PARCIAL 3A

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Código: 0251 – Viernes 15/02/19 – Hora: 1:00 p.m. – Prof. José Luis Quintero 1 
Universidad Central de Venezuela – Facultad de Ingeniería – Departamento de Matemática Aplicada 
CÁLCULO I – TERCER PARCIAL (30%) 
 
1. (9 puntos). Calcule los siguientes límites. 
a. (2 puntos). 
2x 2
x 1
e e
lím
x 1→
−
−
 
Solución. 
 
2x 2 x x x y 1 y
x 2
x 1 x 1 x 1 x 1 y 0 y 0
2 2
e e (e e)(e e) (e e) (e e) e 1
lím lím lím(e e) lím 2e lím 2e lím
x 1 x 1 x 1 y y
2e .1 2e
+
→ → → → → →
− − + − − −= + = =
− − −
= =
 
b. (3 puntos). 
2
x 0
tg (x)
lím
1 cos(6x)→ −
 
Solución. 
 
2 2 2 2 2
2 2x 0 x 0 x 0 x 0
2 2 2
2 2x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
tg (x) tg (x) 36x 1 tg (x) 36x
lím lím . lím lím
1 cos(6x) 1 cos(6x) 36 1 cos(6x)36x x
1 sen (x) 36x 1 sen(x) sen(x) 36x
lím lím lím lím lím
36 1 cos(6x) 36 x x 1 cosx cos (x)
→ → → →
→ → → → →
= =
− − −
= =
− −
 
2 2
x 0 y 0
(6x)
1 36x 1 y 2 1
lím lím
36 1 cos(6x) 36 1 cos(y) 36 18→ →
= = = =
− −
 
c. (4 puntos). 
→
− −
4x 0
1 cos(1 cos(x))
lím
x
 
Solución. 
→ →
→ →
− − − − + −=
+ −
− − − −= =
+ −
 
 
4 4x 0 x 0
2 2
4 4x 0 x 0
1 cos(1 cos(x)) 1 cos(1 cos(x)) 1 cos(1 cos(x))
lím lím .
1 cos(1 cos(x))x x
1 cos (1 cos(x)) 1 1 cos (1 cos(x))
lím lím
2x (1 cos(1 cos(x)) x
→ →
→ → → →
− − − −= =
− −
− −=
 
 
2 2 2 2
4 2 2 4x 0 x 0
2y 0 y 0 x 0 x 0
1 sen (1 cos(x)) (1 cos(x)) 1 sen (1 cos(x)) (1 cos(x))
lím . lím .
2 2x (1 cos(x)) (1 cos(x)) x
1 sen(y) sen(y) (1 cos(x)) (1 cos(x)
lím . lím . lím . lím
2 y y x
= =
2
) 1 1 1 1
.1. .
2 2 2 8x
 
 
2. (2 puntos). Estudie la continuidad de 
−
=
−
4
3 x
x
f(x)
2 e
 
en =x 3 . Clasifique la discontinuidad en caso de existir. 
Solución. 
f(3) no está definida 
− − − −
+∞−→ − − +−
+ + −
−∞+→ − + −−
= = = = =
−∞−− − −
= = = =
−− − −
4 4 4
x 3 3 x 3 3 0
4 4 4
x 3 3 x 3 3 0
x 3 3 3 3
lím 0
2 e
2 e 2 e 2 e
x 3 3 3 3
lím
22 e
2 e 2 e 2 e
 
Por lo tanto 
→x 3
lím f(x) no existe. En tal sentido en =x 3 f(x) presenta una discontinuidad no 
evitable de salto finito. 
 
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3. (3 puntos). Sea 
3x
2
3
e si x 0
f(x) ax bx c si 0 x 1
x si x 1
 <
= + + ≤ ≤
 >
. 
Halle a, b y c para que f sea continua en x 0= y derivable en x 1= . 
Solución. 
Estudio de continuidad en x 0= : 3x 2
x 0 x 0
lím e lím (ax bx c) c 1
− +→ →
= + + ⇒ = 
Estudio de continuidad en x 1= : 2 3
x 1 x 1
lím (ax bx c) lím x a b c 1
− +→ →
+ + = ⇒ + + = 
Construcción de f '(x) : 
3x
2
3e si x 0
f '(x) 2ax b si 0 x 1
3x si x 1
 <

= + ≤ ≤
 >
 
Estudio de derivabilidad en x 1= : 2
x 1 x 1
lím (2ax b) lím 3x 2a b 3
− +→ →
+ = ⇒ + = 
Relaciones encontradas: c 1 , a b c 1 , 2a b 3= + + = + = 
Búsqueda de valores: a b 0 , 2a b 3 a 3 , b 3+ = + = ⇒ = = − . Por tanto a 3 , b 3 , c 1= = − = 
 
4. (2 puntos). Sea =xy 2e 3xy . Pruebe que −=
−
dy y(xy 1)
dx x(2 xy)
. 
Solución. 
+= ⇒ = ⇒ + = ⇒ + = +
⇒ − = − ⇒ − = −
− − −
⇒ = ⇒ = = =
− −−
2
xy 2 2 3 2 2 2
2
2 2 2 3 2 2 2 3
2 3 2
2 2
3y 6xyy '
e 3xy xy ln(3xy ) y xy ' 3xy 3x y y ' 3y 6xyy '
3xy
 3x y y ' 6xyy ' 3y 3xy y '(3x y 6xy) 3y 3xy
3y 3xy dy 3y (1 xy) y(1 xy) y(
 y'
dx 3xy(xy 2) x(xy 2)3x y 6xy
−
−
xy 1)
.
x(2 xy)
 
 
5. (2 puntos). Sea = + + 2f(x) ln(x 1 x ) . Calcule f ''(1) . 
Solución. 
+ +
+ + +
+
= = = ⇒ = − = −
++ + + + + +
⇒ = − = −
2x 1 x2x x
2 2 22 1 x 1 x 1 x
22 2 2 2 3
1
1 x
f '(x) f ''(x)
1 xx 1 x x 1 x 1 x (1 x )
1 2
 f ''(1)
42 2
 
 
6. (2 puntos). Sean −= = +2t 2tx(t) sen(t) , y(t) e e . Halle la función = − 2h(t) (1 x )y '' . 
Solución. 
−
− −= = − = = =
2t 2t
2t 2t dy dy / dt 2(e e )x '(t) cos(t) , y'(t) 2e 2e , y'
dx dx / dt cos(t)
 
− −+ + −
− −
= = =
+ + −=
2t 2t 2t 2t2(e e )cos(t) 2(e e )sen(t)
dyd2 2cos (t)dt dx
2
2t 2t 2t 2t
3
( )d y
y ''
dx / dt cos(t)dx
2(e e )cos(t) 2(e e )sen(t)
 
cos (t)
 
 
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En tal sentido 
− −
− −
− −
+ + −= − = −
+ + −=
= + + −
2t 2t 2t 2t
2 2
3
2t 2t 2t 2t
2t 2t 2t 2t
2(e e )cos(t) 2(e e )sen(t)
h(t) (1 x )y ' (1 sen (t))
cos (t)
2(e e )cos(t) 2(e e )sen(t)
 
cos(t)
 2(e e ) 2(e e )tg(t)