P_Sem03_Ses11_ Prueba de Hipótesis para la diferencia de medias

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SESIÓN 11
Estadística Inferencial
SUMARIO
1. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE
MEDIAS CON VARIANZA CONOCIDA Y DESCONOCIDA.
LOGRO
El alumno aplica los principales conceptos y cálculos 
referentes para prueba de hipótesis de diferencia de medias 
con varianza conocida y desconocida.
2. MUESTRAS PEQUEÑAS (n1 < 30, n2 < 30)
VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS: σ21, σ
2
2
POBLACIONES NORMALES
1. MUESTRAS GRANDES (n1 > 30, n2 > 30).
VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS: σ21, σ
2
2
POBLACIONES NORMALES O NO.
Usamos Z:
1. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Paso 1: Planteamiento de la hipótesis
H0: 𝜇1 = 𝜇2
H1: 𝜇1 ≠ 𝜇2
H0: 𝜇1 ≤ 𝜇2
H1: 𝜇1 > 𝜇2
H0: 𝜇1 ≥ 𝜇2
H1: 𝜇1 < 𝜇2
Paso 3: Estadístico de prueba:
Caso1: Varianza poblacional conocida (n>30)
Si la Varianza poblacional desconocida y tamaño 
de muestras grande (n ≥ 30) (TLC) 
𝑍𝐶 =
ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)ℎ𝑖𝑝
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑍𝐶 =
ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)ℎ𝑖𝑝
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
1. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Paso 2: Nivel de significancia:  = 0.05
1. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
𝑆𝑃
2 =
𝑛1 − 1 𝑆1
2 + (𝑛2 − 1)𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑇𝐶 =
ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)ℎ𝑖𝑝
𝑆𝑝2
1
𝑛1
+
1
𝑛2
caso 2: Varianza poblacional desconocida, pero iguales σ1
2 = σ2
2 (Homogéneo)
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐿𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 = 𝑛1 +𝑛2 − 2
Donde:
caso 3: Varianza poblacional desconocida pero diferentes 𝜎1
2 ≠ 𝜎2
2(Heterogéneo) 
𝑇𝐶𝑎𝑙 =
ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)ℎ𝑖𝑝
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
𝑉 =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑠12
𝑛1
2
𝑛1 − 1
+
𝑠22
𝑛2
2
𝑛2 − 1
Grado de libertad: V
1. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Paso 4: Región de Rechazo de H0 (RH0) y región de No Rechazo de la H0 (NRH0)
Paso 5: Decisión Estadística
 Rechazar H0 si Zcal o Tcal se encuentra en la región de rechazo.
Con los valores de la muestra hallar el valor de la estadística de prueba Z o T llamado Zcal o Tcal
 No Rechazar H0 si Zcal o Tcal se encuentra en la región de no rechazo.
𝛼/2 𝛼/2
𝑹 𝒉𝟎𝑹𝒉𝟎 𝑵𝑹𝒉𝟎
𝛼
𝑍
1−
𝛼
2𝑍𝛼
2
𝛼
𝑹 𝒉𝟎
1 − 𝛼
𝑵𝑹 𝒉𝟎
𝑍1−𝛼
𝛼
𝑹 𝒉𝟎
𝑵𝑹 𝒉𝟎
1 − 𝛼
𝛼
Paso 6: Conclusiones
1. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Usted produce agua embotellada de una marca determinada
y desea determinar si el consumo de agua promedio diaria en
la costa Atlántica es superior al consumo en los Llanos
Orientales.
Para ello, realiza las siguientes muestras aleatorias: 150
individuos de la costa atlántica, con un promedio muestral de
280 mililitros de agua diario, y 120 individuos de los llanos,
con un promedio muestral de 250 mililitros de agua diarios.
Suponga desviaciones poblacionales de 30 mililitros para
costa y 35 mililitros para los llanos. ¿Existe evidencia de
mayor consumo en la costa? Pruebe a un nivel de
significancia de 0.025.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
𝑋1: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎
Solución
Paso1: Plantear Hipótesis:
𝑋2: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠
𝒉𝒐: 𝝁𝟏 ≤ 𝝁𝟐
𝒉𝟏: 𝝁𝟏 > 𝝁𝟐 (mayor consumo en la costa)
𝑍𝐶 =
ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
Población
1. Costa
𝜎1 = 30
Muestra
1. Costa
𝑛1 = 150
ത𝑋1 = 280
2. Llanos
𝑛2 = 120
ത𝑋2 = 250
2. Llanos
𝜎2 = 35
Paso 2: Nivel de significancia:  = 0.025
Paso 3: Estadístico de prueba: (𝝈: conocida, n>30)
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
SOLUCIÓN:
Paso 4: Región crítica para α dado:
Si: Zcal >Ztabla se rechaza H0.
Paso 5: Decisión con estadístico de prueba
𝑍𝐶 =
ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
=
280 − 250 − (0)
302
150
+
352
120
= 7.45
A un nivel de significación del 2.5%, Existe evidencia estadística para rechazar
hipótesis nula, existe evidencia de mayor consumo en la costa.
Paso 6: Conclusiones:
𝛼1 − 𝛼
𝑍 1−𝛼 =𝑍 0,975 = 1,96
𝑅ℎ0𝑁𝑅 ℎ0
𝑍𝐶 = 7,45
𝒉𝒐: 𝝁𝟏 ≤ 𝝁𝟐
𝒉𝟏: 𝝁𝟏 > 𝝁𝟐
𝛼 = 0.025
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
En el año 2007 un tesista de Sociología realizó un muestreo a 10 hombres y 11 mujeres que
laboran en el distrito de Miraflores, encontrando un sueldo medio de s/ 540 con una deviación
estándar de 16 soles para los hombres, S/. 530 de sueldo con una desviación estándar s/15
para las mujeres. El tesista desea probar a un nivel de significancia del 1% que el sueldo medio
de los hombres es mayor que de las mujeres en más de 1 sol. Asuma que la población de
sueldos de los empleados de miraflores sigue una distribución normal.
Nota: Según el último censo nacional, se sabe que en Miraflores la variabilidad del sueldo entre
hombres y mujeres es igual.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Solución
Paso1: Plantear Hipótesis:
Paso 2: Nivel de significancia:  = 0.01
Paso 3: Estadístico de prueba: (𝝈: Desconocida, pero iguales n<30)
Población
σ1
2 = σ2
2
Muestra
1.hombres
𝑛1 = 10
ത𝑋1 = 540
𝑆1 = 16
2. Mujeres
𝑛2 = 11
ത𝑋2 = 530
𝑆2 = 15𝒉𝒐: 𝝁𝟏 ≤ 𝝁𝟐+1
𝒉𝟏: 𝝁𝟏 > 𝝁𝟐+1(sueldo hombres es mayor que de las mujeres en más de 1 sol) 
𝑋1: 𝑆𝑢𝑒𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑀𝑖𝑟𝑎𝑓𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑋2: 𝑆𝑢𝑒𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑟𝑎𝑓𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑇𝐶𝑎𝑙 =
ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝑆𝑝2(
1
𝑛1
+
1
𝑛2
)
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
SOLUCIÓN:
Paso 4: Región crítica para α dado:
Si: Tcal >Ttabla se rechaza H0.
Paso 5: Decisión con estadístico de prueba
A un nivel de significación del 2.5%, Existe evidencia estadística para
rechazar hipótesis nula, existe evidencia de mayor consumo en la costa.
Paso 6: Conclusiones:
𝑇𝐶 =
ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝑆𝑝2(
1
𝑛1
+
1
𝑛2
)
=
540 − 530 − (1)
239.68 (
1
10 +
1
11)
= 1.33
𝑆𝑝2 =
(10 − 1)162 + (11 − 1)152
10 + 11 − 2
= 239.68
𝑇 1−𝛼 ; 𝑛1+𝑛2−2
𝑇 0.99; 19 = 2.539
1 − 𝛼
𝑅ℎ0𝑁𝑅 ℎ0
𝜶=0.01
𝑇𝐶 = 1.33
 = 0.01
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente 
equivalente. El departamento de ingeniería ha obtenido los datos siguientes:
con un nivel de significación del 10%, se desea determinar si existe alguna diferencia significativa 
en el flujo de corriente promedio entre los dos diseños, donde se supone que las dos 
poblaciones son normales, pero no es posible suponer que las varianzas desconocidas 𝜎1
2 y 𝜎2
2
sean iguales.
VARIABLES Diseño A Diseño B
𝑛 15 10
ҧ𝑥 24.2 23.9
𝑆
2 10 20
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Solución
Paso1: Plantear Hipótesis:
Paso 2: Nivel de significancia:  = 0.1
Paso 3: Estadístico de prueba: (𝝈: Desconocida, pero diferente, n<30)
Población
σ1
2 ≠ σ2
2
Muestra
𝒉𝒐: 𝝁𝟏 = 𝝁𝟐
𝒉𝟏: 𝝁𝟏 ≠ 𝝁𝟐
𝑋1: 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝐴
𝑋2: 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝐵
Grado de libertad: V
𝑇𝐶𝑎𝑙 =
ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)ℎ𝑖𝑝
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
1.Diseño A
𝑛1 = 15
ത𝑋1 = 24.2
𝑠1
2 = 10
2. Diseño B
𝑛2 = 10
ത𝑋2 = 23.9
𝑠2
2 = 20
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
SOLUCIÓN:
Paso 4: Región crítica para α dado:
Si: Tcal > Ttabla o Tcal <Ttabla se rechaza H0.
Paso 5: Decisión con estadístico de prueba
A un nivel de significación del 10%, no existe suficiente evidencia estadística para
rechazar hipótesis nula, no es diferente el corriente promedio de ambos diseños
Paso 6: Conclusiones:
𝑇𝐶𝑎𝑙 =
ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)ℎ𝑖𝑝
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
=
24.2 − 23.9 − (0)
(
10
15
+
20
10
)
= 0.184 → 𝑁𝑅 ℎ0
𝑣 =
10
15
+
20
10
2
10
15
2
15 − 1
+
20
10
2
10 − 1
= 14.93 ෥= 15
𝛼 = 0.1
𝑁𝑅 ℎ0
𝛼/2=0.05
𝑅 ℎ0
𝑇(0,05; 15) ≈ −1.753
𝑅 ℎ0
𝛼/2
+1.753
Grupos de 4 Estudiantes
Vamos a los 
ejercicios propuestos 
de la separata!!
TALLER GRUPAL
TALLER GRUPAL
ES FUNDAMENTAL QUE TODOS PARTICIPEN EN LAS
DELIBERACIONES, EXPONIENDO SUS PUNTOS DEL VISTA.
EVITANDO QUE ALGÚIEN SEADJUDIQUE UN
PROTAGONISMO DESMEDIDO, O TOME UNILATERALMENTE
DECISIONES QUE AFECTAN A TODOS.
CIERRE
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
1. ¿Cuándo aplicar la distribución Z en una
prueba de hipótesis de diferencia de medias?
2. ¿Cuándo aplicar la distribución T en una
prueba de hipótesis de diferencia de medias?