S10 s2 - PPT Dinámica de un MAS

Vista previa del material en texto

Bienvenidos estimados y estimadas 
estudiantes.
En breve iniciamos la sesión.
¿con qué tipo de las manzanas se identifican?
¿Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada?
¿Que recordamos de la clase anterior?
SABERES 
PREVIOS
• ¿Qué entiende por movimiento
oscilatorio?
• ¿Qué es periodo de oscilación?
Responda a la siguiente pregunta:
¿Qué parámetros caracteriza 
una función senoidal?
a) ______________ 
b) ______________ 
c) ______________ 
¿Cómo describirían el movimiento de la sierra?
https://www.youtube.com/watch?v=fw2OxTl9b7g
En un principio, el péndulo se utilizó para calcular el
tiempo. El péndulo simple es uno de los
descubrimientos importantes de la física y su
investigación está relacionada con el desarrollo de la
ley de la gravedad, la cinética, y en general con avances
en la navegación y la mecánica que transformaron la
humanidad.
Utilidad
Cálculo aplicado a la física 1
MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE (M.A.S)
Semana 10 – Sesión 2
Agenda
✓Definición del movimiento
periódico, movimiento
oscilatorio y MAS.
✓Cinemática del MAS.
✓Dinámica del MAS.
✓Ejercicios.
✓Cierre.
LOGRO DE LA SESIÓN
Al termino de la sesión el estudiante aplica 
la segunda ley de newton para describir el 
movimiento armónico simple.
Movimiento Oscilatorio
• Es un movimiento que se realiza alrededor de una
posición de equilibrio.
• Siempre que un cuerpo se desplaza respecto a su
posición de equilibrio, hay una fuerza que tiende a
regresarlo a dicha posición.
• A las fuerzas con estas características se les llama
fuerza de restitución.
• Solo puede haber oscilación si hay una fuerza de
restitución que tiende a regresar al sistema al equilibrio
Ejemplo: Sistema masa-resorte
Movimiento armónico simple (MAS)
De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.),
debido a que, además de ser el movimiento más simple de describir matemáticamente, constituye una
aproximación muy cercana de muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza.
M = movimiento.
A = armónico, quiere decir que se la ecuación del movimiento se 
expresa mediante funciones armónicas, como la función seno o 
la función coseno. 
S = simple, es un movimiento de una sola variable
(unidimensional).
SISTEMA MASA
RESORTE PÉNDULO SIMPLE
Ley de Hooke
Consideremos que el resorte de la figura anterior es ideal,
es decir, que obedece la ley de Hooke.
En este caso la magnitud de fuerza de restitución Fx es
directamente proporcional al desplazamiento x respecto al
punto de equilibrio, siendo la constante de
proporcionalidad, la constante del resorte.
Fuerza de restitución
𝐹𝑥 = −𝑘𝑥
Desplazamiento
𝐹𝑥
𝑥
𝑥 es el desplazamiento,
𝑘 es la constante de resorte.
El signo indica que la fuerza está siempre en dirección opuesta al
desplazamiento.
Cuanto más rígido es el resorte mayor fuerza será necesaria para
estirarla o comprimirla
𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏
𝒌
Dinámica del M.A.S.
෍ Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎 𝐹 = −𝑘𝑥 = 𝑚𝑎𝐹 = −𝑘𝑥
m
m
m
𝑭
𝑭
𝑥 = 0
𝑥
𝑥
(> 0)
(< 0)
Posición de equilibrio:
Elongación máxima:
Compresión máxima:
𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏
𝒌
𝑽𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒎𝒂𝒙𝒂𝒎𝒂𝒙
𝒂 = 𝟎 𝒗 = 𝟎𝒗 = 𝟎
Ecuaciones de movimiento del M.A.S.
k
a x
m
 
= − 
 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −(
𝑘
𝑚
)𝑥 →
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ω2𝑥 = 0
ω2 =
𝑘
𝑚
Reemplazando la expresión de la aceleración
en la segunda ley de Newton, se obtiene una
ecuación diferencial de segundo orden respecto
a la posición y al tiempo.
La solución de la ecuación es:
( ) cos( )x t A t = + La ecuación de la posición.
Donde : A, ω y δ son constantes
A (amplitud),
ω (frecuencia angular) y
δ (constante de fase o ángulo inicial de fase)
El argumento de la función coseno se denomina fase
de movimiento
k
m
 =
m
k
2
1
2
f


==
k
m
2
2
f
1
T 


===
Una masa mayor, mayor inercia, tiene menos
aceleración por tanto se mueve mas lentamente
y tarda mas en completar un ciclo.
( ) ( )
max
sen
v
dx
v t A t
dt
  = = − +
( ) ( )
max
2 2cos
a
dv
a t A t x
dt
   = = − + = −
𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏
𝒌
𝑽𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒎𝒂𝒙𝒂𝒎𝒂𝒙
𝒂 = 𝟎 𝒗 = 𝟎𝒗 = 𝟎
Gráficas de movimiento del M.A.S.
Para δ = 0.
( ) cos( )x t A t=
( ) cos( )x t A t = +
( ) ( )v t A sen t  =− +
2( ) cos( )a t A t  = − +
( ) ( )v t A sen t =−
2( ) cos ( )a t A t = −
Avmáxima =
Aa 2máxima =
𝑡
𝑡
𝑡
𝑇
4
𝑇
2
3𝑇
4 𝑇𝑥
𝑣
𝑎
𝐴
−𝐴
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴
−𝑣𝑚𝑎𝑥= −𝜔𝐴
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝜔
2𝐴
−𝑎𝑚𝑎𝑥= −𝜔
2𝐴
𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏
𝒌
𝑽𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒎𝒂𝒙𝒂𝒎𝒂𝒙
𝒂 = 𝟎 𝒗 = 𝟎𝒗 = 𝟎
Parámetros del M.A.S
Del grafico Posición vs tiempo se muestra en la figura adjunta 
se puede obtener:
Conociendo el T:
2
T

 =
La fase inicial: 
1
( ) ( )
cos
( ) ( )
oo
o
sí vx
sí vA



−
−  + 
=   
+  − 
𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏
𝒌
𝑽𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒎𝒂𝒙𝒂𝒎𝒂𝒙
𝒂 = 𝟎 𝒗 = 𝟎𝒗 = 𝟎
Ejemplo 1:
Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza hacia la derecha
0,120 m de su posición de equilibrio y se suelta con una rapidez inicial cero, después de 0,800 s su
posición es de 0,120 m en el lado opuesto, habiendo pasado por la posición de equilibrio una vez.
Calcule:
a) la amplitud,
b) el periodo,
c) la frecuencia de oscilación,
d) la frecuencia angular, y
e) la ecuación de posición.
Ejemplo 2:
Una partícula oscila con un movimiento armónico simple a lo largo del eje x. Su desplazamiento varía 
con el tiempo de acuerdo con la ecuación:
𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑡 +
𝜋
4
Donde x se mide en m, t en s y los ángulos en radianes. Calcular: 
a) la amplitud, frecuencia y periodo del movimiento.
b) la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante t.
c) la posición, la velocidad y la aceleración en el instante t = 1s.
d) la velocidad y la aceleración máximas de la partícula.
e) el desplazamiento entre t = 0 y t = 1s.
f) la fase del movimiento en t = 2s.
Ejemplo 3:
Una masa de 200 g se conecta a un resorte de constante 5 N/m, que es libre de oscilar sobre una
superficie horizontal sin roce. Si la masa se desplaza 5 cm del equilibrio y se suelta desde el reposo,
como en la figura, calcular:
a) la frecuencia y el periodo del movimiento.
b) la rapidez y la aceleración máxima de la masa.
c) la posición, la rapidez y la aceleración para t = 2π s.
Practicando
Alternativas
𝑏) 𝑇 = 0,2 𝑠; 𝑘 = 1075 𝑁/𝑚
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 3,02
𝑚
𝑠
; 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 21,5
𝑚
𝑠2
c) 𝑇 = 0,3 𝑠; 𝑘 = 1075 𝑁/𝑚
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 1,04
𝑚
𝑠
; 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 21,5
𝑚
𝑠2
a) 𝑇 = 0,3 𝑠; 𝑘 = 1070 𝑁/𝑚
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 3,02
𝑚
𝑠
; 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 18,5
𝑚
𝑠2
Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y
realiza un movimiento armónico simple sobre una
superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud
de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine:
a) El periodo del movimiento y la constante elástica
del muelle.
b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del
objeto.
Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
Para culminar nuestra sesión respondemos a:
Cierre
Cierre
La fuerza restauradora siempre apunta hacia _______________.
El periodo en un MAS depende de :__________ y __________.
NO OLVIDAR!
✓ La segunda ley de Newton también se
aplica para movimientos que no son
rectilíneos.
✓El movimiento armónico simple tiene
una amplitud constante.
✓ La ley de Hooke se cumple para resortes
ideales.
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I. México. 
Ed. Thomson.
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física Universitaria
Volumen I, Undécima Edición. México. Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. México Ed. 
Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo interamericano.
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008)Física. Volumen I. México. Ed. Continental.
BIBLIOGRAFÍA
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6
	Diapositiva 7
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9
	Diapositiva 10
	Diapositiva 11: Movimiento Oscilatorio
	Diapositiva 12: Movimiento armónico simple (MAS)
	Diapositiva 13: Ley de Hooke
	Diapositiva 14: Dinámica del M.A.S.
	Diapositiva 15: Ecuaciones de movimiento del M.A.S.
	Diapositiva 16: Gráficas de movimiento del M.A.S.
	Diapositiva 17: Parámetros del M.A.S
	Diapositiva 18: Ejemplo 1:
	Diapositiva 19: Ejemplo 2:
	Diapositiva 20: Ejemplo 3:
	Diapositiva 21
	Diapositiva 22
	Diapositiva 23
	Diapositiva 24
	Diapositiva 25
	Diapositiva 26