Resistencia de materiales

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Todas las secciones transversales, el eje y, un eje a lo largo del plano de simetría y el 
eje z que completa una terna de ejes cartesianos derechos. Sea el cargamento sobre la viga un 
momento Mz en cada uno de sus extremos como se muestra en 5-7a. El cargamento 
generalizado para esta viga se indica en la figura 5-7b. 
Podemos observar que cualquier sección transversal está libre de fuerza cortante y sometida a 
un momento flector de magnitud Mz. El problema así Planteado es hiperestático interiormente y 
necesitamos una hipótesis adicional para su solución. 
 
Si trazamos líneas horizontales y verticales a lo largo de la viga como muestra la figura 
5-9a) no es difícil intuir, y además la experiencia lo confirma, que estas adoptan la 
configuración mostrada en 5-9b) después de la aplicación de los momentos. Esta observación 
nos permite enunciar nuestra hipótesis de deformación que tornará al problema estáticamente 
determinado. 
 
 
 
 
 
C 
Línea no 
deformada 
D 
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HIPOTESIS DE DEFORMACION 
 
Las secciones planas en una viga permanecen planas después de la actuación de 
momentos flectores en sus extremos, sufriendo solamente rotaciones. Esta hipótesis determina 
directamente la forma como se distribuyen las deformaciones en una sección transversal. 
 
Haciendo un poco de historia, el problema de la flexión de vigas ocupó por mucho 
tiempo la atención de numerosos hombres de ciencia. Quizás fue la viga una de las primeras 
estructuras usadas por el hombre y donde primero se realizó un análisis de esfuerzo. Ya en 
1638, Galileo estableció que la viga cargada como se muestra en la figura 5-8, está sometida a 
una distribución de fuerzas uniforme en toda la sección y el eje de giro es el extremo inferior de 
la viga: esto se muestra en la figura 5-8b. Posteriormente J. Bernoulli usando la hipótesis de 
que las secciones planas permanecen planas después de la flexión y usando la ley de Hooke, 
predijo que la distribución de fuerzas era como la mostrada en la figura 5-8c). 
 
 
FIGURA 5-8 
 
Tanto Galileo como Bernoulli aparentemente no tomaron en cuenta que de no existir 
ninguna fuerza axial externa, no debe existir ninguna fuerza axial resultante en cualquier 
sección transversal de la viga. La distribución de esfuerzo que tiene validez hasta nuestros días 
fue descubierta independientemente por Parent y Coulomb que introdujeron el hecho de que el 
eje de giro debe ubicarse en una posición tal que se satisfaga el equilibrio axial, esto se indica 
en la figura 5-8d). 
Eje de 
Giro 
Eje de Giro 
Eje de Giro 
𝜎 = 𝑍
𝑀
𝐵𝐷2
 
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Basados en la hipótesis de Bernoulli, trataremos de obtener la solución del problema. 
Según nuestra hipótesis de deformación, las fibras longitudinales superiores de nuestra viga se 
acortan y las fibras inferiores se alargan; necesariamente existirá una fibra en la viga que no 
sufra deformación, esta fibra se indica en la figura como EF, y la superficie formada por esta 
fibra y el espesor de la viga se denomina superficie neutra. 
 
La figura 5-10 muestra esta superficie neutra para una viga de sección rectangular en 
su posición flexionada al eje que se forma por el corte de la superficie neutra con el plano de 
simetría lo denominaremos eje neutro, evidentemente que la posición de la superficie neutra es 
un problema a determinar, inicialmente la hemos supuesto por debajo del eje centroide x. 
 
 
 
 
 
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Consideremos un elemento diferencial dx como el mostrado en la figura 5 - 9 c). 
 
La prolongación de AB y OC, se cortan en el punto O, la distancia desde este punto a la 
superficie neutra la designamos 𝜹 y será el radio de curvatura para ese diferencial dx. 
 
Por conveniencia definiremos una nueva coordenada y' medida a lo largo del eje y; pero 
con origen en la superficie neutra. 
 
Tomado una fibra genérica gh y observando la figura 5 – 9 c) podemos decir que la 
deformación que sufrió esta fibra que originalmente tenía una longitud dx es: 
 
 
𝜀𝑥 = 
𝑔ℎ̅̅ ̅̅ − 𝑑𝑥
𝑑𝑥
 (5 – 4) 
 
En esta misma figura se tiene que: 
 
𝑑𝜙 = 
𝑑𝑥
𝛿
= 
𝑔ℎ̅̅̅̅
𝛿 − 𝑦′
 
 
De donde: 
 
𝑔ℎ̅̅̅̅ = 
𝛿 − 𝑦′
𝛿
𝑑𝑥 
 
 
Sustituyendo este valor en 5 – 4, obtenemos: 
 
𝜀𝑥 = −
𝑦′
𝛿
 
 
 
 
 
 
 
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Introduciendo el hecho de que nuestro material elástico, la ecuación constitutiva será: 
 
𝜀𝑥 = 
1
𝐸
[𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)] 
 
Como la viga es libre de deformarse en las dimensiones (y, z) y no existen fuerzas 
externas en esa dirección, es lógico suponer que ( 𝝈𝒚 = 𝝈𝒛 = 𝟎 ) con lo cual obtendríamos: 
 
𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 = −𝐸
𝑦′
𝛿
 , 𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = 0 (5 – 6 a) 
 
Finalmente en ausencia de torques y fuerzas cortantes se pueden asumir que: 
 
𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑥𝑧 = 0 (5 – 6 b) 
 
Tenemos ya establecido la distribución de esfuerzo y deformaciones en función del 
radio de curvatura. Si queremos tener los esfuerzos y deformaciones en función de algo más 
accesible, podemos establecer el equilibrio en una sección transversal recordando que la 
resultante de todas las fuerzas en dicha sección debe ser el momento Mz. En base a la figura 
5-11 donde la fuerza que origina un esfuerzo 𝝈𝒙 positivo actuando en la parte donde y' es 
positivo origina un momento opuesto a Mz tenemos: 
 
−𝑀𝑧 = ∫ 𝜎𝑥𝑦′ 𝑑𝐴
𝐴
 
 
 
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EJEMPLO 5-5. Una viga de acero de sección rectangular está sometida a una 
distribución de fuerzas externas como muestra la figura 5-13 a) sabiendo que el momento 
 
 
 
 
Externo originado por estas fuerzas es 5.000 Kgs-cm. Calcular el esfuerzo máximo de 
tensión en el interior de la viga y el ángulo que forman las secciones A y B después de la 
deformación. 
 
Paso 1) Debemos determinar donde se ubicará el eje neutro y cuál será el momento de 
inercia Izz respecto a ese eje. 
 
F1 eje centroidal en este caso será la línea central del rectángulo, el momento de 
inercia respecto a esta línea, según se muestra en 5 -13b, será: 
 
 
𝐼𝑧𝑧 = ∫ 𝑦2𝑏 𝑑𝑦
ℎ 2⁄
−ℎ 2⁄
=
𝑏ℎ3
12
 
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Para b=1 cm y h=3 cm. Obtenemos: 
 
𝐼𝑧𝑧 = 2.25 𝑐𝑚4 
 
 
Paso 2) El esfuerzo máximo ocurre en las fibras más alejadas del eje neutro, en nuestro 
caso las fibras (c-c) y (d-d), en (c-c), el esfuerzo será de tensión, y en (d-d) de compresión 
teniendo ambos el mismo valor numérico, el esfuerzo en (d-d) será: 
 
𝜎𝑥 = −
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧𝑧
= −
𝑀𝑧 ℎ 2⁄
𝐼𝑧𝑧
=
5000 (𝑘𝑔𝑠 − 𝑐𝑚) ∗ 1.5 (𝑐𝑚)
2.25 (𝑐𝑚4)
 
 
 𝜎𝑥 = −3333 (𝑘𝑔𝑠/𝑐𝑚
2) 
 
 
Usando y = − 𝒉 𝟐⁄ obtenemos el esfuerzo en (c-c) 
 
Para obtener el ángulo que forman las secciones A y B, recordamos que el radio de 
curvatura que adquiere la viga es: 
 
 
𝛿 = 
𝐸 ∗ 𝐼𝑧𝑧
𝑀𝑧
=
2.1𝑥106(𝑘𝑔𝑠 𝑐𝑚2⁄ ) ∗ 2.25 (𝑐𝑚4) 
5000 (𝑘𝑔𝑠 − 𝑐𝑚)
 
 
𝛿 = 945 𝑐𝑚 
 
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Sabemos que: 
Δ𝜙 = 
𝐿
𝛿
=
60 (𝑐𝑚)
945 (𝑐𝑚)
 
 
Δ𝜙 = 0.0635 𝑟𝑎𝑑 
(Multiplicar por 180 y dividir por π) 
 
Δ𝜙 = 3.64° 
 
5 – 6. GENERALIZACION DEL PROBLEMA A OTROS TIPOS DE CARGAMENTOS. 
 
En la sección anterior estudiamos la solución para el caso de una viga sometida a un 
cargamento como el indicado en la figura 5-12, 
 
Sabemos que un cargamento de este tipo es bastante infrecuente y sería más factible 
encontrar el momento aplicado de otra forma, por ejemplo las indicadas en la figura (5-14), 
afortunadamente el principio de Saint-Venant, nos garantiza que siendo los cargamentos 
estáticamente equivalentes, la solución es la misma a cierta distancia de los extremos de la 
viga. 
 
Generalizando un poco más diremos que los esfuerzos normales 𝝈𝒙 son 
aproximadamente válidos para una viga sometida a un cargamento transversal cualquiera, en 
este caso, el momento Mz a utilizar en la ecuación (5-10) será el momento flector en la sección 
estudiada obtenido del diagrama de momentoflector y tendremos un radio de curvatura distinto 
en cada punto de la viga. En estos casos se garantiza que los resultados concuerdan con la 
realidad siempre y cuando nuestra definición de viga se haga presente; es decir, que una de las 
dimensiones sea considerablemente mayor que las otras dos. 
 
 
 
 
 
- 167 – 
 
 
Tenemos que tener presente que si el momento flector varía a lo largo de la viga, 
aparecerán fuerzas cortantes que dan indicio de la presencia de esfuerzos cortantes. De esto 
nos ocuparemos más adelante. 
 
Tenemos así el problema generalizado para cualquier tipo de cargamento, siempre y 
cuando este descanse sobre el plano xy de simetría de la viga. 
 
EJEMPLO 5-6. Cuál es el máximo esfuerzo normal de tensión y el mínimo radio de 
curvatura en la viga de acero. Mostrada en la figura 5-15, cuya sección transversal es una T 
simétrica. 
 
 
 
 
 
 
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El máximo esfuerzo ocurre en la sección transversal donde el momento flector sea 
máximo. Para saber el valor del máximo momento y la sección en que actúa debemos obtener 
el diagrama de momento flector. En este caso podríamos obtener una carga p(x) general con 
ayuda de las funciones de singularidad e integrando obtener el diagrama de momento. . 
 
𝑃(𝑥) = −𝑃0〈𝑥 − 0〉
0 + 𝑅1〈𝑥 − 1〉
−1 − 𝐹2〈𝑥 − 2.5〉
−1 + 𝑅2〈𝑥 − 4〉
−1 
 
Integrando: 
 
𝑉 = − ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶1 = 𝑃0〈𝑥 − 0〉
0 − 𝑅1〈𝑥 − 1〉
0 + 𝐹2〈𝑥 − 2.5〉
0 − 𝑅2〈𝑥 − 4〉
0 + 𝐶1
𝑥
0
 
 
𝑀 = − ∫ 𝑉𝑑𝑥 + 𝐶2 = 𝑃0
〈𝑥 − 0〉
2
2
+ 𝑅1〈𝑥 − 1〉
1 − 𝐹2〈𝑥 − 2.5〉
1 + 𝑅2〈𝑥 − 4〉
1 − 𝐶1 + 𝐶2
𝑥
0
 
 
Para evaluar 𝑪𝟏; 𝑪𝟐; 𝑹𝟏 y 𝑹𝟐; Sabemos que: 
 
X=0; M=0; V=𝐹1; X=L; M=0; V=-𝐹3 
 
Con lo cual obtenemos: 
𝐶2 = 0 
 
−𝑃0
𝐿2
2
+ 𝑅1(𝐿 − 1) − 𝐹2(𝐿 − 2.5) + 𝑅2(𝐿 − 4) − 𝐶1𝐿 + 𝐶2 = 0 
 
𝐶1 = 𝐹1 
 
𝑃0𝐿 − 𝑅1 + 𝐹2 − 𝑅2 + 𝐶1 = −𝐹3 
 
 
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Resolviendo el sistema tenemos: 
 
𝑅1 = 8250 𝑘𝑔𝑠 𝑅2 = 8250 𝑘𝑔𝑠 𝐶1 = 2000 𝐶2 = 0 
 
Con lo cual: 
 
𝑉 = 500〈𝑥 − 0〉1 − 8250〈𝑥 − 1〉0 + 10000〈𝑥 − 2.5〉0 − 8250〈𝑥 − 4〉0 + 2000 
 
𝑀 = −250〈𝑥 − 0〉2 + 8250〈𝑥 − 1〉1 − 10000〈𝑥 − 2.5〉1 + 8250〈𝑥 − 4〉1 − 2000𝑥 
 
Los diagramas de V y M se muestran en 5-15c. Vemos que el máximo momento ocurre 
en el punto medio de la viga. 
 
El centroide tomando la base inferior como referencia será: 
 
𝑦 =
∑ 𝐴𝑖 ∗ 𝑦�̅�
∑ 𝐴𝑖
=
20 ∗ 4 ∗ 2 + 16 ∗ 4 ∗ 12
20 ∗ 4 + 16 ∗ 4
= 6.44 (𝑐𝑚) 
 
El momento de inercia respecto a este eje es: 
 
𝐼𝑧𝑧 = 
20 ∗ 43
12
+ 20 ∗ 4(6.44 − 2)2 +
4 ∗ 163
12
+ 16 ∗ 4(5.56)2 = 5024.4 (𝑐𝑚)4 
 
El máximo esfuerzo es de tensión: 
 
𝜎𝑥 = 
581250 (𝑘𝑔𝑠 − 𝑐𝑚) ∗ 6.44 (𝑐𝑚)
5024.4 (𝑐𝑚)4
= 754 (
𝑘𝑔𝑠
𝑐𝑚2
) 
 
El radio de Curvatura en esta sección: 
 
𝛿𝑚𝑖𝑛 = 
𝐸 ∗ 𝐼𝑧𝑧
𝑀
=
2.1𝑥106 (
𝑘𝑔𝑠
𝑐𝑚2
) ∗ 5024.4(𝑐𝑚)4
581250 (𝑘𝑔𝑠 − 𝑐𝑚)
= 18153 𝑐𝑚 
 
 
 
 
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La figura 5-15 d) muestra la distribución de esfuerzos en la viga. 
 
A los fines de diseño es necesario evaluar solamente la magnitud del esfuerzo máximo 
en la viga, como este siempre ocurre en la fibra más apartada del eje neutro, se suele designar 
estos puntos con C=Ymax, 
 
De esta manera el esfuerzo máximo será: 
 
𝜎𝑥 =
𝑀𝑧∗𝐶
𝐼𝑧𝑧
 (5 - 12) 
 
En la ecuación 5-12, podemos observar que el cortante (Izz/C), es una constante para 
una sección determinada y suele denominarse modelo de sección: 
 
𝑆 =
𝐼𝑧𝑧
𝐶
 (5 - 13) 
 
Con lo cual: 
 
𝜎𝑥 =
𝑀𝑧
𝑆
 (5 - 14) 
 
 
 
El valor de S puede encontrarse en tablas que suministran los fabricantes de los perfiles 
más usuales. 
 
 
 
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5 -7. ESFUERZOS QUE ORIGINAN LA FUERZA CORTANTE 
 
Supongamos una viga simétrica respecto al plano XY sobre el cual descansa un 
cargamento cualquiera. 
 
Asumimos que este caso las ecuaciones: 
 
𝜎𝑥 = −
𝑀𝑧∗𝑦
𝐼𝑧𝑧
 
 
𝛿 =
𝐸 ∗ 𝐼𝑧𝑧
𝑀𝑧
 
 
 
Son una buena aproximación de la solución siempre y cuando la viga sea larga y esté 
sometida a pequeñitas deformaciones. 
 
Si el momento Mz varía a lo largo de la viga; es decir Mz =𝑴𝒛(𝒙) tendremos que el 
esfuerzo 𝝈𝒙 será” una función de (x e y), a su vez el radio de curvatura será una función de x. 
 
El hecho de que el momento flector sea variable a lo largo de la viga, implica la 
existencia de una fuerza cortante como establece la ecuación (5-2), es lógico suponer que la 
existencia de esta fuerza cortante proviene de una distribución de esfuerzos cortantes 𝝉𝒙𝒚 en 
la sección considerada adicional a la distribución 𝝈𝒙 ya existente. 
 
Tratar de cuantificar la distribución de 𝝉𝒙𝒚 en una sección transversal dada, 
conociendo apenas que su resultante toma el valor V, es un problema hiperestático. 
 
 
 
 
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En este caso, asumir una hipótesis de la deformación que origina la fuerza cortante es 
complicado. Por otro lado sabemos que V está íntimamente relacionada con el cambio de 
momento y el momento ocasiona una distribución de esfuerzos 𝝈𝒙, es factible que los cambios 
en 𝝈𝒙 estén relacionados con los esfuerzos 𝝉𝒙𝒚. Con este indicio supongamos un tramo de 
viga de longitud dx, en el cual se produce un cambio de momento de 𝑴𝒂𝑴 +
𝒅𝑴
𝒅𝒙
𝒅𝒙, y 
tratemos de cuantificar los esfuerzos cortantós que actúan en la fibra AB situada a una 
distancia y del eje neutro como se muestra en la figura 5-16