GUIA DE EJERCICIOS (TEMA 5)

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(1) correo electrónico: quintero-jl@hotmail.com página web: www.joseluisquintero.com 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA 
 
 
 
 
Departamento de Matemática Aplicada – Cálculo I (0251) 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
Aplicaciones de la derivada 
 
José Luis Quintero (1) 
 
 
1. Compruebe los siguientes resultados aplicando la 
regla de L’Hospital: 
1.1. 
x 0
2x
lím 2
cos(x) x 1→
= −
− −
 1.2. 
x 0
ln(x)
lím 0
csc(x)+→
= 
1.3. 
2
x
2
lím (xtg(x) sec(x)) 1π
−π→
− = − 
1.4. 
x
nx
e
lím
x→+∞
= +∞ 
1.5. x 2
2x 1
lím(1 x)tg( )π π→
− = 1.6. x
x 0
lím (sen(x)) 1
+→
= 
1.7. 
ln(x)
x
1
lím 1 1
x→+∞
 + = 
 
 
 
1.8. 
x
ln(x)
lím 0
x→+∞
= 
1.9. 2
x
lím (ln(x) x )
→+∞
− = −∞ 
 
1.10.
x
10x
10
lím
x→+∞
= +∞ 
1.11.
xx
cosh(x) x 1
lím
2e ln(x)→+∞
+ =
+
 
 
1.12.
1
x
x 0
lím xe
−
−→
= −∞ 
1.13.
3x
3x 2x
2e ln(x)
lím 2
e x→+∞
+ =
+
 1.14.
ctg(x)
x 0
lím(cos(x)) 1
→
= 
 
1.15.
2x 0
1 2 1
lím
1 cos(x) 6x→
 − = − 
 
 
1.16.
x
4
lím(1 tg(x))sec(2x) 1
π→
− = 
1.17.
1
3
x 0
(1 sen(x)) 1 1
lím
ln(1 x) 3→
+ − =
+
 
1.19.
2
4 3x 0
cosh(4x) 8x 1 8
lím
9sen(6x) 12x 36x 6x→
− − =
+ + −
 
 
1.18.
x
lím [ln(x) ln(1 x)] 0
→+∞
− + = 
1.20.
1
2x
2x
e 1 1
lím
22arctg(x )→+∞
− = −
− π
 
2. Halle la ecuación de la recta tangente y normal al 
gráfico de la función 5 3f(x) x 5= + en el punto (3,2). 
 
3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la función 
2 4y 3 x 5x x= + − + cuando x 0.= 
 
4. Calcule la ecuación de la recta normal a la curva 
2 2x y 9− = en x 7,= siendo y 0.> 
 
5. ¿En qué punto del gráfico de xy 2= la tangente es 
paralela a la recta de ecuación 8x 2y 3 0?− + + = 
 
6. Encuentre la ecuación de la tangente al gráfico de 
y 1 ln(x)= + que pasa por (0,3). 
 
7. Dar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 
de ecuación 
3
2
1 t
x(t)
t
3 1
y(t)
2t2t
+ =


 = +

 
paralelas a la recta y x 10 0.− + = 
 
8. Encuentre los puntos de la curva 3 2y x x x 1= − − + 
donde la recta tangente a la curva sea horizontal. 
 
9. Demuestre que la curva 3y 6x 5x 3= + − no tiene 
rectas tangentes de pendiente igual a 4. 
 
10. Encuentre los máximos y mínimos de la función 
3 2f(x) 2x 15x 84x 8.= − − + 
 
11. Halle los puntos de inflexión sobre el gráfico de cada 
una de las siguientes funciones: 
11.1. 
2
2
f(x)
x 3
=
+
 11.2. 4 2f(x) x 2x= − 
 
12. Sea 3 2f(x) ax bx cx d= + + + . Encuentre los valores de 
las constantes a, b, c y d para que la función f alcance 
un máximo relativo con valor 2 en x 1= − y un 
mínimo relativo con valor –1 en x 1.= 
 
13. Determine la constante a para que la función 
2 af(x) x
x
= + 
tenga un: 
• mínimo relativo en x 2= 
• mínimo relativo en x 3= 
• punto de inflexión en el punto de abscisa x 1= 
 
14. Haga un estudio completo y construya el gráfico de 
las siguientes funciones: 
14.1. 
1
xf(x) e= 14.2. 
3
2
x
f(x)
2x 8
=
−
 
14.3. 2f(x) x ln(x)= 14.4. 2 xf(x) x e−= 
14.5. 
2x
2x 1f(x) e −= 
14.6. 
1
f(x) x
x
= + 
14.7. 2/3 2f(x) x (x 7)= − 
14.8. 
5
4
x
f(x)
(x 1)
=
−
 
14.9. 
22 xf(x) x e−= 14.10. 
ln x
f(x)
x
= 
 José Luis Quintero / Cálculo I (0251) 2 
 
 
14.11. 
x
x 1f(x) (x 1)e −= − 14.12. 
xe
f(x)
1 x
=
+
 
 
15. Use diferenciales para calcular un valor aproximado 
de ln(3). 
 
16. Dé la aproximación lineal de la función f(x) sen(x)= 
en 
4
x .π= 
 
17. Dada la función 
 
 
1 cos(x)
si x 0
f(x) x
0 si x 0
− ≠= 
 =
, 
 halle su aproximación lineal para x 0= y calcule 
x 0
1 cos(x)
lím .
x→
−
 
 
18. Halle la aproximación lineal de 
1
f(x) ,
1 2x
=
+
 
alrededor de x 0.= 
 
19. Dada la función 
 
 
sen(x)
si x 0
f(x) x
1 si x 0
 ≠= 
 =
 
a. Calcule f '(0). 
b. Deduzca la aproximación lineal de f en x 0.= 
c. Deduzca el valor de 
x 0
sen(x)
lím
x→
. 
 
20. Halle la aproximación lineal de f(x) ln(x 1)= + para 
x 0.= Utilice el resultado anterior para calcular los 
límites 
x 0
ln(1 x)
lím
x→
+
 y 1/x
x 0
lím(1 x) .
→
+ 
 
21. Un papagayo vuela a 70 m de altura y a 150 m de un 
niño que en ese instante suelta la cuerda a velocidad 
de 2 m/seg. Sabiendo que el viento eleva el papagayo 
a 3 m/seg, ¿cuál es la velocidad horizontal del viento? 
 
22. Un trozo de hierro en forma de paralelepípedo 
rectángulo se dilata por el calor. La dilatación lineal 
del metal es de 0.000028 cm/Cseg de aumento de su 
temperatura. ¿A qué velocidad se dilata el cuerpo 
cuando sus medidas son: 40 cm, 50 cm y 62 cm? 
 
23. Un balón esférico se infla con gas a razón de 20 
cm3/seg. ¿A qué velocidad está creciendo su radio en 
el instante en el que el radio es de 30 cms? 
 
24. Un automóvil se desplaza por una pista en forma de 
triángulo equilátero de 5 Km de lado a 250 km/h. En 
el instante en que el automóvil está a 3 Km de uno de 
los extremos de la recta, ¿a qué velocidad cambia su 
distancia al punto de partida que está en ese instante 
en el vértice opuesto? 
 
25. Dos barcos A y B parten de un mismo punto O y 
siguen rutas que forman un ángulo de 120� . ¿Con 
qué rapidez varía la distancia entre ellos en el 
instante en que OA=8 millas y OB=6 millas?. El barco 
A navega a 20 millas/h y el B a 30 millas/h. 
 
26. Un avión A viaja hacia el norte a 100 m/h y un avión 
B viaja hacia el este a 150 m/h. Si ambos salieron al 
mismo tiempo, ¿con qué rapidez aumenta la distancia 
entre ellos cuando el primero ha recorrido 3 millas y 
el segundo 4 millas? 
 
27. Un avión vuela con una velocidad de 500 Km/h y con 
una inclinación de 45� hacia arriba. Encuentre la 
rapidez de cambio de la distancia del avión a una 
torre de control en tierra, un minuto después de que 
éste pasó directamente 3 Km arriba de ella (desprecie 
la altura de la torre). 
 
28. Una disolución se vierte a razón de 2 cm3/min en un 
filtro cónico cuyo radio de la base es de 6 cms y de 
altura 24 cm y se filtra a razón de 1 cm3 por minuto. 
¿Cuál es la velocidad de elevación del nivel del líquido 
cuando este se halla a 8 cm de altura? 
 
29. En un instante la sombra de un árbol de 20 m de alto 
es de 30 m de longitud. Si el ángulo que forma el sol 
con el suelo disminuye a razón de 15� por hora, ¿a 
qué razón aumenta la longitud de la sombra en ese 
instante? 
 
30. La arista de un cubo crece a razón de 3 cm/seg. 
Calcule con qué velocidad está cambiando el volumen 
cuando la arista mide 1 cm. 
 
31. Una escalera de 10 pies de longitud descansa en un 
muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y aleja 
de la pared a una velocidad de 1pie/seg, ¿con qué 
velocidad se desliza el extremo superior por el muro 
cuando el extremo inferior está a 6 pies de la pared? 
 
32. Una partícula se mueve sobre la órbita circular dada 
por 2 2x y 25.+ = Cuando pasa por el punto P(3,4) su 
ordenada disminuye a razón de 2 unidades por 
segundo. ¿Cómo varía su abscisa? 
 
33. De un depósito cónico está saliendo agua a razón de 
1 cm3/seg. Si el radio de la base es 4 cm y la altura 8 
cm, halle el ritmo al que está bajando el nivel del 
agua cuando está a 2 cm del borde superior. 
 
34. Una persona camina en línea recta a una velocidad de 
4 pies/seg. En el piso, a 20 pies de distancia del 
camino, hay un faro, que se mantiene dirigido hacia el 
caminante. ¿A qué velocidad gira el faro, cuando el 
sujeto se encuentra a 15 pies del punto del camino 
más cercano al faro? 
 
35. El minutero de un reloj mide 4 cm de longitud y el 
horario mide 3 cm. ¿A qué velocidad se separan sus 
extremos a las 9:00 horas? 
 
36. Halle dos números no negativos cuya sumasea 10 y 
cuyo producto sea máximo. 
 
37. Halle dos números no negativos cuya suma sea igual 
a 1 que hagan: 
a. máximo la suma de sus cuadrados. 
b. mínima dicha suma. 
 
 José Luis Quintero / Cálculo I (0251) 3 
 
 
38. La suma de un número y el triple del otro es 60. Halle 
los números si su producto ha de ser máximo. 
 
39. Determine el número que supera más a su cuadrado. 
 
40. Pruebe que el rectángulo de máxima área con 
perímetro dado P, es un cuadrado. 
 
41. Halle el área máxima para un rectángulo inscrito en 
un círculo de radio r. 
 
42. Se inscribe un rectángulo en la elipse de ecuación 
2 2x 400 y 225 1,+ = con sus lados paralelos a los 
ejes de la elipse. Halle las dimensiones del rectángulo 
de a. área máxima y b. perímetro máximo. 
 
43. Un rectángulo tiene dos vértices en el eje x, y los 
otros dos sobre la parábola de ecuación dada por 
 2y 12 x , y 0.= − ≥ ¿Cuáles son las dimensiones del 
rectángulo para que tenga área máxima?. 
 
44. Una etiqueta de un producto farmacéutico debe 
contener 50 cm cuadrados de material impreso con 4 
cm de margen arriba y abajo y 2 cm de margen a los 
lados. ¿Qué dimensiones debe tener la etiqueta para 
que gaste menos papel?. 
 
45. Se desea cortar una viga rectangular de un tronco de 
sección transversal circular de diámetro a. Si la 
resistencia de una viga es proporcional al producto de 
su anchura por el cuadrado de su altura, halle las 
dimensiones de la sección transversal que da la viga 
de mayor resistencia. 
 
46. Halle las dimensiones de un cilindro circular recto que 
se puede inscribir en una esfera de radio R para que 
su volumen sea máximo. 
 
47. Se ha de cortar una pieza de cuerda de longitud L en 
dos partes, una para formar un triángulo equilátero y 
la otra un círculo. Se pregunta cómo debería cortarse 
la cuerda de modo que haga: 
a. máxima la suma de sus áreas. 
b. mínima la suma de sus áreas. 
 
48. Un alambre de longitud dada L se quiere cortar en dos 
trozos para formar con ellos un cuadrado y un 
triángulo equilátero. Encuentre la longitud de cada 
trozo de modo que sea: 
a. mínima la suma de las dos áreas. 
b. máxima dicha suma. 
 
49. Halle las dimensiones del cilindro circular recto de 
máximo volumen que se puede inscribir en un cono 
circular recto dado, de altura a y radio b. 
 
50. ¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado 
igual a 2p, tiene mayor área?. 
 
51. En una lámina rectangular de 6 cms 8 cms× se corta 
un cuadrado en cada esquina de lado h. Se construye 
una caja sin tapa. Calcule h para que el volumen de 
dicha caja sea máximo. 
 
52. Halle el máximo volumen de un cilindro circular recto, 
que se puede inscribir en una esfera de radio r. 
 
53. Dos postes que tienen 20 y 28 pies de altura 
respectivamente, se encuentran a 30 pies de 
distancia. Se han de sujetar con cables fijados en un 
solo punto, desde el suelo a los extremos de los 
postes. ¿Dónde se han de fijar los dos cables para 
que la cantidad de cable a emplear sea mínima?. 
 
54. Pruebe que el rectángulo de mínimo perímetro con 
área dada A, es un cuadrado. 
 
55. El perímetro conjunto de un círculo y un cuadrado es 
16. Halle las dimensiones del círculo y del cuadrado 
que den un área total mínima. 
 
56. El consultorio de un médico está formado por una 
habitación rectangular con un semicírculo en cada 
extremo. Si la habitación ha de tener un perímetro de 
200 m, halle las dimensiones que harán el área de la 
región rectangular lo mayor posible. 
 
57. En una fábrica de espejos, el costo de cada espejo es 
directamente proporcional a su área. Debido a un 
descuido en el manejo de un espejo rectangular de 
lados 80 y 90, un empleado que lo maniobra lo deja 
caer y rompe una esquina en forma aproximada de 
triángulo rectángulo con dimensiones 12 10× , 
respectivamente (12 en el lado de 90). Determine el 
área máxima del espejo rectangular que se puede 
obtener con el espejo roto. 
 
58. La empresa IVA es propietaria de un edificio de 50 
apartamentos. Todos se encuentran ocupados cuando 
el alquiler mensual por apartamento es de Bs.3600. 
IVA ha observado que por cada Bs.200 de aumento 
en el alquiler se desocupan dos apartamentos. Cada 
inquilino paga Bs.240 mensuales de condominio, pero 
este pago lo debe hacer la empresa por cada 
apartamento desocupado. Calcule cuánto deberá 
cobrar IVA, por el alquiler mensual de cada 
apartamento ocupado, para obtener un beneficio 
máximo. 
 
59. Un joyero puede producir un par de pendientes a un 
costo de 3000 pesetas. Se han estado vendiendo 
estos pendientes por 5000 pesetas y, a este precio, 
los consumidores han venido comprando 4000 pares 
al mes. El joyero está estudiando el aumentar el 
precio de venta y estima que, por cada 1000 pesetas 
de aumento, venderá mensualmente 400 pares 
menos. Halle el precio de venta que produzca el 
beneficio máximo. 
 
60. En el triángulo ABC, D está en AB, CD AB,⊥ 
AD BD 4= = y CD 5.= ¿Dónde se debe tener un 
punto P en CD para que la suma PA PB PC+ + sea 
mínima?. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 José Luis Quintero / Cálculo I (0251) 4 
 
 
RESPUESTAS 
 
[21] 9
4 11
 m/seg 
[22] 30.21224 cm / Cseg 
[23] 1
180
π cm/seg 
[24]125 / 19 Km/h 
[25] 260
37
 millas/h 
[26]180 millas/h 
[27]490.015 Km/h 
[28] 1
4π cm/min 
[29] 65
12
π cm/h 
[30] 9 cm3/seg 
[31] 3
4
− pie/seg 
[32] 8/3 unidades por seg 
[33] 1
9π− cm/seg 
[34] 0.128 rad/seg 
[35] 11
150
π cm/min 
[36] 5 y 5 
[37] a. 0 y 1 b. 1 1
2 2
y 
[38] 30 y 10 
[39] 1
2
 
[40] Demostración 
[41] 22r 
[42] a. 20 2 15 2× 
 b. 32 18× 
[43] 4 8× 
[44] 9 cms 18 cms× 
[45] 32
3 3
a a× 
[46] 2
3
r R,= 2
3
h R= 
 
[47] a. No se corta el 
 alambre y se 
 hace con él un 
 círculo de r L 2 .= π 
 b. Se corta en un 
 punto que dista 
3 L
9 3
π
+ π
 unidades de 
un extremo. 
 
[48] a. 4L
4 3 3+
para el 
 cuadrado y 3 3L
4 3 3+
 
 para el triángulo. 
 b. Se utiliza todo para 
 el cuadrado. 
[49] 2 1
3 3
r b, h a= = 
[50] x y (2 2)p= = − 
[51] 7 13
3
h −= 
[52] 
34 3 r
9
V π= 
[53] 12.5 pies del poste de 
 20 pies 
[54] Demostración 
[55] 8 16
4 4
r , l+π +π= = 
[56] 100 100mts mtsπ π× 
[57] 6307.5 
[58] 4200 bolívares 
[59] 9000 pesetas 
[60] 4
3
cm de D