P_sem05_ ses20_ Intervalos y Prueba de hipótesis Cociente de Varianza

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SESIÓN 20
Estadística Inferencial
SUMARIO
1. Intervalo de confianza para el cociente de varianzas
2. Prueba de Hipótesis para el cociente de varianzas
LOGRO
Al final de la sesión el alumno será capaz de utilizar adecuadamente la tabla
de la distribución de Fisher , del mismo modo podrá realizar, sin ningún
inconvenientes, una prueba de hipótesis para el cociente de varianza
poblacional.
LOGRO
Frecuentemente se desea comparar la precisión de un instrumento de 
medición con la de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la 
de otro, etc.
INTERVALO DE CONFIANZA COCIENTE VARIANZAS
La distribución F de Fisher es una distribución que depende de dos parámetros.
𝑠1
2
𝑠22
1
𝐹
1−
𝛼
2,𝑛1−1,𝑛2−1
≤
𝜎1
2
𝜎22
≤
𝑠1
2
𝑠22
𝐹
1−
𝛼
2,𝑛2−1,𝑛1−1
INTERVALO DE CONFIANZA COCIENTE VARIANZAS
Uso de la tabla: ejemplo:
𝑭 𝟎.𝟗𝟓; 𝟏𝟎; 𝟗 = 𝟑. 𝟏𝟒
Numerador
Denominador
Probabilidad 
acumulada de 
Izquierda a derecha
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#F
Enlace externo:
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝑹𝒆𝒄í𝒑𝒓𝒐𝒄𝒂:
𝑭 𝜶; 𝒏𝟏; 𝒏𝟐 =
𝟏
𝑭(𝟏−𝜶; 𝒏𝟐; 𝒏𝟏)
valores F de la distribución F de FISHER para 0.95 
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#F
INTERVALO DE CONFIANZA COCIENTE VARIANZAS
Aplicando Propiedad Recíproca
En canvas solo encontramos tabla de valores F de la distribución F de FISHER para 0.95 y 0.975
Que pasa si tenemos lo siguiente:
𝐹 0.25;10;9 =
1
𝐹 0.975;9;10
𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 𝐹
=
1
3.779
= 0.2646
𝐹 0,25;10;9 =? No tenemos una tabla de valores F para 0.25
Nota:
INTERVALO DE CONFIANZA COCIENTE VARIANZAS
En una investigación sobre el tiempo(Segundos) en que 2 tipos de insectos
son cazados por una rana se muestra en los siguientes datos:
𝑛1 = 13, ത𝑋1 = 4, 𝑆1 = 3
𝑛2 = 11, ത𝑋2 = 5, 𝑆2 = 2.75
Suponiendo que dicho tiempo de caza sigue una distribución normal,
obtener un intervalo para el cociente de varianzas al nivel de 90%
Ejercicio 1
INTERVALO DE CONFIANZA COCIENTE VARIANZAS
𝑛1 = 13, 𝑆1 = 3
𝑛2 = 11, 𝑆2 = 2.75
datos:
𝐹
1−
𝛼
2
,𝑛1−1,𝑛2−1
= 𝐹(0.95,12,10)=2.91
𝐹
1−
𝛼
2
,𝑛2−1,𝑛1−1
= 𝐹(0.95,10,12) =2.75
1 − 𝛼 = 0.9 𝛼 = 0.1
𝑠1
2
𝑠2
2
1
𝐹
1−
𝛼
2,𝑛1−1,𝑛2−1
≤
𝜎1
2
𝜎2
2
≤
𝑠1
2
𝑠2
2
𝐹
1−
𝛼
2,𝑛2−1,𝑛1−1
Fórmula:
Reemplanzando:
32
2.752
1
2.91
≤
𝜎1
2
𝜎22
≤
32
2.752
2.75
0.409 ≤
𝜎1
2
𝜎2
2
≤ 3.273
Con un nivel de confianza del 90%
el cociente de varianzas del tiempo
de caza de los insectos está
comprendido entre 0.409 y 3.273
Solución
Tabla de valores F
¿Las varianzas 
son homogéneas 
o heterogéneas?
PRUEBA DE HIPÓTESIS COCIENTE VARIANZAS
Paso 1: Planteamiento de la hipótesis
𝛼/2 𝛼/2
𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
H0:𝜎12=𝜎22
H1:𝜎12≠𝜎22
𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
𝛼
1 −
𝛼
2
𝛼
2
𝛼
𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
1 − 𝛼
H0: 𝜎1
2 ≤ 𝜎2
2
H1: 𝜎1
2 > 𝜎2
2
𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
𝒁𝟏−𝜶
𝛼
𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
H0: 𝜎1
2 ≥ 𝜎2
2
H1: 𝜎1
2 < 𝜎2
2
𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
1 − 𝛼
𝛼
Paso 2: Establecer el nivel de significancia (α). El cual puede ser: 0.01, 0.05, 0.10, etc. 
Paso 3: Estadístico de prueba:
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA COCIENTE VARIANZA
Paso 4: Región de Rechazo de H0 (RH0) y región de No Rechazo de la H0 (NRH0)
Paso 5: Decisión Estadística
 Rechazar H0 si 𝐹𝑐𝑎𝑙se encuentra en la región de rechazo.
Con los valores de la muestra hallar el valor de la estadística de prueba llamado 𝐹𝑐𝑎𝑙
 No Rechazar H0 si 𝐹𝑐𝑎𝑙 se encuentra en la región de no rechazo.
𝛼/2 𝛼/2
𝑹 𝒉𝟎𝑹𝒉𝟎 𝑵𝑹𝒉𝟎
𝛼
𝑍
1−
𝛼
2
𝑍𝛼
2
𝛼
𝑹 𝒉𝟎
1 − 𝛼
𝑵𝑹 𝒉𝟎
𝑍1−𝛼
𝛼
𝑹 𝒉𝟎 𝑵𝑹 𝒉𝟎
1 − 𝛼
𝛼
𝐹𝑐𝑎𝑙 =
𝑠1
2
𝑠22 Grado de libertad: 𝑛1 − 1, 𝑛2 − 1
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA COCIENTE VARIANZA
Raza 1 265 240 258 295 251 245 287 314 260 279
Raza 2 229 231 227 240 238 241 234 256 247 239 246
Los siguientes son los pesos en gramos de 2 cuyes de raza diferente criados en los
Galpones de una Universidad Nacional de Lima.
A un nivel de significancia 5% existe homegeneidad de varianza entre los pesos de las
razas de cuyes:
Ejercicio 1
SOLUCIÓN:
Paso 1: Planteo de Hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia:  = 0.05
Paso 3: Estadístico de prueba:
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA COCIENTE VARIANZA
𝑛1 = 10
𝑆1
2 = 564.71
𝑛2 = 12
𝑆2
2 = 74.09
Raza 1 Raza 2
𝒉𝒐: 𝝈𝟏
𝟐 = 𝝈𝟐
𝟐 (homogeneo)
𝒉𝟏: 𝝈𝟏
𝟐 ≠ 𝝈𝟐
𝟐 (heterogeneo)
𝐹𝑐𝑎𝑙 =
𝑠1
2
𝑠22
SOLUCIÓN:
Paso 4: Región crítica para α dado:
Se rechaza ℎ0 Si: 
Paso 5: Decisión con estadístico de prueba:
𝐹𝑐𝑎𝑙 =
𝑠1
2
𝑠2
2= 
564.71
74.09
= 7.62
Paso 6: Conclusiones:
A un nivel de significación del 5% no existe evidencia estadística para rechazar H0; por lo tanto, podemos 
afirmar que la varianza no ha disminuido y tenemos malas noticias para el gerente.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA COCIENTE VARIANZA
Rechazo ℎ𝑜
1
𝐹 0,975;10,9
=
1
3.96
= 0.25
𝑁𝑜 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 ℎ0
1 − 𝛼
𝐹
1−
𝛼
2 ; 𝑛1−1;𝑛2−1
= 𝐹 0,975;9;10
𝑅𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 ℎ0
𝛼
2
𝛼
2
𝑅𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 ℎ0
𝐹 𝛼
2
; 𝑛1−1,𝑛2−1
= 𝐹 0,025;9,10 =?
= 3,78
 = 0.05
7.62
EJERCICIO ADICIONAL
Resolveremos el 
siguiente ejercicio
10 minutos!!
EJERCICIO ADICIONAL
Una prominente socióloga de una importante universidad del medio oeste
estadounidense cree de que los ingresos de los graduados de la universidad tienen
una variabilidad mucho mayor que los ingresos de las personas que no cursaron la
universidad. Con el fin de probar esta teoría, envía a dos ayudantes de investigación
a Chicago a investigar los ingresos de estas dos poblaciones. El primer ayudante
toma una muestra aleatoria de 11 graduados de la universidad y encuentra que sus
ingresos tienen una desviación estándar de la muestra 𝑆1 =$17 000. El segundo
ayudante toma una muestra de 9 no graduados y obtiene una desviación estándar
en los ingresos 𝑆2=$7 500. La socióloga desea verificar su teoría al nivel de
significancia de 0.05.
CIERRE
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
1. ¿Para qué sirve el intervalo de confianza y 
la prueba de hipótesis del cociente de dos 
varianzas?
2. ¿Cuándo existe homogeneidad de
varianzas?