SESIÓN 13

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Estadística Descriptiva y Probabilidades
SESIÓN 13
TEMARIO
1. Distribución normal
2. Uso de la tabla estadística
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante aplica los
conceptos de variable aleatoria para calcular las e
interpretar las probabilidades asociadas una
distribución de probabilidad normal.
Distribuciones continuas
La función f(x) es una función de densidad de probabilidad
para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto
de números reales, si:
Ejemplos de distribuciones continuas:
Función de densidad continua:
Distribución 
uniforme
Distribución 
exponencial
Distribución 
normal
La distribución de probabilidad continua mas importante en
todo el campo de la estadística.
Su gráfica denominada curva normal, describe de manera
aproximada muchos fenómenos que ocurren en la
naturaleza, la industria y la investigación, como por
ejemplo:
 Las mediciones físicas en áreas como los experimentos
meteorológicos.
 Estudios de la precipitación pluvial.
Mediciones de partes fabricadas.
 Los errores en las mediciones científicas.
Distribución normal
Distribuciones continuas
Una variable aleatoria continua X que tiene la
distribución en forma de campana se denomina
variable aleatoria normal. La ecuación matemática para
la distribución de probabilidad de la variable normal
depende de los dos parámetros μ y σ, su media y su
desviación estándar, respectivamente.
Distribución normal
Distribuciones continuas
Función de densidad
La densidad de la variable aleatoria normal X, con media μ y varianza σ 2, es:
Una vez que se especifican μ y σ, la curva normal queda determinada
por completo.
Distribución normal
Distribuciones continuas
Donde:
π = 3.14159
e = 2.71828
μ1 < μ2 y σ1 = σ2
Distribución normal
Distribuciones continuas
Función de densidad
μ1 = μ2 y σ1 < σ2
Distribución normal
Distribuciones continuas
Función de densidad
μ1 < μ2 y σ1 < σ2
Distribución normal
Distribuciones continuas
Función de densidad
1. La moda, que es el punto 
sobre el eje horizontal 
donde la curva tiene su 
punto máximo, ocurre en x = 
μ.
2. La curva es simétrica 
alrededor de un eje vertical 
a través de la media μ.
3. La curva tiene sus puntos 
de inflexión en x = μ ± σ , es 
cóncava hacia abajo si μ – σ 
< X < μ + σ, y es cóncava 
hacia arriba en otro caso.
Distribución normal
Distribuciones continuas
Propiedades de la curva normal
4. La curva normal se 
aproxima al eje horizontal 
de manera asintótica, 
conforme nos alejamos de 
la media en cualquier 
dirección.
5. El área total bajo la 
curva y sobre el eje 
horizontal es igual a uno. 
Teorema: La media y la varianza de
n (x; μ, σ) son μ y σ2, respectivamente.
Por lo tanto, la desviación estándar es
σ.
Distribución normal
Distribuciones continuas
Propiedades de la curva normal
Distribución de probabilidad normal:
La curva de cualquier distribución continua de probabilidad o función de densidad se construye de manera que
el área bajo la curva limitada por las dos ordenadas x = x1 y x = x2 sea igual a la probabilidad de que la variable
aleatoria X tome un valor entre x = x1 y x = x2. En consecuencia:
Distribución normal
Distribuciones continuas
Distribución de probabilidad normal:
P(x1 < X < x2) = Área de la región sombreada
El área bajo la curva entre cualesquiera dos ordenadas también debe
depender de los valores μ y σ.
Distribución normal
Distribuciones continuas
Distribución normal
Distribuciones continuas
Distribución normal estándar:
Es la distribución de una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1.
En este caso, podemos transformar o estandarizar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria
normal X en un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z con media 0 y varianza
1. Para ello utiliza la siguiente fórmula de transformación:
Siempre que X tome un valor x, el valor
correspondiente de Z es dado por z = (x –
μ)/σ. Por lo tanto, si X cae entre los valores
x = x1 y x = x2, la variable aleatoria Z caerá
entre los valores correspondientes: z1 = (x1
– μ)/σ y z2 = (x2 – μ)/σ.
A, B: distribuciones normales
x1, x2: variables aleatorias normales
Distribución normal
Distribuciones continuas
Distribución normal estándar:
Tabla de distribución normal estándar
Ejemplo: Calcular P(Z<0.23)
Solución:
1. Separación de decimales:
0.23 = 0.2 + 0.03
2. Ubicar el valor de 0.2 en la primera
columna (1) de la tabla.
3. Ubicar el valor de 0.03 en la quinta
columna (5) de la tabla.
1 5
4. El valor correspondiente al cruce de
fila con valor de 0.2 y la columna con
valor de 0.03 es el valor de P(Z<0.23).
P(Z<0.23) = 0.59095
0.23
Caso: Resistencias eléctricas
Cierta maquina fabrica resistencias eléctricas que tienen una resistencia
media de 40 ohms y una desviación estándar de 2 ohms. Si se supone que
la resistencia sigue una distribución normal y que se puede medir con
cualquier grado de precisión, ¿Qué porcentaje de resistencias tendrán una
resistencia que exceda 43 ohms?
Distribución normal
Distribuciones continuas
Caso: Resistencias eléctricas
Solución:
1. Definimos la variable aleatoria:
X: medida de la resistencia eléctrica en ohms.
2. Estandarizando el valor de la variable a Z:
P (X > 43) = P (Z > 1.5) = 1−P (Z < 1.5) = 1−0.9332 = 0.0668
Interpretación: El 6.68% de las resistencias tendrán una
resistencia que exceda 43 ohms.
Distribución normal
Distribuciones continuas
En un proceso industrial el diámetro de un cojinete de bolas
es una medida importante. El comprador establece que las
especificaciones en el diámetro sean 3.0 ± 0.01 cm. Esto
implica que no se aceptara ninguna parte que no cumpla
estas especificaciones. Se sabe que en el proceso el diámetro
de un cojinete tiene una distribución normal con media μ =
3.0 y una desviación estándar σ = 0.005. En promedio,
¿Cuántos de los cojinetes fabricados se descartaran?
Caso: Cojinete de bolas
Distribución normal
Distribuciones continuas
Solución:
1. Definimos la variable aleatoria:
X: diámetro de un cojinete de bolas
2. Estandarizando los valores de los limites especificados: 
x1 = 2.99 y x2 = 3.01
P (2.99 < X < 3.01) = P (−2.0 < Z < 2.0).
A partir de la tabla de valores Z, P(Z < –2.0) = 0.0228. Debido a la simetría de la distribución normal,
encontramos que:
P (Z <−2.0) +P (Z > 2.0) = 2(0.0228) = 0.0456.
Caso: Cojinete de bolas
Distribución normal
Distribuciones continuas
Interpretación: Se descartaran 4.56% de los cojinetes fabricados.
TRABAJO GRUPAL
SE FORMARÁN GRUPOS DE 4 ALUMNOS
ES FUNDAMENTAL QUE TODOS
PARTICIPEN EN LAS
DELIBERACIONES, EXPONIENDO
SUS PUNTOS DEL VISTA.
EVITANDO QUE ALGÚIEN SE
ADJUDIQUE UN PROTAGONISMO
DESMEDIDO, O TOME
UNILATERALMENTE DECISIONES
QUE AFECTAN A TODOS.
EJERCICIO 1
Si X es una variable aleatoria de una distribución N (µ, σ2), hallar: p (µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)
EJERCICIO 2
En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de “a”
para que: p (4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934
EJERCICIO 3
En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una
distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días
del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
EJERCICIO 4
La media de los diámetros interiores de una muestra de 200 arandelas producidas
por una máquina es 0.502 pulgadas y la desviación típica 0.005 pulgadas. El propósito
para el que se destinan estas arandelas permite una tolerancia máxima en el
diámetro de 0.496 a 0.508 pulgadas, de otro modo, las arandelas se consideran
defectuosas. Determinar el número de arandelas defectuosas producido por la
máquina, suponiendo que los diámetros se distribuyen normalmente.
EJERCICIO 5
El tiempo de duración de baterías de Litio para Laptops (en meses) que produce una
Compañía Americana se distribuye en forma normal. Si el 15% de estas baterías
duran menos de 10 meses y el 8% duran al menos 13 meses. Calcular la media y la
varianza de la duraciónde las baterías.
¿Qué hemos aprendido?
CIERRE
1. ¿Qué distribuciones de probabilidad
de variable aleatoria continua
conoces?
2. ¿Para qué se utiliza la tabla
estadística de distribución normal
estándar?
CIERRE