S09 s2 - PPT MCU-Solucionario

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Bienvenidos estimados y 
estimadas estudiantes.
En breve iniciamos la sesión.
¿con qué tipo de las manzanas se 
identifican?
¿Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada?
¿Que recordamos de la clase anterior?
Responda a la siguiente pregunta:
¿Cual es la segunda ley de Newton?
a) σ𝐹 = 𝑚𝑣.
b) σ𝐹 = 𝑚𝑎.
Datos/Observaciones
¿Cuál será la dirección de la fuerza de rozamiento
sobre el auto?
Saberes Previos
¿Por qué es importante que en la curva la pista tenga una inclinación?
https://www.youtube.com/watch?v=Cdescj1rdws
Utilidad
El peralte en sí podría entenderse
como un elemento más de
seguridad vial, y el papel que juega
está muy relacionado con la física.
Cuando un vehículo toma una curva,
las diferentes fuerzas que actúan
sobre él al hacer el giro provocan
cierta tendencia a seguir en la
dirección inicial, es decir, recto. El
peralte contrarresta estas fuerzas,
ayudando a que el vehículo
permanezca en la vía y evitando su
salida de la misma.
Cálculo aplicado a la física 1
Dinámica Circunferencial
(Semana 09 – Sesión 2)
Datos/Observaciones
LOGROS DE LA SESIÓN
Al termino de la sesión el estudiante aplica
la segunda ley de newton para el
movimiento circunferencial.
✓Dinámica circunferencial para 
MCU.
✓Dinámica circunferencial para 
movimiento no uniforme.
✓Ejercicios.
✓Cierre.
Agenda
Datos/Observaciones
Segunda ley de Newton
Si la masa es constante:
Ԧ𝐹 = 𝑚
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎
Ԧ𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Ԧ𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎
La fuerza neta y la aceleración tienen la
misma dirección
Si la aceleración es constante se mueve
con MRUV
Ԧ𝐹𝑥 = 𝑚 Ԧ𝑎𝑥 Ԧ𝐹𝑦 = 𝑚 Ԧ𝑎𝑦 Ԧ𝐹𝑧 = 𝑚 Ԧ𝑎𝑧
Datos/Observaciones
Dinámica de un M.C.U.
La partícula experimenta una aceleración que tiene una
magnitud
Si se aplica la segunda ley de Newton a lo largo de la
dirección radial, la fuerza neta que causa la aceleración
centrípeta.
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
෍𝐹 = 𝑚𝑎𝑐 = 𝑚
𝑣2
𝑟
Datos/Observaciones
Dinámica de un MC no Uniforme
En cualquier instante, el vector aceleración se puede descomponer en dos
componentes respecto a un origen del centro.
Ԧ𝑎 = Ԧ𝑎𝑟𝑎𝑑 + Ԧ𝑎𝑡𝑎𝑛
La magnitud de la aceleración centrípeta 
o radial
𝑎𝑟𝑎𝑑 = 𝑎𝑐𝑒𝑛 =
𝑣2
𝑟
La magnitud de la aceleración tangencial
𝑎𝑡𝑎𝑛 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Datos/Observaciones
Dinámica de un M.C. no Uniforme
Datos/Observaciones
Curva Peraltada
¿Qué sucede si no hay fricción en una curva plana?
x
y
N
W
fs
aN
No habría aceleración normal, el auto seguiría en línea recta.
¿Sucederá lo mismo en una curva peraltada?
Datos/Observaciones
Ejemplo 1:
El auto deportivo se desplaza a lo largo de una carretera con
una inclinación de 30° y cuyo radio de curvatura es de 500
pies. Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas y la
carretera es de 0,2; determine la velocidad segura máxima sin
que se deslice hacia arriba. Ignore el tamaño del automóvil.
mg
N
Nu
Nu cos30
Nu cos60
N cos60
N cos30
SOLUCION
𝑓𝑡 = 0,3048𝑚
𝑭𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 − 𝑭𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
Nu cos30 )+ N cos60 )) − 0 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
Nu cos30 N cos60
𝑭𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 − 𝑭𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
0
𝒎𝒗𝟐
𝒓
𝑹𝒚 =෍ ↑ −෍ ↓
𝟎 = (Nu cos60 ) − (N cos30 ) − (mg )N cos30 Nu cos60 mg
N =
mg
cos30 − u cos60
N =
m(9,81)
cos30 − (0,2) cos60
N = (12,8)(m)
(10)(m) (0,2 )cos30− (10)(m) cos60 =
𝒎𝒗𝟐
(𝟏𝟓𝟐, 𝟒 )
(12,8)(m) 0,2 (12,8)(m)
𝟏𝟓𝟐, 𝟒
𝒗𝟐 = 12,8 (0,2 )cos30+ (12,8)cos60 (𝟏𝟓𝟐, 𝟒)
𝒗𝟐 = 1 313,2
𝒗 = 36,2 𝑚/𝑠
Datos/Observaciones
Ejemplo 2:
Un avión de 5 Mg vuela a una rapidez constante de 350 km/h a lo largo de una
trayectoria circular horizontal. Si el ángulo de alabeo es 15°, determine la fuerza de
elevación L que actúa en el avión y el radio r de la trayectoria circular. Ignore el
tamaño del avión.
mg
L
Lcos75
L cos15
𝑀 = 106
350 km/h= 350
5
18
m/s 
SOLUCION
𝑹𝒚 =෍ ↑ −෍ ↓
𝟎 = (Nu cos60 ) − (mg )L cos15 mg
L =
mg
cos15
L =
(5000 )(9,81 )
(cos15 )
5000 9,81
L = 50,78x𝟏𝟎𝟑𝑵
𝑭𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 − 𝑭𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
𝑭𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 − 𝑭𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
(Lcos75 ) − (0 )=
𝐦𝐯𝟐
𝐫
Lcos75 0
𝒓 =
𝒎𝒗𝟐
Lcos75
𝐫 =
(5000 )(𝟗𝟕, 𝟐 )𝟐
(Lcos75 )cos75
5000 𝟗𝟕, 𝟐 )
50,78x𝟏𝟎𝟑
𝐫 = 𝟑 𝟓𝟗𝟒, 𝟑 𝐦
Datos/Observaciones
Ejemplo 3:
Determine la rapidez máxima a la que el jeep puede viajar sobre la cresta 
de la colina sin que pierda contacto con la carretera. 
𝑓𝑡 = 0,3048𝑚
𝒎𝒈
𝑵
SOLUCION
𝑹𝒚 =෍ ↑ −෍ ↓
𝑭𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 − 𝑭𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
𝑭𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 − 𝑭𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
𝒎𝒈 − 𝑵 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
𝒎𝒈 𝑵
𝟗, 𝟖𝟏 − (𝟎 ) =
𝒗𝒎𝒂𝒙
𝟐
𝟕𝟔, 𝟐
𝟗, 𝟖𝟏 𝟎 𝟕𝟔, 𝟐
𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟕, 𝟑𝟒𝒎/𝒔
Datos/Observaciones
Ejemplo 4:
Un automóvil de 1 000 kg toma una curva en una carretera plana de 50,0 m de radio con una 
rapidez de 50,0 km/h. ¿El automóvil seguirá la curva o derrapará?
Se supone que:
a) El pavimento está secoy el coeficiente de fricción estática es 𝜇𝑒 = 0,60; y
b) el pavimento está cubierto de hielo, y 𝜇𝑒 = 0,25.
𝑹 = 𝟓𝟎𝒎
𝑵
𝒎𝒈
𝒇𝒓 = 𝑵𝒖
SOLUCION
𝑭𝒄 ≥ 𝒇𝒓
𝒎𝒗𝟐
𝑹
≥ 𝑵𝝁𝒆
𝒎𝒗𝟐
𝑹
≥ 𝒎𝒈𝝁𝒆
𝒗𝟐
𝑹
≥ 𝒈𝝁𝒆
a)
Condición para
que derrape:
𝒗 = 𝟏𝟑, 𝟖𝟗 𝒎/𝒔
13,892
50
≥ 9,81(0,60)
𝜇𝑒 = 0,60
13,892
50
≥ 9,81(0,25)
b) 𝜇𝑒 = 0,25
3,86 ≥ 5,89 3,86 ≥ 2,45
¡No derrapa! ¡Sí derrapa!
Datos/Observaciones
Un halcón vuela en un arco horizontal de 14,0 m de radio con una rapidez constante
de 4,00 m/s. Si después el halcón continúa volando a lo largo del mismo arco
horizontal aumentando su rapidez en una proporción de 1,20 m/s2, realice lo siguiente:
a) Encuentre su aceleración centrípeta cuando vuela con rapidez constante.
b) Halle la aceleración cuando varía su rapidez tal como se indica.
Ejemplo 5:
SOLUCION
𝒂𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝒂𝒄 = 𝟏, 𝟏𝟒
𝒂)
𝒂𝒄 =
𝒗𝟐
𝑹
=
(𝟒)𝟐
𝟏𝟒
𝒃) 𝒂𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒂𝒄
𝟐 + 𝒂𝒕
𝟐
𝒂𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = ( )
𝟐+( )𝟐
= 𝟏, 𝟏𝟒 𝐦/𝒔𝟐
𝒂𝒕 = 𝟏, 𝟐
𝟏, 𝟐𝟏, 𝟏𝟒
𝒂𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟔𝟓𝟓𝒎/𝒔
𝟐
Datos/Observaciones
Un bloque que pesa 10 kg y se supone que es una partícula, descansa sobre un plano liso que puede girar
alrededor del eje y, si la longitud de la cuerda es L = 2 m. Determinar lo siguiente:
a) Cuál es la tensión en la cuerda cuando la 𝜔 (rapidez angular) del plano y bloque es de 10 r.p.m.
b) Cuál es la 𝜔 necesaria para hacer el bloque este justo en contacto con el plano.
c) Cuál es la tensión de la cuerda en estas condiciones.
Ejemplo 6:
SOLUCION
y
𝑵
𝒎𝒈
𝑻
𝑵𝒔𝒆𝒏𝜶 𝑻𝒄𝒐𝒔𝜶
𝑻𝒔𝒆𝒏𝜶𝑵𝒄𝒐𝒔𝜶
𝜔 =
10 × 2𝜋
60
= 1,05 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝐹𝑐 =
𝑚𝑣2
𝑟
𝑇𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑁𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑚𝜔2. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑣 = 𝜔. 𝑟
𝑇𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑁𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑚𝑔
𝑇𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑁𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑚𝜔2. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝑇𝑠𝑒𝑛𝛼𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑁𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑚𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝛼
❖ Condición de equilibrio eje “y”:
❖ Movimiento circunferencial en el eje 
“x”:
𝑇 = 𝑚(𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝜔2. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠2𝛼)
𝑇 = 10 9,81𝑠𝑒𝑛30 + 1,05 2(2)𝑐𝑜𝑠230
𝑇 = 6,56 𝑁
𝒂)
Datos/Observaciones
Un bloque que pesa 10 kg y se supone que es una partícula, descansa sobre un plano liso que puede girar
alrededor del eje y, si la longitud de la cuerda es L = 2 m. Determinar lo siguiente:
a) Cuál es la tensión en la cuerda cuando la 𝜔 (rapidez angular) del plano y bloque es de 10 r.p.m.
b) Cuál es la 𝜔 necesaria para hacer el bloque este justo en contacto con el plano.
c) Cuál es la tensión de la cuerda en estas condiciones.
Ejemplo 6 (Continuación):
SOLUCIONy
𝑵
𝒎𝒈
𝑻
𝑵𝒔𝒆𝒏𝜶 𝑻𝒄𝒐𝒔𝜶
𝑻𝒔𝒆𝒏𝜶𝑵𝒄𝒐𝒔𝜶
𝑇 = 𝑚𝜔2. 𝐿
𝑇𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑚𝑔
𝑚𝑔
𝑠𝑒𝑛𝛼
= 𝑚𝜔2. 𝐿
N=0.
𝑇 = 195,94 𝑁
b)
𝜔 =
𝑔
𝐿𝑠𝑒𝑛𝛼
𝜔 =
9,81
2𝑠𝑒𝑛30
= 3,13 𝑟𝑎𝑑/𝑠
c) 𝑇 = 10(3,13)2(2)
Datos/Observaciones
Para el traslado de paquetes de 0,5 kg de masa c/u, se utiliza una faja de transportadora.
a) Calcular la fuerza que ejerce la banda sobre c/paquete en el momento en que éste pasa por el punto P,
sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre c/paquete y la faja vale 0,4.b) Calcular el ángulo 𝝷 que determine la posición del punto Q en el momento que el paquete abandona la cinta.
Q
p
V=1m/s
Ejemplo 7:
SOLUCION
a) 𝑭𝒃𝒂𝒏𝒅𝒂 = 𝒇𝒓
𝒇𝒓 = 𝝁𝑵
𝒇𝒓 = 𝝁𝒎𝒈
𝒇𝒓 = (𝟎, 𝟒)(𝟎, 𝟓)(𝟗, 𝟖𝟏)
𝑭𝒃𝒂𝒏𝒅𝒂 = 𝟏, 𝟗𝟔𝟐 𝑵
b) Considerar v=1m/s.
N=0.
𝑭𝒄 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒗𝟐
𝒈𝒓
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
(𝟏)𝟐
(𝟗, 𝟖𝟏)(𝟎, 𝟐𝟓)
𝜽 = 𝟔𝟓, 𝟗𝟒𝒐
Practicando
Alternativas
a)𝑇 = 100 𝑁 𝑦 𝑎 = 5 𝑚/𝑠2
c)𝑇 = 99,8 𝑁 𝑦 𝑎 = 7,2 𝑚/𝑠2
b)𝑇 = 114,4 𝑁 𝑦 𝑎 = 6,9 𝑚/𝑠2
Práctica
Si la velocidad de la bola de 10 kg es de 3 m/s cuando está en la
posición A, a lo largo de la trayectoria vertical, determine la tensión en
la cuerda y el incremento en su rapidez en esta posición (aceleración
tangencial).
𝑭𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 − 𝑭𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
Datos/Observaciones
Si la velocidad de la bola de 10 kg es de 3 m/s cuando está en la
posición A, a lo largo de la trayectoria vertical, determine la tensión
en la cuerda y el incremento en su rapidez en esta posición
(aceleración tangencial).
SOLUCION
𝑭𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 − 𝑭𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
𝑻
𝒎𝒈
𝒎𝒈cos45
𝒎𝒈cos45
𝑭𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 − 𝑭𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 =
𝒎𝒗𝟐
𝒓
(T ) − (𝐦𝐠cos45 )=
𝐦𝐯𝟐
𝐫
T 𝐦𝐠cos45
T =
𝐦𝐯𝟐
𝐫
+𝐦𝐠cos45
T =
(𝟏𝟎 )(𝟑 )𝟐
(𝟐 )
+ (𝟏𝟎 )(𝟗, 𝟖𝟏 )cos45
𝐓 = 𝟏𝟏𝟒, 𝟑𝟕 𝐍
𝑭𝑡𝑎𝑛 = (𝑚)(𝑎𝑡𝑎𝑛)
𝑎𝑡𝑎𝑛 =
𝑭𝑡𝑎𝑛
𝑚
𝑎𝑡𝑎𝑛 =
(𝒎𝒈cos45 )
𝑚
𝒎𝒈cos45
𝑎𝑡𝑎𝑛 = 𝟔, 𝟗𝟑 𝑚/𝒔
𝟐
Practicando - solución
Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
Para culminar nuestra sesión respondemos a:
Cierre
CIERRE
En los movimientos que no son MCU, la fuerza neta tienes dos
componentes en las direcciones de las
_______________________________.
En un MCU, la fuerza neta y la aceleración centrípeta apuntan
hacia el ______________________.
Cierre
✓La segunda ley de Newton también
se aplica para movimientos que no
son rectilíneos.
✓Si el movimiento es un MCU la
aceleración está dirigido hacia el
centro por lo tanto la fuerza neta
también.
✓Si el movimiento no es MCU la
fuerza neta tiene dos componentes
en las direcciones de las
aceleraciones.
No olvidar!
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I.
México. Ed. Thomson.
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física 
Universitaria Volumen I, Undécima Edición. México. Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. 
México Ed. Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo
interamericano.
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed.
Continental.
BIBLIOGRAFÍA
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	Diapositiva 17
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