P_sem02 ses05_Distribución muestral de la diferencia de dos medias

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SESIÓN 5
Estadística Inferencial
SUMARIO
1. Distribución de la diferencia de dos medias con
varianza poblacional conocida.
2. Distribución de la diferencia de dos medias con
varianza poblacional desconocida.
LOGRO
El alumno conoce los cálculos relacionados a la distribución muestral
con varianza conocida y desconocida.
1. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA
Sean ( ത𝑋11, ത𝑋12,. . , ത𝑋1𝑘) y ( ത𝑋21, ത𝑋22,. . , ത𝑋2𝑘) dos muestras aleatorias simples e independientes de tamaños
𝑛1𝑥 y 𝑛2𝑥 procedentes de 𝑁 𝜇1𝑥, 𝜎1𝑥 y 𝑁(𝜇2𝑥, 𝜎2𝑥) respectivamente. Entonces la distribución
muestral de la diferencia de medias se distribuye:
ത𝑋1− ത𝑋2~𝑁 𝜇1 − 𝜇2,
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑍𝐶 =
)ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
~𝑁(0,1)
Estandarización:
VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA
1. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA
PROBLEMA 1:
Se tiene la siguiente información de una determinada
empresa:
Salario medio hombres = 129.000 ptas., σ2=2.500
Salario medio mujeres = 128.621 ptas., σ2=3.000
Si tomamos una muestra aleatoria de 36 hombres y 49 
mujeres ¿cuál es la probabilidad de que el salario 
medio de los hombres sea al menos 400 ptas. mayor al 
de las mujeres?
1. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA
SOLUCIÓN: Población
Datos Muestra
1. hombres
𝑛1 = 36
2. Mujeres
𝑛2 = 49
1. hombres
𝜇1 = 129 000
σ1
2= 2 500
(conocido)
2. Mujeres
𝜇2 = 128 621
σ2
2= 3 000
(conocido)
𝑃 𝑍 ≥
400 − (129 000 − 128 621)
2 500
36 +
3 000
49
𝑃 ത𝑋1 − ത𝑋2 ≥ 400Piden:
Estandarización:
𝑃 𝑍 ≥ 1.84 = 1 − 𝑃(𝑍 < 1.84)
𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
𝑋1: Salario de los hombres
𝑋2: Salario de las Mujeres
La probabilidad de que el salario medio
de los hombres sea al menos 400 ptas.
mayor al de las mujeres será de 3.3%
Datos:
𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒: ത𝑋1− ത𝑋2~𝑁 𝜇1 − 𝜇2,
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
1- 0.96712=0.033
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#normal
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#normal
1. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#normal
La radiación en Lima y Arequipa siguen una distribución Normal independientes con media 0.48 rem y
0.4663 rem ademas con varianza 0.2 y 0.01 por año respectivamente. Se realizan 25 mediciones en Lima y
100 mediciones en Arequipa. Obtener La probabilidad de que la media de la muestra de radiación de
Lima sea como máximo 0.2 rem mas(mayor) que la media de la muestra de Arequipa.
Población
Datos Muestra
1. Lima
𝑛1 = 25
2. Arequipa
𝑛2 = 100
1. Lima
𝜇1 = 0.48
σ1
2= 0.2
2. Arequipa
𝜇2 = 0.4663
σ2
2= 0.01
Datos:
ൠ
𝑋1: 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐿𝑖𝑚𝑎
𝑋2: 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑎
𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
Piden: )𝑃( ത𝑋1 − ത𝑋2 ≤ 0.2
Estandarizamos
𝑃(𝑍 ≤
0.2 − (0.48 − 0.4663)
0.2
25
+
0.01
100
) )𝑃(𝑍 ≤ 2.07
= 0.9808
La diferencia de medias también sigue una distribución normal
Solución:
PROBLEMA 2:
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#normal
1. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA
SOLUCIÓN: Población
Datos Muestra
1. hombres
𝑛1 = 36
2. Mujeres
𝑛2 = 49
1. hombres
𝜇1 = 129 000
σ1
2= 2 500
(conocido)
2. Mujeres
𝜇2 = 128 621
σ2
2= 3 000
(conocido)
𝑃 𝑍 ≥
400 − (129 000 − 128 621)
2 500
36 +
3 000
49
𝑃 ത𝑋1 − ത𝑋2 ≥ 400Piden:
Estandarización:
𝑃 𝑍 ≥ 1.84 = 1 − 𝑃(𝑍 < 1.84)
𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
𝑋1: Salario de los hombres
𝑋2: Salario de las Mujeres
La probabilidad de que el salario medio
de los hombres sea al menos 400 ptas.
mayor al de las mujeres será de 3.3%
Datos:
𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒: ത𝑋1− ത𝑋2~𝑁 𝜇1 − 𝜇2,
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
1- 0.96712=0.033
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#normal
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#normal
2. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
Se sabe que:
𝑋1~𝑁 𝜇1, ? → 𝑛1
𝑋2~𝑁 𝜇2, ? → 𝑛2
caso: Las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales: 𝜎21 = 𝜎
2
2 = 𝜎
2
𝑆𝑃
2 =
ቀ𝑛1 − 1) 𝑆1
2 + (𝑛2 − 1) 𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑇 =
)ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2
𝑆𝑃
2 1
𝑛1
+
1
𝑛2
~𝑡𝒏𝟏+𝒏𝟐−𝟐
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
Tiene una distribución t student con grado de libertad: 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 −2 
VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
2. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
Se realiza una investigación sobre la calidad del aire en Av.
Abancay y Wilson. Un indicador de la calidad es el número de
partículas en suspensión por 𝑚3 de aire, que se asume siguen
distribuciones Normales independientes de media 62.037 en
Av. Abancay, 61.022 en Av. Wilson. En la primera Avenida se
realizan 12 mediciones, obteniéndose una varianza de 8.44 y
en la segunda 15 mediciones, con una varianza de 9.44.
Obtener la probabilidad de que la media muestral de Av.
Abancay sea como mínimo tres unidades mayor a la media
muestral de Av. Wilson.
PROBLEMA 3:
2. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
Población
Datos Muestra
1. Abancay
𝑛1 = 12
𝑆1
2 = 8.44
2. WIlson
𝑛2 = 15
S2
2 = 9.44
1. Abancay
𝜇1 = 62.037
2. Wilson
𝜇2 = 61.022
Datos:SOLUCIÓN: Datos:𝑋1: Partículas en suspensión abancay
𝑋2: Partículas en suspensión Wilson
𝑃( ത𝑋1 − ത𝑋2 > 3) =?
𝑃( ത𝑋1 − ത𝑋2 >3)
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
Estandarizamos
𝑃 𝑡𝒏𝟏+𝒏𝟐−𝟐 >
6−(62.037−61.022)
(9)
1
12
+
1
15
𝑃 𝑡25 > 1.708 = 1 − P(𝑡25 ≤ 1.708)
𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑡
1 − 0.95 = 0.05
Donde:
𝑆𝑃
2 =
(12 − 1)8.44 + (15 − 1)9.44
12 + 15 − 2
𝑆𝑃
2 = 9
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#t
la probabilidad de que la media muestral de Av. Abancay sea como 
mínimo tres unidades superior a la media muestral de Av. Wilson.
Interpretación:
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#t
2. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
Se sabe que:
𝑋1~𝑁 𝜇1, ? → 𝑛1
𝑋2~𝑁 𝜇2, ? → 𝑛2
b. Las varianzas poblacionales son desconocidas pero diferentes: 𝜎21 ≠ 𝜎
2
2
v =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑠1
2
𝑛1
2
𝑛1 − 1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑛2 − 1
𝑇 =
)ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
~𝑡𝑣
Tiene una distribución t student con grado de libertad: 𝒗
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
2. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
PROBLEMA 4:
Un equipo de psicólogos está investigando si existen o no
diferencias entre dos métodos de relajación para reducir la
ansiedad. Para lo cual se seleccionan dos muestras de tamaño
10 cada una, a las que se les aplico el método X e Y
respectivamente. Obteniéndose que las varianzas muéstrales
son de 3.7 y 4.2 puntos respectivamente. Suponiendo que las
puntuaciones de ansiedad de ambas poblaciones siguen
distribuciones muéstrales con medias poblacionales de 90 y
87.3 puntos respectivamente y que las varianzas poblacionales
son desconocidas pero se sabe que son diferentes. Hallar la
probabilidad de la media muestral de puntuación del método X
sea como mínimo 6 unidades mayor que el método Y.
2. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
SOLUCIÓN: Población
Datos Muestra
1. X
𝑛1 = 10
𝑆1
2= 3.7
2. Y
𝑛2 = 10
𝑆2
2= 4.2
1. X
𝜇1 = 90
2. Y
𝜇2 = 87.3
Datos:𝑋1: Puntuación del método X
𝑋2: Puntuación del método Y
𝑃( ത𝑋1 − ത𝑋2 > 6) =?
𝑃( ത𝑋1 − ത𝑋2 > 6)
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟Estandarizamos
𝑃 𝑡𝑣 >
6−(90−87.3)
3.7
10
+
4.2
10
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑
𝑣 =
3.7
10 +
4.2
10
2
3.7
10
2
9 +
4.2
10
2
9
= 17.9 = 18
𝑃 𝑡18 > 3.71 = 1 − P(𝑡18 ≤ 3.71)
𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑡 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
1 − 0.9995 = 0.0005
Interpretación:
v =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑠1
2
𝑛1
2
𝑛1 − 1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑛2 − 1
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#t
Puedes hallar la probabilidad exacta aquí:
http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#t
Grupos de 4 Estudiantes
Vamos a los 
ejercicios propuestos 
de la separata!!
TALLER GRUPAL
TALLER GRUPAL
ES FUNDAMENTAL QUE TODOS PARTICIPEN EN LAS
DELIBERACIONES, EXPONIENDO SUS PUNTOS DEL VISTA.
EVITANDO QUE ALGÚIEN SE ADJUDIQUE UN
PROTAGONISMO DESMEDIDO, O TOME UNILATERALMENTE
DECISIONES QUE AFECTAN A TODOS.
CIERRE
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
1. ¿Cuál es la distribución que consideramos para la
diferencia de dos medias muestrales con varianza
poblacional conocida o desconocida?.