S13 s1 - TRASNFORMADA DE LAPLACE INVERSA-1

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TRANSFORMADA DE 
LAPLACE INVERSA
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante encuentra la transformada de Laplace 
inversa de funciones dadas.”
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
¿Cuál es su utilidad?
La Transformada de Laplace y su inversa tienen utilidad en la teoría de circuitos.
Transformada de 
Laplace inversa
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
1Transformada de Laplace 
inversa
Si 𝐹(𝑠) representa la transformada de Laplace de
una función 𝑓(𝑡) es decir:
ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠), 
se dice entonces 𝑓(𝑡) es la transformada inversa
de 𝐹(𝑠) y se escribe
ℒ−1 𝐹(𝑠) = 𝑓(𝑡).
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
2 Propiedades
Sean 𝑓 𝑡 , 𝑔(𝑡) funciones y 𝛼, 𝛽 números reales:
1. Linealidad.
ℒ−1 𝛼𝐹 𝑠 + 𝛽𝐺(𝑠) = 𝛼ℒ−1 𝐹(𝑠) + 𝛽ℒ−1 𝐺(𝑠) = 𝛼𝑓 𝑡 + 𝛽𝑔(𝑡)
2. Contracción.
ℒ−1
1
𝑠
𝐹
𝑠
𝛼
= 𝑓 𝛼𝑡
3. Traslación en el eje s.
ℒ−1 𝐹 𝑠 − 𝛼 = ℒ−1 𝐹(𝑠) 𝑠→𝑠−𝛼 = 𝑒
𝛼𝑡ℒ−1 𝐹(𝑠)
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
2 Propiedades
Sean 𝑓 𝑡 , 𝑔(𝑡) funciones y 𝛼, 𝛽 números reales:
4. Traslación en el eje t.
ℒ−1 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠) = ℒ−1 𝐹(𝑠) 𝑡→𝑡−𝑎 𝑢 𝑡 − 𝑎
= 𝑓(𝑡 − 𝑎) ∙ 𝑢(𝑡 − 𝑎)
ℒ−1
1
𝑠
𝑒−𝑎𝑠 = 𝑢(𝑡 − 𝑎)
ℒ−1
1
𝑠
𝑒−𝑎𝑠 = 𝑢(𝑡 − 𝑎)
ℒ−1 𝑒−𝑎𝑠ℒ 𝑓(𝑡 − 𝑎) = 𝑓 𝑡 𝑢(𝑡 − 𝑎)
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
2 Propiedades
Sean 𝑓 𝑡 , 𝑔(𝑡) funciones y 𝛼, 𝛽 números reales:
5. Derivada de la transformada.
ℒ−1
𝑑𝑛
𝑑𝑠𝑛
𝐹(𝑠) = −1 𝑛𝑡𝑛𝑓(𝑡)
6. Transformada de la integral.
ℒ−1
1
𝑠
𝐹(𝑠) = ׬
0
𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
2 Propiedades
Sean 𝑓 𝑡 , 𝑔(𝑡) funciones y 𝛼, 𝛽 números reales:
7. Integral de la transformada.
ℒ−1 𝑠׬
∞
𝐹(𝑠) 𝑑𝑠 =
𝑓(𝑡)
𝑡
ℒ−1 𝐹(𝑠) = ℒ−1
𝑑
𝑑𝑠
׬ 𝐹 𝑠 𝑑𝑠
= 𝑡 ℒ−1 ׬ 𝐹 𝑠 𝑑𝑠
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
3 Ejemplo1
Calcular la transformada de Laplace inversa de:
𝐹 𝑠 =
5
𝑠+2
+
3𝑠
𝑠2+3
−
1
𝑠3
+
−𝑠+14
𝑠2+9
Solución:
ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−1
5
𝑠 + 2
+
3𝑠
𝑠2 + 3
−
1
𝑠3
+
−𝑠 + 14
𝑠2 + 9
ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−1
5
𝑠 + 2
+ ℒ−1
3𝑠
𝑠2 + 3
− ℒ−1
1
𝑠3
+ ℒ−1
−𝑠 + 14
𝑠2 + 9
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 5ℒ−1
1
𝑠 + 2
+ 3ℒ−1
𝑠
𝑠2 + 3
− ℒ−1
1
𝑠3
+ ℒ−1
−𝑠 + 14
𝑠2 + 9
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 5𝑒−2𝑡 + 3 cos 3𝑡 −
𝑡2
2
− ℒ−1
𝑠
𝑠2 + 9
+ 14ℒ−1
1
𝑠2 + 9
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 5𝑒−2𝑡 + 3 cos 3𝑡 −
𝑡2
2
− 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 +
14
3
𝑠𝑒𝑛(3𝑡)
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
3 Ejemplo2
Calcular la transformada de Laplace inversa de:
𝐹 𝑠 =
𝑠2+𝑠+3
𝑠−1 𝑠+2 𝑠+3
Solución:
ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−1
𝑠2 + 𝑠 + 3
𝑠 − 1 𝑠 + 2 𝑠 + 3
= ℒ−1
5
12(𝑠 − 1)
−
5
3 𝑥 + 2
+
9
4(𝑥 + 3)
ℒ−1 𝐹 𝑠 =
5
12
ℒ−1
1
(𝑥 − 1)
−
5
3
ℒ−1
1
𝑥 + 2
+
9
4
ℒ−1
1
(𝑥 + 3)
ℒ−1 𝐹 𝑠 =
5
12
𝑒𝑡 −
5
3
𝑒−2𝑡 +
9
4
𝑒−3𝑡
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
3 Ejemplo3
Calcular la transformada de Laplace inversa de:
𝐹 𝑠 =
1
𝑠−4
𝑒−2𝑠
Solución:
ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−1
1
𝑠−4
𝐞−𝟐𝐬 “traslación en el eje t”
ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−1
1
𝑠 − 4 𝑡→𝑡−2
𝑢(𝑡 − 2)
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑒4𝑡 𝑡→𝑡−2𝑢(𝑡 − 2)
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑒4(𝑡−2)𝑢(𝑡 − 2)
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
3 Ejemplo4
Calcular la transformada de Laplace inversa de:
𝐹 𝑠 =
2𝑠
𝑠2+1 2
−
𝑠+3
𝑠2+4𝑠−4
Solución:
ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−1
2𝑠
𝑠2 + 1 2
− ℒ−1
𝑠 + 3
𝑠2 + 4𝑠 − 4
ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−1
𝑑
𝑑𝑠
−1
𝑠2 + 1
− ℒ−1
𝑠 + 𝟑
𝑠2 + 4𝑠 − 4
ℒ−1 𝐹 𝑠 = −1 1𝑡ℒ−1
−1
𝑠2 + 1
− ℒ−1
𝑠 + 𝟐 + 𝟏
𝑠 + 2 2 − 8
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 − ℒ−1
𝑠 + 2
𝑠 + 2 2 − 8
− ℒ−1
1
𝑠 + 2 2 − 8
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 − ℒ−1
𝑠
𝑠2 − 8 𝑡→𝑡+2
− ℒ−1
1
𝑠 + 2 2 − 8
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑒−2𝑡ℒ−1
𝑠
𝑠2 − 8
− ℒ−1
1
𝑠 + 2 2 − 8
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑒−2𝑡cosh( 8𝑡) − 𝑒−2𝑡senh( 8𝑡)
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
3 Ejemplo5
Calcular la transformada de Laplace inversa de:
𝐹 𝑠 =
1
𝑠2
+ 𝑒−𝑠
−2
𝑠
−
1
𝑠2
+ 𝑒−4𝑠
1
𝑠3
+
1
𝑠2
+
60
𝑠
Solución:
ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−1
1
𝑠2
+ 𝑒−𝑠
−2
𝑠
− 𝑒−𝑠
1
𝑠2
+ 𝑒−4𝑠
1
𝑠3
+ 𝑒−4𝑠
1
𝑠2
+ 𝑒−4𝑠
60
𝑠
ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−1
1
𝑠2
+ ℒ−1 𝑒−𝑠
−2
𝑠
−
1
𝑠2
+ ℒ−1 𝑒−4𝑠
1
𝑠3
+
1
𝑠2
+
60
𝑠
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑡 + 𝑢 𝑡 − 1 𝑓1 𝑡 − 1 + 𝑢(𝑡 − 4)𝑓2(𝑡 − 4)
Donde 𝑓1 𝑡 = ℒ
−1 −2
𝑠
−
1
𝑠2
= −2 − 𝑡 y 𝑓2 𝑡 = ℒ
−1 1
𝑠3
+
1
𝑠2
+
60
𝑠
=
𝑡2
2
+ 𝑡 + 60
Así 
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑡 + 𝑢 𝑡 − 1 −2 − (𝑡 − 1) + 𝑢 𝑡 − 4
(𝑡 − 4)2
2
+ (𝑡 − 4) + 60
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
EJERCICIO RETO
Calcular la transformada de Laplace inversa de:
𝐹 𝑠 =
1
𝑠2
−
𝑒−𝑠
𝑠(𝑠+1)
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Aplicar 
descomposición en 
fracciones parciales
2.Identificar las 
propiedades y 
reglas de la 
transformada de 
Laplace inversa.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto como 
determinar la 
transformada de 
Laplace inversa de 
una función
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
Datos/Observaciones