VECTORES EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR

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DERIVADAS E INTEGRALES APLICADOS A LA CINEMÁTICA
DERIVADAS E INTEGRALES DE VECTORES
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
ACELERACIÓN NORMAL Y TANGENCIAL
MOVIMIENTO CIRCULAR
DERIVADAS E INTEGRALES DE VECTORES
Sea una función vectorial de .
=++
La derivada de se define como:
+
Ejemplo:
Si A=( . Calcule
Ejercicio:
Si A=(tan . Calcule
Integración de vectores
Sea una función vectorial de .
=++
D como:
Ejemplo
Calcular si =(3. 
Calcular
 si 3. 
Velocidad y Aceleración
Supongamos que una partícula se mueve a lo largo 
de una trayectoria C . El vector de posición en el punto
 P en el tiempo es mientras que de vector 
de posición Q en el tiempo es . 
Entonces la velocidad (velocidad instantánea) 
de la partícula P es y es un vector tangente a C en P.
Si 
Entonces 
La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se da por
Donde s es la longitud de arco a lo largo de C
Si es la velocidad de la particula entonces la aceleración de la misma en el punto P es 
Y su magnitud es
Ejemplos
1. Una partícula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramétricas son donde es el tiempo.
Hallar la velocidad y aceleración en cualquier tiempo
Hallar las magnitudes de la velocidad y aceleración en t=0
2. Una partícula que se mueve tiene una aceleración dada por 
Si la partícula está localizada en (1,-3,2) en el tiempo y se mueve con una rapidez dada por . Hallar:
La velocidad
El desplazamiento dela partícula para cualquier tiempo t>0
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo de la curva en el espacio 
r= . 
Hallar (a) La velocidad (b) La aceleración (c) La rapidez o magnitud de la velocidad y (d) La magnitud de la aceleración en t=2
Aceleración normal y tangencial
Supongamos que una partícula P con vector
 posición r=r(t) se mueve a lo largo de una 
curva C .
Consideremos un sistema rectangular que 
se mueve con la partícula y definido por el 
vector unitario tangente T, el vector normal 
unitario N y el binormal unitario B a la curva C.
Donde s es la longitud de arco desde algún 
punto inicial a P y R es el radio de curvatura de C en P. El inverso del radio de curvatura se llama curvatura y se da por k
Así la aceleración a lo largo de C se da por := 
donde
 es la aceleración tangencial
 es la aceleración centrípeta o normal
Si T es un vector tangente y unitario a una curva C en el espacio, es normal a T
Ejemplo
Dada una curva C en el espacio con vector de posición
r= . 
Hallar 
a) Un vector unitario T tangente a la curva
b) Si r es el vector de posición de la partícula que al tiempo t se mueve sobre la curva C, verificar que en este caso v=T
Ejercicio
Hallar 
La tangente unitaria
La normal N
De la curva en el espacio ; z=t
MOVIMIENTO CIRCULAR
Supongammos que la partícula P se mueve 
sobre un circulo de radio . Si es la 
longitud del arco medido a lo largo de 
desde hasta y es el correspondiente 
ángulo subentendido en el centro , 
entonces :
Longitud del arco medido a lo largo de 
Velocidad tangencial:
= donde es la velocidad angular
Aceleración tangencial:
==R donde es la aceleración angular
Aceleración normal o centripeta
Una partícula se mueve en una circunferencia de 20 cm de radio. Si su velocidad tangencial es 40 cm/seg hallar
Su velocidad angular
Su aceleración angular
Su aceleración normal