Trabajo Práctico 2 - Parte II

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Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Tucumán
Cátedra de Investigación Operativa
	
Trabajo Práctico N° 2 Parte II
TRABAJO PRACTICO N°2
PARTE II
INTEGRANTES:
· Alawi Tarif – 48324
· Arnedo Tobías – 48127
· Juárez Nahuel – 50546
Materia: Investigación Operativa 
Tema: Programación Lineal
Programación Lineal 
1. Se desea planificar la producción de dos productos XA y ZA. La demanda prevista para los próximos meses viene dada en la tabla siguiente: 
	
	Enero
	Febrero
	Marzo
	Abril
	Producto XA
	300
	600
	600
	500
	Producto ZA
	700
	500
	800
	500
El inventario a principio de año de los productos XA y ZA es de 100 y 200 respectivamente. Al finalizar el horizonte de planificación se desea disponer al menos de 300 unidades del producto ZA. Los costes de almacenaje de los productos XA y ZA son respectivamente de 2 euros y 1 euro por unidad almacenada al mes. Debido a limitaciones de espacio, la cantidad de productos almacenados no puede exceder de 300 unidades mensuales. La cantidad máxima que puede fabricarse mensualmente es de 400 unidades de XA y 700 de ZA. Se pide:
a) Formule el problema de planificación de la producción teniendo como objetivo minimizar el coste total de inventario.
Variables:
i= XA, ZA 		j= E, F, M, A
CP= cantidad disponible del producto i en el mes de j
P= producción del producto i en el mes de j
Función objetivo:
MIN Z= 2[$/U] * CPXA, j + 1[$/U] * CPZA, j
Restricciones:
Inventario Máximo en cada mes
CPXAE + CPZAE <= 300		
CPXAF + CPZAF <= 300
CPXAM + CPZAM <= 300
CPXAA + CPZAA <= 300
Producción Máxima de cada mes
PXA, j <= 400
PZA, j <= 700
Cantidad minima del producto ZA en el mes de abril
CPZAA >=300
Restricción de inventario
CPXAE= 100 + PXAE - 300
CPXAF = CPXAE + PXAF – 600 
CPXAM = CPXAF + PXAM – 600 
CPXAA = CPXAM + PXAA – 500
CPZAE = 200 + PZAE – 700
CPZAF = CPZAE + PZAF – 500
CPZAM = CPZAF + PZAM – 800
CPZAA = CPZAM + PZAA – 500
Restricciones de no negatividad
ZA >= 0
XA >= 0
b) Análisis de sensibilidad considere costos reducidos y precio sombra.
c) Solución gráfica.
2. Una empresa fabrica tres tipos de helados utilizando leche y nata. Para el próximo mes dispone de 75 unidades de leche y 100 de nata. Como mínimo se han de fabricar 20 helados. Los coeficientes técnicos y los costos se muestran en la tabla siguiente:
	
	Helado 1
	Helado 1
	Helado 3
	Disponibilidad de Recursos
	Leche
	4u
	3u
	2u
	75u
	Nata
	1u
	2u
	3u
	100u
	Costos Totales
	15€/u
	13€/u
	15€/u
	Maximizar Benefecios
	Precio de Venta
	20€/u
	20€/u
	18€/u
	
Se pide:
a) Resolución del modelo matemático utilizando programación lineal.
Variables:
H1= cantidad a fabricar del helado 1
H2= cantidad a fabricar del helado 2
H3= cantidad a fabricar del helado 3
Función objetivo:
MAX Z= 5[€/u] H1 + 7[€/u] H2 + 3[€/u] H3
Restricciones:
#1: Leche= 4u H1 + 3u H2 + 2u H3 <= 75 u
#2: Nata= 1u H1 + 2u H2 + 3u H3 <= 100 u
#3: Mínimo Helados= H1 + H2 + H3 >= 20 u
#4: No negatividad= H1 >= 0, H2 >= 0, H3 >= 0
Para maximizar beneficios (175 €) debo fabricar 25 helados del tipo 2.
b) El plan de producción si en lugar de disponer de 75 unidades de leche dispone únicamente de 50.
Para maximizar beneficios (100 €) debo fabricar 10 helados del tipo 2 y del tipo 3.
c) ¿Cómo se verá afectado el plan de producción si un convenio firmado con los productores de leche obliga a utilizar las 75 unidades de leche disponibles? 
No afecta al plan de producción del punto a ya que las 75 unidades son utilizadas.
d) La dirección está estudiando la posibilidad de dedicar un empleado a realizar tareas de control de calidad. Suponga que si todos los helados fueran del tipo 1 podría examinar hasta 30 unidades, mientras que los helados del tipo 2 necesitan el doble que los de tipo 1, y los del tipo 3 el doble que los del tipo 2. 
#CdC= H1 + 2H2 + 4H3 <= 30u	
e) Si realiza el control de calidad la dirección no considera necesario mantener la producción mínima de 20 helados. Determine como afectan estos cambios al plan de producción.
 Para maximizar beneficios (123 €) se deben fabricar 12 helados del tipo 1 y 9 helados del tipo 2.
3. Su alimentación requiere que lo que coma pertenezca a uno de los siguientes grupos de alimentos (pastel de chocolate, helado, refrescos, y pastel de queso). Dispone de los siguientes alimentos para el consumo: bizcochos de chocolate, helado de chocolate, gaseosa cola y pastel de queso, siendo su coste de 4 euros cada bizcocho, 2 euros cada bocha de helado de chocolate, 3 euros una botella de refresco, y 6 euros una porción de pastel de queso. Cada día necesita ingerir por lo menos 600 calorías, 20 gramos de chocolate, 30 gramos de azúcar, y 25 gramos de grasa. El contenido nutritivo unitario de cada elemento se muestra en la tabla:
	
	Calorías
	Chocolate 
	Azúcar
	Grasas
	Bizcocho
	300
	2
	1
	1
	Helado
	200
	1
	1
	2
	Refresco
	100
	0
	2
	1
	Pastel de Queso
	400
	0
	3
	3
Se solicita:
a) Solución actual del problema que minimice los gastos.
Variables:
B= cantidad de bizcochos a consumir
H= cantidad de bochas de helado a consumir
R= cantidad de botellas de refresco a consumir
PQ= cantidad de porciones de pastel de queso a consumir
Función objetivo:
MIN Z= 4[€/u] B + 2[€/u] H + 3[€/u] R + 6[€/u] PQ
Restricciones:
#1: Calorías= 300[cal/u] B + 200[cal/u] H + 100[cal/u] R + 400[cal/u] PQ >= 600 cal
#2: Chocolate= 2[gr/u] B + 1[gr/u] H >= 20 gr
#3: Azúcar= 1[gr/u] B + 1[gr/u] H + 2[gr/u] R + 3[gr/u] PQ >= 30 gr
#4: Grasas= 1[gr/u] B + 2[gr/u] H + 1[gr/u] R + 3[gr/u] PQ >= 25 gr
#5: No negatividad= B >= 0, H >= 0, R >= 0, PQ >= 0
 Para minimizar los gastos (55 €) debe consumir 20 bochas de helado y 5 botellas de refresco.
b) En el caso de que el precio unitario del bizcocho aumente hasta 5 euros y el precio de una porción de pastel de queso disminuya hasta 5 euros. En caso de que no siga siendo óptima la solución, halle la nueva solución óptima. 
 Para minimizar los gastos (43,3 €) debe consumir 20 bochas de helado y 3,33 porciones de pastel de queso.
c) Hasta que valor puede rebajarse el precio de un bizcocho de forma que la base actual siga siendo óptima. 
 El precio de un bizcocho puede rebajarse hasta 2,5 €.
d) Hasta que valor puede rebajarse el precio de una porción de pastel de queso de forma que la base actual siga siendo óptima. 
El precio de una porción de pastel de queso puede rebajarse hasta 4,5 €.
4. Cada semana FGF Trapani SA, usa una sola maquina durante 150 hs para destilar jugo de naranja y de limón en concentrados almacenados en dos tanques separados de 1000 galones antes de congelarlos. La máquina puede procesar 25 galones de jugo de naranja por hora, pero solo 75,7082 litros de jugo de limón por hora. Cada galón de jugo de naranja cuesta US$1,50 y pierde 30% del contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de naranja se vende después en US$6,00 por galón. Cada galón de jugo de limón cuesta US$2,00 y pierde el 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado, el cual se vende después a un precio de US$8,00 por galón. Se solicita:
a) Formule el plan de producción que maximice las ganancias para la siguiente semana usando las siguientes variables:
Variables:
JN: N° de galones de jugo de naranja por utilizar en la semana. 
JL: N° de galones de jugo de toronja por utilizar esta semana.
Función objetivo:
MAX Z= 4,5[$/u] JN + 6[$/u] JL
Restricciones:
#1: Tiempo maquina= 1/25[u/h] JN + 1/75,7082[u/h] JL <= 150 hs
#2: Galones de JN= JN <= 1000 u
#3: Galones de JL= JL <= 1000 u
#4: No negatividad= JN >= 0, JL >= 0
 Para maximizar ganancias (10500 $) debe utilizar 1000 galones de jugo de naranja y 1000 galones de jugo de limón.
b) Formule el problema de PL para determinar el plan de producción que maximice las ganancias para la siguiente semana utilizando estas variables:
Variables:
CN: N° de galones de jugo concentrado de naranja por utilizar en la semana. 
CL: N° de galones de jugo concentrado de limón por utilizar en la semana.
Función objetivo:
MAX Z= 6*0,7[$/u] – 1,5[$/u]CN + 8*0,75[$/u] - 2[$/u] CL
 Z= 2,7[$/u] CN + 4[$/u] CL
Restricciones:
#1: Tiempo maquina= 1/25[u/h] CN + 1/75,7082[u/h] CL <= 150 hs
#2: Galones de JN= CN <= 1000 u
#3: Galones de JL= CL <= 1000 u
#4: No negatividad= CN >= 0, CL >= 0
 Obtenemos una ganancia máxima menor (6700 $) pero debemos utilizar la misma cantidad de galones de jugo de naranja y de jugo de limón.
c) Se solicita además un análisis de sensibilidad de los datos obtenidos en ambos modelos.
 El coste reducido es cero ya que los dos valores finales (JN y JL) son variables básicas.
 El precio sombra nos dice que por cada galón de JN que aumentemos en el lado derecho, nuestro Z incrementara 4,5 $ y por cada galón de JL, 6 $.
 Ambos tienen un intervalo para el cual ésta solución óptima sigue siendo válida.
 El coste reducido es cero ya que los dos valores finales (CN y CL) son variables básicas.
 El precio sombra nos dice que por cada galón de CN que aumentemos en el lado derecho, nuestro Z incrementara 2,7 $ y por cada galón de CL, 4 $.
 Ambos tienen un intervalo para el cual ésta solución óptima sigue siendo válida.
5. FRM Company tiene una maquina capaz de fabricar tubos de diámetros grandes y pequeños para contratistas de plomería. Los tubos grandes se producen a una velocidad de 60 metros por hora y los pequeños a 92 metros por hora. Cada hora que la maquina es utilizada para producir tubos grandes generalmente ocasiona 1,5 atascamientos por hora y cuando se producen tubos pequeños resultan 3 atascamientos por hora. Cada atascamiento requiere aproximadamente 5 minutos de restablecimiento, durante los cuales la máquina no puede producir tubos. La gerencia desea un número igual de metros de tubos grandes y pequeños y la mayor cantidad total de tubos posibles.
a) Formule un modelo para determinar cuánto tiempo de un día de 8 horas debe asignarse a la producción de tubos grandes y cuantos días de 8 horas a la producción de tubos pequeños. Para las variables de decisión, use el número de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de ambos tubos.
Variables:
TG: cantidad de días a asignar a la producción de tubos grandes 
TP: cantidad de días a asignar a la producción de tubos pequeños
Función objetivo:
MAX Z= 60 TG + 92 TP
 
b) Formule el problema, pero considere la fracción de 8 horas diarias de tiempo de máquina para ambos tubos.
c) Por último, se le solicita que formule el problema, pero con las variables de decisión siendo los tubos grandes y los tubos pequeños.
d) Realice el análisis de sensibilidad en cada inciso del problema. Describa y proporcione detalles para justificar su respuesta.
6. Se disponen de 400 millones para invertir en 4 opciones. Suponga que las inversiones se pueden hacer en el presente y otras a futuro. Considere las siguientes opciones de inversión: 
Opción 1: Por cada peso devuelve 2.75 pesos, 2 años después 
Opción 2: Por cada peso devuelve 3.20 pesos, 3 años después 
Opción 3: Por cada peso devuelve 3.30 pesos, 3 años después. Disponible al inicio del año 2. 
Opción 4: Por cada peso devuelve 2.25 pesos, 1 año después. Disponible al inicio del año 4. Sea: 
Xij.- El dinero invertido en la opción i en el año j Yj.- El dinero no invertido en el año j 
Se pide: 
a) Representación gráfica de inicio (depósito) y fin de la inversión(retiro). Considere que el objetivo es maximizar la inversión. 
7. Considere la siguiente situación, usted está de compras por el supermercado: La naranja cuesta 4 $/kilo y tiene 12 gramos de vitamina C y un gramo de vitamina A, La uva cuesta 60 $/kilo y tiene 0 gramos de vitamina C y 26 gramos de vitamina A, La zanahoria cuesta 12 pesos/kilo y tiene 3 gramos de vitamina C y 10 gramos de vitamina A, La lechuga cuesta 4 $/kilo y tiene 2 gramos de vitamina C y 4 gramos de vitamina A. Se desea preparar una ensalada para 10 personas que contenga en total cuando menos 200 gramos de vitamina C y 129 gramos de vitamina A. 
Se solicita:
a) Modelo de PL que minimice gastos.
Variables:
N: cantidad de naranjas a comprar [kg] 
U: cantidad de uvas a comprar [kg]
Z: cantidad de zanahorias a comprar [kg]
L: cantidad de lechuga a comprar [kg]
Función objetivo:
MIN Z= 4 [$/kg] N + 60 [$/kg] U + 12 [$/kg] Z + 4 [$/kg] L
Restricciones:
#1: Vitamina C= 12[gr/kg] N + 3[gr/kg] Z + 2[gr/kg] L >= 200 gr
#2: Vitamina A= [gr/kg] N[kg] + 26[gr/kg] U[kg] + 10[gr/kg] Z[kg] + 4[gr/kg] L[kg] >= 129 gr
#3: No negatividad= N, U, Z, L >= 0
b) ¿Qué sucede si en lugar de comprar naranjas compro paltas a 5 $ la unidad y sabiendo que se necesitara medio kilo; y una unidad de palta posee alrededor de 500gr, y cada 100 gr de palta esta posee 10gr de vitamina C y 6,6 gramos de vitamina A.
c) ¿Qué sucede si al modelo le agrego pechuga de pollo a 80$ la unidad, sabiendo que necesito por lo menos dos kilos y cada unidad pesa 400gr? ¿Y por lo menos se necesita 100 gr de proteína total? Considere como dato que 100 gramos de pollo poseen 27 gr de proteínas.
8. En un acuario hay dos tipos de especies de peces identificadas como Betta y Dorado, cuyo peso promedio es de 4 libras y 2 libras. respectivamente. Se dispone de dos tipos de alimentos A1 y A2. Ambas especies deben consumir diariamente: Betta 1 unidad de A1 y 3 unidades de A2 mientras que la Dorado 2 unidades de A1 y 1 unidad de A2. Se cuenta con la siguiente disponibilidad de alimentos: 500 unidades de A1 y 900 unidades de A2 por día. ¿Cuál debe ser la población de cada especie para maximizar el peso de los peces? Proponga una solución utilizando la programación lineal. Utilice la resolución del método gráfico. Identifique región factible, restricciones, puntos extremos y solución óptima.
Variables:
PB: cantidad de población de peces especie Betta [u]
PD: cantidad de población de peces especie Dorado [u]
Función Objetivo:
MAX Z= 4PB + 2PD
Restricciones:
R1: Disponibilidad A1= PB + 2PD <= 500
R2: Disponibilidad A2= 3PB + A <= 900
R3: No Negatividad= PB, PD >= 0
9. R Sports Products quiere determinar la cantidad de balones de futbol de All-Pro (A) y Universitario (U) a producir con el fin de maximizar las utilidades durante el siguiente horizonte de planeación de cuatro semanas. Las restricciones que afectan las cantidades de producción son las capacidades de producción en tres departamentos: corte y teñido, costura e inspección y empaque. Para el periodo de planeación de cuatro semanas se dispone de 340 horas de corte y teñido, 420 horas de costura y 200 horas de inspección y empaque. Los balones de futbol All-Pro producen utilidades de $5 por unidad y los balones Universitarios producen una utilidad de $4 por unidad. Elabore un modelo matemático utilizando programación lineal.
a) Sombree la región factible para este problema.
Variables:
BA: cantidad de balones de futbol All-Pro a producir [u]
BU: cantidad de balones de futbol Universitario a producir [u]
Función Objetivo:
MAX Z= 5BA + 4BU
Restricciones:
R1: Corte y Teñido= BA + BU ≤ 340
R2: Costura= BA + BU <= 420
R3: Inspección y Empaque= BA + BU <= 200
R4: No Negatividad=
b) Determine las coordenadas de cada punto extremo y las utilidades correspondientes. ¿Cuál punto extremo genera mayores utilidades?
c) Suponga que los valores de los coeficientes de la función objetivo son $4 para cada modelo All-Pro y $5 para cada modelo Universitario producidos. Utilice el procedimiento de solución gráfica para determinar la solución óptima y el valor correspondiente de las utilidades.
10. Una mueblería fabrica sillas y mesas de comedor. Cada silla insume 20 mts de madera y 4 horas/hombre de trabajo; los insumos de materiales y horas/hombre por cada mesa son 50 mts y 3 hs/hombre. El fabricante dispone en stock de 3300 mts de madera y 380 hs/hombre de capacidad laboral. Las utilidades resultan de 3 $/silla y 6$/mesa vendida. Se supone que se disponen de todos los materiales secundarios necesarios para la fabricación en cantidades suficientes a la demanda. ¿Cuántas sillas y mesas se deben producir para maximizar las utilidades, suponiendo que se venda todolo producido? Represente gráficamente e interprete los resultados.
Variables:
S: cantidad de sillas a producir [u]
M: cantidad de mesas a producir [u]
Función Objetivo:
MAX Z= 3 S + 6 M
Restricciones:
R1: Madera= 20 S + 50 M <= 3300 mts
R2: Horas/Hombre= 4 S + 3 M <= 380 hs/hombre
R3: No Negatividad= S, M >= 0
11. Una fábrica produce dos tipos de cemento: en gránulos y polvo. La fábrica no puede hacer más de 1400 bolsas combinadas por día debido a una escasez de vehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que se deben producir al menos 350 bolsas de cemento en polvo por día. Debido a restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de cemento granulado en relación con el tiempo requerido por el cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo necesita para su fabricación 0.25 minutos/bolsa y la planta opera 8 horas al día. Su ganancia es $450 por la bolsa para el cemento granulado y $350 por la bolsa para el cemento en polvo. Diseñe el modelo matemático que permita, una vez resuelto, determinar cuánto se debe producir de cada tipo de cemento en el día para maximizar las ganancias de la fábrica.
Variables:
CG: cantidad de cemento en gránulos a producir [u]
CP: cantidad de cemento en polvo a producir [u]
Función Objetivo:
MAX Z= 450 CG + 350 CP
Restricciones:
R1: Máximo Bolsas= CG + CP <= 1400
R2: Mínimo CP= CP >= 350
R3: Tiempo= 0,25 CP + 0,5 CG <= 500
R4: No Negatividad= CG, CP, >= 0
12. Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 30m3 de espacio refrigerado y 90m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 20m3 refrigerados y 50m3 no refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe trasladar 350m3 de productos refrigerados y 500 m3 de productos no refrigerados. Diseñe el modelo matemático que una vez resuelto, permita responder: ¿Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica para minimizar costos si un camión de tipo A se alquila a $30000 y uno del tipo B a $40000? Proveer solución gráfica y análisis de sensibilidad.
Variables:
CA: cantidad de camiones a alquilar del tipo A 
CB= cantidad de camiones a alquilar del tipo B
Función Objetivo:
MIN Z= 30000 CA + 40000 CB
Restricciones:
R1: m3 Refrigerados= 30m3 CA + 20m3 CB >= 350m3
R2: m3 No Refrigerados= 90m3 CA + 50m3 CB >= 500m3
R3: No Negatividad= CA, CB >= 0