cuadernillo 3 año

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MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
1 
 
MATEMÁTICA 2017 
3º AÑO 
 
 
 
 
ESCUELA ARGUMEDO 4-065. 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
2 
EJE Nº1: EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS 
(EAE)- POLINOMIOS- CASOS DE FACTOREO 
 
 
Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es una combinación cualquiera y finita de números, 
de letras o de números y letras, ligados entre sí por la adición, la multiplicación, el 
cociente, la potencia y la raíz. 
 
�)	2� + 3�												)	5�� + 6� − �� 										�)	�� + √3�										�)	�
���
�� 										�)	√2�� − ���	 
 
�)	���� + 17���� − 0,18�����																 ) −
��	� − 4�"	
��	# 													ℎ)	2��% + 3���%� − 0,5��%��	 
 
En las EXPRESIONES ALGEBRAICAS, los números se llaman COEFICIENTES y las 
letras, VARIABLES o INDETERMINADAS. 
 
1. POLINOMIO 
 
Se llama POLINOMIO o EXPRESIÓN ALGEBRAICA ENTERA a la EXPRESIÓN 
ALGEBRAICA en la que la VARIABLE no figura como divisor ni como radicando. 
 
• ¿Cuáles de los ejemplos anteriores son POLINOMIOS? 
• ¿Cuáles NO son POLINOMIOS? ¿Por qué? 
 
1.2 Elementos de un POLINOMIO 
 
� GRADO de un POLINOMIO 
 Se denomina GRADO de un POLINOMIO al MAYOR EXPONENTE que tiene la 
VARIABLE de los términos con coeficiente distintos de cero. 
 
 &'�) = 5�� + 4�# − �� 				↠ *+,-.+/-+	01&23	5. 
 
 5'�) = 0�� + 3 − � − 6�� 	↠ *+,-.+/-+	01&23	3. 
 
 6'�) = � + 12,46	 ↠ *+,-.+/-+	01&23	1. 
 
 2'�) = − �� 		↠ *+,-.+/-+	01&23	0. 
 
� COEFICIENTE PRINCIPAL de un POLINOMIO 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
3 
El COEFICIENTE PRINCIPAL de un POLINOMIO es el COEFICIENTE que 
acompaña a la variable que da el grado. 
 
 &'�) = 5�� + 4�# − �� 				↠ *+,-.+/-+	01&23	5; 		68: 4. 
 
 5'�) = 0�� + 3 − � − 6�� 	↠ *+,-.+/-+	01&23	3; 68:−6 
 
 6'�) = � + 12,46	 ↠ *+,-.+/-+	01&23	1; 68: 1 
 
 2'�) = − �� 		↠ *+,-.+/-+	01&23	0; 68:− ��. 
� TÉRMINO INDEPENDIENTE de un POLINOMIO 
Es el término del POLINOMIO cuya variable tiene exponente 0. 
 
 &'�) = 5�� + 4�# − �� 				↠ *+,-.+/-+	01&23	5; 		68: 4; :;:− �� 
 
 5'�) = 0�� + 3 − � − 6�� 	↠ *+,-.+/-+	01&23	3; 68:−6;:;: 3. 
 
 6'�) = � + 12,46	 ↠ *+,-.+/-+	01&23	1; 68: 1; :;: 12,46. 
 
 2'�) = − �� 		↠ *+,-.+/-+	01&23	0; 68:− �� ; :;:− ��. 
 
� TÉRMINOS SEMEJANTES 
Son los términos de un POLINOMIO que tienen la misma variable elevada al 
mismo exponente. 
 
4x2; 7,5x2; -5x2; son términos semejantes. 
 
1.3 Valor de un POLINOMIO 
Es el valor que tiene el POLINOMIO cuando a la variable la reemplazamos por un 
número. 
 
 8'�) 	= 	7�	 + 	6�2	– 	�=		
>-	ℎ���/+?	�	 = 	3		⇒			8'3) 	= 	7. 3	 + 	6. 32	 − 	35	
 8'3) = 	21	 + 	6. 9	– 	243 
 8'3) 	= 	21	 + 	54	– 	243	
																																														8'3) 	= 	75	– 	243	⇒	A'B) 	= 	−	CDE		
	
1.4 Clasificación de un POLINOMIO 
 
� Según la cantidad de términos 
 
⇝ MONOMIO: si el POLINOMIO tiene UN término. − �F�� 
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4 
 
⇝ BINOMIO: si el POLINOMIO tiene DOS términos. 4 + ��� 
 
⇝ TRINOMIO: si el POLINOMIO tiene TRES términos. 7� + 6�� − �# 
 
⇝ CUATRINOMIO: si el POLINOMIO tiene CUATRO términos. 6�" − �� + GF �� −1 
 
⇝ Si el POLINOMIO tiene MÁS de CUATRO términos se lo nombra: 
POLINOMIO de n-términos. 
 
 
� Ordenado 
Un POLINOMIO está ordenado si sus términos están ordenados en 
forma creciente o decreciente según el exponente de la variable. 
 
&'�) = 7� + 6�� − �#	 Está ordenado en forma CRECIENTE. 
 
5'�) = 	6�" − �� + GF�� − 1 Está ordenado en forma DECRECIENTE. 
 
6'�) = 8�� + 4� − 2�� + 3�� − 5 NO está ordenado. 
 
 
� Completo 
Un POLINOMIO está completo si tiene todas las potencias 
decrecientes del grado. 
 
2'�) = 6�� − 5�� + �� − 3� − 1 Está COMPLETO. 
 
H'�) = �� − �� �� − 3 Está INCOMPLETO. 
 
Para completar un POLINOMIO se agregan los términos que faltan con 
coeficientes 0. 
 
I'�) =	�# + 3�� − 1 = �# + 0�� + 3�� + 0�� + 0� − 1 
 
0'�) = −3�� + 7�� = −3�� + 0�� + 7�� + 0� + 0 
 
J'�) = �" − 3 = �" + 0�# + 0�� + 0�� + 0�� + 0� − 3 
 
 
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TRABAJO PRÁCTICO N°1: POLINOMIOS 
I- Completé el acróstico. 
 
1 P 
2 O 
3 L 
4 I 
5 N 
6 O 
7 M 
8 I 
9 O 
 
 
1- Polinomio que NO tiene todas las potencias del grado. 
2- Polinomio de un término. 
3- Polinomio con coeficientes cero. 
4- Término cuya variable tiene exponente cero. 
5- Polinomio con términos ordenados respecto del exponente de la variable. 
6- Polinomio de tres términos. 
7- Términos que tiene la misma variable elevada al mismo exponente. 
8- Coeficiente que multiplica a la variable que da el grado. 
9- Mayor exponente de la variable de un polinomio con coeficiente NO nulo. 
II- Completá la tabla. 
POLINOMIO GRADO CP TI CLASIF ORDENAR � VALOR 
para x=2 
K'�) = 7 + �� − 3�� 
L'�) = 5�� − 2�# − 5� + �� 
8'�) = −�� + �� 
M'�) = �F − 1 
 
III- Escribí un polinomio que tenga las características indicadas en cada caso. 
 1'�): �N�OP-.+/-+	 P��+	5. 
 >'�):/+.+/-+	 P��+3. 
 :'�): OP-.+/-+	 P��+4; :;:−3 
 Q'�): 	-.+/-+	 P��+	2; 68: �� 
 
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IV- a) Ordená cada polinomio en forma creciente. 
 b) Completá cada polinomio. 
 R'�) = � − �# + 3�� − 1 
 S'�) = 4�� + �	 
 T'�) = 5 + �� 
 
V- Hallá los valores de los polinomios anteriores para los valores indicados de x en 
cada caso. 
R'−1) = 																														S'0) = 																														T'2) = 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 2: POLINOMIOS-CONCEPTO-ANÁLISIS 
1- Clasificá cada POLINOMIO según el número de términos; analizá el grado, el 
coeficiente principal y el término independiente. 
&'�) = 6 + �� + 3� − �� 
 
5'�) = 7�� − 2�# + 4 
 
6'�) = 0�� − � + 5�� 
 
2- Marcá con una X las expresiones que son POLINOMIOS. 
�)	16� + ��� 										)	√��� − 9 �)	U��V�� 
�)	√3	�� − 5	 �)	�� �� + 5� − 2 �)	��W − �# 
 
 
3- Indicá el grado de cada POLINOMIO. 
 
-)	3�� − 2� − ��																					--)	�� − 2F. �#																	---) − �� + 6 + 0�#											-X)	� + 3#	 
 
 
 
4- Escribí un POLINOMIO que cumpla con cada una de las condiciones dadas. 
a) Binomio grado 2: c) Monomio grado 5: 
 
b) Trinomio grado 3: d) Cuatrinomio grado 7: 
5- Analizá cada POLINOMIO. Completá aquellos que estén incompletos. 
 
2'�) = �� − 1																																																		H'�) = 2�# 
 
I'�) = 3�� − 5� + 9																																					0'�) = 10�� − � 
 
GRADO: GRADO: GRADO: GRADO: 
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7 
J'�) = �# + 5� − 6�� + �																											;'�) = −54 �" − 0�� 
 
6- Ordená en forma DECRECIENTE y completá cada POLINOMIO. 
 
 -)	5�� − 1 = 																																																														--) − 27�� + �� + 2 = 
 
---) − 2 + 2�� − � = 																																																-X)	� − 3�� + �# − 1 = 
 
_______________________________________________________________ 
TRABAJO PRÁCTICO Nº3: EAE-POLINOMIOS 
 
1- De las siguientes EAE, seleccioná las que son POLINOMIOS y justificá. 
 
�)	3�� + ��� ⟶ 
 
	)	√3	�� + 12 	⟶ 
 
�)	5�
� + 2�
3 	⟶ 
 
�)	Z�F 	⟶ 
 
2- *Analizá cada POLINOMIO. 
 *Ordená cada uno en forma DECRECIENTE. 
 *Completá los incompletos. 
 
� K'�) = −3� + ���� − 3�� 
� L'�) = 4�� + 0�� − 2 
� 8'�) = 6 + �� − �� 
 
3- Calculá el valor de cada polinomio anterior para x=-2. 
 
 
ADICIÓN DE POLINOMIOS 
Entre MONOMIOS 
 Para sumar MONOMIOS éstos deben ser semejantes, o sea, que tengan la 
misma variable elevada al mismo exponente. 
�)	2�� + �� + 6�� = 9��																																																						)	6�# + 12�# + �# = 
�)	� + � + � + � + � + � = 																																																	�)	23 �� +
7
3 �� + 3�� + �� = 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 20178 
 
Para restar dos MONOMIOS, se suma al primero el opuesto del segundo. 
8'�) = 6�� 	∧ 		M'�) = −3�� 	⇒ 8'�) − M'�) = 6��—'−3��) 
 
 8'�) − M'�) = 6�� + 3�� 
 
 8'�) − M'�) = 9�� 
 
 Reducir un POLINOMIO es sumar o restar sus términos semejantes. 
 
�)	2� + 3�� + � − �� = 2�� + 3� 
 
	)	�# − 13�� + �� + �� − 6�� = 
 
Entre POLINOMIOS 
 Para sumar varios polinomios entre sí, se suman los términos semejantes, 
comenzando por los que dan el grado y se continúa en forma decreciente. 
 
�)	2��+?	,+?	*+,-.+/-+?									8'�) = −3 + 2�� − 5�� + �� 
 M'�) = −9�� + �� + � − 1 
 Calculá: 
 8'�) + M'�) = −3 + 2�� − 5�� + �� + '−9�� + �� + � − 1) 
 = −3+ 2�� − 5�� + �� − 9�� + �� + � − 1 
 8'�) + M'�) = �� − 14�� + 3�� + � − 4 
 
	)	2��+?	,+?	*+,-.+/-+?						1'�) = �� − � + 1	 
 :'�) = −� + 2 − 5�� 
 Calculá:		1'�) + :'�) = 
 
Para restar dos polinomios, al primero se le suma el opuesto del segundo, o sea, 
al segundo se le cambian todos los signos de cada término. 
�)	2��+?	,+?	*+,-.+/-+?									8'�) = −3 + 2�� − 5�� + �� 
 M'�) = −9�� + �� + � − 1 
 Calculá: 
 8'�) − M'�) = −3 + 2�� − 5�� + �� − '−9�� + �� + � − 1) 
 = −3+ 2�� − 5�� + �� + 9�� − �� − � + 1 
 8'�) + M'�) = �� + 4�� + �� − � − 2 
 
	)	2��+?	,+?	*+,-.+/-+?						1'�) = �� − � + 1	 
 :'�) = −� + 2 − 5�� 
Calculá: 1'�) − :'�) = 
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_________________________________________________________ 
TRABAJO PRÁCTICO Nº4 : ADICIÓN ENTRE POLINOMIOS 
1- Realizá las adiciones. 
 �) − 3� + � − 5� + � = 																																						)	���� + ���� − �� = 
 
 �)	5�# + 4�# = 																																																					�)	4/� − 3/� + 5/� = 
 
 		�)	3.� − 7.� + 3.� = 																																								�)2.� − .� + 5.� = 
 
 )	4�� + 5�� − 2� − � = 																																		ℎ)	6�� − �� �� + 2�� − �� = 
 
-) − 4�# + �� − 0�� + �� �# = 																										^)40� − �� + 5� + 6�� − �� = 
2- Hallá el polinomio resultado; analizálo. 
a) '2�� − � + 1) + '5�� − 2� + 3) = 
 
 b) '−�� + 5�� − 1) − '5�� + 3) = 
 
c) '−3�� − 1) + '−�� + 4�� + 1) = 
 
d) '4�� + 6� + 3) − '5�� + 4� − 3) = 
 
e) '2�# − 4��) + '+3�� + �� − 2) = 
 
i) '�� − 5��) − '2�� + 5��) = 
3- Escribí como POLINOMIO el PERÍMETRO de cada figura. 
 a 
A) 
 
 
 
 
 c b 
 
B) m n 
 
 
 
 
 
 R p 
 
�� = 2�� − 3� + 4 
�	 = �� − 5� + 2 
�	�	OP-á. N,+	-?ó?��,�? 
�� =a �	 
 A 
/. = �� + 5� − 5 
.* = 2�� − 10� + 3 
P* = 32�� +
15
2 � −
15
2 /.*P	OP�*��-+	-?�,�? 
/P =a .* 
 
 
 
 B 
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10 
 
4- Calculá el PERÍMETRO de cada figura para los siguientes valores de x. 
 
 8b'0) = 																								 8c'1) = 																					 8b'3) = 																		 				8c'2) = 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 
 
Entre MONOMIOS 
 Para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes y las variables entre 
sí. Se aplican las reglas de signos y las propiedades de las potencias. 
�)	'3�)'2�) = 3.2. �. � = 6. ��																					)	'10��)'−5��) = 10. '−5). ��. �� = −50�F 
�)	'−4�)'��) = 																																													�)	'−6�#) d12 ��ed−
1
4��e =	 
Realizá las siguientes multiplicaciones entre monomios: 
 a)	'2.)'−3.�) = 
b) '2�)'−��) = 
c)	'−4��)'−3��) = 
d) '−/�)'8/) = 
e) −5/�	'−8/�) = 
Entre MONOMIO y POLINOMIO 
 Para multiplicar MONOMIO por POLINOMIO, se aplica la PROPIEDAD 
DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA ADICIÓN. 
�) − Bd�� + 2�� + 16 � − 4e = −B. �� − B. 2�� − B.
1
6 � − B. '−4) 
 = −3�� − 6�� − ��� + 12 
	)	fgh d�# − 5�� + 54� − 3e = fgh. �# + fgh. '−5��) + fgh.
5
4 � + fgh. '−3) 
 = 4�F − 20�� + 5�� − 12�� 
�)	d25 �� + 4�� − 5� + 7e ihgBj =
2
5 ��. hgB + 4��. hgB − 5�. hgB + 7. hgB 
gk. gl = gkVl 
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 = �# �" + 8�# − 10�� + 14�� 
Realizá las siguientes multiplicaciones entre POLINOMIO-MONOMIO. 
 
1)	4��'2� + 4 − 3��) = 
 
2)	'−2�)'�� − � + 1) = 
 
3)	d�# − 14�� + �� −
1
2 �� + � −
1
4e '−5��) = 
Entre POLINOMIOS 
 Para efectuar la multiplicación entre POLINOMIOS se aplica 
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO DE LA 
ADICIÓN realizando, luego, la multiplicación entre MONOMIOS en cada término. Si 
existen términos semejantes, se suman o restan según la operación indicada. 
� 'g − B)'�� + �) = g'�� + �) − B'�� + �) 
 = 		g. �� + g. � − B. �� − B. � 
 = �� + gh − Bgh − 3� 
 = �� − hgh − 3� 
 
� ihgh − =g + hj'3�� − �) = hgh'3�� − �) − =g'3�� − �) + h'3�� − �) 
 = 	hgh3�� + hgh'−�) − =g3�� − =g'−�) +
h. 3�� + h'−�) 
 = 6�� − hgB − C=gB + =gh + Dgh − 2� 
 = 6�� − CmgB + CCgh − 2� 
 
Realizá las siguientes multiplicaciones entre POLINOMIOS. 
 
&)	'2�� + 5�� − � − 1)'� + 1) = 
 
5)	'�� − �� + 5)'�� + 3� − 2) = 
 
 
Producto de una suma por una diferencia de términos iguales 
 
 'n + o)'n − o) = nh − oh 
 
 
 
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12 
El producto de una suma por una resta de términos iguales es igual a la resta entre los 
cuadrados de los términos respectivos. 
 
 
Resolvé sin aplicar PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. 
☯ '� + 4)'� − 4) = 
☯ '�� + 5�)'�� − 5�) = 
☯ p2�# + �# ��qp2�# − �# ��q = 
☯ p− ���� + 7�qp− �� �� − 7�q = 
 
CÁLCULOS COMBINADOS 
 
Estos cálculos combinados entre polinomios se resuelven aplicando los mismos 
procedimientos y propiedades de cálculos numéricos. 
� '5�� + 6� + 2)'�� + 1) + 2�� − � + 6 = 
 
= =gh. gh + Dg. gh + h. gh + =gh. C + Dg. C + h. C + 2�� − � + 6 = 
 
= 5�� + 6�� + 2�� + 5�� + 6� + 2 + 2�� − � + 6 = 
 
= 5�� + 8�� + 7�� + 5� + 8 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº5: MULTIPLICACIÓN ENTRE 
POLINOMIOS 
 
1- *Resolvé cada multiplicación 
 *Analizá el polinomio resultado 
 
 1)	4��'2� + 4 − 3��) = 																																															2)	'−2�)'�� − � + 1) = 
 
 3)	p�# − �� �� + �� − ���� + � − ��q '−5��) = 								4)	'� − 3)'�� + �) = 
 
5)	'2�� − 5� + 2)'3�� − �) = 																																			6)	'2�� + 5�� − � − 1)'� + 1) = 
 
2- Resolvé sin aplicar PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. 
&)					'� + 4)'� − 4) = 																																																											5)	'�� + 5�)'�� − 5�) = 
 
6)	d2�# + 15��e d2�# −
1
5��e = 																																							2)	d−
1
2�� + 7�ed−
1
2�� − 7�e = 
 
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13 
3- Separá en términos y resolvé. Analizá cada polinomio resultado 
a. '2�� − 3)'5� + 1) − '−6�� + 2�� + 7) = 
b. '−6�� + 2�� + 7)	r5� + 1 − '2�� − 3)s = 
c. '5� − �� + �)'2� − 1) + '� − ��)3� + 7�� − 1 = 
d. �� − 5�� − '2� − ��)'3�� − 4�) = 
e. 2'�� − 1) − 3'�� + 2� + 1) − 2'�� + 1) = 
f. 	�� '�� + 2� − 1) + 5'� + 1) − 3'�� − �) = 
g. 	2�'�� − 3� + 2) + �� − �� = 
h. 	�'5�� + 3) + 6�'�� − 1) = 
i. 	3'�� − 2) + 6�'�� + �) = 
j. 	8�'�� − � + 1) + 2��'� − 2) = 
k. 	'� − 2)'� + 2) + �� − 2� + 1 − 2�'� − 3) = 
l. 	'� − 1)'� − 1) + 2��'�� − 3) − 5'−�� + 1) = 
m. 	5��'�� + 2� − 1) − 2'−� + 3) − '3�� + �� + 2�) = 
n. 	'2�� + 3� + 1)'�� − 4�) + 3�'5� + 1) = 
 
 
 
COCIENTES ENTRE POLINOMIOS 
 
Entre MONOMIOS 
 Para dividir dos MONOMIOS, se dividen los coeficientes y las variables entre 
sí, aplicando regla de signos y propiedades de potencias. 
 
�)	'4��): '2�)= '4: 2)'��: �) = 2�� 
 
	)	��: '8��) = '1: 8)'��: ��) = 18 � 
 
�) − 6�#: '3��) = '−6: 3)'�#: ��) = −2�� 
 
�)	'−10�t): '−2��) = r'−10): '−2)s'�t: ��) = 5�# 
 
Resolvé los siguientes cocientes entre MONOMIOS. 
 
�)	'−10��): '5�) = 																																						ℎ)	d54 �Fe : d
1
2 ��e = 
 
�)	d14 �#e : d−
3
2��e = 																																		-)	3��. 5��: 4�� = 
 
gk: gl = gk�l 
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14 
 )	'−10�F): '−4��) = 																																	^) 	5�
#. '−10��)
3��. 4� = 
 
 
Entre POLINOMIO y MONOMIO 
 Para dividir POLINOMIO por un MONOMIO, se aplica PROPIEDAD 
DISTRIBUTIVA (de izquierda a derecha) 
 
�)	'24�# − 16�� + 12�� − 4�): '−4�) =																														 
 
= 24�#: '−4�) − 16��: '−4�) + 12��: '−4�) − 4�: '−4�) = 
 
= r24: '−4)s'�#: �) − r16: '−4)s'��: �) + r12: '−4)s'��: �)— r4: '−4)s'�: �) = 
 
= −6�� + 4�� − 3� + 1�W = 
 
= −6�� + 4�� − 3� + 1 
 
	)	d2�" + 5�# + �� + 12 �� + 6�e : d
C
hge = 
 
= 2�": dCh ge + 5�#: d
C
hge + ��: d
C
hge +
1
2��: d
C
hge + 6�: d
C
hge = 
 
= u2: 12v '�": �) + u5:
1
2v '�#: �) + u1:
1
2v '��: �) + u
1
2 :
1
2v '��: �) + u6:
1
2v '�: �) = 
 
= 4�# + 10�� + 2�� + 1� + 12�W = 
 
= 4�# + 10�� + 2�� + � + 12 
 
Hallá los cocientes entre POLINOMIO-MONOMIO. 
 
�)	'6�� − 12�� + 3�): '−3�) = 
 
�)	p�#�# − ���� + ���� − 2��q : p�� �q = 
 
�)	d−6�� + 32�� − 2��e : d−
1
3��e = 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
15 
�)	p− �� �" + �# − 2�� + 5��q : '−3��) = 
 
REGLA DE RUFFINI 
 
 La REGLA DE RUFFINI es un método que se aplica para dividir un 
POLINOMIO por un BINOMIO de la forma � ± �. 
 
 Dados los POLINOMIOS: 8'�) = 5�� − � + 2�� − 5 y M'�) = � + 2, hallá 8'�): M'�) 
aplicando la REGLA DE RUFFINI. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS CON REGLA DE 
RUFFINI 
 
1. Obtené el POLINOMIO COCIENTE y el POLINOMIO RESTO, aplicando 
REGLA de RUFFINI. 
 
�)	'�� − � + 2): '� − 2) = 																																) d−3�� + 14�� + 1e : '� + 1) = 
 
�)	'4 − 3� + 5��): '� − 3) = 																											�)	'2�� + 3� − 1): '� − 2) = 
 
El polinomio dividendo debe estar completo y 
ordenado. 
6'�) = 2�� + 1� − 3															1'�) = 1 
 DIVIDENDO DIVISOR 
 
 		2�� + 5�� − � − 5 � + 2 
 
 
 2								5						 − 1				 − 5 
 + + + 
 
-2 -4 -2 6 
 2 1 -3 1 
 
 
 
 COCIENTE RESTO 
Se escriben alineados los coeficientes del 
dividendo. 
El coeficiente principal se “baja” sin 
modificación; luego se lo “multiplica” por 
el opuesto del término independiente del 
DIVISOR; se “suma” con el segundo 
coeficiente; así se continúa hasta llegar al 
resto. 
Los números que se obtienen son los 
coeficientes del POLINOMIO COCIENTE y el 
último es el POLINOMIO RESTO. 
El POLINOMIO COCIENTE es un grado menor que el POLINOMIO DIVIDENDO. 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
16 
�)	'3�� − 2�� − 2): '� + 1) = 																									�)	'−24� − �� + 5): '� + 3) = 
 
 )'−�# + 12�� − 15�� − 16): '� + 4) = 
 
 
________________________________________________________________ 
 
 
TEOREMA DEL RESTO 
 
 El RESTO que resulta de dividir un POLINOMIO por un BINOMIO de la forma 
'� ± �), es el valor que resulta de reemplazar la variable por el valor opuesto al 
término independiente del MONOMIO. Permite determinar si el cociente está 
correctamente hallado y si la división es exacta. 
 
&)	2��+?	,+?	*+,-.+/-+?:													8'�) = 5�� − � + 2�� − 5				�					M'�) = � + h, �,	1H>:3	��	,�	 
 �-X-?-ó.	8'�): M'�)	?�	+	O-�.�	��	,�	?- N-�.O�	/�.�P�: 
 
 	8'�) = 5�� − � + 2�� − 5 
 
 *�P�	g = −h	 ⟹ y'g) = 8'�h) = 5'−h)� − '−h) + 2'−h)� − 5 
 
 1'�) = 8'��) = 5.4 + 2 + 2. '−8) − 5 
 
 1'�) = 8'��) = 20 + 2 − 16 − 5 
 
 1'�) = 8'��) = 1	 ⟹ Hz	1H>:3	2Hz	636;HL:H	H>	1 
 
 
5)	2��+?	,+?	*+,-.+/-+?:	&'�) = �� − 2� − 3	�	5'�) = � − B, �,	P�?O+	��	,�	�-X-?-ó.	�.OP� 
 &'�)	�	5'�)	�?: 
 
 &'�) = �� − 2� − 3 
 
*�P�	g = +B⟹	 		1'�) =	&'B) = B� − 2. B − 3 
 
 		1'�) =	&'B) = 9 − 6 − 3 
 
 
		1'�) =	&'B) = 0	 ⟹ Hz	1H>:3	2Hz	636;HL:H	H>	0; {|}|~|ól	������. 
 
�|	��	y����	{��		���|�l��	�l���	�'g)	�	�'g)	�~	�, |l{|�n	���	�'g)	�~	{|}|~|o��	���	�'g).	 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
17 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº7: TEOREMA DEL RESTO 
 
 
1- Calculá el resto de cada uno de los siguientes cocientes. 
 
6)	'5�� − 3� + 4): '� − 3)																													2)	'12�� − 5�� + 2� − 5): '� − 2) 
 
H)	'5�� − 2� + 4): '� + 3)																													I)	'2�� − 4�� − 3): '� − 1) 
 
0)	d32 �� + 4�� + 3e : '� + 2) 
 
2- Determiná cuál o cuáles de las siguientes divisiones son EXACTAS. 
 
;)	'�# + 32): '� + 2)																		;;)'4�� + 5� − �): '� + 2)															;;;)'16 − ��): '� + 2) 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº8: INTEGRADOR DE COCIENTES ENTRE 
POLINOMIOS. 
 
 
1- Realizá los cocientes entre monomios. 
 
�)	'8�#): '2��) = 																																																						)	d23 ��e : d−
1
3�e = 
 
�)	d−15��We : d
3
4 ��e = 																																											�)	'−6�t): d−
1
2�Fe = 
 
 
2- Resolvé los cálculos. Analizá los Polinomios resultado. 
 
�)	d2�� + 12 �� − 3�e : '2�) = 
 
	)	'6�� + �� − 3�): '−�) = 
 
�)	d−9�# + 15��e : '3��) = 
 
�)	d−32��.
4
5 ��e : d−
10
3 ��e = 
 
�)	r'3� + 5)'3� − 5)s: '−5) = 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
18 
 
 
3- Resolvé las divisiones con Regla de Ruffini. Calculá el Resto. 
 
-)	'−�� + 2�� + � − 3): '� + 1) = 
 
--)	'16�� − 2�� − 3� − 2): '� + 3) = 
 
---)	'�# + 32): '� + 2) =	 
 
-X)	d13 �� − 2�� + 3e : '� + 1) = 
 
X)	'9�� − 6� − 5): '� − 1) = 
 
X-)	d14 �� − 3� + 1e : '� + 3) =	 
 
X--)	d�� + 4�� − � + 13e : d� −
1
3e = 
 
X---)	d− 23�� −
1
2 �� + 1e : '� + 2) = 
 
4- ¿Cuál de las siguientes divisiones son exactas? 
 
1)	'16 − ��): '� + 2) = 																																																						2)	'�t + �t): '� + �) = 
 
3)	'27 − ��): '� + 3) = 																																																						4)	'�# + 243): '� + 3) = 
 
 
5- Calculá el valor de k para que las divisiones sean exactas. 
 
�)	'5�� − ��� − 4� − 96): '� − 3) = 
 
 
	)	'12�� − ��� + 2� − 168): '� + 2) = 
 
�)	d35 �# − ��� −
17
5 e : '� + 1) =	 
 
�)	'�� − �� − 28	): '� + 4) = 
 
�)	r2�� − '� + 5)�� + '� − 1)�� + 7� − 12s: '� − 4) = 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
19 
 
6- Sean 8'�) y M'�	) dos polinomios cuya división está representada por las siguientes 
tablas (medinte el método de Ruffini). Hallá 8'�) y M'�). 
 
A- B- 
 
 
 
 2 -1 
 
 4 -3 2 5 1 -1 1 0 
 
 
C- D- 
 
 
 
 3 -5 
 1 -4 21 -105 
 2 1 -3 0 
 
 
CÁLCULOS COMBINADOS 
 
1- Dados los polinomios: 
5'�) = 5�� + 1																													2'�) = 3� + 1 
 
H'�) = � + 2																																	I'�) = �� + 2� − 3 
 
� Realizá los cálculos solicitados. 
� Calculá el valor de cada polinomio resultado para x=-2. 
 
∗ 	5'�) + 2'�) − 3. H'�) = 
∗ 	2'�). H'�) +I'�) = 
 
∗ 	H'�). 5'�) − 2'�). I'�) = 
 
∗ 	5'�): H'�) − 2'�) = 
 
∗ 	 �I'�). 5'�) + 2'�)�: H'�) = 
 
2- Separá en términos y resolvé. Analizá el Polinomio resultado. Calculá el valor del 
polinomio resultadopara x=-2 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
20 
 
 �)	�'8�� + 3) − '3�� − ��): '−6�) = 
 
	)	8�'�� − � + 1) + 2��'� − 2) = 
 
�)	'�� − 2� + 1): '� − 1) − 2�'� − 2) + '� + 3)'� − 3) = 
 
�)	3'�� − 2) − '4�# − 3�� + ��): d12 ��e = 
 
�)	'� + 2)'� − 2) + 2��'�� − 3) + '�� − 1): '� − 1) = 
 
�)	5��'�� + 2� − 1) − 2'−� + 3) − '3�� + �� + 2�): '−2�) = 
 
 )	'2�� + 3� + 1). '�� − 4�) + 3�'6� + 1) = 
 
 
 
POTENCIAS DE POLINOMIOS 
 
Potencias de monomios 
 
 Para resolver la potencia de un monomio, se aplica propiedad distributiva de la 
potencia respecto de la multiplicación y la potencia de otra potencia. 
 
 
 
 
�)	'2�)� = 2�. �� = CDgf																			)	'−3��)� = '−3)�. '��)� = �gD 
 
�)	d−25 �Fe
�
= d−25e
�
. '�F)� = − ECh=	ghC 
 
�)	'4�")� = 																																															�)	d− 12��e
#
= 																												ℎ)	d−43�te
�
= 
 
�)	'−3��)� = 																																													 )	d−23�"e
�
= 																												-) 	d− 110 �Ge
�
= 
 
Cuadrado de un binomio 
Para elevar un binomio al cuadrado, no podemos distribuir el exponente cuando 
en la base hay una suma o una resta. Entonces, para resolver esa expresión podemos 
'n. o)l = nl. ol 'gl)k = gl.k 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
21 
'� + 	)� = nh + hno + oh 
aplicar propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición, hasta hallar 
una manera práctica de resolución. 
'� + 	)� = '� + 	). '� + 	) 
 
 = �. '� + 	) + 	. '� + 	) 
 
 = �. � + �. 	 + 	. � + 	. 	 
 Trinomio cuadrado perfecto 
 '� + 	)� = �� + �	 + �	 + 	� 
 
 
 
 a: 1er término 
 el cuadrado del el doble del 1er término el cuadrado del 
 b: 2° término 1er término + por el 2° término + 2° término 
 
 
�)	'� + 3)� = �� + 2. �. 3 + 3� = gh + Dg + � 
 
	)	p�� � − 5q
� = p���q
� + 2. �� �. '−5) + '−5)� 
 
 = p��q
� �� − 5� + 25 = Cfgh − =g + h= 
 
�)	d−32 � + ��e
�
= d−32�e
�
+ 2. d−32 �e . �� + '��)� 				 
 = p− ��q
� �� − 3. �. �� + �� 
 
 = �fgh − BgB + gf 
 
�)	'– � − 3)� = '−�)� + 2. '−�). '−3) + '−3)� 
 
 	= gh + Dg + � 
 
�)	'� + 4)� = 																														�)	d2� + 34e
�
= 																															 )	'�# − 1)� = 
 
ℎ)	d−13� − 3e
�
= 																						-)	'−3�� − �)� = 																											^) 	d�� − 14��e
�
= 
 
Cubo de un binomio 
 Para elevar un binomio al cubo, se procede de la misma manera que 
anteriormente. 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
22 
'� + 	)� = '� + 	). '� + 	). '� + 	) 
 
 	= 						 		'� + 	)�. '� + 	) 
 Cuadrado de un binomio 
 = '�� + 2�	 + 	�). '� + 	) 
 
 = ��. '� + 	) + 2�	. '� + 	) + 	�. '� + 	) 
 
 = ��. � + ��. 	 + 2�	. � + 2�	. 	 + 	�. � + 	�. 	 
 Cuatrinomio cubo perfecto 
 = �� + ��	 + 2��	 + 2�	� + �	� + 	� 
 
'� + 	)� = nB + Bnho + Bnoh + oB a: 1er término 
 b: 2° término 
 
 
el cubo del el cubo del 
1
er
 término 2° término 
 
 El triple del cuadrado 
 del 1er término al 
 cuadrado por el 2° término 
 
 
�)	'� + 4)� = �� + 3. ��. 4 + 3. �. 4� + 4�		 
 
 = gB + Chgh + fEg + Df 
 
	)	'2� − 3)� = '2�)� + 3. '2�)�. '−3) + 3.2�. '−3)� + '−3)� 
 
 = 2��� + 3. 2�. ��. '−3) + 3.2�. 9 + '−27) 
 
 = 8�� + 3.4. ��. '−3) + 54� − 27 
 
 = EgB − BDgh + =fg − hm 
 
�)	p−2�� + ��q
� = '−2��)� + 3. '−2��)�. ��+ 3. '−2��). p��q
� + p��q
�
 
 
 = '−2)�. '��)� + 3. '−2)�. '��)�. �� + 3. '−2��). G�+ �Ft 
 
 = −8�" + 3.4. ��. �� − �F� �� + �Ft 
 
= −EgD + CEgf − hmh gh + hmE 
 
�)	i– � − 2j� = '−�)� + 3. '−�)�. '−2) + 3. '−�). '−2)� + '−2)� 
 
 = −�� + 3. ��. '−2) + 3. '−�). 4 − 8 
El triple del 1
er
 
término por el 
cuadrado del 2° 
término. 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
23 
 
 = −gB − Dgh − Chg − E 
 
�)	'4 + �)� = 																																				�)	p5� + ��q
� = 																								 )	'�# − 1)� =	 
 
ℎ)	'– � − 2)� = 																																	-)	'−3�� − 2��)� = 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº9: CÁLCULOS COMBINADOS 
1) Separe en términos y resuelva. 
 
 
�)	'� + 1)� + 2�'� − 3) + 3 = 
	)	'2� + 3)'−��) + '� + 2)� − 12 � = �)	'2� − 1)� + 2�'� − 2) = 
�)	'�� − 2�)�: � = 
�)	'3�� + 2)�: '� − 1) = 
�)	3'2�� + �)� − 3�� − '5��)� = 
 )	3��'4�� − 3��)� = 
ℎ)	'�� − 2�� + � + 4): '� + 1) − '� + 1)� = 
-)	'� + 1)'� − 1) + '�� − 2� + 1): '� − 1) = 
^)	'� + 2)� − '� + 1)'� − 2) + '�� − 8): '� − 2) = 
�)	'� + 1)� + 2�'� − 3) + '�� − 4): '� − 2) = 
 
2) Dados los siguientes POLINOMIOS: 
 8'�) = 2� + 1				M'�) = � − 2						1'�) = � + 3							>'�) = 3� − 1 
 
 Realizá los cálculos solicitados. 
 Calculá el valor de cada resultado para x=-1. 
 
�)	8'�) + >'�)M'�) 																							)	8'�)
� − 4.M'�). 1'�) = 															�)	1'�)
� − M'�). 1'�)
5 = 
 
4)	2. M'�)
� + 1'�). >'�)
4 = 																						5)	3. M'�)� − 1'�). >'�) − 10. 8'�) = 
 
 
6)	>'�)� − 2.		8'�). M'�) − 2.M'�)� − >'�). M'�) = 
 
 
7)	M'�)
� − 1'�)� + 5.1'�). >'�)
M'�) =		 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
24 
 
8)	M'�)
� − 8.M'�). 1'�) − 2. 8'�). 1'�) − 23
−7.1'�) = 
 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es una combinación cualquiera y finita de números, 
de letras o de números y letras, ligados entre sí por la adición, la multiplicación, el 
cociente, la potencia y la raíz. 
Se llama POLINOMIO o EXPRESIÓN ALGEBRAICA ENTERA a la EXPRESIÓN 
ALGEBRAICA en la que la VARIABLE no figura como divisor ni como radicando. 
En general, un POLINOMIO es una sucesión de términos formados por números 
(coeficientes) y letras (indeterminadas). 
 
 
 
 
 
Para FACTORIZAR POLINOMIOS existen 8 casos a aplicar según sea el 
POLIOMIO. 
1- FACTOR COMÚN 
2- FACTOR COMÚN POR GRUPOS 
3- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
4- CUATRINOMIO CUBO PERFECTO 
5- DIFERENCIA DE CUADRADOS 
6- SUMA O RESTA DE DOS TÉRMINOS CON IGUAL EXPONENTE IMPAR 
7- TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO 
8- TEOREMA DE GAUSS 
 
 
 
1° CASO: FACTOR COMÚN 
 
 Para factorizar un polinomio por medio del FACTOR COMÚN, se debe recordar 
la Propiedad Distributiva de la Multiplicación con respecto a la Adición: 
 
 a (b ± c) = a b ± a c (el factor a está en los dos términos) 
 
 Para extraer el FACTOR COMÚN, se procede de manera inversa: a b ± a c = a 
(b ± c). Primero se debe reconocer el factor que se encuentra repetido en cada 
FACTORIZAR un POLINOMIO es expresarlo en forma de producto de 
POLINOMIOS PRIMOS . 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
25 
término y luego, para encontrar el polinomio factor entre paréntesis, se divide cada 
término del polinomio por el factor común. 
 El factor común puede ser la variable del polinomio elevada al menor exponente 
y/o el DCM de todos los coeficientes del mismo polinomio. 
 
Ej. 1: 8'�) = 2�� + 4� 
 
Ej. 2: M'�) = −12�" + 6�# − 15�� 
 
Ej. 3: Para NORMALIZAR un polinomio (hacer que el coeficiente principal sea 1), se 
saca factor común al coeficiente principal del polinomio. 
 
:'�) = 2�� − �t 	⟹ :'�) = 2 p�� − ��"q 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº10: 1º CASO “FACTOR COMÚN” 
 
 
1) Para practicar Factorize aplicando FACTOR COMÚN. 
 
 &'�) = 24�# + 18�� − 30��																																		J'�) = �� ��F + �W�#��# − �"G ��� 
 
 5'�) = �#�"�� − ���W �� − G�t�																																					;'�) = 16�# − 20�� + 12�� 
 
6'�;�) = 10	 + 10�																																																			�'�;�) = 25�� + 50��� 
 
2'�;�;�) = 2�/ + 2��																																													�'�) = 165 �F −
8
15 �# +
24
35��	 
 
H'�) = 18��+ 12��																																																	z'�;�) = − 445�% +
2
3 ��%� +
8
9��%� 
 
I'�) = 2�� + 5��																																																						K'�) = 36�� − 48�" − 72�� + 60�# 
 
0'�) = 	�� − 	��																																																						L'�;�;�) = 3'� + �) − '� + �)% 
 
 
 
2° CASO: FACTOR COMÚN POR GRUPOS 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
26 
Este caso se aplica a POLINOMIOS que NO tienen un factor común en todos 
sus términos. Otra de las condiciones para aplicar este caso es que la cantidad de 
términos del polinomio sea un número NO primo, mayor que tres. 
Ej. 1: 
R'�) = �# − 2�� − 3� + 6 
 
R'�) = '�# − 2��) + '−3� + 6) 
 
		gf 																− B 
 
R'�) = gf'� − 2) − B'� − 2) 
 
 
R'�) = '� − 2)igf − Bj 
 
 
 
Ej. 2: 
S'�) = 3�� + 3�� + 2� + 2 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº11: 2º CASO “FACTOR COMÚN POR GRUPOS” 
 
 
1) Para practicar Factorizá aplicando FACTOR COMÚN POR GRUPOS 
 
6'�) = �� − �� + � − 1																																								2'�) = 4�� − 2�� + 6� − 3 
 
H'�) = �" + 2�# + �� + 2�� + 2� + 4													I'�) = 2�# − �� + 6�� − 3�� + 8� − 4 
 
0'�) = �� + �� − �� − �																																							J'�) = �F + �" + �� − 5�� − 5�� − 5 
 
;'�) = 3�� + 6�� + 5� + 10																																	�'�) = 2�� − 2�� + � − 1 
 
�'�) = 1 + 2� + �� + 2��																																			z'�) = ��# + 	�� + ��� + ��� + 	� + � 
 
3° CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
 El TRINOMIO CUADRADO PERFECTO es el desarrollo del CUADRADO DE 
UN BINOMIO. 
 CUADRADO DE UN BINOMIO 
'� + �)� = �� + 2. �. � + �� 
Se forman grupos de igual cantidad de términos, de forma tal 
que en cada uno de ellos haya un factor común. 
En cada término debe aparecer el mismo polinomio entre 
paréntesis que será el nuevo factor común. 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
27 
 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
La condición primordial para aplicar este caso es identificar el trinomio y los términos 
que son cuadrados perfectos para sacarle la raíz. 
 
Ej. 1: K'�) = �� + 6� + 9 = 'g + B)� Cálculos Auxiliares 
• √�� = g 
• √9 = B 
• 2. g. B = 6� 
 
Ej. 2: L'�) = 4 − 4� + �� 
Ej. 3: 3'�) = 8� + �� + 9 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº12: 3º CASO “TRINOMIO CUADRADO 
PERFECTO” 
 
1-Factorize aplicando TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. 
 
0'�) = 4�� − 4� + 1																																									J'�) = �" + 4�� + 4 
 
;'�) = 4�� + 12� + 9																																									�'�) = 49�� − 14� + 1 
 
�'�) = 9�� − 24� + 16																																				z'�) = �� + 14 + �� 
 
K'�) = 25�� + 10� + 1																																		L'�) = 4�" + 116 +
1
2�� 
 
3'�;�) = 49���� + 4��� + 9																												8'�) = 1 −
4
3� +
4
9�� 
 
M'�) = 36�� + 24� + 4 
 
2- Escribí = ó	 ≠ en cada expresión. 
�)	�� − 2� + 1	_____'� + 1)�	 
	)	�� + 8� + 16	_____'� + 4)�	 
�)	�� − 1 + 2�	_____'� − 1)� 
3-Marcá con una cruz los Trinomio Cuadrado Perfecto. 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
28 
&'�) =	�� − 10� − 25 5'�) = 	�� + 10� − 25 
6'�) =	�� − 10� + 25 H'�) =	�� − � + 14 
2'�) =	�� + 5� + 254 
 I'�) =	�� − 8� + 4 
 
 
4° CASO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO 
 
 El CUATRINOMIO CUBO PERFECTO es el desarrollo del CUBO DE UN 
BINOMIO. 
 
 CUBO DE UN BINOMIO 
 
 '� + �)� = �� + 3��� + 3��� + �� 
 
 CUATRINOMIO CUBO PERFECTO 
 
La condición primordial para aplicar este caso es identificar el cuatrinomio y los 
términos que son cubos perfectos para sacarle la raíz. 
 
Ej. 1: �'�) = �� + 6�� + 12� + 8 Cálculos auxiliares 
										�'�) = '� + 2)� *√��¡ = � 
* √8	¡ = 2 
* 3. ��. 2 = 6�� 
* 3. �. 2� = 12� 
 
 
Ej.2: �'�) = �� − 3�� + 3� − 1 
 
Ej. 3: z'�) = �� − 8 + 8� − 4�� 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº13: 4º CASO “CUATRINOMIO CUBO 
PERFECTO” 
 
 
1- Factorize aplicando CUATRINOMIO CUBO PERFECTO 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
29 
&'�) = �� + 15�� + 75� + 125																												5'�) = �� − 12�� + 48� − 64 
 
6'�) = �� + �� + 13� +
1
27																																				2'�) =
8
125 −
12
25� +
6
5�� − �� 
 
	H'�) = �� − 3�� + 3� − 1																																						I'�) = �� − 92�� +
27
4 � −
27
8 
 
0'�) = 1 − �" − 3�� + 3��																																				J'�) = 827	� − 2	� +
9
2	 −
27
8 
 
2- Escriba = ó ≠, en cada expresión. 
 
�)	1 + 3�� − 3� − ��______'1 − �)� 
	)	�� − 27 + 9� − 27��____'� − 3)� 
�)	27 + �� + 9�� + 27�____'� + 3)� 
 
 
5° CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS 
 En este caso, se presenta un binomio cuyos términos son cuadrados perfectos; 
es de la forma xn - an con n par (2; 4; 6; etc.). 
 
Ej. 1: 8'�) = �� − 4																																																														6á,�N,+?	&N�-,-�P�? 
• √�� = g 
										8'�) = '� + 2)'� − 2) 
• √4 = ±h 
 
Ej. 2: M'�) = �� − 25 
 
Ej. 3: >'�) = �� − 81 
 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº14: 5º CASO “DIFERENCIA DE CUADRADOS” 
 
1) Factorize a través de DIFERENCIA DE CUADRADOS 
 
&'�) = �� − 49														5'�) = 1 − ��													6'�) = �� − 49121															2'�) = �� − 25 H'�) = �� − 36														I'�) = 25�� − 4								0'�) = �" − 100																J'�) = �� − 16 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
30 
 
 
 
EJE Nº2: CASOS DE FACTORIZACIÓN- 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES- 
SISTEMAS DE ECUACIONES 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es una combinación cualquiera y finita de números, 
de letras o de números y letras, ligados entre sí por la adición, la multiplicación, el 
cociente, la potencia y la raíz. 
Se llama POLINOMIO o EXPRESIÓN ALGEBRAICA ENTERA a la EXPRESIÓN 
ALGEBRAICA en la que la VARIABLE no figura como divisor ni como radicando. 
En general, un POLINOMIO es una sucesión de términos formados por números 
(coeficientes) y letras (indeterminadas). 
 
 
 
 
 
Para FACTORIZAR POLINOMIOS existen 8 casos a aplicar según sea el 
POLIOMIO. 
1- FACTOR COMÚN 
2- FACTOR COMÚN POR GRUPOS 
3- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
4- CUATRINOMIO CUBO PERFECTO 
5- DIFERENCIA DE CUADRADOS 
6- SUMA O RESTA DE DOS TÉRMINOS CON IGUAL EXPONENTE IMPAR 
7- TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO 
8- TEOREMA DE GAUSS 
 
FACTORIZAR un POLINOMIO es expresarlo en forma de producto de 
POLINOMIOS PRIMOS . 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
31 
 
 
6° CASO: SUMA O RESTA DE DOS TÉRMINOS CON IGUAL 
EXPONENTE IMPAR 
 En este caso se presentan binomios de la forma 8'�) = �¢ ± �¢ donde i es un número 
impar. El resultado es el producto de un binomio por un polinomio. 
Ej. 1: 8'�) =	�� − 27																																						6á,�N,+?	&N�-,-�P�? 
• √��¡ ( � 
8'�� ( '� 
 3�. '�
� � 3� � 9� 
• √27¡ ( 3 
 
• 8'�� ( �� 
 3� ⟹ 8'�� ( '� 
 3�. 6'��					 
 
• 8�P�	��,�N,�P	6'��	?�	�*,-��	1H0z&	2H	1QII;L; 
 
• 8'��: '� 
 3� ( 	6'�� 
 
• '�� 
 27�: '� 
 3� ( �� � 3� � 9 
 
1 0 0 -27 
 3 3 9 27 
 1 3 9 0 
 
Ej. 2: 8'�� ( �� � 27																																								6á,�N,+?	&N�-,-�P�? 
• √��¡ ( � 
8'�� ( '� � 3�. '�� 
 3� � 9� 
• √27¡ ( 3 
 
• 8'�� ( �� � 3� ⟹ 8'�� ( '� � 3�. 6'��					 
 
• 8�P�	��,�N,�P	6'��	?�	�*,-��	1H0z&	2H	1QII;L; 
Si recordamos en el Eje Nº1: 
fueron vistos los 5 primeros 
casos de factoreo, en este eje 
vamos a ver los 3 restantes. 6º 
Caso “suma y Resta de Igual 
Exponente”, 7º Caso Suma y 
Resta de Igual Exponente, 8º 
Caso Teorema de Gauss. 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
32 
 
• 8'�): '� + 3) = 	6'�) 
 
• '�� + 27): '� + 3) = �� − 3� + 9 
 
1 0 0 27 
 -3 -3 9 -27 
 1 -3 9 0 
 
Ej. 3: 8'�) = �� − 1 
 
Ej. 4:8'�) = �� + 8 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº15: 6º CASO “SUMA Y RESTA DE IGUAL 
EXPONENTE” 
 
 
1) Factorize a partir del 6° caso. 
 
&'�) = �# − 32												5'�) = �F + 1												6'�) = /� − 64									2'�) =	 1243 − �# 
 
 
7° CASO: TEOREMADE GAUSS 
 
Todo POLINOMIO 8'�), de grado n, con coeficientes enteros y término independiente 
NO NULO, admite una raíz racional £¤ 	'-PP��N�-	,�) siendo p divisor del TÉRMINO 
INDEPENDIENTE y q divisor del COEFICIENTE PRINCIPAL. 
 
 
Todo POLINOMIO 8'�), de grado n, con coeficientes enteros y término independiente 
NO NULO, tiene tantas raíces como indique el grado. 
 
8'�) = n�¥ + 	�¥�� + ��¥�� +⋯+ { = n'� − ��)'� − ��)… . '� − �¥) 
 
 
Para calcular las raíces, se realizan los siguientes pasos: 
1 Se buscan los divisores del término independiente → p 
2 Se buscan los divisores del coeficiente principal → q 
3 Se buscan las raíces dividiendo £¤ 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
33 
4 Se reemplaza cada valor de £¤ en el polinomio. 
5 Las raíces del polinomio son los valores de £¤ que hacen cero el polinomio. 
 
 
Ej. 1: 8'�) = 2�� − 3�� − 8� − 3 
 
 
1 Divisores del término independiente → p =-3 →→→→ -3; -1; 1; 3 
2 Divisores del coeficiente principal → q = 2 →→→→ -2; -1; 1; 2 
3 Se buscan las posibles raíces 
 → £¤→	 ���� ; 	���� ; 	��� ; 	��� ;	���� ;	���� ;	��� ;	��� ;	 ��� ;	 ��� ;	�� ; 	�� ;	 ��� ;	 ��� ;	�� ; 	�� 
 
 → £¤→	 �� ; 	3;	−3;	− �� ; 	�� ; 	1;	−1;	−	�� 
 
 
 
4 Reemplazamos cada raíz en el polinomio a factorizar; como el polinomio es de 
grado 3, tiene 3 raíces. 
 
� Para � = 	 �� ⟶	8p¡�q = 2p
�
�q
� − 3p��q
� − 8p��q − 3 ≠ 0, �.O+.��?	 �� 	.+	�?	P�í%. 
� Para � = 3	 ⟶	8'�) = 2. 3� − 3. 3� − 8.3 − 3 = 0, �.O+.��?	3	�?	P�í% 
� Para � = −3	 ⟶	8'��) = 2'−3)� − 3'−3)� − 8'−3) − 3	 ≠ 0, �.O+.��? −3	.+	�?	P�í% 
� Para � = 	− �� ⟶	8p�¡�q = 2p−
�
�q
� − 3p− ��q
� − 8 p− ��q − 3 ≠ 0, �.O+.��? − �� 	.+	P�í% 
� Para � = 	 �� ⟶	8p¨�q = 2p
�
�q
� − 3p��q
� − 8p��q − 3 ≠ 0, �.O+.��?	 �� 	.+	�?	P�í%. 
� Para � = 1	 ⟶	8'�) = 2. 1� − 3. 1� − 8.1 − 3 ≠ 0, �.O+.��?	1	.+	�?	P�í% 
� Para � = −1	 ⟶	8'��) = 2. '−1)� − 3. '−1)� − 8. '−1) − 3 = 0, �.O+.��? − 1	�?	P�í% 
� Para � = 	− �� ⟶	8p�¨�q = 2p−
�
�q
� − 3p− ��q
� − 8 p− ��q − 3 = 0, �.O+.��? −
�
� 		�?	P�í%. 
 
 El polinomio 8'�) = 2�� − 3�� − 8� − 3	O-�.�	3	P�í��?	�-?O-.O�?	�� = 3;	�� = 	−1;	�� =
− �� 
 
Queda factorizado de la siguiente manera: 
 
8'�) = 2�� − 3�� − 8� − 3 = 2'� − 3)'� + 1) d� + 12e 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
34 
 
Ej. 2: 8'�) = −�� + 4�� − � − 6 
 
Ej. 3: 8'�) = �� − 3� + 2 
 
7º CASO: TEOREMA DE GAUSS (restringido a funciones cuadráticas) 
 Todo polinomio P(x), de grado n, 8'�) = ��¥ + 	�¥�� + ��¥�� +⋯+ �, tiene n 
raíces: x1; x2; x3; .. xn y puede ser factorizado de la forma 
 8'�) = �'� − ��)'� − ��)'� − ��)… '� − �¥) 
Para el caso de FUNCIONES CUADRÁTICAS, en donde el polinomio debe ser de 
segundo grado, y además haber comprobado que no es cuadrado perfecto, es decir que 
NO se le puede aplicar “3º CASO”. Tiene la siguiente forma: 
 
 8'�) = ��� + 	� + � 
 
 
 
el polinomio tiene dos raíces, ��	�	�� , y queda factorizado de la forma: 
 8'�) = �'� − ��)'� − ��)			siendo a el COEFICIENTE 
PRINCIPAL 
Ej. 1: Factorizar 8'�) = �� − 2� + 1	'� = 1; 	 = −2; � = 1) 
• Calculo las raíces del polinomio usando la fórmula: 
 ��;� =	��±√�����©�� 
• Extraigo los valores de a, b y c del polinomio P(x) 
 � = 1; 	 = −2; � = 1 
• Reemplazo los valores en la fórmula anterior. 
 	��;� = �'��)±Z'��)���.�.��.� 
 ��;� = �±√���� 
Podemos decir que: 
a: coeficiente de x2 
b: coeficiente de x 
c: término independiente 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
35 
 ��;� = �±W� 
 ��;� = 1	 ⟹	�� = 1	 ∧	�� = 1 
• Reemplazo x1 y x2, y a en 						8'�) = �'� − ��)'� − ��) 
 
 8'�) = 1. '� − 1)'� − 1) 
			A'g) = 'g − C)h 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº16: 7º CASO “TEOREMA DE GAUSS restringido 
a trinomio de segundo grado”. 
 
 
1) Factorize a partir del 7° caso. 
 
a) 12)( 2 −+= xxxA b) 65)( 2 ++= xxxB c) 127)( 2 +−= xxxC 
d) 124)( 2 −+= xxxD e) 1
2
3
)( 2 −−= xxxE f) 1
4
15
)( 2 −−= xxF 
g) 232)( 2 −+= xxxG 
 
 
	
 
CASOS COMBINADOS DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 En Algunos polinomios se deben aplicar varias veces los distintos casos de 
factorización hasta llegar a expresarlo como producto de factores primos. 
 A- Si se puede sacar FACTOR COMÚN, es el primer paso a realizar; luego se 
analiza si alguno de los factores resultantes puede seguir siendo factorizado aplicando 
en orden los otros casos. 
 
8'�) = �� − 2�� + �� = ��'�� − 2� + 1) = ��'� − 1)� 
Factor común x2 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
36 
 
 
 M'�) = 8�� − 1 = 8p�� − �tq = 8p� − ��q p�� + ��� + ��q 
 
 
B- También, si no se puede aplicar factor común, se analiza si se puede aplicar 
factor común por grupos y luego, los otros casos en orden. 
 
 
:'�) = �� − 3�� − 4� + 12 = ��'� − 3) − 4'� − 3) = '� − 3)'�� − 4)									 
																																																																																																			= '� − 3)'� + 2)'� − 2) 
Ejercicio 1: Justificá cada factorización realizada en cada paso, con el caso aplicado. 
 
&'�) = −4�� + 8� − 4 
 =	−4'�� − 2� + 1) 			⟶ 		�)	 
&'�) = −4'� − 1)� b) 
 
 
5'�) = �� − 3�� − � + 3 
 = ��'� − 3) − 1'� − 3) 
 =	 '� − 3)'�� − 1) a) 
5'�) = '� − 3)'� + 1)'� − 1) b) 
 
Ej. 2: Factorizá cada polinomio. 
8�'�) = �� − ��																											8�'�) = �� + �� + 14�															8�'�) = �" −
1
16�� 
 
8�'�) = ��¡��"G 																														 											8#'�) = 6�� − 3�� − 24�� + 12� 
 
8"'�) = 3�� − 4�� + 1																									8F'�) = 20�� − 60�� + 45� 
 
8t'�) = �# − 4�� − 8�� + 32													8G'�) = �� + �� − �� − � 
 
 
 
 
Trinomio cuadrado perfecto 
Factor común 8 
Resta de igual exponente impar 
Factor común por grupos 
Diferencia de 
cuadrados 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
37 
TRABAJO PRÁCTICO Nº17: 7º CASO COMBINADOS DE 
FACTORIZACIÓN 
 
1) Factorizá cada polinomio indicando el caso aplicado. 
-) − 10�� + 8� + 4�G = 											--)	21�t + 3�# − 9�� = 																					---) 	− 2�� + 14 = 
-X)	�# − 2�� − 3� + 6 = 											X)	���� + ��� + �t �� = 																								X-)	3�� + 3�� + � + 1 = 
 
X--)	�� − �� + � − 1 = 														X---)	4�� − 2�� + 6� − 3 = 														-�)	4�� − 4� + 1 = 
 
�) − 13�� − 2�� − 4� −
8
3 = 								�-)	3�� −
27
25 = 																																		�--) − 5�� +
81
25 = 
 
�---)	−�
� + 16
7 = 																							�-X)	36�t −
1
9 = 																																				�X)	�� − 81 = 
 
�X-)	�" − 1 = 																															�X--)	�� + 3�� − 4� − 12 = 													�X---)	16�� + 1 − 8�� = 
 
�-�)	18�F + 48�� + 32� = 							��)	�� − ��	� = 																												��-)	5�# + 10 + 5� + 10�� = 
 
��--)	�# + 2�� + 8� + 4�� + 8 + 4�� = 																													��---)	�F + 18�# + 81�� = 
 
��-X)	�" + 3�# + �32 +
3
32 = 														��X)	20�� − 45 = 								��X-)	3�� − 3� − 1 + �� = 
 
��X--)	��W − 2�F − 81�" + �� + 162�� − 81 = 																		��X---)	9�� − 18�� + 9�� = 
 
��-�)	2�� + 2�� + 12�� = 																���)	�� − 4� − 4 + �� = 							���-)	9�� − 42�� + 49� = 
 
 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR – Mínimo Común Múltiplo 
Para trabajar con el docente en pizarra!!!! 
�)		8'�) = 4�#																	)	8'�) = �� + �														�)8'�;�) = �� − 	�	 						M'�) = 6�t																						M'�) = �� − 1																		M'�;�) = 3� + 3	 
 
�)	8'�;�) = �� − 	�						�)	8'�) = �� − 8														�)	8'�;�) = 4��	 − 3�	� 
 M'�;�) = �� + 	�												M'�) = �� + 2� + 4									M'�;�) = 16�� − 9	� 
 1'�) = 2� + 4 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
38 
 )8'�) = �� − 8�																											ℎ)	8'�) = 12�� − 3� 
 M'�) = 2�� − 8�																													M'�) = 6�� + 3�� + 12� + 6 
 																1'�) = 3�� + 6 
 
-)	8'�) = 25 − ��																												^)	8'�) = 4�� + 25 − 20� 
 M'�) = 25 + 10� + ��																		M'�) = 10� − 25 
 1'�) = 5 + �																																				1'�)= 4�� − 10� 
 
�)	8'�) = �� − 25																											,)	8'�) = �� − � 
 M'�) =	�� − 10� + 25																		M'�) = �� − 2� + 1 
 1'�) =	�� − 125																													1'�) = �� − ��	 
 
 
 
 EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 Se llama EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL al cociente entre dos 
polinomios P(x) y Q(x), con la condición de que el Q(x) no sea nulo. 
 Para determinar que la expresión algebraica sea válida, se debe analizar para 
qué valores de la variable el polinomio denominador se anula, para descartarlos. 
�)	 3� − �� 			∀�: � ≠ 0	 ∧ � ≠ 1																			)	
5�� − 3
3� + 1 		∀�: � ≠ −
1
3 
�)	 3� + 2�� − 4� + 4			∀�: �	 ≠ 2																						�)	
1
�� + 8	∀� 
�)	 �� − 3	∀�: �	 ≠ 3 
 
 
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 
Simplificar una expresión algebraica racional es expresarla en forma 
irreducible; para ello se deben factorizar los polinomios numerador y denominador, y 
simplificar los factores comunes. 
 
-)	 �
� + �
�� − 2�� + � = 																											--) 	
�� − 3� + 2
�� − 2�� + � − 2 = 																							---) 	
�� − 4
� − 2 = 
-X)	�
� − � − 6
�� − 3� = 																															X)	
�� − 6� + 9
�� − 9�� + 27� − 27 = 														X-)	
�� + 7� + 10
�� − 25 = 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
39 
 
X--)	 �
� − ��
�� + �� − 2� = 																								X---)	
�# − 16�
�� − 2� = 																																			-�)	
�� + 9 − 6�
�� − 9 =	 
 
�)	 12�
� − 3
−�� + 12 �
= 																																					�-)	−�
� − 14� − 49
2�� + 12� − 14 = 																		�--)	
2� − 2��
�� − 2�� + � = 
 
�---)	�
� − � − 6
2�� − 8 = 																														�-X)	
�� − 27�
2�� − 6� = 																														�X)	
6� − 3
10� − 5 = 
 
�X-)	�
� + 6� + 5
�� − � − 2 = 																													�X--)	
�� − 4
�� − 16 = 																													�X---)	
3�� + � − 10
5� − 3�� = 
 
�-�)	 �
� − 1
2�� + 2� = 																												��)	
�� + 3�� + 3� + 1
�� + 2�� − � − 1 = 							��-)	
�� + 4� + 4
�� − 4 = 
 
 
��--)	�
� + 3� + 2
�� + 5� + 6 = 											��---)	
�� + 2� + 1
2� + 2 = 										��-X)	
23 �� + 103
3�� − 2�� + 15 − 10� = 
 
��X)	4�
� − 24� + 36
2�� − 18 = 					��X-)	
2� − 3
−4� + 6 = 										��X--)	
�� − 27
�� − 6� + 9 = 
 
��X---)	 �
� − 1
3�� + 3� + 3�� + 3 = 												��-�)	
� − 35
5� − 3 =	 
 
 
 
 
Multiplicaciones entre EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 8'�)
M'�) .
1'�)
>'�) =
8'�). 1'�)
M'�). >'�) 
 
 siendo M'�) y >'�) polinomios no nulos. 
 
 Antes de multiplicar se debe factorizar cada polinomio para, luego, simplificar 
y expresar el resultado como expresión algebraica irreducible con la debida aclaración 
de los valores que no debe tomar la variable. 
 
�)	 �
�
�� − 4 .
� + 2
3�� − � = 																																																															)	
2� − 3
� + 5 .
�� − 25
6� − 9 = 
 
�)	 2�� − 3�� .
� − 3
� = 																																																											�)	
� − 12
�� − 2� + 4 . '�� + 8).
−8�
2�� + 3� − 2 = 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
40 
 
 
�)	�
� − 9
2� + 4 .
� + 2
�� − 4� + 3 . '� + 1) = 																																	�)	
�� − 2�� + 1
�� − 4� + 4 .
�� − 4
�� − 1 = 
 
 
 )	� − 13 .
�� + 1
�� − 1 = 																																																														ℎ)	
�� − � − 6
�� − 3� .
�� − 3��
� + 2 = 
 
 
-)	�
� − 1
3�� .
2��
�� − 1 .
�� + 2� + 1
� .
6
�� − 2� − 3 = 
 
^)	�
� + 1
3� + 6 .
10
�� + 2� + 1 .
�� + �� − 4� − 4
5�� − 5� + 5 = 
 
�)	�
� + 4� + 4
7�� − 28 .
14� − 28
2� + 6 .
�� + 3�� − � − 3
� + 1 = 
 
,)	 6� − 15�� + 6�� + � + 6 .
�� − 36
10 − 4� .
4
3� − 18 = 
 
/)	�
� − � + 14
� + 23
. 3� + 213� − 16
. �
�
�� − 12 ��
= 
 
 
Cocientes entre EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 8'�)
M'�) :
1'�)
>'�) =
8'�)
M'�) .
>'�)
1'�) =
8'�)>'�).
M'�). 1'�) 
 
 
�)	 �� − 2 :
� + 2
3� − 1 = 																																																																)	
�� − 2� + 1
�� :
3� − 3
� = 
 
 
�)	�
� − 8
�� − 4 :
2�� + 4�� + 8��
2�� + 4�� = 																																										�)	
�� + � − 6
�� − 1 :
�� + 5� + 6
�� + � − 2 = 
 
 
�)	 �
� − 4
�� − 16 :
�� + 4� + 4
� + 2 = 																																																		�)	
3��
2�� :
3��
� = 
 
 )	�
� − 16
3� + 6 :
13 �� + 43
� − 2 = 																																																								ℎ)	
�� − 81�
�� − 1 :
��
�� − 2�� + 1 = 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
41 
 
-)	1 − �2 + � :
�� − �
�� + 2� = 																																																															^) 	
�� − ��
�# :
5� + 5
�� + 2�� = 
 
�)	�
� − 9
2� + 6 :
�� − 6� + 9
4� + 6 = 																																																					,)	
�� − 16
�� + 4� + 4 :
3�� − 12� + 12
6� + 12 = 
 
/)	�
� − 1
4� − 1 :
5�� − 5
5� − 54
= 																																										.)	 �
# − 1
3�# + 3�� + 3�� + 3�� + 3� :
6� + 6
4�� − 4 = 
 
 
Adiciones entre EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 
Con igual denominador 
 
�)	1� +
2
� −
5
� = 																															)	
�
� − 2 +
� + 2
� − 2 = 																					�)	
1
� − 1 −
2� − 1
� − 1 = 
 
�)	 2�� + 4 +
8
� + 4 = 																						�)	
6��
4� − 8 −
12�
4� − 8 = 																	�)	
2� − ��
�� −
� + 2
�� = 
 
 )	3�
� + 1
12�� +
5�� − 1
12�� = 														ℎ)	
1 + �
�� − 1 +
5�� + �
�� − 1 −
4��
�� − 1 = 						-) 	
5
�� − 4 −
3 − �
�� − 4 = 
 
^)	2� + 1� + 2 +
� + 5
� + 2 = 
 
 
 
 
 
 
Con distinto denominador (sencillos) 
 
�)	3� − 23 +
1 − 5�
5 = 																)	
7
5� −
2
� +
1
2� = 									�)	
�
2 +
1
� + 1 = 								�)	
3
� +
2�
�� = 
 
 
�)	3� +
� − 1
�� = 											�)	
� + 2
� +
5 − ��
�� +
3 − 2��
�� = 											 )	
2�� + 2�
�� −
3� + 1
� +
� − 2
�� = 
 
 
ℎ)	 �� + 1 −
2
� − 1 = 																		-) 	
�
� − 2 +
3� − 1
�� − 2� = 													^) 	
5
� − 1 +
2�
3� − 3 = 
 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
42 
�)	 3��� − 9 −
�
� − 3 = 															,)	
10
� − 2 +
8
� + 2 = 																	/)	
�� + 6� + 9
� + 3 +
�� − 9
� − 3 = 
 
 
.)	�
� + � − 2
�� − 4 −
� − 5
� − 2 = 									ñ)	
8
�� − 4 +
� + 4
� + 2 = 													+)	
� + 5
�� + 10� + 25 −
� + 4
�� − 16 = 
 
 
*)	 12� − 1 +
2�
1 − 2� = 											¬)	
�
3� − 9 −
6
�� − 9 = 							P)	
� − 1
� + 1 −
� + 1
� − 1 = 
 
 
 
 
ECUACIONEAS ALGEBRAICAS RACIONALES 
Calculá el valor de x; acotá el valor de las incógnitas; escribí el conjunto solución. 
a) 3� − "� = 1 b) ��#� =	 �� 
 
c) 
�
��	+	�� =	 �#��	 d)"� −	 G�� − 	1 = 	0 
 
e) 
��
� −	 ��� =	 �� −	�� f) �� +	�V��� = 	 ��
�
�¡ 
 
g) 
���
� +	�
�V�
�� = 5 −	�V#�� h) ��	�
�
��� +	
¨
�	�V�
� =	 �V��
�
��¡ 
 
i) 
�V�
��	�+ 	2 = 5 j) ��V�− 	3 = 0 
 
k) 
�V�
��� =	 �V#�V� l) �V���� = 	 ������ 
 
m) 
�
�V�−	���� =	 F����V� n) ����V�−	�V���� =	 ����� 
 
 
 
 
 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
43 
EJE Nº3: SISTEMA DE ECUACIONES- FUNCIÓN 
CUADRÁTICA- ESTADÍSTICA 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES 
1- SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS 
INCÓGNITAS 
 
Un SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS 
está formado por las ecuaciones de dos rectas en el plano y, resolverlo, es hallar el 
punto de intersección de ambas rectas. El conjunto solución es un punto del plano S = 
{(x; y)}. 
 
*Desde el punto de vista de la GEOMETRÍA dos rectas coplanares pueden ser 
SECANTES o PARALELAS; las rectas PARALELAS pueden ser COINCIDENTES o 
DISJUNTAS. 
 
UN PUNTO EN COMÚN TODOS LOS PUNTOS EN COMÚN NINGÚN PUNTO EN COMÚN 
B A A A 
 
 o 
 B 
 B 
 & ∩ 5 = {+} & ∩ 5 = & = 5 & ∩ 5 = ∅ 
 SECANTES COINCIDENTES DISJUNTAS 
 
 
 PARALELAS 
*Desde el punto de vista del ANÁLISIS dos rectas coplanares pueden 
formar un sistema COMPATIBLE (determinado o indeterminado) o un sistema 
INCOMPATIBLE. 
Y Y YA A A 
 X 
 
 y o (x; y) B X
 X 
 x 
 
Determinado Indeterminado SISTEMA INCOMPATIBLE 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 
 
Para resolver este sistema de ec
 A- GRÁFICO
 B- ANALÍTICOS: *Igualación
 
 
 
 
A- MÉTODO GRÁFICO: se representan ambas rectas y se hallan las coordenadas del 
punto de intersección. 
a) 1�: � ( 
2� � 1 
 
 		1�: � ( � 
 5	 
 
 
b) 1� :	
 � � � ( 2				 ⟹ 	
 
 1� :	
 � � � ( 
3		 ⟹	
 
 
B- MÉTODOS ANALÍTICOS
 2017 
SISTEMA COMPATIBLE 
Para resolver este sistema de ecuaciones, se pueden utilizar los siguientes métodos:
GRÁFICO 
ANALÍTICOS: *Igualación 
 *Sustitución 
 *Reducción por suma o resta 
 *Determinantes (Regla de Cramer)
: se representan ambas rectas y se hallan las coordenadas del 
 > ( ®'2;	
3�¯						>;>:HK&	63K8&:;5zH
				1�: � ( � � 2		 
 > ( ∅				>;>:HK&	;L63K8&:;5zH
			1�: � ( � 
 3 
MÉTODOS ANALÍTICOS: 
44 
uaciones, se pueden utilizar los siguientes métodos: 
 
*Determinantes (Regla de Cramer) 
: se representan ambas rectas y se hallan las coordenadas del 
5zH	2H:H1K;L&23 
 
;L63K8&:;5zH 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
45 
 
� IGUALACIÓN En ambas ecuaciones se despeja la misma incógnita y se 
iguala. 
 
2� − 3� = 9				'�) 
 Se despeja x de ambas ecuaciones 
� + � = −8						'	) 
 
 
'�)										2� − 3� = 9							 '	)										� + � = −8 
 2� = 3� + 9 g = −E − � 
 g = B�V�h 
 
 Se igualan para calcular el valor de y 3� + 9
2 = −8 − � 
 3� + 9 = 2'−8 − �) 
3� + 9 = −16 − 2� 
3� + 2� = −16 − 9 
 5� = −25 
� = −= 
 
Se reemplaza el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones para calcular x. 
 '	)		� + � = −8 
 � − 5 = −8 
 � = −8 + 5 
 g = −B 
 
Se escribe el conjunto solución S = {(-3; 5)} 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº18: SISTEMA DE ECUACIONES “Método de 
Igualación” 
 
1) Resuelve cada sistema aplicando el Método de IGUALACIÓN. 
 
 2� − 2� = �� 3� − �� � = "# 
1 2 
 3� + � = �# 2� − #� � = �� 
 
 
 2� − 4� = 2 �� � − 5� = −3 
1 2 
 3� − 2� = 9 2� + ��� = ��� 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
46 
☯ SUSTITUCIÓN : se despeja una variable de una ecuación y se reemplaza en 
la otra ecuación. 
 '�)									� − � = 1				 ⟹ 		� = � + 1						 
 
 '	)								2� − 3� = 1 reemplazo x: 2'� + 1) − 3� = 1 
 2� + 2 − 3� = 1 
 −1� = −2 + 1 
 � = ���� 
 
 � = C 
 
 '�)		� = � + 1 
 � = 1 + 1 
 g = h 
 
 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº19: SISTEMA DE ECUACIONES “Método de 
Sustitución” 
 
1) Resuelve cada sistema aplicando el Método de SUSTITUCIÓN. 
 
 2� + 4� = 2 ��� − 5� = −3 
I) II) 
 3� − 2� = 9 2� + ��� = ��� 
 
 
 
 2� − 2� = �� 3� − �� � = "# 
III) IV) 
 3� + � = �# 2� − #� � = �� 
 
 
 
 
§ DETERMINANTES REGLA DE CRAMER: se utiliza cuando la cantidad 
de ecuaciones coincide con la cantidad de incógnitas. 
 
nCg + oC� = �C 
 SISTEMA DE DOS ECUACIONES PLANTEADO 
nhg + oh� = �h 
 
Reemplazo el valor de y en cualquiera 
de las ecuaciones anteriores para 
calcular x 
Se escribe el conjunto solución S={(2; 1)} 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 Δ = 	 ²�� 	��� 	�² Δ� = ²
�� 	��� 	�² Δ� = ³
�� ���� ��³ 
 
 
 
 
 
 
 Δ = ��. 	� − ��. 	�																				Δ� = ��. 	� − ��. 	�																																						Δ� = ��. �� − ��. �� 
 
Se calcula los valores de cada incógnita: 
 
 � = ∆�∆ � = ∆�∆ 
 
Se escribe el conjunto solución S = {(x; y)} 
 
3� − � = 3						⇒																					�� = 3												� = −1											�� = 3 
 
 −� + 3� = 1								⇒																					�� = −1									� = 3														�� = 1 
 
 
∆= ³ 3 −1−1 3 ³ = 3.3 − '−1). '−1) = 3.3 − 1 = E = ∆ 
 
 
∆� = ³3 −11 3 ³ = 3.3 − '−1). 1 = 9 + 1 = C� = ∆g 
 
 
∆� = ³ 3 3−1 1³ = 3.1 − '−1). 3 = 3 + 3 = D = ∆� 
 
 � = ∆�∆ 							 � = ∆�∆ 
 
 � = �Wt � = "t 
 
 � = #� � = �� 
 
DETERMINANTE 
GENERAL 
DETERMINANTE 
EN X 
DETERMINANTE 
EN Y 
Se forma con 
los coeficientes 
de las incógnitas. 
Se reemplaza en ∆ los 
coeficientes de x por los 
términos independientes. 
Se reemplaza en ∆ los 
coeficientes de y por los 
términos independientes. 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
48 
El conjunto solución es: > = 	 µp#� ; 	��q¶ 
Con los valores de los DETERMINANTES podemos clasificar a cada sistema según las 
siguientes condiciones: 
 
• >;>:HK&	63K8&:;5zH	2H:H1K;L&23	 → 	∆≠ 0 
• >;>:HK&	63K8&:;5zH	;L2H:H1K;L&23	 → 	∆= 0	 ∧	∆� = ∆� = 0 
• >;>:HK&	;L63K8&:;5zH	 → 	∆= 0	 ∧ '∆� ≠ 0	 ∨ 	∆� ≠ 0) 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº20: SISTEMA DE ECUACIONES “Método de 
Determinantes”. 
 
1) Escribí los determinantes que se piden a continuación. 
 � + � = 4 2� − � = 3 3� + 2� = 1 
� � � 
 −2� + � =		5 � = 3 6� + 4� = 3
 
 
 
 
 
 
2) Resuelve cada sistema aplicando Regla de Cramer. Clasificá cada sistema. 
 
 2� + 8� = 5 6� − 3� = 1 
A) B) 
 � − �� � = 1 −� + �� � = − �� 
 
 
 2� − 2� = �� 3� − �� � = "# 
C) D) 
 3� + � = �# 2� − #� � = �� 
 
 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICONº20: SISTEMA DE ECUACIONES “Método 
Gráfico”. 
1) Resuelvan graficamante y clasifiquen los siguientes Sistemas de Ecuaciones. 
 
∆= 
 
∆� = 
 
∆� = 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
49 
 
 −3� − � = 1 − ��� + �� � = − �� 
A) B) 
 � + 2� = 3 3� − 4� = �� 
 
 
 � − ��� = 2 2� + 4� = 2 
C) D) 
 3� − � = −1 3� − 2� = 9 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº21: SISTEMA DE ECUACIONES- Trabajo 
Integrador. 
 
1- Resolvé cada sistema por el método indicado a la derecha del mismo. 
2- Graficá cada sistema y marcá S. 
3- Clasificá cada sistema. 
 
 a) � + � = 4 
 IGUALACIÓN 
 −2� + � = 10 
 
 
 b) 3� − � = 3 
 SUSTITUCIÓN 
 � = 2 
 
 
 c) −2� + � = 5 
 SUSTITUCIÓN 
 � = 2� + 5 
 
 
d) 3� = −2� + 1 
 IGUALACIÓN 
 −2 + � = 3� 
 
 
 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
50 
 
 e) 5� + 2� = −1 
 DETERMINANTES 
 3 + � = 2� 
 
 
2) Resuelve cada sistema por el método que te resulte más conveniente. 
 
a) 5� + 2� = −1 b) 3� = −2� + 1 
 3 + � = 2� −2+ � = 3� 
 
c) � + � = 3 d) 3� + 2� = 1 
 −2� + 1 = � 2� + 3� = −2 
 
 
e) � = 4� − 1 f) ��� + 3� = 5 
 
�
�� + � = 3 −4� + 8� = −4 
 
g) 5� − 2� = 2 h) 2� + 3� = 5 
 � + 2� = 4 −� + 4� = 3 
 
i) 5� − 2� = 2 j) �� � − ��� = 5 
 2� + 4� = 8 − ��� + �" � = �� 
 
k) 2'� + 3) − �� � = 7 l) '� − 2)'� + 5) = �'� − 1) + � 
 
#���
� + ���� = 2 �V�# + 1 = 2'� − �) 
 
m) 
�
� � + � = 1 n) ���� + 3 = � − 1 
 4� − 2� = 3 2'� + 3) − �VG� = 0 
 
o) 
�
� � + 3'� − 2) = ������ 
 
���
� + 1 = 3'� − 1) + � 
 
 
 
 
PROBLEMAS CON SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS 
INCÓGNITAS 
 
Para resolver estos problemas, se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve, 
Luego, se escribe la respuesta. 
1- ¿Cuál es la medida de la base y de la altura de un rectángulo de 28cm de 
perímetro, si la base supera a la altura en 2cm? 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
51 
2- ¿Cuánto mide cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo si difieren en 10°? 
3- La diferencia entre dos números es 3; la suma entre el mayor y el doble del menor 
es 27. ¿Cuáles son los números? 
4- En una alcancía hay 32 monedas de $0,25 y $0,50. Si en total hay $5, ¿cuántas 
monedas de cada valor hay en la alcancía? 
5- En un curso hay 30 alumnos; 2 varones más que mujeres. ¿Cuántos varones y 
cuántas mujeres hay en el curso? 
6- En un curso hay 43 alumnos; hay 11 mujeres más que varones. ¿Cuántos varones y 
cuántas mujeres hay en el curso? 
7- Hallar dos números tal que la suma del primero y el doble del segundo en 21; y que 
el doble del primero más el segundo es 18. 
8- Dos números suman 17 y uno es igual al otro aumentado en 5. ¿Cuáles son esos 
números? 
9- Laura es 17 años mayor que Pablo. La suma de las edades es 75 años. ¿Cuántos 
años tienen Laura y Pablo? 
10- En una bicicletería se cuentan 60 ruedas. Hay 5 bicicletas más que triciclos. 
¿Cuántas bicicletas y cuántos triciclos hay en exposición? 
11- En una jaula hay conejos y palomas. Se cuentan 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuántos 
conejos y cuántas palomas hay en la jaula? 
12- En un corral hay 26 animales entre gallinas y chanchos. Se cuentan 76 patas. 
¿Cuántas gallinas y cuántos chanchos hay en el corral? 
13- Natacha tiene ahorrados $71 en billetes de $2 y $5. Tiene en total 22 billetes. 
¿Cuántos billetes de cada valor tiene? 
14- En un local de rodados se contaron 16 manubrios y 41 ruedas. ¿Cuántas bicicletas 
y cuántos triciclos hay en el local? 
15- Claudio tiene $1080 en 30 billetes de $20 y $50. ¿Cuántos billetes de cada valor 
tiene? 
16- En un corral hay chanchos y gallinas. Se cuentan 30 cabezas y 94 patas. ¿Cuántos 
chanchos y cuántas gallinas hay en el corral? 
17- La diferencia entre dos ángulos complementarios es de 32° 17’. ¿Cuál es la 
amplitud de cada ángulo? 
18- Dos ángulos son complementarios. Uno de ello es 6° mayor que otro. ¿Cuánto mide 
cada ángulo? 
19- El perímetro de un rectángulo es de 24 cm. La base es 5cm más corta que la 
altura. Calculá el área del rectángulo. 
20- El perímetro de un triángulo isósceles es de 27cm. La diferencia entre dos de 
sus lados es 3cm. ¿Cuánto mide cada lado? 
 
21- El perímetro de un triángulo isósceles es de 30cm y la base es 3cm más corta que 
cada uno de los otros dos lados. Calculá la medida de cada lado del triángulo. 
22- La superficie de un triángulo es de 25cm2, siendo la altura el doble de la base. 
¿Cuánto mide la base del triángulo? 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
52 
23- Calculá el perímetro del paralelogramo. 
 m 2x-3y n 
 
 7+5y 
 
 q p 
 
24- Calculá la longitud de los lados del triángulo mnp, isósceles, sabiendo que su 
perímetro es 12cm. 
 m 3� + 4�		 
 
 � − � n 
 
 
�
�� + �� � 
 
 p 
 
FUNCIÓN CUADRÁTICA-PARÁBOLA 
Se llama FUNCIÓN CUADRÁTICA al TRINOMIO de GRADO 2: ¹'g) = ngh + og + �, 
siendo 
n,o	�	� Números Reales y n ≠ 0. 
¹'g) = ngh + og+ �									�								� = ngh + og+ � 
 
 Cada término de la ecuación tiene un nombre característico y cada coeficiente, 
también: 
 
� n�� ⟶ 		�Éy»¼½�	�¾�¿yÁ�¼��									 ∗ n		 ⟶ 		���Á¼�¼�½��	�¾�¿yÁ�¼�� 
� o�		 ⟶ 			�Éy»¼½�	¼½��Â																					 ∗ o		 ⟶ 			���Á¼�¼�½��	¼½�� 
� �		 ⟶ 	�Éy»¼½�	¼½¿�A�½¿¼�½��				 ∗ �	 ⟶ ���Á¼�¼�½��	¼½¿�A�½¿¼�½��	 
 
La ecuación de la FUNCIÓN CUADRÁTICA puede presentarse en forma: 
 
� 63K8zH:&	 ⟶ � = ngh + og+ � 
� ;L63K8zH:&>	 ⟶ � = ngh + og								'� = 0) 
 ⟶ � = ngh + �											'o = 0)		 
 
 
 
 
La representación gráfica de la FUNCIÓN CUADRÁTICA se llama PARÁBOLA. 
 
a nunca puede tomar el valor 0 porque la ecuación dejaría de ser cuadrática al anularse 
el término cuadrático. 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
53 
 
 
Para graficar una PARÁBOLA, debemos calcular el valor de cada uno de sus 
elementos. Estos 
valores dependen de los coeficientes de la FUNCIÓN CUADRÁTICA a representar. 
 
� = ngh + og + � 
 
1- CONCAVIDAD: indica la dirección que toman las ramas de la PARÁBOLA; depende 
del signo del COEFICIENTE CUADRÁTICO 'n). 
� n à 0	,�?	P�/�?	?�	�	P�.	$��-�	�PP-	�	 ∪ 
� n Å 0	,�?	P�/�?	?�	�	P�.	$��-�	�	�^+	 ∩ 
2- ORDENADA AL ORIGEN: es el punto de intersección de la gráfica con el eje y; su 
valor está dado por el TÉRMINO INDEPENDIENTE '��. 
 
3- RAÍCES: son los puntos de intersección de la gráfica con el eje x; se calculan de la 
siguiente manera: 
>-	� ( ngh � og� �, *�P�	��,�N,�P	,�?	P�í��?	$�+	¬N�	,�	�N.�-ó.	X�, �	0. 
					� ( ngh � og� �	 ⟹	��;� (

ow √o� 
 4n�
2n
 
 
También podemos utilizar la calculadora de Windows 3.0 o la calculadora manual, 
según el modelo. 
 
El valor de las raíces y sus características dependen del RADICANDO de la 
fórmula; dicho RADICANDO se llama DISCRIMINANTE '∆�. El DISCRIMANTE de 
una FUNCIÓN CUADRÁTICA puede ser: 
� 83>;:;R3	 ⟶	∆( o� 
 4n� à 0	 ⟶ ,�	IQL6;ÓL	6Q&21Á:;6&	O-�.�	�+?	P�í��?	P��,�? 
 �-?O-.O�?	�	,�	8&1Á53z&	�+PO�	�,	�^�	�	�.	�+?	*N.O+?	�-?O-.O�?:	��	�	��.		 
 
� LQz3								 ⟶	∆( o� 
 4n� ( �	 ⟶ ,�	IQL6;ÓL	6Q&21Á:;6&	O-�.�	�+?	P�í��?	P��,�? 
 - N�,�?	�	,�	8&1Á53z&	P+%�	�,	�^�	�	�.	N.	*N.O+ ∶ 	 �� (	��.		 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
54 
 
� LH0&:;R3	 ⟶	∆= o� − 4n� < 0	 ⟶ ,�	IQL6;ÓL	6Q&21Á:;6&	L3	O-�.�	P�í��? 
 	�	,�	8&1Á53z&	.+	�+PO�	.-	P+%�	�,	�^�	�	.		 
 
4- VÉRTICE: es el punto del plano en donde las ramas de la PARÁBOLA cambian el 
sentido. Como es un punto del plano, tiene dos coordenadas: una en x '�É) y otra en y 
'�É). Ambas coordenadas se calculan de dos maneras distintas: 
 
� FORMA 1 �É = − o�n 																																		�É = −po
���n�
�n q 
 
� FORMA 2 
 �É = �¨V��� 								 																											�É = 	ng}h + og} + � 
 
5- EJE DE SIMETRÍA: es la recta paralela al eje y que pasa por xv. La ecuación 
del eje es: 
 
Ê = �É 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº22: FUNCIÓN CUADRÁTICA 
 
 
1) Grafica cada PARÁBOLA. En el mismo diagrama. Realiza el análisis. 
 
8�: � = ��																													8�: � = 2��																														8�: � = −2��			 
 
8�: � = �� + 5																					8#: � = �� − 3																									8": � = 	−�� + 1										 
 
8F: � = −12�� + 3�											8t: � = �� + 2� − 3											 
2) Completá el cuadro. 
 
 
FUNCIÓN 
COEFICIENTES RAÍCES VÉRTICE 
EJE 
ORDENADA 
AL 
ORIGEN 
CONCAVIDAD �� �� �É �É 
� = �� − 4� − 5 
� = −�� + 2 
� = 2�� + 4� − 1 
� = 23�� − 1 
 
� = 5�� − 2� 
� = −3�� + � + 2 
 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
55 
FORMAS DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Expresá de la forma solicitada cada ecuación. Graficá. Realizá el análisis. 
 
8b: � = �� − 4� + 3	�.	�+P/�	6&LÓL;6& 
 
8c: � = −�� + 2� + 3	�.	�+P/�	I&6:31;Ë&2& 
 
8a: � = 3'� − 2)� − 1	�.	�+P/�	83z;LÓK;6& 
 
4) Escribí la ecuación de la FUNCIÓN CUADRÁTICA de la forma más conveniente 
según los datos. 
a) v (-3; -2) y a=-2 b) x1=-4; x2=2; a=-1 c) v (-3; -2) y pasa por m (0; 1) 
 
 
 
 
 
 
 
RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA 
 Para hallar la ECUACIÓN CUADRÁTICA, se establece una relación 
entre las RAÍCES de la ecuación y sus COEFICIENTES: 
 
�� + �� = −	� 														∧ 													��. �� =
�
� 
 
5) Reconstruí las ecuaciones cuadráticas, siendo sus respectivas raíces: 
 
 �)	�� = − �� 	∧ 	�� = �� 																																											)	�� = �� = 3 
________________________________________________________________________________ 
� = ngh + og+ � 
 POLINÓMICA 
 
� = n'g − g})h + �} 
CANÓNICA 
 
� = n'g − gC)'g − gh) 
FACTORIZADA 
 
Se buscan las 
coordenadas del 
vértice. 
Se aplica cuadrado de 
un binomio y 
propiedad distributiva 
Se buscan las raíces. 
Se aplica propiedad 
distributiva. 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
56 
TRABAJO PRÁCTICO Nº23: FUNCIÓN CUADRÁTICA “Trabajo 
Integrador” 
 
1- Expresá cada FUNCIÓN CUADRÁTICA de la forma solicitada. 
Realizá el análisis correspondiente. 
�)	� = 23 '� + 3)� − 1	�.	�+P/�	83z;LÓK;6& 
 
	)	� = −2'� − 1)'� + 2)	�.	�+P/�	83z;LÓK;6& 
 
�)	� = �� − 4� + 3	�.	�+P/�	6&LÓL;6& 
 
�)	� = −12 '� − 2)� − 2	�.	�+P/�	I&6:31;Ë&2& 
 
2- Escribí la ECUACIÓN CUADRÁTICA según los datos dados. Expresá cada una en 
forma POLINÓMICA. 
�)	X'2; 	−4)	∧ � = 25 																																															)	�� = 3	 ∧ 	�� = −1	 ∧ 	� = 5 
 
3- Escribí la ecuación de segundo grado teniendo en cuenta el valor de las raíces. 
 
�)�� = 13	∧	�� = −
7
6 																																															)	�� = �� = √2 
 
PROBLEMAS CON FUNCIÓN CUADRÁTICA 
1- La altura "ℎ" (en metros) de un objeto que es lanzado verticalmente desde el piso 
depende del tiempo "O" (en segundos) y está dada por la ecuación: ℎ'Í) = −3,9O� +
50O + 1. 
a) Graficá. 
b) Calculá, truncando al segundo decimal: La máxima altura alcanzada por el objeto; 
La distancia horizontal recorrida cuando cae nuevamente al suelo; El tiempo que 
dura el movimiento. 
2- Dada la ecuación � = �� − 4� + 3, 
a) Graficá. 
b) Determiná: Dominio; Imagen; Coordenadas del vértice; Raíces; Intervalos de 
crecimiento y de decrecimiento; Intervalos de negatividad y de positividad; La 
expresión factorizada. 
3- Dada : = �� − 3� + 8, 
a) Graficá. 
b) Determiná: Coordenadas del vértice; Raíces; Intervalos de crecimiento y de 
decrecimiento; Intervalos de negatividad y positividad. 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
57 
4- Calculá el valor de "/" para que el gráfico de la función �'�) = /�� − � − 1 corte al 
eje de abscisas en dos puntos distintos. Realizá la gráfica de la función. Escribí la 
ecuación en forma canónica. 
5- En la diagramación de un diario escolar, se utilizan 700�/� de papel para cada 
página, de forma tal que el largo es 15�/ mayor que el ancho. Determiná la medida 
del ancho de cada página. 
 
ESTADÍSTICA 
 
 La ESTADÍSTICA tiene sus antecedentes históricos en los famosos censos, 
que consistían en observaciones sistemáticas y periódicas sobre datos de la población 
para fines de guerra y finanzas realizados antes de Cristo. 
 En la actualidad, la estadística no se limita sólo a la toma de datos, sino a la 
organización, recopilación y análisis de los mismos. 
 Sus aplicaciones se dan en todos los campos de la investigación, siendo utilizada 
como medio auxiliar entre otros por economistas, médicos, físicos y técnicos. 
 En los medios de comunicación, habitualmente, son representados los datos 
obtenidos de una investigación en gráficos. 
 
 
 40- 
 
 30- 
 
 20- 
 
 10- 
 
 
 
 
POBLACIÓN Y MUESTRA 
 El conjunto de todos los elementos que son objeto de estudio estadístico se 
denomina POBLACIÓN. Esos elementos pueden ser personas, objetos, empresas, días, 
actitudes, etc. 
 Cada uno de los elementos que pertenecen a una población se llama INDIVIDUO. 
 Si la población es extensa se toma un subconjunto de ella llamada MUESTRA que 
debe ser representativa para que los resultados de la investigación alcancen a la 
población. 
 
Actividad 1 
Determiná si para realizar los siguientes estudios estadísticos se debe tener en 
cuenta a la POBLACIÓN (P) o una MUESTRA de la población (M). 
GRÁFICO DE BARRAS GRÁFICO CIRCULAR GRÁFICO DE LÍNEAS 
 MATEMÁTICA 3º AÑO- 2017 
 
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a) El peso promedio de bebés recién nacidos en Argentina. 
b) El promedio de calificaciones de un alumno. 
c) La cantidad promedio de autos que pasan por una esquina de una ciudad los 
domingos. 
d) La preferencia musical de los alumnos de la escuela. 
e) El alumno con mejor promedio de notas en la escuela. 
VARIABLE 
 Se llama VARIABLE a cualquier característica observable de un individuo que 
se quiera analizar: edad, color de ojos, lugar de nacimiento, ganancias anuales, 
cantidad de hermanos, altura, longitud, cosecha anual, etc. 
 La VARIABLES se clasifica en: 
 Cualitativas 
 
VARIABLES 
 Discretas 
 Cuantitativas 
 Continuas 
 
� VARIABLE CUALITATIVA es aquella que se refiere a un atributo o propiedad 
de un individuo: sexo, color de pelo, lugar de residencia, lugar de nacimiento, 
música favorita. 
� VARIABLE CUANTITATIVA es aquella que se refiere a datos de un individuo 
que se pueden contar o medir: edad, estatura, cantidad de hermanos, 
habitantes de una casa, peso,