S02 s2 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

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ECUACIONES 
DIFERENCIALES
EXACTAS
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante identifica y resuelve ecuaciones diferenciales exactas.”
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES
EDO 
exacta
EDO no 
exacta
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES
¿Cuál es su utilidad?
Las Ecuaciones diferenciales son muy útiles en ciencias como la Física, Química, Economía, Biología y más.
✓ Aplicaciones en Análisis de poblaciones.
✓ En elementos finitos para ingeniería.
Entre otras.
¿Qué es una ecuación diferencial 
exacta?
Decimos que la ecuación diferencial
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
es exacta, si existe 𝑓(𝑥, 𝑦) de modo que
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
1CRITERIO DE EXACTITUD
La ecuación diferencial
𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
es exacta si, y solo si
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
1.2 SOLUCIÓN DE UNA ED EXACTA
1. Verificamos que la ED sea exacta, entonces existe 𝑓 𝑥, 𝑦 tal que
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁
2. Integramos esta igualdad con respecto a 𝑥(con respecto a 𝑦) y se obtiene
𝑓 𝑥, 𝑦 = ∫𝑀𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 , 𝑓 𝑥, 𝑦 = ∫ 𝑁𝑑𝑦 + ℎ 𝑥
3. Derivamos 𝑓 respecto a 𝑦 (respecto a 𝑥) y obtenemos 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁,
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 de donde podemos 
despejar 𝑔′ 𝑦 ó ℎ′ 𝑥 .
4. Integramos 𝑔′ 𝑦 ó ℎ′ 𝑥 para hallar 𝑔(𝑦)(ó ℎ(𝑥)).
Obteniéndose la regla
𝐶 = ∫𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + ∫ 𝑁 𝑥, 𝑦 − ∫
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑦
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo1. Resolver 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 + 𝑥2 + 6𝑥𝑦 𝑦′ = 0
Solución. :
3𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥2 + 6𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0
Comprobando la exactitud
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 2𝑥 + 6𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
Luego
𝐶 = න3𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 𝑑𝑥 +඲ 𝑥2 + 6𝑥𝑦 − න2𝑥 + 6𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐶 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 +න 𝑥2 + 6𝑥𝑦 − 𝑥2 + 6𝑥𝑦 𝑑𝑦
Así la solución es 𝐶 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 2. Resolver 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑥 + sin 𝑥 + cos 𝑦 𝑑𝑦 = 0; 𝑦 0 =
𝜋
2
Solución. :
2 FACTOR INTEGRANTE:
Si la ED no es exacta.
CASO 1. Si
1
𝑁
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑢 𝑥 es una función que depende exclusivamente 
de 𝑥, entonces el factor integrante es 𝜇 𝑥, 𝑦 = 𝑒∫ 𝑢 𝑥 𝑑𝑥.
CASO 2. Si -
1
𝑀
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑣 𝑦 es una función que depende 
exclusivamente de 𝑦, entonces el factor integrante es 𝜇 𝑥, 𝑦 = 𝑒∫ 𝑣(𝑦)𝑑𝑦.
NOTA: Existe un caso donde el factor integrante depende de ambas variables, pero ese tema no se 
desarrollará en esta sesión.
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 3. Resolver 1 − 𝑥2𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0
Solución. :
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= −𝑥2;
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦 − 3𝑥2
𝜇 𝑥 = 𝑒∫ 𝑢 𝑥
𝑢 𝑥 =
1
𝑁
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑢 𝑥 =
1
𝑥2(𝑦 − 𝑥)
2𝑥2 − 2𝑥𝑦 =
1
𝑥2 𝑦 − 𝑥
2𝑥 𝑥 − 𝑦 = −
2
𝑥
Así 𝜇 𝑥 = 𝑒−2 𝑙𝑛 𝑥 =
1
𝑥2
, ahora multiplicamos a la ED por el factor integrante, resultando
1 − 𝑥2𝑦
𝑥2
𝑑𝑦 + 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= −1 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝐶 = න𝑥−2 − 𝑦𝑑𝑥 +඲ 𝑦 − 𝑥 −න−1𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐶 = −
1
𝑥
− 𝑦𝑥 +
𝑦2
2
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 4. Resolver
𝑦
𝑥
𝑑𝑥 + 𝑦3 − 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑦 = 0
Solución. :
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Resolver 3𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 3𝑥2𝑦 + 6𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥3 𝑑𝑦 = 0
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Resolver 3𝑥2 + 2𝑦 sin(2𝑥) 𝑑𝑥 + 2 sin2 𝑥 + 3𝑦2 𝑑𝑦 = 0
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
3. Resolver 4𝑦𝑑𝑥 +
1
2
𝑥𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑦2𝑑𝑥
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
Resolver la ecuación 2𝑦. 𝑦′ + 𝑥2 + 𝑦2 = −2𝑥
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Saber identificar la 
exactitud de una 
ecuación 
diferencial.
2. Recordar las 
derivadas e 
integrales parciales.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia en la vida 
cotidiana de las 
ecuaciones 
diferenciales.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
Datos/Observaciones