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Bienvenidos estimados y estimadas estudiantes. En breve iniciamos la sesión. ¿con qué tipo de las manzanas se identifican? ¿Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada? ¿Que recordamos de la clase anterior? SABERES PREVIOS • ¿Qué entiende por movimiento oscilatorio? • ¿Qué es periodo de oscilación? Responda a la siguiente pregunta: ¿Qué parámetros caracteriza una función senoidal? a) ______________ b) ______________ c) ______________ ¿Cómo describirían el movimiento de la sierra? https://www.youtube.com/watch?v=fw2OxTl9b7g En un principio, el péndulo se utilizó para calcular el tiempo. El péndulo simple es uno de los descubrimientos importantes de la física y su investigación está relacionada con el desarrollo de la ley de la gravedad, la cinética, y en general con avances en la navegación y la mecánica que transformaron la humanidad. Utilidad Cálculo aplicado a la física 1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) Semana 10 – Sesión 2 Agenda ✓Definición del movimiento periódico, movimiento oscilatorio y MAS. ✓Cinemática del MAS. ✓Dinámica del MAS. ✓Ejercicios. ✓Cierre. LOGRO DE LA SESIÓN Al termino de la sesión el estudiante aplica la segunda ley de newton para describir el movimiento armónico simple. Movimiento Oscilatorio • Es un movimiento que se realiza alrededor de una posición de equilibrio. • Siempre que un cuerpo se desplaza respecto a su posición de equilibrio, hay una fuerza que tiende a regresarlo a dicha posición. • A las fuerzas con estas características se les llama fuerza de restitución. • Solo puede haber oscilación si hay una fuerza de restitución que tiende a regresar al sistema al equilibrio Ejemplo: Sistema masa-resorte Movimiento armónico simple (MAS) De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), debido a que, además de ser el movimiento más simple de describir matemáticamente, constituye una aproximación muy cercana de muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza. M = movimiento. A = armónico, quiere decir que se la ecuación del movimiento se expresa mediante funciones armónicas, como la función seno o la función coseno. S = simple, es un movimiento de una sola variable (unidimensional). SISTEMA MASA RESORTE PÉNDULO SIMPLE Ley de Hooke Consideremos que el resorte de la figura anterior es ideal, es decir, que obedece la ley de Hooke. En este caso la magnitud de fuerza de restitución Fx es directamente proporcional al desplazamiento x respecto al punto de equilibrio, siendo la constante de proporcionalidad, la constante del resorte. Fuerza de restitución 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 Desplazamiento 𝐹𝑥 𝑥 𝑥 es el desplazamiento, 𝑘 es la constante de resorte. El signo indica que la fuerza está siempre en dirección opuesta al desplazamiento. Cuanto más rígido es el resorte mayor fuerza será necesaria para estirarla o comprimirla 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒌 Dinámica del M.A.S. Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎 𝐹 = −𝑘𝑥 = 𝑚𝑎𝐹 = −𝑘𝑥 m m m 𝑭 𝑭 𝑥 = 0 𝑥 𝑥 (> 0) (< 0) Posición de equilibrio: Elongación máxima: Compresión máxima: 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒌 𝑽𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒎𝒂𝒙𝒂𝒎𝒂𝒙 𝒂 = 𝟎 𝒗 = 𝟎𝒗 = 𝟎 Ecuaciones de movimiento del M.A.S. k a x m = − 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −( 𝑘 𝑚 )𝑥 → 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 +ω2𝑥 = 0 ω2 = 𝑘 𝑚 Reemplazando la expresión de la aceleración en la segunda ley de Newton, se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden respecto a la posición y al tiempo. La solución de la ecuación es: ( ) cos( )x t A t = + La ecuación de la posición. Donde : A, ω y δ son constantes A (amplitud), ω (frecuencia angular) y δ (constante de fase o ángulo inicial de fase) El argumento de la función coseno se denomina fase de movimiento k m = m k 2 1 2 f == k m 2 2 f 1 T === Una masa mayor, mayor inercia, tiene menos aceleración por tanto se mueve mas lentamente y tarda mas en completar un ciclo. ( ) ( ) max sen v dx v t A t dt = = − + ( ) ( ) max 2 2cos a dv a t A t x dt = = − + = − 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒌 𝑽𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒎𝒂𝒙𝒂𝒎𝒂𝒙 𝒂 = 𝟎 𝒗 = 𝟎𝒗 = 𝟎 Gráficas de movimiento del M.A.S. Para δ = 0. ( ) cos( )x t A t= ( ) cos( )x t A t = + ( ) ( )v t A sen t =− + 2( ) cos( )a t A t = − + ( ) ( )v t A sen t =− 2( ) cos ( )a t A t = − Avmáxima = Aa 2máxima = 𝑡 𝑡 𝑡 𝑇 4 𝑇 2 3𝑇 4 𝑇𝑥 𝑣 𝑎 𝐴 −𝐴 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴 −𝑣𝑚𝑎𝑥= −𝜔𝐴 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝜔 2𝐴 −𝑎𝑚𝑎𝑥= −𝜔 2𝐴 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒌 𝑽𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒎𝒂𝒙𝒂𝒎𝒂𝒙 𝒂 = 𝟎 𝒗 = 𝟎𝒗 = 𝟎 Parámetros del M.A.S Del grafico Posición vs tiempo se muestra en la figura adjunta se puede obtener: Conociendo el T: 2 T = La fase inicial: 1 ( ) ( ) cos ( ) ( ) oo o sí vx sí vA − − + = + − 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒌 𝑽𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒎𝒂𝒙𝒂𝒎𝒂𝒙 𝒂 = 𝟎 𝒗 = 𝟎𝒗 = 𝟎 Ejemplo 1: 𝒙 = ±𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 ± 𝑻 = 𝟏 𝒇 = 𝟐𝝅 𝝎 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: 𝜔 = 5𝜋/4 𝑟𝑎𝑑 c) Frecuencia (𝑓) 𝑓 = 1 𝑻 = 5 8 𝐻𝑧 𝑇 = b) Periodo (T) 1,6 𝑠 d) Frecuencia angular (𝜔) 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝒌 𝒎 e) La ecuación de la posición. 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒌 𝒗𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒎𝒂𝒙𝒂𝒎𝒂𝒙 𝒂 = 𝟎 𝒗 = 𝟎𝒗 = 𝟎 Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza hacia la derecha 0,120 m de su posición de equilibrio y se suelta con una rapidez inicial cero, después de 0,800 s su posición es de 0,120 m en el lado opuesto, habiendo pasado por la posición de equilibrio una vez. Calcule: a) la amplitud, b) el periodo, c) la frecuencia de oscilación, d) la frecuencia angular, y e) la ecuación de posición. a) Amplitud (A) A= 0,12 m x(t) = A cos(t + ) x(t) = ( ) cos( t + )0 , 1 2 5𝜋/4 0 Ejemplo 2: Una partícula oscila con un movimiento armónico simple a lo largo del eje x. Su desplazamiento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación: 𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑡 + 𝜋 4 Donde x se mide en m, t en s y los ángulos en radianes. Calcular: a) la amplitud, frecuencia y periodo del movimiento. b) la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante t. c) la posición, la velocidad y la aceleración en el instante t = 1s. d) la velocidad y la aceleración máximas de la partícula. e) el desplazamiento entre t = 0 y t = 1s. f) la fase del movimiento en t = 2s. 𝒙 = ±𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 ± 𝑻 = 𝟏 𝒇 = 𝟐𝝅 𝝎 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: a) Amplitud (A) A= 4 m 𝜔 =𝜋 rad Frecuencia angular (𝜔) Frecuencia (𝑓) 𝑓 = 𝜋 𝟐𝝅 = 1 𝟐 𝐻𝑧 𝑇 = 1 1/2 Periodo (T) = 2 𝑠 b) velocidad y la aceleración v(t) = −A s e n(t + ) v(t) = − ( ) ( ) s e n( t + )4 𝜋 𝜋 𝜋/4 a(t) = −A 2 cos(t + ) a(t) = − ( ) ( ) 2 cos( t + )4 𝜋 𝜋 𝜋/4 c) posición, la velocidad y la aceleración en el instante t = 1 s 𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑡 + 𝜋 4 𝑥 = −2,8 𝑚 v(t) = −A s e n(t + ) v = 8,9 𝑚/𝑠 a(t) = −A 2 cos(t + ) a = 27,9 𝑚/𝑠2 Una partícula oscila con un movimiento armónico simple a lo largo del eje x. Su desplazamiento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación: 𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑡 + 𝜋 4 Donde x se mide en m, t en s y los ángulos en radianes. Calcular: a) la amplitud, frecuencia y periodo del movimiento. b) la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante t. c) la posición, la velocidad y la aceleración en el instante t = 1s. d) la velocidad y la aceleración máximas de la partícula. e) el desplazamiento entre t = 0 y t = 1s. f) la fase del movimiento en t = 2s. 𝒙 = ±𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 ± 𝑻 = 𝟏 𝒇 = 𝟐𝝅 𝝎 c) la velocidad y la aceleración máximas 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 ± = 𝟏 y sen 𝝎𝒕 ± = 𝟏 v(t) = −A s e n(t + ) v = 12,57 𝑚/𝑠 a(t) = −A 2 cos(t + ) a = 39,5 𝑚/𝑠2 Ԧ𝑑 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 Ԧ𝑑 = 4𝑐𝑜𝑠 𝜋(1) + 𝜋 4 Ƹ𝑖 − 4𝑐𝑜𝑠 𝜋(1) + 𝜋 4 Ƹ𝑖 𝒇𝒂𝒔𝒆 = 𝜋𝒕 + 𝒇𝒂𝒔𝒆 = 𝜋𝒕 + fase = 9π/4 rad e) el desplazamiento entre t = 0 y t = 1s Ԧ𝑑= 5,66 Ƹ𝑖 𝑚 f) la fase del movimiento en t = 2s. Ejemplo 2 (Continuación): 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: Ejemplo 3: Una masa de 200 g se conecta a un resorte de constante 5 N/m, que es libre de oscilar sobre una superficie horizontal sin roce. Si la masa se desplaza 5 cm del equilibrio y se suelta desde el reposo, como en la figura, calcular: a) la frecuencia y el periodo del movimiento. b) la rapidez y la aceleración máxima de la masa. c) la posición, la rapidez y la aceleración para t = 2π s. 𝒙 = ±𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 ± 𝑻 = 𝟏 𝒇 = 𝟐𝝅 𝝎 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: a) Frecuencia angular (𝜔) 𝜔 =5 rad Frecuencia (𝑓) 𝑓 = 𝜔 𝟐𝝅 = 0,80 𝐻𝑧 𝑇 = 1 0,80 Periodo (T) = 1,25 𝑠 b) 𝑥 = 0,05𝑐𝑜𝑠 5𝑡 𝑥 = 0,05 𝑚 v(t) = −0 , 25 s e n (5t ) v = 0 𝑚/𝑠 a(t) = −1 , 25 cos (5t ) a = −1,25 𝑚/𝑠2 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝒌 𝒎 𝝎 = 𝒌 𝒎 = 𝟓 𝟎, 𝟐 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝑨𝝎 𝒂𝒎𝒂𝒙 = 𝑨𝝎 𝟐 Amplitud (A) 𝐴=0,05 m Rapidez máxima (𝒗𝒎𝒂𝒙) 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 0,25 𝑚/𝑠 Aceleración máxima (𝒂𝒎𝒂𝒙) 𝒂𝒎𝒂𝒙 = 1,25 𝑚/𝑠 2 c) posición, la rapidez y la aceleración para t = 2π s. Practicando Alternativas 𝑏) 𝑇 = 0,2 𝑠; 𝑘 = 1075 𝑁/𝑚 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 3,02 𝑚 𝑠 ; 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 21,5 𝑚 𝑠2 c) 𝑇 = 0,3 𝑠; 𝑘 = 1075 𝑁/𝑚 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 1,04 𝑚 𝑠 ; 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 21,5 𝑚 𝑠2 a) 𝑇 = 0,3 𝑠; 𝑘 = 1070 𝑁/𝑚 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 3,02 𝑚 𝑠 ; 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 18,5 𝑚 𝑠2 Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine: a) El periodo del movimiento y la constante elástica del muelle. b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto. Solucionario - Practicando Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine: a) El periodo del movimiento y la constante elástica del muelle. b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto. 𝒙 = ±𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 ± 𝑻 = 𝟏 𝒇 = 𝟐𝝅 𝝎 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: a) Periodo (T) 𝜔 = 6,6𝜋 rad 𝑇 = 1 3,3 Frecuencia angular (𝜔) = 0,30 𝑠 b) 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝒌 𝒎 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝑨𝝎 𝒂𝒎𝒂𝒙 = 𝑨𝝎 𝟐 Amplitud (A) 𝐴=0,05 m Rapidez máxima (𝒗𝒎𝒂𝒙) 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 1,04 𝑚/𝑠 Aceleración máxima (𝒂𝒎𝒂𝒙) 𝒂𝒎𝒂𝒙 = 21,5 𝑚/𝑠 2 𝒌 = 𝒎𝝎𝟐 Constante elástica (𝑘) 𝒌 = 1 075 𝑁/𝑚 Datos/Observaciones ¿Qué hemos aprendido hoy? Para culminar nuestra sesión respondemos a: Cierre Cierre La fuerza restauradora siempre apunta hacia _______________. El periodo en un MAS depende de :__________ y __________. NO OLVIDAR! ✓ La segunda ley de Newton también se aplica para movimientos que no son rectilíneos. ✓El movimiento armónico simple tiene una amplitud constante. ✓ La ley de Hooke se cumple para resortes ideales. BÁSICA ✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I. México. Ed. Thomson. ✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física Universitaria Volumen I, Undécima Edición. México. Pearson Educación. COMPLEMENTARIA ✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. México Ed. Reverté . ✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo interamericano. ✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed. Continental. BIBLIOGRAFÍA Diapositiva 1 Diapositiva 2 Diapositiva 3 Diapositiva 4 Diapositiva 5 Diapositiva 6 Diapositiva 7 Diapositiva 8 Diapositiva 9 Diapositiva 10 Diapositiva 11: Movimiento Oscilatorio Diapositiva 12: Movimiento armónico simple (MAS) Diapositiva 13: Ley de Hooke Diapositiva 14: Dinámica del M.A.S. Diapositiva 15: Ecuaciones de movimiento del M.A.S. Diapositiva 16: Gráficas de movimiento del M.A.S. Diapositiva 17: Parámetros del M.A.S Diapositiva 18: Ejemplo 1: Diapositiva 19: Ejemplo 2: Diapositiva 20: Ejemplo 2 (Continuación): Diapositiva 21: Ejemplo 3: Diapositiva 22 Diapositiva 23: Solucionario - Practicando Diapositiva 24 Diapositiva 25 Diapositiva 26 Diapositiva 27 Diapositiva 28 Diapositiva 29 Diapositiva 30
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