 
En esta sección se desarrollará una fórmula para determinar el ángulo de giro 
∅ (phi) de un extremo de un eje con respecto a su otro extremo. Se supondrá 
que el eje tiene una sección transversal circular que puede variar gradualmente 
en toda su longitud, figura a. Por otra parte, se supone que el material es 
homogéneo y se comporta de manera elástico lineal cuando se le aplica un par 
de torsión. Como en el caso de una barra cargada axialmente, no se tomarán en 
cuenta las deformaciones localizadas que ocurren en los puntos de aplicación 
de los pares de torsión ni en los cambios abruptos de la sección transversal. Por 
el principio de Saint-Venant, estos efectos se producen dentro de pequeñas 
regiones de la longitud del eje y, en general, sólo tendrán un ligero efecto sobre 
el resultado final. 
Mediante el método de las secciones, se aísla un disco diferencial de espesor 
dx, situado en la posición x, figura b. El par de torsión resultante interno es T(x), 
ya que la carga externa puede provocar que varíe a lo largo de la línea central 
del eje. Debido a T(x), el disco girará, de modo que la rotación relativa de una de 
sus caras con respecto a la otra es 𝑑∅, figura b. En consecuencia, un elemento 
de material que se encuentre en un radio 𝜌 arbitrario dentro del disco 
experimentará una deformación cortante 𝛾. Los valores de 𝛾 y 𝑑∅, se relacionan 
mediante la ecuación anterior, es decir, 
 
 
Como la ley de Hooke, 𝛾 = 𝜏 𝐺⁄ , es válida y el esfuerzo cortante puede 
expresarse en términos del par de torsión aplicado usando la fórmula de la 
torsión 𝜏 = 𝑇(𝑥)𝜌 𝐽(𝑥)⁄ entonces 𝛾 = 𝑇(𝑥)𝜌 𝐽(𝑥)𝐺⁄ . Si se sustituye esto en la 
ecuación anterior, el ángulo de giro para el disco es 
 
Integrando sobre toda la longitud L del eje, se obtiene el ángulo de giro para todo 
el eje, es decir, 
 
Aquí 
f = el ángulo de giro de un extremo del eje con respecto al otro extremo, medido 
en radianes 
T(x) = el par de torsión interno en la posición arbitraria x, que se encuentra 
mediante el método de las secciones y la ecuación de equilibrio de momentos 
aplicada respecto a la línea central del eje 
J(x) = el momento polar de inercia expresado como una función de la posición x 
G = el módulo de elasticidad cortante para el material 
Convención de signos. Para aplicar esta ecuación es necesario desarrollar una 
convención de signos, tanto para el par de torsión interno, como para el ángulo 
de giro de un extremo del eje con respecto al otro. Para ello, se usará la regla de 
la mano derecha, 
según la cual el par de 
torsión y el ángulo 
serán positivos, 
siempre que el pulgar 
se dirija hacia fuera del 
eje cuando los otros 
dedos se enroscan 
indicando la tendencia 
de rotación, figura. 
Elementos cargados con pares de torsión estáticamente indeterminados 
Un eje cargado a torsión puede clasificarse 
como estáticamente indeterminado si la 
ecuación de equilibrio de momentos, 
aplicada sobre la líneacentral del eje, no 
sirve para determinar los pares de torsión 
desconocidos que actúan sobre éste. En la 
figura a se presenta un ejemplo de esta 
situación. Como se muestra en el diagrama 
de cuerpo libre, figura b, los pares de torsión 
reactivos en los apoyos A y B no se conocen. 
Se requiere que 
 
 
A fin de obtener una solución, se utilizará el método de análisis estudiado en la 
sección anterior. La condición necesaria de compatibilidad, o condición 
cinemática, requiere que el ángulo de giro de un extremo del eje con respecto al 
otro sea igual a cero, ya que los soportes extremos están fijos. Por lo tanto, 
 
Siempre que el material sea elástico lineal, es 
posible aplicar la relación carga-desplazamiento 
∅ = 𝑇𝐿 𝐽𝐺⁄ para expresar la condición de 
compatibilidad en términos de los pares de 
torsión desconocidos. Considerando que el par 
de torsión interno en el segmento AC es +TA y en 
el segmento CB es −TB, figura c, se tiene