P_Sem2_Ses5_funciones

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Cálculo aplicado a la física 2 
REPASO DE GRÁFICA DE FUNCIONES
Semana 02 – Sesión 02 
LOGROS
✓Al finalizar la sesión de aprendizaje el
alumno analiza el comportamiento de
funciones mediante el uso de gráficas
en el plano cartesiano, permitiéndole
aplicarlo en diversas situaciones en el
campo de la ingeniería.
AGENDA
✓Funciones
RECORDANDO
Función
Una función es una operación que relaciona a cada
elemento x, de un conjunto, con un único elemento, f(x),
de otro o del mismo conjunto.
Dominio y Rango:
•El dominio, Dom(f), de una función es
el conjunto de valores para los que
está definida la función. Para que la
función quede determinada se ha de
definir su dominio.
•El rango, Ran(f), de una función es el 
conjunto de todas las imágenes.
• 4
• 5,29
• 25
RangoDominio
• 2
• 2,3
• 5
f(x) = x2
f(2) = 4
f(2,3) = 5,29
f(5) = 25
Función
- 1,0- 2,0 1,0 2,0 x
y
(1, 3)
3
𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2
2
2
Ran (f) = [0,2]
Dom (f) = [-2,2]
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Y
X
Gráfica de funciones
La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de todos los pares (x, y), donde x
pertenece a dominio de la función e y = f(x) es el valor que toma la función f en el
elemento x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Y
X
• Es una parábola
• Dom (f) = R
• Ran(f) = [0, +)
• Es una cúbica
• Dom (f) = R
• Ran(f) = R
2( )f x x=
3( )f x x=
Gráfica de funciones
•Es una hipérbola
• Dom (f) = R - {0}
• Ran(f) = R - {0}
•Dom (f) = [0, +)
•Ran(f) = [0, +)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Y
X
-1
0
1
2
3
4
5
-1 0 1 2 3 4 5
Y
X
1
( )f x
x
= ( )f x x=
Gráfica de funciones definidas en trazos
x + 1 si x  0 x - 1 si x >0
X
Y
• Dom (f) = R
• Ran (f) = R
1
-1
-1
1
f(x) = ቊ
𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 0
Gráfica de funciones definidas en trazos
- x si x  0 x si x >0
X
Y
•Dom (f) = R
•Rec (f) = [0, +)
𝑥 = ቊ
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
Gráfica de funciones
1 32-1-2 x
y
• Dom (f) = R
• Rec (f) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ....}
𝑓 𝑥 = 𝑥 =
……
−3 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 < −2
−2 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < −1
−1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 0
0 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1
1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2
… . .
Funciones obtenidas a partir de otras
Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces la función y =f(x)+a pasa
por el punto (xo, yo+a). La gráfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a
unidades hacia la arriba (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)
X
Y
X
Y
( )y f x= ( ) 2y f x= +
Funciones obtenidas a partir de otras
Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo, yo) entonces la función y =f(x+a) pasa 
por el punto (xo - a, yo). La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a 
unidades hacia la izquierda (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)
X
Y
X
Y
( )y f x= ( 2)y f x= +
Funciones obtenidas a partir de otras
Si y = f(x) pasa por (xo,yo) entonces y = af(x) pasa por (xo, ayo). Por ello para a>1 
esta transformación dilata verticalmente la gráfica, y para 0 < a < 1 la contrae 
verticalmente
X
Y
X
Y
( )y f x= 2 ( )y f x=
Funciones obtenidas a partir de otras
Conocida la gráfica de y = f(x), la gráfica de g(x) = - f(x) es simétrica
respecto al eje de abcisas, ya que los puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x))
son simétricos respecto a este eje
X
Y
X
Y
( )y f x= ( )y f x= −
Funciones obtenidas a partir de otras
Si la función y = f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces y = f(ax) pasa por el
punto (xo/a, yo). Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1
la gráfica se dilata horizontalmente
X
Y
X
Y
( )y f x= (2 )y f x=
Funciones obtenidas a partir de otras
Las gráficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son simétricas respecto al eje de
ordenadas ya que los puntos (x, f(x)) y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simétricos
respecto a este eje
X
Y
X
Y
( )y f x= ( )y f x= −
Funciones pares
f(x) = x4 - 2x2 presenta simetría respecto a la recta x = 0 (Eje Y) ya que f(-x) = f(x)
x  D. Se dice que es una función par
X
Y
x-x
x = 0
P(x, f(x))•P(-x, f(-x))•
Funciones impares
X
Y
f(x) = x3/(x2-1) presenta simetría respecto al origen de coordenadas ya que f(-x) = - f(x) x  D. Se dice
que es una función impar
x
• P(x, f(x))
-x
P(-x, f(-x))
f(-x)
f(x)
Función creciente:
Sea f una función definida sobre un intervalo y
sean x1 y x2 dos puntos de este intervalo.
Se dice que f es creciente sobre el intervalo si:
Funciones monótonas
Función decreciente:
Sea f una función definida sobre un intervalo y 
sean x1 y x2 dos puntos de este intervalo. 
Se dice que f es decreciente sobre el intervalo 
si:
x
y
X1
f (x1)
X2
f (x2)
y = f(x)
crece
cr
e
ce
x1 < x2 entonces f (x1 ) < f (x2 )
x1 < x2 entonces f (x1 ) > f (x2 )
x
y
y = f(x)
d
e
c
re
c
e
f (x1)
f (x2)
X1
X2
crece
Teorema de monotonía
Sea una función f dada por y = f (x) es
continua en [a,b] y diferenciable 
en <a,b>.
a) f’(x) > 0, para todo x[ a,b ] 
entonces f es creciente en [a,b]
b) f’(x) < 0, para todo x [ a,b]
entonces f es decreciente en [ a,b]
constante
f´(x) 0 f´(x) =0 f´(x)  0
Máximos y mínimos
http://gc.initelabs.com/recursos/files/r147r/w2585w/tip-cd_46.htm
http://gc.initelabs.com/recursos/files/r147r/w2585w/tip-cd_46.htm
Punto Crítico
Sea f definida en c. Si f´(c) = 0 o si f´ no está definida en c, se dice que c es 
un número crítico de f. 
c
f´(c)=0 Tangente horizontal
c
f´(c) no está definido
LOS EXTREMOS RELATIVOS SOLO OCURREN EN LOS NÚMEROS 
CRÍTICOS:
Criterio de la primera derivada
Sea c un punto número crítico de una función f definida en un intervalo abierto < a, b> que 
contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, entonces f (c) puede clasificarse así:
✓ Si f ´(c) cambia de signo de positivo a negativo al pasar por un punto crítico
entonces f(c) es un máximo relativo.
✓ Si f ´(c) cambia de signo de negativo a positivo al pasar por un punto crítico
entonces f(c) es un mínimo relativo.
✓ Si f ´(c) no cambia de signo al pasar por un crítico, entonces f(c) no es un
máximo o un mínimo relativo.
ca b
f´(x)  0 f´(x)  0
(-) (+)
mínimo relativo
ca b
f´(x)  0
f´(x)  0
(+) (-)
máximo relativo
ca b
f´(x)  0
f´(x)  0
(+)
(+)
Ni máximo ni mínimo
Criterio de la segunda derivada
Sea f una función tal que f ´(c) = 0 y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que 
contiene a c.
➢ Si f ´´(c)  0, entonces f (c) es un mínimo relativo
➢ Si f ´´(c)  0, entonces f (c) es un máximo relativo
➢ Si f ´´(c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la 
primera derivada
f ´(c) = 0, f ´´(c)  0
c c
f ´(c) = 0, f ´´(c)  0
máximo relativo
mínimo relativo
Ejemplo
x
y
f ´> 0
f ´< 0
f ´< 0 f ´< 0
f ´< 0
f ´> 0
f ´> 0
f ´(a) = 0
f ´(b) = 0
f ´(c) = 0
f ´(d)
f ´(q) = 0
A partir del gráfico responda:
❖ Indique los puntos críticos.
❖ Indique en que punto no 
existe derivada.
❖ Indique en que punto no 
hay extremos relativos.
❖ Indique los máximos y 
mínimos relativos
NO OLVIDAR!
Recuerda
✓Una función, es importante para
indicar la relación o
correspondencia entre dos o
más cantidades.
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I. México. 
Ed. Thomson. 
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física Universitaria 
Volumen I Undécima Edición. México. Pearson Educación. 
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. México Ed. 
Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo interamericano. 
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed. Continental.