Informe Acerca de los Diferentes Métodos en la Investigación de Operaciones, By Christian Miglionico

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE 
VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER 
POPULAR PARA LA EDUCACION 
UNIVERSITARIA, CIENCIA Y 
TECNOLOGÍA 
UNIVERSIDAD PANAMERICANA DEL 
PUERTO FACULTAD DE CIENCIAS 
ECONÓMICAS Y SOCIALES PROCASO 
UNIPAP - CUAM CAGUA 
 
 
 
 
I Corte - actividad 3: 
Informe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marzo, 2023 
T.S.U Christian Miglionico 
C. I: 26.681.756 
 
Investigación de Operaciones 
Empresas - Empresas 
Semestre 6 
 
INTRODUCCIÓN 
 
La Investigación de Operaciones es una disciplina que utiliza técnicas 
matemáticas, estadísticas y de programación para resolver problemas de toma 
de decisiones en empresas y organizaciones. 
 
La metodología de Investigación de Operaciones se centra en la 
identificación de los objetivos y restricciones del problema, la formulación de 
un modelo matemático para representar el problema, la búsqueda de 
soluciones óptimas para el modelo y la implementación de la solución en el 
mundo real. 
 
En el presente trabajo se podrán visualizar los diferentes métodos en lo 
que abarca la investigación de operaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
Contenido 
INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 2 
Método de Reducción. .................................................................................. 4 
Método de sustitución. ................................................................................. 6 
Método de Igualación. .................................................................................. 8 
Método de Kramer. ..................................................................................... 11 
Método de matriz Inversa. .......................................................................... 15 
Método de Gauss Jordan. .......................................................................... 18 
CONCLUSIÓN .............................................................................................. 22 
BIGLIOGRAFÍA ............................................................................................ 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Reducción. 
El método de reducción es una técnica utilizada en la investigación de 
operaciones para simplificar un modelo matemático complejo mediante la 
eliminación de variables innecesarias o irrelevantes. La idea básica detrás del 
método de reducción es encontrar una solución óptima del problema original 
al resolver un problema simplificado que contiene menos variables. 
 
Para utilizar el método de reducción, se deben seguir los siguientes pasos: 
 
 Identificar las variables relevantes: Se deben identificar las variables que 
son esenciales para el modelo matemático y las que no son importantes. 
Las variables irrelevantes deben eliminarse del modelo. 
 
 Establecer restricciones: Se deben establecer las restricciones necesarias 
para el problema y eliminar aquellas que no sean necesarias. 
 
 Reducir el modelo matemático: Se debe reducir el modelo matemático 
eliminando las variables y restricciones irrelevantes. 
 
 Resolver el problema simplificado: Se debe resolver el problema 
simplificado utilizando los métodos de solución apropiados. 
 
 Verificar la solución: Se debe verificar la solución encontrada y asegurarse 
de que sea una solución óptima para el problema original. 
Es importante tener en cuenta que el método de reducción puede llevar 
a soluciones subóptimas o incluso incorrectas si se eliminan variables o 
restricciones importantes. 
 
 Por lo tanto, se debe tener cuidado al aplicar esta técnica y verificar 
siempre la validez de la solución obtenida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de sustitución. 
El método de sustitución es una técnica utilizada en Investigación de 
Operaciones para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas. En general, 
este método se aplica cuando tenemos dos ecuaciones con dos variables y 
queremos encontrar el valor de ambas variables. 
l proceso de sustitución se realiza de la siguiente manera: 
 
 Se despeja una de las variables en una de las ecuaciones. 
 Se sustituye la expresión de la variable despejada en la otra ecuación. 
 Se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable 
que no se despejó en el paso 1. 
 Se sustituye este valor en la ecuación despejada en el paso 1 para obtener 
el valor de la otra variable. 
Por ejemplo, si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
2x + y = 7 
x - y = 1 
 
Podemos despejar la variable y en la segunda ecuación: 
 
y = x - 1 
 
Luego, podemos sustituir esta expresión en la primera ecuación: 
2x + (x - 1) = 7 
 
Resolviendo para x: 
3x = 8 
 
x = 8/3 
 
Finalmente, podemos sustituir este valor en la ecuación despejada en el paso 
1: 
 
y = (8/3) - 1 
 
y = 5/3 
 
Entonces, la solución del sistema es x=8/3, y=5/3. 
 
Es importante tener en cuenta que este método solo funciona cuando las 
ecuaciones son lineales y se pueden despejar una de las variables en términos 
de la otra. Además, en sistemas más grandes, el proceso puede volverse más 
complicado y puede requerir múltiples sustituciones. 
 
Método de Igualación. 
El método de igualación es otra técnica utilizada en Investigación de 
Operaciones para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas. Al igual que 
el método de sustitución, se aplica cuando tenemos dos ecuaciones con dos 
variables y queremos encontrar el valor de ambas variables. 
 
El proceso de igualación se realiza de la siguiente manera: 
 
 Se despeja una de las variables en ambas ecuaciones, de modo que 
ambas ecuaciones tengan la misma variable despejada. 
 Se igualan las dos expresiones que se han despejado. 
 Se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable 
que se ha despejado. 
 Se sustituye este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales para 
encontrar el valor de la otra variable. 
 
Por ejemplo, si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
2x + y = 7 
x - y = 1 
 
 
 
 
Podemos despejar la variable y en ambas ecuaciones: 
2x + y = 7 --> y = 7 - 2x 
x - y = 1 --> y = x - 1 
 
Luego, igualamos las dos expresiones que se han despejado: 
 
7 - 2x = x - 1 
 
Resolviendo para x: 
 
3x = 8 
 
x = 8/3 
 
Finalmente, podemos sustituir este valor en cualquiera de las dos ecuaciones 
originales: 
 
2(8/3) + y = 7 
 
y = 5/3 
Entonces, la solución del sistema es x=8/3, y=5/3. 
Es importante tener en cuenta que este método también solo funciona 
cuando las ecuaciones son lineales y se pueden despejar una de las variables 
en términos de la otra. Además, al igual que en el método de sustitución, en 
sistemas más grandes, el proceso puede volverse más complicado y puede 
requerir múltiples igualaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Kramer. 
El método de Kramer es una técnica utilizada en Investigación de 
Operaciones para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas con n 
variables, donde n es mayor que dos. 
 
El proceso de Kramer se realiza de la siguiente manera: 
 
 Escribimos el sistema de ecuaciones en forma matricial, es decir, Ax = b, 
donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de variables y b es el 
vector de términos independientes. 
 Calculamos el determinante de la matriz A, que se denota por det(A). 
 Para encontrar el valor de cada variable, reemplazamos la columna 
correspondiente del vector de coeficientes con el vector de términos 
independientes y calculamos el determinante de la nueva matriz resultante. 
Este determinante se denota por det(Ai), donde i es el índice de la columna 
que se ha reemplazado. 
 El valor de cada variable se obtiene dividiendo det(Ai) por det(A). 
 
Por ejemplo, si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 
x + 2y - z = 4 
2x - 3y + 5z = -1 
4x - 5y + 7z= 5 
 
 
Podemos escribir el sistema en forma matricial: 
 
| 1 2 -1 | | x | | 4 | 
| 2 -3 5 | x | y | = |-1 | 
| 4 -5 7 | | z | | 5 | 
 
Calculamos el determinante de la matriz A: 
det(A) = | 1 2 -1 | 
| 2 -3 5 | 
| 4 -5 7 | 
 
det(A) = 6 
 
Luego, reemplazamos la primera columna de A con el vector de términos 
independientes y calculamos el determinante de la nueva matriz: 
det(A1) = | 4 2 -1 | 
|-1 -3 5 | 
| 5 -5 7 | 
 
det(A1) = -30 
 
El valor de x se obtiene dividiendo det(A1) por det(A): 
x = -30/6 = -5 
 
Repetimos este proceso para las otras dos variables, reemplazando la 
segunda y tercera columna de A con el vector de términos independientes y 
calculando el determinante de la nueva matriz. Luego, dividimos el 
determinante resultante por det(A) para obtener los valores de las otras dos 
variables: 
 
det(A2) = | 1 4 -1 | 
| 2 -1 5 | 
| 4 2 7 | 
 
det(A2) = -26 
 
y = -26/6 = -13/3 
 
det(A3) = | 1 2 4 | 
| 2 -3 -1 | 
| 4 -5 5 | 
 
det(A3) = 14 
z = 14/6 = 7/3 
 
Entonces, la solución del sistema es x=-5, y=-13/3, z=7/3. 
 
Es importante tener en cuenta que el método de Kramer solo se puede 
aplicar cuando el determinante de la matriz de coeficientes A es diferente de 
cero. Si el determinante es cero, significa que el sistema no tiene solución 
única o no tiene solución en absoluto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de matriz Inversa. 
El método de la matriz inversa es una técnica utilizada en Investigación 
de Operaciones para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas con n 
variables, donde n es mayor que dos. Este método implica el cálculo de la 
inversa de la matriz de coeficientes del sistema y su multiplicación por el vector 
de términos independientes. 
 
El proceso del método de matriz inversa se realiza de la siguiente manera: 
 Escribimos el sistema de ecuaciones en forma matricial, es decir, Ax = b, 
donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de variables y b es el 
vector de términos independientes. 
 Calculamos la inversa de la matriz A, que se denota por A^-1. La matriz 
inversa A^-1 existe solamente si det(A) es diferente de cero. 
 Multiplicamos la matriz inversa A^-1 por el vector de términos 
independientes b para obtener el vector de solución x. Es decir, x = A^-1 b. 
 
Por ejemplo, si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 
x + 2y - z = 4 
2x - 3y + 5z = -1 
4x - 5y + 7z = 5 
 
Podemos escribir el sistema en forma matricial: 
 
| 1 2 -1 | | x | | 4 | 
| 2 -3 5 | x | y | = |-1 | 
| 4 -5 7 | | z | | 5 | 
 
Calculamos la inversa de la matriz de coeficientes A: 
 
A^-1 = | -5 7 -3 | 
|-1 1 1 | 
| 2 -1 1 | 
 
Luego, multiplicamos la matriz inversa A^-1 por el vector de términos 
independientes b: 
 
| x | | -5 7 -3 | | 4 | | -54 + 7(-1) -3*(5) | | -5 | 
| y | = |-1 1 1 | x |-1 | = |-1*(-5) + 14 + 1(5) | = |-13/3| 
| z | | 2 -1 1 | | 5 | | 24 -1(-1) + 1*(5) | | 7/3| 
 
Por lo tanto, la solución del sistema es x=-5, y=-13/3, z=7/3. 
 
 
 
Es importante tener en cuenta que el método de la matriz inversa solo 
se puede aplicar cuando el determinante de la matriz de coeficientes A es 
diferente de cero, ya que de lo contrario, la matriz inversa no existe. Además, 
el proceso de calcular la inversa de una matriz puede ser computacionalmente 
costoso, especialmente para matrices grandes, lo que puede hacer que este 
método sea menos eficiente que otros métodos de resolución de sistemas de 
ecuaciones simultáneas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Gauss Jordan. 
El método de Gauss-Jordan es una técnica utilizada en Investigación 
de Operaciones para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas con n 
variables, donde n es mayor que dos. Este método implica la aplicación 
repetida de dos operaciones elementales de fila en una matriz aumentada que 
contiene tanto la matriz de coeficientes del sistema como el vector de términos 
independientes. 
 
Las dos operaciones elementales de fila que se aplican en el método de 
Gauss-Jordan son las siguientes: 
 
 Multiplicación de una fila por una constante no nula. 
 Suma de una fila multiplicada por una constante a otra fila. 
 
 
 
 
El proceso del método de Gauss-Jordan se realiza de la siguiente manera: 
 Escribimos el sistema de ecuaciones en forma matricial aumentada, es 
decir, [A|b], donde A es la matriz de coeficientes, b es el vector de 
términos independientes y | es el símbolo de separación. 
 
 Aplicamos operaciones elementales de fila en la matriz aumentada para 
reducir la matriz A a una matriz diagonal y llevar a cabo la eliminación 
de Gauss. 
 
 
 Aplicamos operaciones elementales de fila en la matriz diagonal para 
obtener una matriz identidad, lo que nos lleva a la eliminación de Gauss-
Jordan. 
 
 Escribimos la solución del sistema de ecuaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por ejemplo, si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 
x + 2y - z = 4 
2x - 3y + 5z = -1 
4x - 5y + 7z = 5 
 
Podemos escribir el sistema en forma matricial aumentada: 
| 1 2 -1 | 4 | 
| 2 -3 5 |-1 | 
| 4 -5 7 | 5 | 
 
Aplicamos operaciones elementales de fila para reducir la matriz A a una 
matriz diagonal y llevar a cabo la eliminación de Gauss: 
| 1 2 -1 | 4 | 
| 0 -7 7 |-9 | 
| 0 0 2 |-2 | 
 
Luego, aplicamos operaciones elementales de fila en la matriz diagonal para 
obtener una matriz identidad y llevar a cabo la eliminación de Gauss-Jordan: 
| 1 0 0 | -5 | 
| 0 1 0 |-13/3| 
| 0 0 1 | 7/3| 
Por lo tanto, la solución del sistema es x=-5, y=-13/3, z=7/3. 
 
Es importante tener en cuenta que el método de Gauss-Jordan es más 
eficiente que el método de matriz inversa en términos de cálculo 
computacional, ya que elimina la necesidad de calcular la inversa de una 
matriz. 
 
Sin embargo, al igual que el método de matriz inversa, el método de 
Gauss-Jordan solo se puede aplicar cuando el determinante de la matriz de 
coeficientes es diferente de cero. Además, el proceso de eliminación de 
Gauss-Jordan puede llevar a errores de redondeo en el caso de matrices 
grandes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSIÓN 
 
La Investigación de Operaciones es una herramienta valiosa para la 
toma de decisiones en situaciones complejas y ambientes empresariales 
cambiantes. La aplicación de los métodos de Investigación de Operaciones 
permite la identificación de soluciones óptimas y eficientes para los problemas, 
y por lo tanto, puede aumentar la productividad, reducir costos y mejorar la 
calidad del servicio en una empresa u organización. 
 
La Investigación de Operaciones es una herramienta útil para la toma 
de decisiones empresariales. La comprensión de los conceptos y la aplicación 
adecuada de los métodos de Investigación de Operaciones pueden ayudar a 
las empresas a tomar decisiones informadas y eficientes en situaciones 
complejas y cambiantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIGLIOGRAFÍA 
https://www.gestiopolis.com/investigacion-de-operaciones-que-es-historia-y-
metodologia/ 
Autor: Julio C. 
Fecha: 21/06/2013. 
 
https://www.ingenieriaindustrialonline.com/investigacion-de-operaciones/que-
es-la-investigacion-de-operaciones/ 
Autor: Bryan S. 
Fecha: 27/01/2023 
 
http://www.incap.int/sisvan/index.php/es/acerca-de-san/conceptos/797-sin-
categoria/501-sistema-de-informacion 
Autor: Fabricio F. 
Fecha: 18/07/2019. 
 
https://www.gestiopolis.com/investigacion-de-operaciones-que-es-historia-y-metodologia/
https://www.gestiopolis.com/investigacion-de-operaciones-que-es-historia-y-metodologia/
https://www.ingenieriaindustrialonline.com/investigacion-de-operaciones/que-es-la-investigacion-de-operaciones/
https://www.ingenieriaindustrialonline.com/investigacion-de-operaciones/que-es-la-investigacion-de-operaciones/
http://www.incap.int/sisvan/index.php/es/acerca-de-san/conceptos/797-sin-categoria/501-sistema-de-informacionhttp://www.incap.int/sisvan/index.php/es/acerca-de-san/conceptos/797-sin-categoria/501-sistema-de-informacion