ALGEBRA ORD GRUPO A

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CEPRU 
CENTRO DE ESTUDIOS PRE 
UNIVERSITARIO - UNSAAC 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO 
 “Año del Fortalecimiento de la Soberanía Nacional”
 
	
	
CICLO ORDINARIO 2023 - I
“ÁREA A”
ÁLGEBRA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIRECTORIO CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO -UNSAAC 
DIRECTOR: 
 Dr. FRANCISCO MEDINA MARTINEZ 
 
INTEGRANTES: 
 Dr. SANTIAGO SONCCO TUMPI 
 Ing. VICTOR DUEÑAS AQUISE 
 Mgt. CAYREL GENOVEVA JIMENEZ PAREDES 
 
PERSONAL ADMINISTRATIVO: 
 PEDRO PAUL LABRA QUISPICURO 
 JODY MURILLO NEYRA 
 WILBER CELSO GAMERO HANDA 
 EDITH DIANA QUIRITA ACHAHUANCO 
 YOHN ELMER SOTO SURCO 
PLANA DOCENTE 1 
 
( n a )n = a 
a ; a m−n   
(am )n = am.n 
am 
=
 
an 
−  0 
a0 = 1;a  −0 
 
 
 
POTENCIACIÓN 
 
DEFINICIÓN. La potenciación es una 
operación matemática, que consiste en 
 
E) Potencia de potencia 
 
multiplicar un número llamado base "a" tantas F) Potencia de un producto 
veces como indica otro número llamado 
exponente "n", al resultado de esta operación 
se le denomina potencia. 
 
La potencia n-ésima de "a"denotado por "an " 
, está dado por: 
 
 
G) Potencia de un cociente 
 
 
 
 
 
donde: 
an = a.a.a...a , a  
n−veces 
y n  
 
 
H) Exponente negativo de un cociente 
 
"a" 
"n" 
: es la base. 
 
 
: es el exponente. 
"an ": es la potencia. 
 
PROPIEDADES: 
 
I) Exponente fraccionario 
 
Sea m, n  + , entonces se cumplen las 
propiedades siguientes: 
 
A) Producto de bases iguales 
RADICACIÓN 
DEFINICIÓN. Una radicación se define como: 
 
 
B) Cociente de bases iguales 
 
 
C) Exponente nulo (cero) 
 
 
D) Exponente negativo 
 
 
Donde: 
 
a : Radical 
n : Índice del radical ( n   n  2 ) 
a : Radicando 
b : Raíz n- ésima de "a" 
 
PROPIEDADES: 
 
Considérese para las expresiones siguientes, la 
existencia de todos los radicales. 
 
 
1. con ( n   n  2 ). 
(a.b)n = an .bn 
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA 
−0 + 
am .an = am+n 
n a = b  bn = a 
 a 
n
 
  n 
  b b 
= ; 
an 
a,b   b  0 
 a 
−n
 
 
b 
 
    
=  
a 
 ;a,b  
 b 
n
 
−0 
m 
a n = n am 
a−n = 
1 
; a  
an 
−0 
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA 
PLANA DOCENTE 2 
 
 
n an 
n a 
= ;b  0, n  
n b 
a 
n 
b 
n ab = n a . n b; n  
= 
a  + , si n par 
 
a  , si n es impar 
m n a 
xn = b  x = n b, x  0, n  
+ 
+ 
= mn a ; m, n  
 
y2 y 
 
 
2. a) 10 
b) 5 
3. 
c) 12 
d) 7 
e) 2 
4. 
3. Si se cumple que: 
 
 
 
 
 
3n−1 = 22n , el valor de la 
5. 
 
6. 
 
 
ECUACIONES 
EXPONENCIALES 
 
expresión 
 
a) 1 
b) 5 
c) 21 
d) 10 
e) 3 
3n+1 + 22n+1 
A = 
3n + 22n+3 
 
, es: 
 
DEFINICIÓN. Son aquellas ecuaciones que 
 
4. Sean x, y  y y − x  2 
 
, luego de 
contienen la incógnita o variable en el exponente 
y en otros como exponente y base. 
 
PROPIEDADES 
 
1) 
 
 
2) 
 
3) 
simplificar la expresión: 
xx+ y y y + yx+ y xx 
I = x− y 
x2 y yx + y2 x xy 
 
a) 
x 
y 
b) 
y 
x 
c) 
1
 
y 
1 
 
 
resulta: 
4) 
d) 
x
 
e) xy 
EJERCICIOS 
 
5. Si 
 
xx = 2 luego el valor de 
 
x+1−x1+ x 
, es: 
 
 
1. Al simplificar la expresión: 
3a+4 9a+2b 
Q = se obtiene: 
27a−1 81b+1 
a) 2 
b) 4 
c) 
d) 
1
 
a) 27 
b) 28 
c) 23 
d) 3 
2 
e) 8 
 
6. Al simplificar la expresión 
e) 9 
 2. El valor de "k " en la expresión 
 
x2 − 
 
 1 
x 
 
  x −   
1  
y−x 
  
E = y x− y , resulta igual 
 2n 2  2 1   1  
 
k = 
5n−1 + 355n−1 
; n  1, es: 
 y − x2   
y + 
x      
a: 
ax = ay  x = y ;a  + −1 
x
n 
= y
n 
 x = y ; x , y  
+ 
;n  + 
xx = aa  x = a ; x , a  + 
n−1 5n+1 
2 
 m 
kn bk m = n bm = b n ;dondek  
J = 
xx 
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA 
PLANA DOCENTE 3 
 
 
a 
20a+1 
4a+2 + 22a+2 
y 
x 
 
a) 
x 
y 
b) 
y 
x 
 x 
x + y 
c)   
  
 y 
x+ y 
d)   
  
 
 
 
el valor de 
 
a) 10 
b) 12 
c) 4 
d) 6 
e) 3 
 
 
E = x2 − x , es: 
e) ( xy )
x+ y
 
2 2 
11. Si ab = 2 , el valor de 
a3b.a
2b 
7. El valor de: E = n2 10
n − 6n , es: 
M = 
2b 3b 4b , es: 
 
 
a) 2 
b) 5 
c) 10 
d) 
2 
5 
5 
(25)n
2 
− (15)n
2
 
 
a + a + a + 4 
 
 
 
 
 
1+2 x1+x−x
x+1
 
xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
, es: 
e) 
2 
 
1 
8. Si se cumple que 
 
 
xx = 7 , x  
1 
+ . El valor 
de, 
 
8(7x ) + (23x  x) x + (x)2 
P = 
322 + 2x2 +16(7x ) 
, es: 
 
 
13. Al simplificar la expresión 
a) 2 
b) 7 
c) 4 
d) 
1 
2 
e) 
1 
4 
 
9. Al simplificar la expresión: 
E = (−x2 )
3 
.(−x−3 )
2 
.(x3 )
2 
.(x−3 )
2 
.(−x(−3)
2 
) , 
se obtiene: 
 
a) x9 
b) −x9 
c) x6 
d) −x6 
e) −x−6 
 
 
E = 
 
a) 1 
b) 4 
c) 2 
d) 8 
e) 16 
 
10. Si se cumple que: 
 
 
, se obtiene: 
14. Al simplificar la expresion: 
5a−1 + 3a−1 
D = + a−1 
51−a + 31−a 
obtiene: 
a) 5 
b) 15 
c) 20 
d) 10 
e) 25 
 
 
, se 
n 
8n + n 
16n
2 
+ 8n
2
 
2n +1 
4n
2 
+ 2n
2
 
(22x + 22x + 22x + ... + 22x )− (4x + 4x + 4x + ... + 4x ) = 12 
1778 sumandos 1776 sumandos 
 a) 32 
b) 5 
c) 12 
d) 128 
e) 64 
12. Si xx = 2 , el valor de D = 
 
a) 16 
 b) 2 
 c) 8 
 d) 4 
 e) 32 
 
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA 
PLANA DOCENTE 4 
 
 
2. 2. 2 
2. 2. 2 
2 
2 2 
A = .b.b b   , 
 
15. Al simplificar la expresión: b) 1 
9x
2 
+2 + 32 x
2 
+2 
D = x
2
 
90x
2 
+1 
 
, se obtiene: 
c) b−1 
d) b2 
e) b−2 
a) 10 
b) 100 1 
 
20. Al resolver la ecuación, 
7
x
2 
−6 
+ 7
x
2 
−7 
+ 7
x
2 
−8 
+ 7
x
2 
−9 
= 400 , el valor 
c) 
d) 
e) 
 
16. Si 
10−1 
10−2 
 
xx = 2 , entonces, el valor de: 
de " x" es: 
 
 
a) 3 
xx
xx+1+1 +1
 
 
 
x 
a) 2 
b) 8 
 
, es: 
b) −3 
c) 3 
d) 2 
e) 6 
21. Al resolver la ecuación, 
c) 4 
d) 16  
8 
x−1 
 
27 
 
 9 
x
  
4 
 
 81
4x 
4  
16 
 = 
9 
,
 
e) x 
17. Al reducir 
 
V = , se obtiene: 
 
a) 2 2 
b) 
c) 4 
d) 2 
e) 8 
 
18. Si "a" y "b" son números positivos; al 
reducir 
      
el valor de " x" es: 
a) 
1 
3 
b) 
2 
3 
c) − 
1 
3 
d) − 
2 
3 
e) 6 
abab .aab−1 baba .bba−1 
−(ab)
ab
 22. Al resolver la ecuación 
M = ab .ba .(ab) resulta − −x−1 
igual a: 
 
a) ab 
b) ab 
c) ba 
9−8 
9 
a) 3 
b) 2 
c) 4 
= 
1 
, el valor de "2x" es: 
3 
d) ab−1 
e) ba−1 
d) −4 
e) −3 
 
19. Para "b" diferente de cero, el valor de 
36x−1 1 
((b−3 )2 )
−1 
 
 
−2 
−1 
−4 23. Al resolver la ecuación = , el valor 144x−1 64 
2 ( 3 ) 
b−3
2 (b−3 )
2 
.b(−3)
2 
  
es: 
 
a) b 
de " x", es: 
 
a) 8 
b) 2 
c) 4 
d) −4 
 
2 
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA 
PLANA DOCENTE 5 
 
 
1 
2 
x 
x
 
 
4 
 
 
e) −8 
 
28. Al resolver la ecuación 
 
x−x
−4 
= 4 , el valor de 
24. Al resolver la ecuación: " x" es: 
1 
+
 
2x 
es: 
1 
 
 
2x+1 
+ 
1 
2x+2 
+ 
1 
2x+3 
= 1, el valor de " x" 
a) 
1 
4 
a) 3 
b) 6 
b) 
1
 
8 
c) 
d) 
e) 
25. Si 
−3 
−6 
−2 
xx = 2 , entonces el valor de la 
1+x 
c) 
 
d) 
e) 
1
 
 
expresión 
 
a) 2 
b) 4 
c) 16 
E = xx
1+2 x 
, es: 
 
29. Si 
2 
 
x
−2
2− x 
1 
 
 
= 2 , el valor de: 
 
 
E = , es 
d) 212 
e) 216 
 
26. Al resolver la ecuación 27x + 33x+1 =12 , el 
valor de " x", es 
 
a) 
1 
6 
b) 
2 
3 
a) 
8 
b) 
1 
4 
c) 
1
 
2 
d) 
1 
16 
e) 
1 
2 
c) − 
1 
3 
d) 
1 
3 
e) 
7 
3 
 
 
 
 
 
 
 1 
4x
  
2 
 
 
 
 
30. El conjunto solución de la ecuación: 
x
x−x
2 
+13 
= x
2 
−12 , es: 
a) 4 
b) −3 
c) −3; 4 
27. Al resolver la ecuación, 
 1   
= el 
  
valor de " x" es: 
 
 
a) 
1 
2 
b) 
1 
4 
1 
d) −4; 3 
e) −4; −3 
c) 
 
d) 
e) 
1 
16 
2 
2 
1 
2 
2 
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA 
PLANA DOCENTE 6 
 
 
 
f) −4; −3 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
 
DEFINICIÓN. Se denomina expresión 
Algebraicaa toda expresión que está formada 
 
Ejemplo 1: 
P(x, y, z) = 
 
56 
a2 + b4 
 
 
 
1 
x2 y 2 z4 
por variables y/o constantes en cantidades 
finitas, que están ligadas mediante las 
operaciones fundamentales de : adición, 
sustracción, multiplicación, división potenciación 
y radicación, sin variables en los exponentes. 
 
Ejemplo 1: 
 
P(x) = 3x2 −10x3/2 + 34 
 
Ejemplo 2: 
OBSERVACIÓN: 
 
• Decimos que dos o más términos son 
semejantes, cuando tienen la misma parte 
literal. 
 
• Dos o más términos se pueden sumar o 
restar cuando son semejantes y en este caso 
se suman o restan los coeficientes y se 
escribe la misma parte literal. 
R(x, y) = 12x−6 +10x0,5 y−0,5 + 
7
 − 2020 
Ejemplo 1: 
x + y4 
6x2 y−8 −12x2 y −8 +x2 y −8 = ( − 6)x2 y−8 
OBSERVACIÓN: 
 
• Toda expresión que no cumpla con las 
condiciones mencionadas será llamada 
expresión no algebraica o trascendente. 
 
 
Ejemplo 1: 
 
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES 
ALGEBRAICAS: 
 
La clasificación está según la naturaleza del 
exponente. 
 
A) Expresiones Algebraicas Racionales 
x x2 x3 x4 
S(x) = 1+ + + + +... 
1! 2! 3! 4! 
Ejemplo 2: 
 
T (x, y) = 3x + tan x2 −16log y 
 
TÉRMINO ALGEBRAICO 
DEFINICIÓN. Es aquella expresión algebraica 
en la que sus elementos están ligados solo por 
las operaciones de multiplicación, división, 
potenciación y radicación. 
Son aquellas expresiones en donde los 
exponentes de las variables son números 
enteros. Entre estas se tienen: 
 
 E.A.R. Enteras: 
Son expresiones donde la variable o 
variables tienen exponentes que son a lo 
más números enteros positivos, también 
pueden presentar término independiente. 
 
Ejemplo 1: 
 
P(x) = 3x7 − 4x3 + x2 − 23 
 
Ejemplo 2: 
 
Q(x, y, z) = 2x9 − 87x3 y6 z2 + x2 y6 − 23xyz ⎯
s
⎯
igno
⎯→ − 24 x 
4 
y 
12 
z
−3 ⎯
exp
⎯
on
⎯
ente
⎯
s
⎯
 
coeficiente parte literal 
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PLANA DOCENTE 7 
 
 
y 
 
an , an−1 , an−2 ,..., a2 , a1 , a0 : Coeficientes reales. 
 
 
• E.A.R. Fraccionaria: 
Son expresiones cuyas variables admiten 
por lo menos un exponente que es un 
número entero negativo. 
 
Ejemplo 1: 
 
R(x) =13x−7 +12x4 + x2 + x −1 
 
Ejemplo 2: 
OBSERVACIONES: 
 
• 
Polinomio lineal (polinomio de primer grado). 
 
• 
Polinomio cuadrático (polinomio de segundo 
grado) 
 
Ejemplo 1: 
Z (x, y) = 4x9 − 7x−3 y6 + y6 − 
8 
+ 4 
 
P(x) = 5x10 + 2x8 − x6 − 7 , es un polinomio 
x2 − y3 
 
B) Expresiones Algebraicas Irracionales 
 
Son aquellas expresiones que se 
de grado 10, cuyo coeficiente principal es 
y el término independiente es -7. 
Ejemplo 2: 
caracterizan, porque su variable o variables 
están afectados por un radical o los 
exponentes de sus variables son números 
fraccionarios. 
P(x) =− 
5 
variable. 
x10 , es un monomio de una 
 
Ejemplo 1: 
 
T (x) = x6 + 6x4/3 + 9x2 −12x 
 
Ejemplo 2: 
M (x, y) = −12x9 + 74 y6 − 
 
 
 
 
1 
 
 
x8 +12 y3 
 
 
 
 
 
+ 4x +1 
Ejemplo 3: 
 
P(x, y , z) = −7x10 y7z12 , es un monomio de tres 
variables. 
 
Ejemplo 4: 
P(x, y ) = x10 y7 − 11x12 y8 + x2 y3 , es un 
POLINOMIO 
 
DEFINICIÓN. Un polinomio es una expresión 
algebraica racional entera, donde los exponentes 
de las variables son números enteros positivos 
mayores o iguales a cero, con una o más 
variables y con uno o más términos en 
cantidades finitas. 
 
El polinomio en la variable " x" está definida por: 
trinomio de dos variables. 
 
VALOR NUMÉRICO DE UN 
POLINOMIO 
 
DEFINICIÓN. Es el valor real que adquiere un 
polinomio, cuando se les asigna determinados 
valores reales a sus variables. 
Es decir: 
 
✓ Si P(x) es un polinomio real, entonces para 
x = a con a  P(a) es el valor numérico 
Donde: del polinomio. 
x  : variable 
n  + : Es el grado del polinomio. 
 
✓ Si P(x, y) 
 
es un polinomio real, entonces 
0 para x = a  y = b, con a,b  P(a,b) 
n +1: Es el número de términos de P(x) es el valor numérico del polinomio. 
an : Coeficiente principal del polinomio. 
a0 : Término independiente del polinomio. 
P(x) = a xn + a xn−1 +... + a x + a , a  0 
n n−1 1 0 n 
P(x) = a x + b, a ,b  ; a  0 
P(x) = a x2 + bx + c , a ,b,c  ;a  0 
5 
3 
; 
; 
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PLANA DOCENTE 8 
 
 
  
 
✓ Si P(x, y, z) es un polinomio real, entonces OBSERVACIONES: 
para x = a  y = b  z = c , con a,b, c  • Dado el polinomio lineal: 
P(a,b,c) 
Ejemplo 1: 
es el valor numérico del polinomio. 
P(x) = ax + b, a  0 entonces: 
 
Dado 
es: 
P(x) = x3 + (x + 5)2 − 3 el valor de P(−2) , P (P (...P(x)...)) = an x + b(an−1 + an−2 +... + a +1) 
n−veces P 
Solución: • Dada la expresión matemática: 
 
P(−2) = (−2)3 −(−2 + 5)2 + 6 = −11 P 
 ax + b  
= 
a 
x ,
 
 
 
 ab  0 , entonces: 
 
Ejemplo 2: 
 
ax − b 
 
b 
 
Dado P(x, y) = (2x + y)2 − xy3 el valor de 
P(1, −2) es: 
 
Solución: 
 
P(1, −2) = (2(1) − 2)2 − (1)(−2)3 = 8 
 
PROPIEDADES: 
 
a) Si P(x) es un polinomio real con una 
variable entonces: 
 
 
. 
 
b) Si P(x, y) es un polinomio real de dos 
variables entonces: 
 
 
 
GRADOS DE UN POLINOMIO 
 
DEFINICIÓN. El grado es una característica en 
relación a los exponentes de las variables, el cual 
es un número entero mayor o igual que cero. 
 
 
CLASES DE GRADOS: 
GRADO RELATIVO: (G.R) 
a) De un Monomio: 
 
El grado relativo en un monomio, es el 
exponente de la variable indicada. 
 
Ejemplo 1: 
 
Ejemplo 1: 
En el monomio P(x, y, z ) = 7x
8 y10 z5 
 
Si P(x) = (x − 2)3(3x −1)2 + x − 7 
✓ GR ( x ) = 8 
✓ GR ( y ) = 10 
✓ Suma de coeficientes es P(1) = −10 ✓ GR ( z ) = 5 
✓ Término independiente es P(0) = −15 
 
Ejemplo 2: 
 
Si P(x, y) = (xy2 + 2)(x + y − 4)3 + xy + 3 
b) De un Polinomio: 
 
El grado relativo en un polinomio es el mayor 
exponente de la variable indicada que se 
✓ Suma de coeficientes es P(1,1) = −20 presenta en cualquier término. 
✓ Término independiente es P(0, 0) = −125 
P (P (...P(x)...)) = 
x +1
 
x −1 
(2n+1)−veces P 
; 
P (P (...P(x)...)) = x 
2n−veces P 
✓ Suma de coeficientes = P(1,1) . 
✓ Término independiente = P(0, 0) . 
✓ Suma de coeficientes = P(1) . 
✓ Término independiente = P(0) 
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m m−1 1 0 
m m−1 1 0 
 
Ejemplo 1: 
 
En el polinomio: 
P(x, y, z) = 
 
 
 
x4 y10 
 
 
 
z3 − 2 x9 y5 z8 + 
 
 
3 
x7 y6 z2 
2 
✓ GR ( x ) = 9 
✓ GR ( y ) = 10 
✓ GR ( z ) = 8 
 
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS 
Dados dos polinomios reales: 
P(x) = a xm + a xm−1 + a xm−2 +... + a x + a 
 
 
 
, a  0 
m m−1 m−2 1 0 m 
Q(x) = b xm + b xm−1 + b xm−2 +... + b x + b , b  0 
GRADO ABSOLUTO (G.A.) m m−1 m−2 1 0 m 
 
a) De un Monomio: 
 
El grado absoluto de un monomio, es la suma 
de exponentes de las variables. 
 
Ejemplo 1: 
La diferencia de polinomios está dada por: 
 
En el monomio P(x, y, z) = 
GA( P) = 7 +13 + 9 = 29 
 
b) De Un Polinomio: 
2x7 y13 z9 
 
MULTIPLICACION DE POLINOMIOS 
 
Dados dos polinomios reales: 
P(x) = a xm + a xm−1 + a xm−2 +... + a x + a 
 
 
 
 
, a  0 
El grado absoluto de un polinomio, es el 
m m−1 m−2 1 0 m 
mayor grado absoluto entre sus términos. Q(x) = b xn + b xn−1 + b xn−2 +... + b x + b , b  0 
 
Ejemplo 1: 
n n−1 n−2 1 0 n 
 
En el polinomio 
14 
 
22 24 
El polinomio producto, está definido por: 
P(x, y, z) = 
5 
x8 y4 z2 − 
4 
GA( P) = 24 
 
 
5x10 y9 z3 + 7x11 y5 z8 
 
 
 
GRADOS DE POLINOMIOS CON 
OPERACIONES: 
OPERACIONES CON POLINOMIOS 
Si P(x) y Q(x) 
 
son polinomios de grado m y 
ADICIÓN DE POLINOMIOS 
 
Dados dos polinomios reales: 
P(x) = a xm + a xm−1 +... + a x + a 
 
 
 
, am  0 
n respectivamente, con m  n entonces: 
 
1. 
 
 
2. 
Q(x) = b xm + b xm−1 +... + b x + b 
La suma de polinomios está dada por: 
, bm  0 
3. 
5 
( P + Q)(x) = P(x) + Q(x) 
( P + Q)(x) = (a m m + b x + a ) ( 
m 
m−1 m−1 
+ b ) xm−1 + ... 
+ (a1 + b1 ) x + (a0 + b0 ) , (am + bm )  0 
( P − Q)(x) = P(x) − Q(x) 
( P − Q)(x)= (a m m − b x + a ) ( 
m 
m−1 m−1 
− b ) xm−1 + ... 
+ (a1 − b1 ) x + (a0 − b0 ) , (am − bm )  0 
P(x) Q(x) = a b x
m+n 
+ .... + 
m n 
( a b + a b + a b x + a b + a b x + a b 2 0 1 1 0 2 ) 
2 ( 1 0 0 1 ) 0 0 
P(x) 
con Q(x)  0 , es de grado 
Q(x) 
m − n  + , siempre que 
P(x)
 
0 
Q(x) 
sea un polinomio. 
P(x).Q(x) , es de grado m + n 
P(x)  Q(x) , es de grado m 
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  
 
 
 
4. 
 
 
5. 
 
 
 
 
Ejemplo 1: 
Dado P(x) = (8x2 − 5)
3
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
y Q(x) = x3 − 3 
GR(x) = 7 
m + 5 = 7 
m = 2 
2m + n = 19 
2(2) + n = 19 
n = 15 
m(n) = 2(15) = 30 
 
Ejemplo 4: 
 
Dados los polinomios: 
 
✓ El grado de P(x)  Q(x) 
 
es 6 P(x) = (7xn
n 
+ 8xn +1)
n
n 
, 
✓ El grado de P(x).Q(x) es 9 
5 
Q(x) = (14xn
n 
− 5xn + 8)
2 
R(x) = 7x + 4 y 
✓ El grado de Q (x) 
 
Ejemplo 2: 
es 15 
el grado del polinomio producto de los tres 
polinomios es 25, el valor de “n” es: 
 
El grado absoluto del polinomio: 
P ( x, y) = (x + y2 )
7 
(x + y3 )
7 
(x + y4 )
7 
...(x + y20 )
7
 
es: 
Solución: 
 
GA(P) = 2(7) + 3(7) + 4(7) + ...... + 20(7) 
GA(P) = 7(2 + 3 + 4 + ...... + 20) 
GA(P) = 7(1+ 2 + 3 + 4 + ....... + 20 −1) 
 
GA(P) = 7 
 (20)(21) 
−1
 
 
 
Solución: 
 
GA (7x
n
n 
+ 8x
n 
+1)
n
n 
(14x
n
n 
− 5x
n 
+ 8)
2 
(7x + 4) = 25 
(nn )(nn ) + 2(nn ) +1 = 25 
(nn )2 + 2(nn ) − 24 = 0 
Haciendo cambio de variable sea: nn = a 
(a)2 + 2a − 24 = 0 
a 6 
a − 4 
2  (a + 6)(a − 4) = 0 
GA(P) = 7(209) 
GA(P) = 1463 
 
Ejemplo 3: 
 
Si el polinomio: 
P(x, y) = 5xm+5 yn−3 + 2x2m−1yn (x1−m + y4) + 3xm+2 yn−1 
es de grado 22 y el grado respectivo a la 
variable " x" es 7 , el valor de: "m.n" es: 
 
Solución: 
a = −6  a = 4  a = 4 
nn = 22  n = 2 
 
EJERCICIOS 
1. Dados los polinomios " P " y "Q"; definido en 
la variable " x". En las siguientes 
proposiciones escribir (V ) si es verdadera o 
( F ) si es falsa. 
 
m+n+2 
 
m+n 
 
2m+n+3 
 
m+n+1 I. Si G.A(P) = 5 ; G.A(Q) = 5 entonces 
P(x, y) = 5 xm+5 yn−3 + 2 xm yn + 2 x2m−1 yn+4 + 3 xm+2 yn−1 
GA(P) = 2m + n + 3 = 22 
G.A(P + Q) = 5 . 
II. Si G.A(P − Q) = 5 , entonces G.A(Q)  5 
2m + n = 19 ......... ( I ) III. Si G.A(P) 1 y G.A(P3.Q2 ) =13, 
entonces G.A(P.Q) = 6 . 
La secuencia correcta es: 
P(x)
k 
, es de grado m.k ; k  
+ 
0 
k P(x) , es de grado 
m 
 
k 
k P(x) sea un polinomio. 
+ 
0 
, siempre que 
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xn−1 4 xn 
3 
6 x5n−4 
   
 
a) VVF 
b) VFF 
c) FFF 
d) FFV 
e) FVV 
 
2. En las siguientes proposiciones escribir ( V ) 
si es verdadera o ( F ) si es falsa. 
4. Si el grado del monomio: 
P ( x) = 3x6 
de "m", es: 
 
a) 24 
b) 12 
c) 22 
d) 32 
 
es 8 ,el valor 
I. P(x) = x4 + 4x3 + 2x2 + senx + 5x −10 
es un polinomio. 
1 
e) 14 
 
5. El valor de n para que el grado del monomio: 
II. Q(x, y) = x
3 
y
5 
+12 y5 + 8xy +12 es un 
polinomio. M (x) = sea 1 , es: 
III. R(x) =12x7 − 6x4 y5 +12y−
5 
+ 4x + 6 
es un polinomio. 
 
La secuencia correcta es: 
a) FVF 
b) FFF 
c) VVF 
d) VFV 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 7 
e) 5 
 
6. En el monomio 
e) FFV 
P(x, y) = 215−n y5−n , el 
3. En las siguientes proposiciones, indicar con 
(V ) si es verdadero o con (F) si es falsa: 
 
I. El grado de P(x; y) = 0x12 − 2x6 + 7 es 
12 . 
 
II. En todo polinomio, el grado absoluto 
siempre es igual al grado relativo con 
respecto a una de sus variables. 
 
III. El coeficiente principal del polinomio 
grado relativo a " x" es 3 , el grado absoluto 
es: 
 
a) 31 
b) 23 
c) 21 
d) 22 
e) 11 
 
7. Si el monomio: 
x7 (x2n+3 )
5 
(x3n−1 )
3 
4
 
P(x) = ; es de grado P ( x, y) = (2x4 + y3 )
3 
(x4 + 3y5 )
2 
es 72 .  2n 7 13  

(x ) .x  
IV. La suma de coeficientes del polinomio 
P ( x, y ) = ( x − 2 y )
60 
(3x + y −1) , es 3 . 
La secuencia correcta es: 
a) FFVV 
b) VFVF 
c) VVFF 
d) FVFV 
e) FVVF 
8 , el valor de "n", es: 
a) 6 
b) 5 
c) 3 
d) 10 
e) 9 
 
8. Si el polinomio: 
P(x, y) = xm+n yn+ p z p+z ; es de grado 18 y 
los grados relativos a " x", " y " y " z " son 
3 números consecutivos en ese orden, el 
valor de "m.n.p", es: 
5 9x
4 3 x
m 
2 x
m
 
3 x5 3 x−1 3 x−3n 
5 
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a) 32 
b) 22 
c) 21 
d) 13 
e) 12 
a) 10 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) −10 
 
9. Si el grado del monomio: 13. El grado del polinomio P(x) sabiendo que 
M (x, y) = 2n x5 , es "2n" el grado de P(x)2 Q(x)3 es igual a 21 y 
“. Su coeficiente principal; es: 
 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 14 
e) 25 
 
10. Si el monomio es de sétimo grado 
el grado P(x)
4 
Q(x)
2
 
a) 12 
b) 8 
c) 7 
d) 3 
e) 2 
es igual a 22 , es: 
14. Si el grado absoluto del monomio, 
M (x, y) = 5 x2a+b ya+2b es 15 y el grado 
M (x) = 
 
valor de "m" es: 
 
a) 
1 
8 
b) 
1 
6 
c) 
1 
2 
d) 
1 
4 
1 
relativo a " x" es al grado relativo " y " ; 
como 2 es a 3 .El valor de "a + b", es: 
a) 13 
b) 9 
c) 5 
d) 2 
e) 10 
 
15. Si el polinomio: 
P(x) = (3x8 −10)
n 
(5x2 − 4x3 − 2)
n−2 
(x9 + 6) 
es de grado 47 , entonces el valor de 
es: 
e) 
10 
a) 4 
11. Determinar el valor de E = 3m − 4n , si b) 6 
P(x, y) = x2n+m−15 + xm−n y5−n + 
1 
 
 
5 − m 
x6−m 
c) 14 
d) 9 
es un polinomio definido en . 
a) −2 
b) −4 
c) −7 
d) −10 
e) −5 
12. El grado del polinomio: 
1 
 9 
e) 10 
 
16. Si el grado del polinomio: 
P(x) = (xm+2 + xm + 5)(xm+2 + xm−1 + 8)m−2 
es 108 , entonces el valor de "m", siendo 
m  0 , es: 
a) 3 
b) 2 
c) 10 
P(x, y) = 3 yb−5 + y 6−b + 
4 3 
y6−b es: 
d) 9 
e) 7 
7 (3x)
2n 
3 (nx)
n
 
3 m− m−1 m m 
xm m x 
m 
x3m
3 
( 
, el 
x4.m x 
)
m 
3 7 
5 
2 
5 coef principal de P (x) 
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n n
n 
 
17. Si " P " y "Q" son dos polinomios de grados 
4 y 5 respectivamente y el grado del 
polinomio 
(P2Q)
3 
− (PQ2 )
4 
2n−3
 
P ( x)
3 
Q ( x)
2 
+ P ( x) 
2 
Q ( x)
3 
con 
m  n , es: 
a) m + n 
E = 
  
(P3Q2 ) + (P2Q3 )
4 
n−2
 
es 8 , el valor 
b) 2m + 2n 
c) 3m + 2n 
  
de "n", es: 
 
a) 12 
d) 2m + n 
e) 3m + n 
21. Sabiendo que en el polinomio: 
n 
+1 
 
 
 
 
 
 n 
+1 
 
 
 
 
 
 n 
+3 
 
 
 
 
 
 n 
+2 
 
 
b) 8 P(x; y) = 5 xn−4 y 2 z9−n − nxn−5 y 4 − 310−n xn+2 y 2 z 2 
c) 6 
d) 5 
e) 10 
 
18. Dados los polinomios " P " 
 
 
 
 
y "Q", donde el 
6  GR(x) 12 , el grado absoluto del 
polinomio es: 
 
a) 13 
b) 25 
grado absoluto de " P " es 14 y el menor c) 21 
exponente de " x" en el polinomio "Q" es d) 23 
10 , el Grado absoluto de "Q" , siendo: e) 31 
P(x, y) = 5x
m+4 ym−4 − 5xm+4 yn−1 + 
2 
xm+2 yn+1 
5 
 
22. Dado el polinomio: 
Q(a,b) = 3ax+5by−3 + 6a2x−1by (a1−xb4) +8ax+2by−1 
Q(x, y) = −10x3m+7 yn+1 + 
es: 
5x3m+5 yn+4 − 
3 
x3m+1 yn+6 
2 
de grado absoluto 22 y grado relativo 
respecto a "a" igual a 9 , el valor de " y − x" 
, es: 
a) 4 
b) 2 
c) 6 
d) 10 
e) 12 
19. Dado el polinomio: 
P(x; y) = 5x3m+2n+1 ym−n+3 + 
− x3m+2n−1 ym−n+6 
 
 
 
 
 
2x3m+2n+2 ym−n+5 
a) −10 
b) −20 
c) 10 
d) −7 
e) 7 
 
23. Dados los polinomios: 
P(x) = (2020xn +12xn +1) ; 
El GA( P ) = 41, y el GR ( x ) es al Q(x) = (4xn
n 
− 5xn + 8)
2
 
GR ( y ) cómo 5 es a 2 . El valor de 
"m + n" es: 
a) 5 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 20 
 
20. Sabiendo que los grados de los polinomios 
P(x) y Q(x) son "m" y "n" 
respectivamente, entonces el grado de: 
R(x) =12x + 8 ; el grado del producto de los 
tres polinomios es 25 , el valor de "n" es: 
a) 10 
b) 8 
c) 12 
d) 4 
e) 2 
24. Si el polinomio: 
P(x) = (x2 +1)(x6 + 2)(x12 + 3)(x20 + 4)... 
es de grado 572 , el número de factores que 
debe tener el polinomio es: 
y 
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 
 
3 H (x)  
2  
 
0 
 
 
 
a) 11 
b) 12 
c)8 
d) 21 
e) 14 
25. Si el grado absoluto del polinomio 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
29. Sea " P " , "Q" y " R " 
 
 
 
 
 
 
polinomios (definidos 
P(x; y) = a2 x2a+3 y3b−1 + b2 x2a y3b+4 + 2abx2a+1 y3b+2 en la variable " x") cuyos grados son 
+x2a+2 y3b+3 
es 24 y los grados relativos respecto a " x" 
(3n + 2) , (4n +1) y (2n +1) 
respectivamente, tal que: 
e " y " son iguales, la suma de coeficientes 
del polinomio, es: 
a) 65 
b) 55 
c) 45 
d) 15 
e) 75 
GA P
2 (x)Q(x) + Q2 (x)R(x) − R3 (x) = 31 
Si " M " y " N " son dos cantidades definidas 
por: M = GAP(x) R(x) y N = GAQ(x) 
Entonces se puede afirmar que: 
 
a) 2N  M 
b) M  2N 
c) M = N 
26. Si el equivalente de: d) M − N = 12 
M (x, y) = 
e) 2N = M 
es un monomio cuyo grado relativo a " x" es 30. Si p0 , p1, p2 ,..., pn son polinomios definidos 
4 y grado relativo a " y " es 9 .El valor por: p (x) = x3 + 213x2 − 67x − 2000 y 
"m + n" es: 
a) 8 
b) −8 
pn (x) = Pn−1(x − n) , para n =1, 2,3,... 
El coeficiente de " x" en el polinomio P6 (x) , 
es: 
c) 4 a) −7690 
d) −4 
e) 2 
27. Si los grados de los polinomios 
b) −7960 
c) −6790 
d) −6970 
F 3 ( x)G4 ( x) y F ( x)G3 ( x) son 17 y 9 e) −9760 
respectivamente; el grado del polinomio 
R ( x) = 3F 6 ( x) − G4 ( x) , es: 31. Si P 
 x + 5  
= 5x7 − 4x3 + 8 . El valor de 
 
  
3 
 
a) 22 
b) 16 
c) 15 
d) 18 
e) 20 
 
28. Si el grado del polinomio: 
 
 
 
 
 3 H (x) .P(x)  
 
 Q
2 (x)  
  
P(2) , es: 
 
a) 9 
b) 10 
c) 3 
d) 17 
e) 16 
es "3n" y el grado del polinomio 
 
n
 32. Dado los polinomios: P(x − 3) = 4x − 7 ; 
 P(x).Q(x)  
 
es cero, el grado del 
P(Q(x) + 5) = 52x − 55 . El valor de 
es: 
Q(10) ; 
 
 
polinomio 
 
Q(x) 
 
, es: 
(x.y)3 3 (x y2 )2m 4 (xn y2 )m 
3 H (x) 
n 
 
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 
 
a) 111 
b) 123 
c) 110 
d) 256 
e) 100 
a) 4a +1 
b) 4a + 4 
c) 4a − 2 
d) a −1 
e) a − 4 
 
33. Si g(2x +1) = 6x −10 y 37. Si P(x +1) = P(x) + 2x + 4 y P(0) = 2 , 
g( f (x) − 3) = 3x − 4 , entonces el valor de 
f 
 
− 
1  
, es: 
entonces el valor de 
 a) 0 
P(1) + P(−1) , es: 
 
6 
 
  
b) 2 
37 
c) 6 
a) d) −6 
6 e) −2 
b) 35 
4 
35 
 
38. El polinomio de segundo grado cuyo 
coeficiente lineal y el término independiente 
c) son iguales. Además 
6 
dicho polinomio es: 
P(1) = 5 y P(2) = 15 , 
d) 37 
4 
 
a) 3x2 − x +1 
e) − 
35
 
6 
b) 3x2 + x +1 
c) 3x2 + x + 2 
d) 3x2 + x − 4 
34. Dadas P(x + 2) = x + P(x) + P(x +1) y e) 2x2 + x +1 
P( y) = 2P( y −1) , el valor de 
E = P(−3) + P(4) , es: 
 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
35. Si la suma de sus coeficientes excede en una 
unidad al duplo de su término independiente 
 
39. Si el polinomio: 
P(x) = (7x2 − 3)
n−3 
(2x −1)
n+1 
+ (n2 x3 − 9)
7 
(2x + 3)
n−17 
+ 
(5x − 7n) (5x −1)
2n−17
 
tiene como término independiente112 , 
entonces "n", es: 
 
a) 13 
b) 18 
c) 16 
del polinomio P(x), donde d) 20 
P(x − 2) = n2 (2x − 3)2 − (x − 2) (x − 2)
2n−3 + 61 
El grado de P(x) es: 
a) 4 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
e) 6 
 
36. Si P(x) es un polinomio tal que: 
e) 12 
40. Si P(x) + Q(x) = ax + b , 
P(x) − Q(x) = bx + a y 
P(Q(1)) , es: 
 
a) 
4 
3 
1 
 
 
P(5) = 4 , el valor de 
 x −1  
 
 
 1  
b) 
3 
 P 
2 
 = 2x − 3, entonces P  a − 
4 
 es: 
5
 
    
c)
 
3 
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PLANA DOCENTE 16 
 
 
 
d) 
2 
3 
a) −2 
b) −4 
e) − 
4 
3 
c) 2 
d) 6 
e) 8 46. Sea P(x) = ax + b , con a  0 , P(0) = 2 y 
41. Si P ( +1) = x3 −1, entonces el valor de 
 
P(P(1)) = 5 , el valor de 
 
P(−2) , es: 
M = P(1) + P(3) , es: 
 
a) 66 
b) 60 
c) 62 
d) 64 
e) 58 
 
a) 8 
b) 3 
c) 2 
d) 0 
e) −2 
47. Dados los polinomios P(x) de primer grado 
42. Sabiendo que P(1) + P(0) = 200 y con termino independiente uno y 
P(x − 2) = (x + 2)3 + 3(x −1) + mx + 5 , el 
valor de "m" es: 
a) 
8
 
Q(x) = (x −1).P(x) + 5x − 29 tal que 
P(1) = 3 , entonces la suma de las raices de 
Q(x) = 0 , es: 
−2 
3 a) 
−
 
b) − 
2
 
b) 4 
c) 2 
3 d) −5 
c) 2 
d) − 
8 
5 
e) 4 
48. Determinar 
 
P(ax) 
 
 
P(x) 
 
 
sabiendo que 
e) 
5 
3 
 
43. Si f (x + 2) = f (x) − 2x +1 y 
 
 
f (0) = 3 , 
P(x) = (ax + b)(a2x + b)(a3x + b)...(anx + b) 
an−1x + b 
a) 
an x + b 
entonces el valor de 
 
a) −2 
f (2) + f (−2) , es: an−1x + b 
b) 
ax + b 
b) 2 
4 
an+1x + b 
c) an x + b 
c) 
d) 1 
e) 3 
an+1x + b 
d) 
a x − b 
44. Si P(x) = 243x85 − x90 + 3x + 4 entonces a
n+1x + b 
e) 
 
P(3), es: 
 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 18 
 
45. Si " P " 
 
 
 
 
 
 
 
 
es un polinomio tal que 
a x + b 
 
49. Dadas las expresiones: 
P(x2 + x + 6) = x9 + x6 +1 y 
Q(x2 + 3x + 8) = (x3 − 26)2 + x3 − 20 , 
el valor de P(5) + Q(−1) , es: 
a) 11 
b) 12 
P(P(P(x))) = 27x + 52 . El valor de 
es: 
P(−2) c) 13 
d) 14 
e) 15 
x 
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b 
 
# Términos = G.A +1 
 
POLINOMIOS ESPECIALES 
Son aquellos que presentan determinadas 
características importantes. 
 
1. POLINOMIO HOMOGÉNEO: 
 
Es aquel polinomio, en el cual cada uno de sus 
términos tienen el mismo grado. Los términos no 
deben ser semejantes. 
 
Ejemplo 1: 
 
El polinomio: 
 
P(x; y) = 3x5 + 5x3 y2 + xy4 + y5 
OBSERVACIONES: 
 
▪ En todo polinomio completo y ordenado de 
una sola variable se cumple que el número de 
términos estará determinado por el grado del 
polinomio aumentado en la unidad. 
 
 
Ejemplo 1: 
 
P(x) = 2x3 − x2 − 7x + 8 es de tercer grado y 
tiene 4 términos 
4. POLINOMIOS IDÉNTICOS: 
G. A=5 G. A=5 G. A=5 G. A=5 Dos polinomios son idénticos cuando los 
es homogéneo, cuyo grado de homogeneidad 
es 5 . 
 
2. POLINOMIO ORDENADO: 
 
Un polinomio ordenado con respecto a una 
variable, es aquel que se caracteriza por los 
exponentes de la variable considerada, la cual 
van aumentando o disminuyendo según que la 
ordenación sea en forma creciente o 
decreciente. 
 
Ejemplo 1: 
 
P(x; y) = x9 + 3x3 y + 2x2 y3 + 3xy2 + 9 
• Con respecto a " x" esta ordenado en forma 
descendente. 
• Con respecto a " y " esta desordenado 
 
NOTA: Polinomio ordenado estrictamente: 
coeficientes de sus términos semejantes son 
iguales. 
La identidad de polinomios denotamos con () 
Así dados: 
P(x) = ax5 + bx2 + c 
Q(x) = mx5 + nx2 + p 
a = m 
P  Q  
 
= n 
c = p 
5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: 
 
Llamado también polinomio cero, es cuando 
todos sus coeficientes de sus términos son nulos 
o ceros. 
 
Ejemplo 1: 
 
• P(x) = x6 − 2x5 + x4 , polinomio ordenado 
en forma descendente. 
• P(x) = x8 − 2x9 + x10 , polinomio ordenado 
en forma ascendente. 
3. POLINOMIO COMPLETO: 
 
Un polinomio es completo con respecto a una de 
sus variables. Cuando contienen todos sus 
exponentes desde el mayor en forma 
consecutiva, hasta el exponente cero inclusive, 
llamado a este último término independiente. 
 
Ejemplo 1: 
P(x) = 2x2 − 5x4 + 3x3 − 7x +1 
Si se tiene: Mx7 + Nx5 + Px3 + Q  0 
Se debe cumplir que: M = N = P = Q = 0 
NOTA: 
➢ Su grado no está definido. 
➢ Para cualquier valor numérico se anula. 
 
6. POLINOMIO MONICO: 
 
Es aquel polinomio en una variable cuyo 
coeficiente principal es 1. 
Ejemplo 1: 
 6 4 
El polinomio " P " es completo con respecto a 
" x", pero desordenado. 
P(x) = x + 3x + x + 7 coeficiente principal es 
1. 
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7. POLINOMIO CONSTANTE: 
 
Es aquel polinomio que es igual a un número real 
distinto de cero, y es de grado cero. 
 
P(x) = k; k  
 
Ejemplo 1: 
 
P(x) = 7 
Para cualquier valor de las variables siempre 
tendrá el mismo valor numérico diferente a cero. 
 
 
Ejemplo 2: 
3. Si P(x) = axb+a + xa+2 − x2a + 3xa + xa−1 es 
8n polinomio es completo y ordenado, el 
valor de "b" , es: 
 
a) 4 
b) 2 
c) 0 
d) 3 
e) 1 
 
4. El polinomio: P(x; y) = xm+n yn+ p z p+z; es de 
grado 18 y los grados relativos a " x" a " y " 
y a " z " son 3 números consecutivos en 
ese orden. El valor de "m.n.p", es: 
Si: P(x) = 3 
 
a) 14 
Entonces: 
P(−2) = 3 ; P(0) = 3 ; 
 
P(10) = 3 
b) 10 
c) 12 
d) 13 
e) 11 
EJERCICIOS 
1. Identificar como verdadero (V) o falsa (F), las 
siguientes proposiciones: 
 
I. El grado absoluto de un polinomio puede 
coincidir con el grado relativo de una de 
sus variables. 
 
II. Un polinomio homogéneo puede ser 
completo. 
 
III. Todo polinomio completo es ordenado. 
 
IV. Un polinomio en una sola variable, puede 
ser ordenado, completo y homogéneo. 
La secuencia correcta, es: 
 
a) VVVF 
b) VVFV 
c) VFVV 
d) FVFV 
e) VVFF 
5. Si P(x) = 5x
m−18 
+15y
m− p+15 
+ 7x
b− p+16 
es un 
polinomio completo y ordenado en forma 
descendente, el valor de "m + p + b" es: 
 
a) 74 
b) 70 
c) 72 
d) 71 
e) 75 
 
6. Determinar el valor de "m − n + p" si 
P(x) = mxp−n+5 −( p + m)xn−m+ p+3 + (m − n + p)xm−6 
Es un polinomio completo y ordenado en 
forma ascendente, 
a) 5 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
7. La suma de coeficientes del polinomio 
homogéneo 
2. Si P(x; y) = x3 yn+2 + 5xn ym−1 − xym+3 es un P(x; y) = 
n 
x−2n+1 + yn
2 +3n+1 + 
 n +1  
x2n
2 −5 y−n
2 +2n+2 
 
 
5 
 
6 
 
polinomio homogéneo, el valor de "m + n" 
es: 
a) 14 
b) 12 
c) 10 
d) 13 
e) 11 
  
es: 
 
a) 4 
b) 2 
c) 5 
d) 3 
e) 1 
−{0} 
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8. Dado el polinomio homogéneo: 
P(x; y) = x3m+2n y4 + 3x2m−1 y−3n + 5x2m yn+7 , 
el valor de E = m − n , es: 
a) 5 
b) 6 
c) 3 
d) 2 
e) 7 
 
9. Dado el polinomio homogéneo: 
P(x; y) = axa+8 + abxa yb − byb+16 el grado 
respecto a " y ", es: 
 
a) 18 
b) 20 
c) 22 
d) 24 
e) 26 
 
10. Sabiendo que el polinomio: 
P(x; y; z) = 3a xa+2 yb+2 + 2b ya+1zc+3 + 5c xb+4zc 
es homogéneo de grado: "n + 2". El valor 
an + bn + cn 
13. Si el polinomio: 
P(x) = mx
m−10 
+ nx
m−n−5 
+ ax
a−n+6 
es 
completo y ordenado decrecientemente, 
entonces el valor de "m + n + a", es: 
a) 18 
b) 28 
c) 38 
d) 48 
e) 58 
 
14. Si los polinomios 
P(x) = (a − 2)x3 +(2a − b − 3)x + (2c − 3b) 
y Q(x) = −4x3 − 5x + 6 son idénticos, el valor 
de −a + b + 2c , es: 
a) 4 
b) 0 
c) 5 
d) 3 
e) 1 
 
15. El número de términos del polinomio 
ordenado y completo 
de: E = 1−n 
(a + b + c)n 
, es: P(x) = (n − 2)x 
 
a) 4 
n−7 
+ (n − 3)x 
n−6 
+... ; es: 
a) 4 
b) 2 
c) 5 
d) 3 
e) 1 
11. La suma de los coeficientes del polinomio 
Homogéneo 
P(x; y) = 3 pxn
2 −5 
y12 + 5( p − q)x p yq + (13q + 4)xn
2 
y3n−14 
es: 
 
a) 452 
b) 254 
c) 524 
d) 352 
e) 154 
b) 2 
c) 5 
d) 3 
e) 1 
16. Dado el polinomio homogéneo 
P(x; y) = x
3m+2n 
y
4 
+ 3x
2m−1 
y
3n 
+ 5x
2m 
y
n+7 
, 
el valor de E = m − n , es: 
a) 3 
b) 2 
c) 6 
d) 7 
e) 5 
 
17. Dados los polinomios idénticos 
 
12. Si P(x) = 2axb+2 − 3bxb+a+7 +(a + b)x2a+c es 
P(x) = (m − 5)x2n−1 +(n − 3)xn−2 y 
p 
un polinomio completo y ordenado creciente, 
el valor P(1) , es: 
a) 4 
Q(x) = xn−2 + (3 − m)x7 , el valor de 
4 
m 
, es: 
 
b) −2 n
2 + p2 
c) 2 
d) −4 
e) 5 
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PLANA DOCENTE 20 
 
 
 
a) 
1 
4 
b) 
1 
3 
c) 
1 
2 
d) 
1 
8 
e) 
1 
7 
 
18. La suma de coeficientes del polinomio 
homogéneo: 
 
P(x; y; z) = (2m + b)xm
n 
+ (m − n) yn
n 
− (m + b)zm
m−n
 
es: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
22. Sabiendo que el polinomio es completo y 
ordenado descendentemente 
P(x) = 5xc+d −2 + 6x2b−c−1 + 7xa−b−1 + 8xa−4 
El valor de: "a + b + c + d ", es: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
23. Si el polinomio 
n+1 
a) 4 P(x) = x17 + x3n−1 + x2n+1 + x 2 es ordenado 
b) 6 
c) 5 
d) 3 
e) 2 
19. La suma de los coeficientes del polinomio 
homogéneo 
P(x; y; z) = a3xa
b 
− b2 yb 
a 
+ abza 
a−b 
, es: 
a) 66 
b) 69 
c) 67 
d) 68 
e) 65 
 
20. Si el polinomio 
P(x) = a(3x2 − x + 2) + b(2x −1) − c(x2 − x) − 6x 
es idénticamente nulo, el valor de 
"a + b + c", es: 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
e) 1 
21. Dado el polinomio: 
P(x) = mx2m+1 − 3x3−m +(m + 2)xm−2 
ordenado en forma decreciente, la suma de 
sus coeficientes, es: 
en forma descendente, la suma de los 
posibles valores de "n", es: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
24. Si el polinomio 
P(x) = m2nxm
2 +n 
+ ... + (n − m)x2n−1 + mxm−3 
es completo y ordenado en forma 
decreciente, el número de términos del 
polinomio, es: 
 
a) 14 
b) 12 
c) 15 
d) 13 
e) 11 
25. Si los polinomios 
n 
 
P(x) = (a −1)x 2 + (1− b)xn−3 + 2c 
y 
n 
−1 
Q(x) = ax 2 + (b + 4)xm+3 + n −1− c 
son idénticos y completos La suma de 
coeficientes de R(x) = (bx + m)a (cx + b)n es: 
a) 17 
b) 27 
c) −27 
d) −37 
e) 47 
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PLANA DOCENTE 21 
 
 
 
26. Si: 
P(x) = xn
2 −5n 
+ xc+4 + ... + 2xd +2 + x2d + ... + xa
2 +a+1
 
es un polinomio completo y ordenado de 
3n −1 términos, determine el menor valor de 
a + d + c + n . 
a) 1 
b) 2 
c) 5 
d) 3 
e) 4 
27. La expresión que se debe agregar al 
polinomio: Q(x; y) = 3x4 + 5xy3 − 2x2 y2 , 
para que sea un polinomio homogéneo 
P(x; y) y completo respecto a " x" y la suma 
30. Dado el polinomio homogéneo 
P(x; y) = xm+5 yn−3 + xm+4 yn−2 +... 
es ordenado y completo con respecto a " x" 
, si el grado relativo a " x" es 10 y el grado 
relativo a " y " es 15 , el valor "m + n" es: 
 
a) 8 
b) 7 
c) 5 
d) 3 
e) 9 
de coeficientes es 21 , además 
, es: 
P(2;1) = 114 
 
a) 7x2 y + 8y4 
b) 7x3 y3 + 8y4 
c) 7x3 y + 8y4 
d) 7xy3 + 8y4 
e) x3 y + 8y4 
 
28. Sea P(x) un polinomio mónico de 2do 
grado tal que se tiene que P(x) = P(−x) y 
P(P(x)) = x4 + 8x2 + 20 . Luego la suma de 
sus coeficientes, es: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 7 
 
29. Dado el polinomio: 
b2 
 
 
b2 +20 
 
 
P(x; y) = xa
2 
+ x+m − 2x 5 ya+1 + 3y 5 
homogéneo, además a  b  9 , el valor de 
"m", es: 
 
a) 3 
b) 2 
c) 5 
d) −3 
e) −2 
PLANA DOCENTE 22 
 
 
(a2 + a +1)(a2 − a +1) = a4 + a2 +1 
(a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 ) = a4 + a2b2 + b4 
(a + b)
3 
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)
4 
− (a − b)
4 
= 8ab (a2 + b2 ) 
(a + b)
3 
= a3 + b3 + 3ab (a + b) 
 
 
 
DEFINICIÓN. Los productos notables son 
casos especiales de la multiplicación de 
polinomios, con los cuales se obtiene el 
polinomio producto en forma directa sin efectuar 
la operación de la multiplicación. 
 
Siendo los más importantes: 
 
1. Binomio al cuadrado (trinomio cuadrado 
perfecto) 
 
 
 
 
7. Trinomio al cuadrado 
 
 
 
 
 
 
2. Diferencia de cuadrados 8. Trinomio al cubo 
 
 
3. Producto de binomios 
 
( x + a)( x + b) = x2 + (a + b) x + ab 
( x − a)( x − b) = x2 − (a + b) x + ab 
( x + a)( x − b) = x2 + (a − b) x − ab 
( x − a )( x + b) = x2 − (a − b) x − ab 
 
4. Producto de la suma de un binomio por 
un trinomio (suma de cubos) 
 
 
 
9. Identidades de Argand 
 
 
 
 
 
5. Producto de la diferencia de un binomio 
por un trinomio (diferencia de cubos) 
10. Identidades de Legendre 
 
 
 
6. Binomio al cubo 
 
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 
(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 
(a + b + c)
3 
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c) 
(a + b + c)
3 
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) − 3abc (a + b)(a − b) = a
2 − b2 
(a − b + c)
2 
= a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc (a − b)
2 
= a2 − 2ab + b2 
(a − b + c)
2 
= a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc 
(a + b)
2 
= a2 + 2ab + b2 
(a + b + c)
2 
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 
(a − b)
3 
= a3 − b3 − 3ab (a − b) 
(a − b)
3 
= a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 
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(a − b − c)
2 
= a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac + 2bc 
+ m, n  
(a2n + anbm + b2m ) (a2n − anbm + b2m ) = a4n + a2nb2m + b4m 
(a + b)
2 
+ (a − b)
2 
= 2(a2 + b2 ) 
(a + b)
2 
− (a − b)
2 
= 4ab 
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA 
PLANA DOCENTE 23 
 
 
16a
2 
+ 
8ab (a2 + b2 ) 
a
2 
+ b
2
 
+ b2 
x 27 8 
 
11. Identidadesde Lagrange 2. De las siguientes proposiciones 
I. (x2 −1)(x4 − x2 +1) = x6 −1 
2 2 2 2 
II. (x + 2x + 4)(x + 2x + 4) = x + 4x +16 
III. (x2 + 4x + 4)(x2 − 4x + 4) = x2 + 4x2 +16 
IV. (x2 + 2 y )(x2 − 2 y ) = x2 − 4 y2 
Ejemplo 1: V. (x2 − 2 )(x2 − 2 ) = x4 − 2 
Al simplificar la expresión 
 
E = 
 
obtiene: 
Solución: 
 
 
E = 
 
 
 
, se 
El número de proposiciones verdaderas es: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
3. De las siguientes proposiciones 
 2 2 2 2 
I. ( x + y − z ) = x + y − z + 2xy − 2xz − 2 yz 
II. ( x − y )
3 
= x3 + 3x2 y + 3xy2 − y3 
E = III. x3 + x−3 = (x + x−1 )(x2 − 2x(x−1) + x−2 ) 
 
E = 
E = 
 
E = 
E = 4a + b 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
IV. ( x + 3)
2 
− ( x − 3)
2 
= 12x 
El número de proposiciones falsas es: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
4. De las siguientes proposiciones 
 
1. De los siguientes productos: I. ( a + b )
2 
− ( a − b )
2 
= 2(a + b) 
I. (x6 + x3 y2 + y4 )(x6 − x3 y2 + y4 ) 
II. (x2 + 3x +1)(x2 − 3x +1) 
III. (x2 + 3x + 9)(x2 − 3x + 9) 
a  0  b  0 . 
 
II. (a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac − bc) 
IV. (x + +1)(x − x +1) III. − = (5 + 6 )( 3 − 2 ) . 
 
Los que corresponden a la identidad de 
Argand, son: 
IV. (x2 + 3x +1)(x2 − 3x +1) . 
 
a) I y III 
V. Si, 2x2 − 6xy + 8y2 = (x + y)(x − y) 
3x + 2 y 
b) I y IV 
c) I , III y IV 
entonces el valor de 
y 
es: 11. 
d) III y IV 
e) II y IV 
El número de proposiciones verdaderas es: 
(a2 + b2 )(c2 + d 2 ) = (ac + bd )2 + (ad − bc)2 
(a2 + b2 )(x2 + y2 ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2 
16a2 + 
(a + b)
4 
− (a − b)
4
 
a2 + b2 
+ b2 
identidad de Legendre 
16a2 + 
(a + b)
4 
− (a − b)
4
 
a2 + b2 
+ b2 
16a2 + 8ab + b2 
16a2 + 8ab + b2 
T .C.P 
(4a + b)
2
 
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA 
PLANA DOCENTE 24 
 
 
 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
a) 1 
b) 6 
c) 3 
d) 310 
e) 39 
9. Si x2 − 4x +1 = 0 , entonces el valor de 
5. De las proposiciones dadas 
I. El coeficiente del término lineal de 
(x − 5)(x + 7) es -2 
1+ x3
 2 
x4 + x−4 , es: 
 
a) 192 
b) 196 
c) 194 
II. 
1+ x 
= 1+ x + x ; x  −1 d) 200 
e) 4 
III. (x2 + y2 )2 −(x2 − y2 )2 = (2xy)2 
Las verdaderas son: 10. Si a
3 = b3 , entonces el valor de: 
 
a) I y III 
b) I y II 
E = 
ab 
(a − b)2 
, es: 
c) II y III 
d) Solo I 
e) Solo II 
6. Si mx2 +10 
 
 
 
m + 24x + 49 es un trinomio 
a) 
1 
2 
b) − 
1 
2 
c) 
1
 
 
cuadrado perfecto, el valor de "m", es: 
 
a) 9 
b) 24 
c) 25 
d) 600 
e) 5 
3 
d) − 
1 
3 
e) 
1
 
6 
 
11. Si se cumple que: 
 
 
 
1 
+ x2 = 6 ; x  1, 
7. Si a = b − c + 5 y ab + bc = 5 + ac , entonces 
x2
 
el valor de a2 + b2 + c2 , es: 
 
a) 35 
b) 28 
c) 25 
d) 12 
e) 5 
 
8. Si x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz , entonces el 
entonces el valor de: 
E = ( 
1 
+ x)2 − 2(x − 
1 
) + 6 ; x  1 , es: 
x x 
 
a) 36 
b) 4 
c) 24 
d) 6 
e) 12 
 
valor de E = , es: 12. Al reducir la expresión 
(a + b)(a3 − b3) + (a − b)(a3 + b3) 
E = 
a4 − b4 
 
 
 
, se 
obtiene: 
9 
( x + y + z )
10 
x10 + y10 + z10 
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PLANA DOCENTE 25 
 
 
xn + yn 
3 
xn yn 
a 
  
y x 
   
2 
 
a) 3 
b) 4 
c) 2 
d) 6 
a) 3 
b) 2 
c) −3 
d) −2 
e) −2 
 
 1 
2
 
 
 
e) 6 
 
17. Si se cumple que: 
 
x 
− 
y2 
y x 
 
 
= 3(x − y) , 
13. Sabiendo que  a +  
  
= 3, entonces el 
entonces el valor de 
valor de: 
 
 
a) 3 
E = a3 + 
1
 
a3 
, es:  x
y
 
C =  
y
x
 
y
x 
4
 
+ 
x
y  
 
,x  0, y  0 , es: 
b) −3 
c) 1 
d) −1 
a) 4 
b) 2 
c) 16 
e) 0 
 x 
n
 
14. Si   
  
 
 y 
n
 
+   
  
 
 
= 62 , entonces el valor de 
d) 8 
e) 3 
 
18. Al simplificar la expresión: 
(ax + by )
2 
+ (ay − bx)
2
 
E = , es: 
 
 
a) 2 
E = 
 
 
a) a2 + b2 
x2 + y2 
, se obtiene: 
b) 8 b) 2(a2 + b2 ) 
c) −2 c) 4ab 
d) −8 d) x2 + y2 
e) 64 
15. Sabiendo que a + b + c = 7 y 
a2 + b2 + c2 = 31, el valor de 
es: 
 
a) 2 
b) 4 
c) 8 
d) 7 
 
 
18 − 2ab 
E = , 
ac + bc 
e) 1 
 
19. Dadas las expresiones 
P = (a + b + c)(a − c + b) y 
Q = (a + c − b)(a − c − b) , la expresión 
E = 
P − Q 
, es igual a: 
4 
e) −2 a) a
2 + b2 
b) a2 + c2 
x − z z2 c) ab 
16. Si: 
 
de: 
z − y 
+ 
(x + y)(z − y) 
, entonces el valor d) −ab 
e) −2ab 
 z − x 
2
 
M =   
 x + y 
2
 +   
 z − y 
2
 +   
 
, es: 
20. Al reducir la expresión 
 y   z   x  p2 ( p + q)
2 
− 2 ( p + q) ( p − q ) + ( p − q )
2  
M = 
( p + q)
2 
− ( p − q)
2
 
resulta igual a: 
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PLANA DOCENTE 26 
 
 
−2 
5 
x 
7 
x4 2 
 
a) 2 p 
b) 2q 
c) 2 pq 
a) 7 
b) 32 
c) 16 
d) 64 
d) −2 pq e) 735 
e) pq 
 
21. Al simplificar la expresión: 
(x2 + x +1)(x2 − x +1) 
E = 
+ x +1 
 
 
 
 
, se obtiene: 
 
26. Si x − x−1 = 5, entonces el valor de 
A = x3 − x−3 , es: 
 
a) 140 
b) 110 
a) x2 c) 125 
b) x4 d) −125 
c) 4 
d) 2 
e) 1 
e) 5 
 
27. Si a + b = 2 y ab = 3 , entonces el valor de 
M = a3 + b3 + a2 + b2 , es: 
22. Si x2 + y2 + z2 = 4x + 4y − 4z −12 , 
entonces E = x + y − z2 , es igual a: 
a) 12 
b) 16 
c) −12 
a) 2x 
b) 3y 
d) 8 
e) 36 
c) 0 
d) 2 
 
28. Si x3 + y3 = 5 y xy ( x +1) = 1, entonces el 
e) 1 
23. Si ax + a−x = 
M = a
4x 
+ a
−4x es: 
 
a) 2 
b) 4 
c) 8 
 
 
, entonces el valor de 
valor de 
 
 
a) 125 
b) 111 
c) 4 
d) 16 
e) 25 
P = ( x + y )
2 
, es: 
d) 
e) 
 
24. Si 
2 
 
 
x2 + x−2 = 11, entonces el valor de 
29. Si a + b + c = 5 y a2 + b2 + c2 = 7 , entonces 
el valor de E = ab + ac + bc , es: 
 
a) 3 
b) 6 
P = x − x−1 ,es: 
 
a) 3 
b) 2 
c) 9 
d) −9 
e) −3 
1 
c) −3 30. Si x + = 3 , entonces el valor de x 
d) 

 1 1  
 
 
1 1  
 
 e) A =  x
x + ( ) x ( x) x + ( )
x  , es: 
 
25. Sabiendo que x + 
1
 
 
= , entonces el 
 x  x  
 
valor de A = 2x+x
−1 
, es: 
2 + 2 
2 
2 
PLANA DOCENTE 27 
 
 
D(x) = d(x).q(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 
 
 
 
PROPIEDAD DE GRADOS 
G.A.(q) = G.A.(D) − G.A(d ) 
G.A.(r)m á x = G.A.(d ) −1 
G.A.(r)  G.A.(d ) 
 
 
 
 
 
DEFINICIÓN. Sean los polinomios d (x) y 
D(x) , definimos la operación de división de 
polinomios como aquella que consiste en 
METODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS 
 
A) METODO DE HORNER 
 
Este método se utiliza cuando el divisor es de 
segundo grado o mayor. Para realizar el método 
tenemos que usar el siguiente cuadro donde 
encontrar dos polinomios 
satisfacen: 
 
 
 
Donde: 
D(x) y r(x) que ubicaremos los coeficientes. 
 
• d (x) : Dividendo 
• D(x) : Divisor 
• D(x) : Cociente 
• r(x) : Residuo 
 
CLASES DE DIVISION 
 
A. DIVISIÓN EXACTA 
 
La división de polinomios se dice que es exacta, 
cuando el residuo es idénticamente nulo( r  0 ). 
Luego se tiene que: 
 
 
B. DIVISIÓN INEXACTA 
 
La división de polinomios se dice inexacta, 
cuando el residuo no es idénticamente nulo ( 
r  0 ), tenemos: 
 
 
 
PROCEDIMIENTO: 
 
1. Verificar que los polinomios dividendo y 
divisor estén ordenados y completos, en 
caso de que no los estén, se debe completar 
y ordenar. 
 
2. Anotar los coeficientes del dividendo en la 
parte superior del cuadro con sus 
respectivos signos. 
 
3. Anotar los coeficientes del divisor en la parte 
izquierda del cuadro, colocando el primer 
coeficiente con su respectivo signo y los que 
siguen con el signo opuesto. 
D(x) = d(x).q(x) + r(x) 
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA 
D(x) = q(x)d(x) + r(x) 
TEOREMA 
 
Dados los polinomios D(x) y d (x) con d (x)  0 
, entonces existen los únicos polinomios q(x) y 
r(x) tal que: 
 
D(x) = q(x)d(x) + r(x) 
 
 
 
 
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA 
PLANA DOCENTE 28 
 
 
 
4. Trazar la línea vertical que divide los 
coeficientes del cociente y residuo. Para 
ubicar esta línea debemos recorrer de 
derecha a izquierda tantos espacios como el 
grado máximo del residuo. 
 
5. El primer término del cociente (q) se obtienedividiendo el primer coeficiente del 
dividiendo (D) entre el primer coeficiente del 
divisor (q). 
 
6. El primer coeficiente del cociente obtenido 
debe multiplicar a cada uno de los 
coeficientes del divisor que cambiaron de 
signo y los resultados se colocan en forma 
horizontal partir de la siguiente columna 
hacia la derecha. 
 
7. Las cantidades que se encuentran en la 
segunda columna se suman y el resultado se 
divide entre el primer coeficiente del divisor 
(d) y continuando así con el procedimiento 
hasta coincidir con la última columna del 
dividendo. 
 
8. Para concluir se deben de sumar las 
columnas correspondientes del residuo. 
 
Ejemplo 1: 
8x5 + 4x4 + 6x2 + 6x −1 
Dividir: 
4x2 − 4x + 2 
B) METODO DE RUFFINI 
 
Este método se utiliza cuando el divisor es de 
primer grado ( d(x) = ax + b ). Para realizar el 
método tenemos que usar el siguiente cuadro 
donde ubicaremos los coeficientes. 
 
 
 
 
 
PROCEDIMIENTO: 
 
1. Verificar que los polinomios dividendo y 
divisor estén ordenados y completos, en 
caso que no los estén se debe completar y 
ordenar. 
 
2. Anotar los coeficientes del dividendo en la 
parte superior del cuadro con sus 
respectivos signos. 
 
3. El divisor d(x) = ax + b debemos igual a 
cero y despejar la variable " x" y anotar el 
resultado en la parte izquierda del cuadro. 
 
4. Se baja el primer coeficiente del dividendo y 
b 
se multiplica por el valor de x =− , el 
a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego tenemos: 
 
q(x) = 2x3 + 3x2 + 2x + 2 
r(x) = 10x − 5 
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 
resultado obtenido se coloca en la siguiente 
columna, debajo del segundo coeficiente del 
dividendo. 
 
5. Se suman las cantidades de la segunda 
columna y continuamos con el mismo 
procedimiento hasta obtener un término 
debajo del último coeficiente del dividendo. 
 
6. El resto es la suma de la última columna. 
 
7. Para obtener el cociente dividimos entre el 
coeficiente principal del divisor cada columna 
a excepción de la columna del residuo. 
 
Ejemplo 1: 
 
2x4 − 2x2 + 9 
Dividir: 
 
2x − 4 
 
 
 
 
 
 
− 4 8 
− 4 8 
− 6 12 
− 4 
−1 6 6 0 4 4 8 
8 
4 
−2 
2 3 2 2 10 − 5 
COCIENTE RESIDUO 
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PLANA DOCENTE 29 
 
 
 
Solución: 
 
 
b) 2x2 
c) 2x2 + 3x + 2 
d) 2x2 + 2 
e) 2x2 + 6x + 2 
 
2. El residuo luego efectuar la división 
12x5 − 9x3 − x2 + x 
 
Luego tenemos: 
 
q(x) = x3 + 2x2 + 3x + 6 
6x3 + 3x2 +1 
a) −2x +1 
b) x2 + 2x +1 
es: 
r(x) = 33 c) 2x +1 
 
TEOREMA DEL RESTO 
 
Este teorema permite calcular el residuo de una 
división de manera directa. El enunciado es el 
siguiente. 
 
 
 
Ejemplo 1: 
d) −x2 + 2x −1 
e) x2 + 2x 
3. Si la división: 
6x4 +16x3 + 25x2 + Mx + N 
 
 
3x2 + 2x +1 
es exacta, entonces el valor de Z = M + N 
es: 
 
a) 5 
b) 9 
c) 14 
d) 19 
e) 20 
Encontrar el resto de la división: 
Solución: 
 
Igualemos el divisor a cero: 
2x − 4 = 0 
x = 2 
2x4 − 2x2 + 9 
 
 
2x − 4 
4. El residuo de dividir: 3x3 − 4x2 + 5x + 6 entre 
3x + 2 es: 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 1 
Luego tenemos que: e) −1 
 
residuo = 2(2)4 − 2(2)2 + 9 
residuo = 33 
5. El resto de dividir: 
2x28 −14x7 + 2x21 − 5 
 
 
x7 − 3 
 
 
es: 
 
EJERCICIOS a) 144 
b) 169 
c) 121 
1. Sea q(x) el cociente y r(x) el residuo de 
d) 154 
e) 136 
dividir 
polinomio 
6x4 − 7x3 − 4x2 +10x − 3 
 
 
3x2 + x − 2 
q(x) + r(x) es igual a: 
, el 
 
6. El valor de "n", para que el residuo de la 
x3 − nx2 − nx − n2 
división 
x − n − 2 
sea 3n + 2 , es: 
a) 2x2 + 6x a) −2 
TEOREMA 
 
Dada la división P ( x)  (ax + b) , entonces 
tenemos que el resto de la división viene dada 
por: 
Resto = P (−b / a ) 
 
 
COCIENTE 
 2 0 − 2 0 9 
x = 2 4 8 12 24 
 2 2 4 6 12 33 
 
1 
 
2 
 
3 
 
6 
RESIDUO 
 
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA 
PLANA DOCENTE 30 
 
 
 
b) −1 a) 4x − 3 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
7. El resto luego de dividir: 
(x2 − 3x −1)4 + 2(x − 3)5 + x 
 
 
x − 4 
 
 
 
 
 
 
es: 
b) 4x + 3 
c) x + 3 
d) x − 3 
e) 8x + 3 
12. Si la división 
 
 
 
x4 + x3 − 5x2 + mx + n 
x2 − 2x + 2 
 
 
 
 
 
, tiene 
 
a) 88 
b) 89 
c) 87 
d) 95 
e) 98 
 
8. El valor numérico del polinomio: 
P(x) = x5 + (2 − 2 2)x4 − 4 2x3 + 5x − 3 
resto 4 . Entonces el valor de 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
mx4 + nx3 +11x2 − 3x + 5 
es: 
 
para x = 2 
 
es: 
13. Si la división es 
2x2 − x +1 
 
a) 8 2 
b) 2 + 7 
c) 7 2 
d) 13 2 
e) 9 
9. El valor de " p + q" 
3x4 − px2 + qx + 3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
para que la división 
exacta, el valor de "m + n" es: 
a) 7 
b) 11 
c) 5 
d) 0 
e) 21 
14. Si el resto de la división: 
ax3 + (b + 4)x2 + (12 − a)x + b − a 
es 
x2 + 2x −1 
x2 − 2x + 2 
a) 15 
b) 13 
c) 11 
d) 16 
e) 6 
 
10. Si el polinomio 
sea exacta, es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(x) = 3x5 + 6x3 − 3x se 
r(x) = 2x +10 . El cociente de la división 
viene dado por: 
 
a) q(x) = −x + 5 
b) q(x) = 4x + 91 
c) q(x) = 4x + 5 
d) q(x) = x + 5 
e) q(x) = x − 5 
divide entre x +1 se obtiene un cociente de 15. Si: r(x) = ax + b es el residuo de la división 
grado "m" , termino constante "b" 
"a". El valor de “ m + b + a ” es: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
y resto 
(x +1)5 +1 
 
 
x2 + 2x 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
, El valor numérico r(3) es: 
 
 
11. El resto que se obtiene al dividir 
x5 − x +1 
(x −1)2 
 
es: 
16. Al efectuar la división: 
mx5 + nx4 + px3 + 2x2 
 
− x +1 
x3 − x2 + 2x − 3 
2 
2 
2 
n + 3 m 
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PLANA DOCENTE 31 
 
 
 
Se tiene que el resto es "7x − 2". El valor de 
"m + n + p" es: 
 
a) −5 
b) −1 
 
a) 4 
b) 9 
c) 7 
d) 2 
e) 8 
c) 1 
d) 0 
e) 9 
 
17. La división algebraica: 
2x5 + ax3 + 2bx2 + 4x − 3 
 
 
x2 + x +1 
Deja resto r  0 . El valor de ab es: 
a) 7 
b) 0 
c) 5 
 
21. El residuo de la división: 
(x − 2)2021 + (x −1)2020 + 7 
 
 
(x − 2)(x −1) 
 
a) 3 
b) 2x −1 
c) 3x + 2 
d) 2x − 4 
e) 2x + 4 
22. Si la división: 
 
 
es: 
d) −5 
e) 6 
 
18. Si la división algebraica: 
Ax5 + Bx4 + Cx3 + 72x2 +19x + 5 
es 
4x3 + 3x +1 
exacta, entonces el valor de A + B − C es: 
a) 11 
b) 13 
c) 17 
d) 19 
mx4 + (m + n)x3 + (m + n + s)x2 + (n + s)x − m − n 
 
 
mx2 + nx + s 
no deja resto. El valor de “ m + n + s ” es: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
23. Sabiendo que el polinomio 
P(x) = xn + mxn−2 +1 es divisible entre 
e) 23 
 
19. Dada la división algebraica 
 
x50 + ax + b +1 
, 
x −1 
(x −1)2 , entonces el valor "mn" es: 
 
a) −8 
con a y b reales, si la suma de coeficientes 
del cociente es el triple del residuo e igual a 
b 
b) −6 
c) −4 
d) −2 
54 , La relación 
a) 2 
b) 
1
 
2 
esta dado por: 
a e) −1 
 
24. Si la división 
 
 
xa − bx + c 
es exacta, entonces 
x2 − 2x +1 
c) 
1 
4 
d) 4 
e) 3 
 
20. En la división siguiente 
2x5 + 3x4 + bx3 + 6bx2 + x + a 
 
 
el valor de 
 
 
 
a) 2 
b) 4 
1 
H = 
a + b 
c +1 
es: 
x2 − x + b c) 2 
Se sabe que el resto es 2x + 3 y la suma de 
coeficientes del cociente es mayor que 15 . El 
valor de “ ab ” es: 
d) 256 
e) 8 
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PLANA DOCENTE 32 
 
 
+ xyn−2 
x y 
= 3 2 2 3 
 
 
29. Un polinomio mónico de tercer grado es 
25. En la siguiente división: divisible por (x − 2) y (x +1) al dividirlo por 
2x2n + 2x2n−1 + 2x2n−2 + ... + 2x3 + 2x2 + 2x − n +1 (x − 3) da resto 20 . El resto que se obtiene 
 
2x − 2 
La suma de los coeficientes del cociente que 
resulta, es igual a 10 veces su resto. El grado 
del cociente es: 
 
a) 39 
al dividir dicho polinomio entre (x + 3) es: 
 
a) −10 
b) 30 
c) −20 
d) −30 
b) 37 
c) 35 
d) 31 
e) 33 
 
26. Un polinomio P(x) 
 
 
 
 
 
mónico y de cuarto grado, 
e) 20 
 
COCIENTES NOTABLES 
xn  yn 
es divisible separadamente entre (x + 5) y DEFINICIÓN. La división , donde 
 
(x2 − 5) . Si lo dividimos entre (x − 5) el resto 
es 3000 . El resto de dividir P(x) entre (x +1) 
es:x  y 
n  , es un cociente notable si y solamente sí, 
es una división exacta y su cociente respectivo 
se determina por simple inspección, es decir 
podemos obtener el cociente sin efectuar la 
a) −145 
b) −144 
c) −140 
d) −138 
e) −136 
división. 
 
Ejemplo 1: 
 
x3 − y3 
x 
 
 
 
 
2 + xy + y2 
 
 
27. Hallar el valor de "m" tal que Si la suma de 
coeficientes del cociente de la división 
xm−1 − (m +1)x + m 
x − y 
Ejemplo 2: 
 
4 − 4 x + x y + xy + y 
 
 
 
(x −1)2 
el valor de "m" es: 
 
a) 5 
b) 10 
c) 20 
d) 30 
e) 40 
es igual a 210 , entonces x + y 
CASOS QUE SE PRESENTAN EN LOS 
COCIENTES NOTABLES: 
 
I) PRIMER CASO 
 
Es cociente notable solo para "n" 
28. Al dividir un polinomio P(x) separadamente e par o impar 
por (x −1) y (x − 2) se obtiene como restos 
6 y 18 respectivamente. El resto que se 
obtiene al dividir el polinomio 
producto: (x −1)(x − 2) es: 
P(x) entre el El desarrollo del cociente notable es: 
xn − yn 
=
 
 
 
n−1 n−2 n−3 2 n−1 
a) 3x −12 
b) 2x −12 
x − y 
x + x y + x y + + y 
c) 6x −12 Ejemplo 1: 
d) x − 6 
e) 12x − 6 
xn − yn 
x − y 
= 
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PLANA DOCENTE 33 
 
 
+ xyn−2 
+ xyn−2 
 
Nro. de términos= 
Dado el cociente notable , el número de 
términos viene dado por: 
xn + yn 
x − y 
Nunca es cociente notable 
 
(a;b)  f  (a;c)  f  b = c 
NÚMERO DE TÉRMINOS DE UN 
COCIENTE NOTABLE: 
x4 − y4 
=
 
x + y 
xn − yn 
x + y 
Es cociente notable 
"n" par 
solo para 
Ejemplo 1: 
 
 
 
 
TÉRMINO GENERAL DE UN COCIENTE 
NOTABLE: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
• "n" es el número de términos. 
• "k " lugar del término. 
 
El signo se determina según el caso que se 
tenga: 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
 
1. En el siguiente cociente notable 
(x + 2)16 − (x − 2)16 
2(x2 + 4) 
quinto término para 
. El valor numérico del 
 
x = 1 es: 
 
a) −729 
b) 126 
 
 
c) 81 
d) 243 
e) 729 
 
2. Si el cociente 
 
 
 
 
x6n+1 − y5n 
x2n−3 − yn 
 
 
 
 
 
 
es exacto, 
entonces el valor de "n" , donde n  , es: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
El desarrollo que se obtiene es: 
x + x y + xy + y 
3 2 2 3 x
4 − y4 
=
 
x − y 
Dado cociente notable , el termino de 
lugar viene dado por: 
xn + yn 
=
 
x + y 
Ejemplo 1: 
x − x y + x y − 
n−1 n−2 n−3 2 
− y n−1 
x3 + y3 
=
 
x + y 
x − xy + y 2 2 
xn − yn 
=
 
x + y 
x − x y + x y − 
n−1 n−2 n−3 2 
− y n−1 
x − x y + xy − y 
3 2 2 3 
xn + yn 
x + y 
II) SEGUNDO CASO 
Es cociente notable solo para "n" 
impar 
El desarrollo del cociente notables es: 
III) TERCER CASO 
IV) CUARTO CASO 
 
 
divisor 
Signo de Tk 
"k " es par "k " es impar 
x + y − + 
x − y + + 
 
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PLANA DOCENTE 34 
 
 
 
e) 10 
p 432 
7. Sabiendo que xa y24 es el término central del 
x75 − yb 
3. Si el cociente de 
x − y 
x3 − y p es exacto, indicar 
desarrollo del cociente exacto: 
xc − y2 
. El 
el total de sus términos. 
 
a) 6 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
e) 30 
valor de E = a + b + c está dado por: 
a) 39 
b) 49 
c) 59 
d) 69 
e) 89 
 
xn −1 
x19 − y19 
8. Si 
 
 
x2 −1 
es un cociente notable de 4 
4. Dada la división algebraica 
x − y 
; indique 
términos. La suma de los términos 3ro y 4to 
cuál de las siguientes expresiones no es un 
término del desarrollo del cociente notable 
dado: 
es: 
 
a) 
b) 
 
x4 +1 
x4 + x2 
a) x12 y6 
b) x10 y8 
c) x9 y9 
c) x2 +1 
d) x2 + x 
e) x +1 
d) x14 y3 
e) x7 y11 
9. El coeficiente del tercer término del desarrollo 
x12 −16 
 
 
 
5. Si el quinto término del desarrollo del siguiente 
del cociente 
2x3 + 4 
es: 
x14 − y35 
 9−a 12+b a) 2 
cociente notable: 
x2 − y5 
es x y . El 
b) 
1
 
valor de "a + b" es: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 13 
e) 11 
2 
c) 8 
d) 6 
e) 1 
10. El grado absoluto del primer término central 
x15n+50 − y15n−10 
 
 
 
6. El coeficiente del cuarto término del desarrollo 
32x5 + 243y5 
 
 
del cociente notable 
 
 
a) 11 
xn+1 − yn−2 
es: 
de 
2x + 3y 
 
a) −108 
b) −27 
c) −54 
d) −81 
es: 
b) 106 
c) 63 
d) 40 
e) 72 
 
11. Si 
 
 
 
 
 
son términos 
e) −12 consecutivos del desarrollo de un cociente 
notable. El número de términos que posee es: 
 
a) 61 
b) 100 
c) 63 
d) 72 
x195 y140 + x190 y147 
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PLANA DOCENTE 35 
 
 
 
e) 60 
 
12. El número de términos que tiene el siguiente 
(x − a)n − (2ax)2n−21 
a) 20 
b) 84 
c) 48 
d) 36 
cociente notable 
 
a) 3 
b) 7 
c) 11 
x2 + a2 
es: 
e) 42 
17. El cociente de la división: 
x95 + x90 + x85 + x80 + + x5 +1 
x80 + x60 + x40 + x20 +1 
 
 
 
es: 
d) 17 
e) 22 
 
13. Dado el siguiente cociente notable 
 
 
x20 − y30 
x2 − y3 
a) q(x) = x15 − x10 + x5 −1 
b) q(x) = x15 +1 
c) q(x) = x15 + x10 + x5 +1 
d) q(x) = x15 − x5 +1 
. El lugar que ocupa el término que contiene a e) q(x) = x15 −1 
x10 es: 18. Si en el desarrollo del cociente notable 
xn+3m − y7m 
a) Sexto. 
b) Quinto. x
2 − y4 
hay 14 términos, entonces el 
c) Octavo. 
d) Cuarto. 
e) Décimo. 
 
14. Si el T25 del desarrollo de: 
 
 
 
x129m − a86n 
x3m − a2n 
 
 
 
 
viene 
grado absoluto del término que ocupa el lugar 
(m − n) , es: 
a) 8 
b) 16 
dado por 
(m + n) es: 
 
a) 11 
b) 13 
x270a288 , entonces el valor de 
c) 32 
d) 64 
e) 72 
 
19. Dado el siguiente cociente notable 
x3n+2 − y5n−1 
c) 21 
x2 − yn−5 
, entonces el grado absoluto del 
d) 15 
e) 31 
 
15. En el desarrollo del cociente notable: 
x148m − y296 p . El termino de lugar 60 es 
x2m − y4 p 
x56 y708 , entonces el grado del término de 
lugar 21 es: 
a) 234 
décimo primer término en el cociente notable, 
es: 
 
a) 25 
b) 32 
c) 30 
d) 28 
e) 34 
 
x8 (x2 y2 ) + y−8 
 
 
b) 432 
20. La expresión 
x2 y2 +1 
genera un 
c) 214 
d) 532 
n −n 
cociente notable. Si Tk = x y es un término 
e) 452 de esta división, entonces el término Tk 
es: 
 
 
16. Dado el cociente notable x
 − y 
 
. Si: 
a) Tk = x
8 y−8 
 
T6 .T9 
T7 
es: 
 
= x12 y28 
 
x3 − y4 
, entonces el valor de " +  " 
b) Tk 
c) Tk 
d) Tk 
= x4 y−4 
= x10 y−10 
= x5 y−5 
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PLANA DOCENTE 36 
 
 
 
e) Tk = x
2 y−2 
 
x25n − y25n 
21. Si al dividir 
x3
n −1 + y3
n −1 
se obtiene como 
segundo término −x16 y8 . El número de 
términos que tiene el cociente es: 
 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
 
22. Si el desarrollo del siguiente cociente notable 
(x +1)11 + (x −1)11 
tiene un término de la 
x 
forma a(x2 −1)b , entonces el valor de 
T = a + b es: 
a) 3 
b) 8 
c) 5 
d) 7 
e) 11 
 
23. El número de términos que tendrá el cociente 
x5m+10 − y5m−50 
notable 
x2n+9 − y2n+5 
;{m; n} es: 
 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
 
24. Sabiendo que al dividir: 
x2
n 
− y2
n
 
 
 
x3
m −1 + y3
m −1 
se obtiene un cociente cuyo 
segundo término es −x8 y8 . El número de 
términos del cociente notable es: 
 
a) 4 
b) 3 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
PLANA DOCENTE 37 
 
 
) ) 

(a + b) c = ac + bc 
 
 
 
CAMPO NUMÉRICO 
 
DEFINICIÓN. Un campo es un conjunto no 
vacío " K " , que está dotado de dos operaciones 
binarias, que se denominan suma y 
multiplicación y que son representadas por los 
símbolos " +" y "" respectivamente y se 
11. Propiedad Distributiva 
a, b, c  K , 
a(b + c) = ab + ac 
 
Ejemplo 1: 
El conjunto de los números racionales ( ) , 
reales ( y complejos ( constituyen 
cumplen las siguientes propiedades: 
 
PARA LA ADICIÓN: 
 
1. Propiedad de la clausura 
a,b  K, a + b  K 
 
2. Propiedad asociativa 
a,b, c  K, a + (b + c) = (a + b) + c 
 
3. Propiedad conmutatividad 
a,b  K, a + b = b + a 
 
4. Propiedad de la existencia del elemento 
neutro aditivo 
!0 K / a  K, a + 0 = a 
 
5. Propiedad Existencia del elemento 
inverso aditivo 
a  K;!− a  K / a + (−a) = 0 
ejemplos de campos. 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
DEFINICIÓN.La factorización es la 
transformación de un polinomio, como el 
producto de dos o más factores primos dentro de 
un cierto campo numérico. 
En este caso factorizaremos mayormente en el 
campo de los números racionales. 
 
FACTOR PRIMO 
 
DEFINICIÓN. Un factor primo es aquel 
polinomio que no es posible transformar en el 
producto de dos polinomios, es decir, es aquel 
polinomio que no es posible factorizar. 
 
NUMERO DE FACTORES DE UN 
POLINOMIO 
 
PARA LA MULTIPLICACIÓN: 
 
Sea: P ( x, y, z ) = x y z 
 
un polinomio 
6. Propiedad de la clausura 
a,b  K, a b  K 
expresado en el producto de sus factores. 
 
a) El número de factores del polinomio es: 
7. Propiedad asociativa 
a,b,c  K, a(bc) = (ab)c 
Nro. de factores = ( +1) ( +1) ( +1) 
b) El número de factores primos del polinomio 
8. Propiedad conmutatividad 
a,b  K, ab = ba 
es: 
Nro. de factores = 3 , estos son x, y 
 
y z . 
 
9. Existencia del elemento neutro 
multiplicativo 
c) El número de factores algebraicos del 
polinomio es: 
!1 K / a  K, a1 = a 
 
10. Existencia del elemento inverso 
multiplicativo 
Nro. Fact. algebraicos = ( +1) ( +1) ( +1) − 1 
 
Ejemplo 1: 
a  K −{0};!a−1  K / aa−1 =1 Dado el polinomio P ( x, y, z ) = ( x +1) y
2 ( z +1)
2
 
determinar el número de factores, factores 
primos y factores algebraicos. 
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PLANA DOCENTE 38 
 
 
 
Solución: P ( x) = x6 (x3 −1) − 64(x3 –1) 
✓ Núm. Factores = (1+1) (2 +1) (2 +1) = 18 = (x
3 
–1) ( x6 − 64) 
✓ Núm. Fact. Primos = 3 y estos son = (x
3 
–1) ( x3 )
2 
− 8
2  
( x +1), y, ( z −1)   
✓ Núm. factores algeb. = (1+1)(2 +1)(2 +1) –1 = 17 = (x –1) ( x2 + x +1) (x3 – 8) (x3 + 8) 
 
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN 
1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN 
 
Este método consiste en extraer un factor 
común monomio o un factor común 
polinomio a todos los términos del polinomio. 
 
Ejemplo 1: 
 
Factorizar P ( x) = 2a2 x + 4ax2 − 6ax 
Solución: 
Factorizando P ( x) = 2ax (a + 2x − 3) 
Ejemplo 2: 
= (x –1) (x2 + x +1) ( x − 2) ( x2 + 2x + 4)( x + 2) (x2 – 2x + 4) 
El número de factores primos es 6 . 
 
3. ASPA SIMPLE 
 
Este método es aplicable para polinomios que 
tienen la forma general: 
 
o cualquier otra expresión transformable a esta. 
Ejemplo 1: 
Factorizar: P(x) = 6x2 − 5x − 21 
 
Solución: 
P(x) = 6x
2 
− 5x − 21 
 
Factorizar P ( x; y ) = ax + by + ay + bx 
 
2x + 3 (3x)(+3) = 
 
9 x + 
 
Solución: 
Agrupando 
 
P ( x, y ) = (ax + ay ) + (bx + by ) 
3x − 7 (2x)(−7) = −14x 
 
 
 − 5x 
Factorizando 
P ( x, y) = a ( x + y) + (bx + y ) 
P ( x, y) = ( x + y)(a + b) 
2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES 
P(x) = (2x + 3 )(3x − 7 ) 
 
4. ASPA DOBLE 
 
Este método se aplica para polinomios que 
tienen la forma: 
 
Recibe el nombre de las identidades, porque 
se utiliza las identidades algebraicas o 
 
con n, m 
 
+ o cualquier otra expresión 
productos notables. 
 
Ejemplo 1: 
 
Determinar el número de factores primos del 
polinomio 
P ( x) = x9 − x6 − 64x3 + 64 
Solución: 
 
Agrupando y factorizando el factor común: 
transformable a esta. 
 
Para factorizar el polinomio por este método se 
procede los siguientes pasos. 
 
a) Se ordena el polinomio a la forma general, 
en caso falte uno o más términos se 
completa con ceros. 
 
b) Se forma el primer trinomio con los tres 
primeros términos y se aplica aspa simple, 
para comprobar el segundo término. 
 
c) Luego se forma otro trinomio con los 
términos (3,5 y 6) para comprobar el quinto 
termino. 
P ( x) = Ax2n + Bxn + C; n  + 
P(x; y) = Ax2m + Bxm yn + Cy2n + Dxm + Eyn + F 
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PLANA DOCENTE 39 
 
 
 
d) Finalmente se aplica un aspa simple con los 
términos (1,4 y 6) para comprobar el cuarto 
término. 
 
e) Los factores serán sumas horizontales. 
 
Ejemplo 1: 
 
Factorizar 
P ( x, y ) = 15x2 +19xy + 6 y2 + 5x + 4 y −10 
Solución: 
 
P ( x, y ) = 15x2 +19xy + 6 y2 + 5x + 4 y −10 
d) Los factores serán las sumas horizontales. 
 
Ejemplo 1: 
 
Factorizar 
P ( x) = 5x4 + 22x3 + 21x2 +16x + 6 
Solución: 
P ( x) = 5x4 + 22x3 + 21x2 +16x + 6 
5x2
 
3 
x2 2 
3x 2 y − 2 
5x 3y 5 
 
Comprobando: Aspa simple con los términos 
(1,4 y 6) 15x –10x = 5x 
 Los factores son: 
P ( x, y ) = (3x + 2 y − 2)(5x + 3y + 5) 
multiplicando los extremos y sumando los 
resultados se tiene 13x2 para 21x2 falta 8x2 
P ( x) = 5x4 + 22x3 + 8x2 +16x + 6 
5x2 2x 3 
x2 4x 2 
Los factores son: 
 
5. ASPA DOBLE ESPECIAL 
 
Este método se aplica para factorizar polinomios 
que adoptan a forma: 
 
 
También puede ser: 
P ( x) = (5x2 + 2x + 3)(x2 + 4x + 2) 
6. MÉTODO DE EVALUACIÓN DE 
DIVISORES BINOMIOS 
 
Este método se emplea para factorizar 
polinomios de una sola variable y de cualquier 
grado y que admitan factores de primer grado de 
la forma general ax + b . 
 
 
Con 
 
m, n  + 
 
o cualquier otra expresión 
Los ceros de un polinomio son el conjunto de 
valores que puede tomar la variable de un 
transformable a estas. 
 
Para factorizar este polinomio se tomará en 
cuenta los siguientes pasos: 
 
a) Se ordena el polinomio a la forma general, 
en caso de que falte uno o más términos se 
completa con ceros. 
 
b) Se descompone convenientemente los 
extremos, se efectúa el producto en aspa y 
se suman los resultados. 
 
c) Se compara el resultado anterior con el 
término central del polinomio y lo que sobre 
o falte para que sea igual o éste, será la 
expresión que se tenga que descomponer en 
las partes centrales de los futuros nuevos 
dos factores. 
polinomio y hacer que su valor numérico sea 
cero. 
 
Para determinar los posibles ceros de un 
polinomio se considera: 
 
a) Si el polinomio tiene como coeficiente 
principal a la unidad, en este caso los 
posibles ceros racionales (P.C.R) estarán 
dados por los divisores del término 
independiente con su doble signo () . 
 
Por ejemplo: 
 
Par el polinomio: 
P ( x) = x3 + 3x2 +11x + 6 
Los posibles ceros estarán determinados por 
los divisores de 6 : 1,  2,  3,  6 
P ( x) = Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dx + E; n  + 
P ( x, y ) = Ax4m + Bx3m y + Cx2m y2n + Dxy3n + Ey4n 
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b) Si el coeficiente principal del polinomio es 
diferente que la unidad, en este caso se 
toman los valores fraccionarios que resultan 
de dividir los divisores del término 
independiente entre los divisores del primer 
coeficiente. 
 
 
 
 
Donde: 
• P.C. R : Posibles ceros racionales. 
• T. I : Termino independiente. 
• C.P : Coeficiente principal. 
 
Por ejemplo: 
Para el polinomio 
P ( x) = 6x3 +11x2 + 6x +1 
Los posibles ceros son: 
 
Entonces: 
P ( x) = x4 + x3 − 7x2 − x + 6 
= ( x −1)( x +1)( x − 2)( x + 3) 
 
EJERCICIOS 
P.C.R = 1, 
1 
,  
1 
,  
1 
,  
1
 
 
 
1. Con relación a la factorización del polinomio 
2 2 3 6 P ( x) = x4 – 49 . En las siguientes 
 
Para factorizar el polinomio por este método se 
procede los siguientes pasos. 
 
a) Se ordena el polinomio, en caso que falte 
uno o más términos se completa con ceros. 
 
b) Se determina los ceros del polinomio, (el 
número de ceros debe estar de acuerdo con 
el grado del polinomio) 
 
c) Se deduce el factor que da lugar al cero del 
polinomio; si un polinomio P(x) se anula 
proposiciones escribir (V) si es verdadero o 
(F) si es falsa: 
 
I. Al factorizar en el conjunto de los números 
racionales, tiene dos factores primos. 
 
II. Al factorizar en el conjunto de los números 
reales, tiene tres factores primos. 
 
III. Factorizando en el conjunto de los 
números complejos, tiene 4 factores 
primos. 
para x = a o P(a) = 0, entonces (x − a) La secuencia correcta, es: 
será un factor primo del polinomio. 
Es decir, P(x) = (x − a)q(x) 
 
d) Los factores se determinan utilizando el 
método de Ruffini, el cual se emplea tantas 
veces como ceros tenga el polinomio. 
 
Ejemplo 1: 
 
FactorizarP(x) = x4 + x3 – 7x2 – x + 6 
a) FVF 
b) FFV 
c) VVV 
d) VFF 
e) FFF 
2. En las siguientes proposiciones, indicar con 
(V) si es verdadero o con (F) si es falso. 
 
I. El polinomio P ( x) = ( x + 5)( x + 2) está 
 
Solución: 
factorizando en el campo de los números 
naturales. 
Los posibles ceros son: 1,  2,  3,  6 , 
 
II. El polinomio P ( x) = x (x2 − 5) 
 
esta 
Donde: 
P (1) = 0, P (−1) = 0, P (2) = 0, P (−3) = 0 
factorizado en el campo de los números 
racionales. 
P.C.R = 
Div.(T.I ) 
Div(C.P) 
 1 1 -7 -1 6 
1 1 2 -5 -6 
 1 2 -5 -6 0 
-1 -1 -1 6 
 1 1 -6 0 
2 2 6 
 1 3 0 
 
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III. El polinomio P ( x) = (x + 5 )(x − 5 ) 
está factorizando en el campo de los 
números racionales. 
a) 4 
b) 3 
c) 1 
d) 2 
IV. El polinomio P ( x) = x (x2 – 9) está 
e) 5 
factorizando en el campo de los números 
racionales. 
6. El número de factores primos de 
P ( x) = x9 – x6 − 64x3 + 64 , es: 
 
V. El polinomio P ( x) = ( x – 4)(x2 + 3x + 9) 
 
a) 3 
está factorizando en el campo de los 
números reales. 
VI. El polinomio P ( x) = x4 – 5x2 – 36 , tiene 3 
factores primos en el campo de los 
números reales. 
 
La secuencia correcta es: 
 
a) FVFFVV 
b) VVFFVV 
c) FFVVFF 
d) VVFVFF 
e) FFFVFV 
 
3. Al factorizar el polinomio: 
P ( x) = x5 + x4 + 2x2 – 1 
el factor primo de mayor grado es: 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 2 
7. Al factorizar: 
P ( x) = ( x + 2)
2 
x2 – 4x ( x – 5) – 25 
La suma de coeficientes de factores primos 
lineales es: 
 
a) 6 
b) 4 
c) 3 
d) 5 
e) 2 
8. La suma de los términos independientes de 
los factores primos de 
a) x3 – x +1 
b) x3 + x −1 
c) x3 + x +1 
P ( x, y ) = 20x2 – 33x – 17 y + 7 + 6 y2 + 22xy 
, es: 
a) −3 
d) x3 – x −1 b) 4 
e) x3 + 2x +1 c) −8 
d) −4 
4. Al factorizar el polinomio: 
P ( x) = x4 – 16x2 + 24x – 9 
la suma de los coeficientes de los términos 
lineales de los factores primos lineales es: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
e) 5 
9. La suma de los términos cuadráticos de los 
factores primos del polinomio 
P ( x) = 5x4 +16x + 6 + 22x3 + 21x2 , es: 
a) 6x2 
b) 2x2 
d) −2 
e) −1 
c) 5x2 
d) – 3x2 
5. El número de factores primos de 
P ( x, y, z ) = x2 + 2xy + y2 – z6 , es: 
e) 4x2 
10. La suma de factores primos del polinomio 
P ( x) = 48x4 + 20x3 – 20x2 – 5x + 2 , es: 
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a) 10x + 2 
b) 11x +1 
c) 10x + 3 
d) 10x − 2 
e) 11x + 2 
11. El número de factores de: 
P ( x) = x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x – 4 , es: 
a) 16 
b) 12 
c) 18 
d) 14 
e) 10 
12. Uno de los factores primos del polinomio 
P ( x, y ) = 5x2 – y2 +10x – 2 y+4xy , es: 
16. Al factorizar el polinomio, 
P ( x) = ( x +1)(x2 +1)
10 
– ( x +1)
5 (x2 +1)
11 
La suma de los términos independientes de 
los factores primos lineales es; 
 
a) 2 
b) 3 
c) 1 
d) 4 
e) 5 
 
17. Uno de los factores primos del polinomio 
P ( x, y ) = 4ax – 2bx + 6ay – 3by , es: 
a) 2x + 3y 
b) x − y 
c) 3x + 2y 
d) y − x 
a) x + y –2 
b) x − y + 2 
e) zx − 3y 
c) x + y –3 18. La suma de los términos independientes de los factores primos del polinomio. 
d) x − y –1 
e) x − y + 3 
P ( x, y ) = 21xy – 39 y2 + 56x – 92 y + 32 , 
es: 
13. Al factorizar el polinomio: 
P ( x) = 30x3 – 97x2 + 92x – 21 , la suma de 
sus factores primos es: 
a) 9x –10 
b) 10x –11 
c) 10x +10 
d) 9x +10 
e) 11x –10 
14. La suma de los factores primos del polinomio 
P (a) = 3a3 – 7a2 – 22a + 8 , es: 
a) 5a – 3 
b) 5a + 2 
a) 10 
b) 9 
c) 12 
d) 11 
e) 8 
 
19. Después de factorizar el polinomio 
P ( x) = ( x2 + x −1)
2 
+ (2x +1)
2 
, la suma de 
los términos independientes de sus factores 
primos es: 
 
a) 2 
b) 4 
c) 3 
c) 5a – 2 
d) 5a +1 
d) −1 
e) −2 
e) 5a + 3 
 
15. Al factorizar el polinomio 
 
x4 –11x2 +1, la 
20. Luego de factorizar el polinomio 
P ( x) = ( x4 + x2 +1)
2 
+ 3x4 + 3x2 –15 . Uno 
suma de los factores primos es: de los factores primos es: 
a) 2x2 – 2 a) x + 2 
b) 2x + 2 b) x −1 
c) 2x2 + 2 
d) 2x2 – 3 
e) 2x2 +1 
c) x − 2 
d) x +1 
e) x − 3 
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21. La suma de los coeficientes de uno de los 
factores primos del polinomio: 
P ( x) = x5 – 4x3 + x2 – 4 , es: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
22. El número de factores primos del polinomio 
P ( x, y ) = x3 y2 + y3z2 – x3z2 – y5 ; es 
a) 3 
b) 2 
c) 4 
d) 5 
e) 1 
23. Al factorizar el polinomio 
26. Al factorizar: P ( x) = x5 + 4x4 – 10x2 – x + 6 
resulta: 
a) ( x –1)
2 
( x +1) ( x + 2)( x + 3) 
b) ( x – 1)( x +1)( x − 3)( x − 2) 
c) ( x +1)
2 
( x −1) ( x + 3)( x − 2) 
d) ( x +1)
2 
( x − 2)( x + 3) 
e) ( x –1)
2 
( x +1) ( x − 3)( x − 2) 
27. El equivalente al polinomio 
P ( x) = x4 + 8x2 + 36 , es: 
a) (x2 – 2x + 6)(x2 + 2x + 6) 
b) (x2 + 2x + 6)(x2 − 2x + 6) 
c) (x2 – 2x − 6)(x2 − 2x − 6) 
d) (x2 – 2x + 6)(x2 − 2x − 6) 
P ( x) = 6x2 + 20 y2 + 23xy + x + 6 y – 2 , Ia e) (x2 + 2x − 6)(x2 + 2x + 6) 
suma de coeficientes de sus factores primos 
es: 
 
a) 10 
b) 5 
c) 15 
d) 12 
e) 8 
 
24. La suma de sus términos independientes de 
los factores primos del polinomio 
P ( x) = x4 + 2x3 + 5x + 2 , es: 
a) 2 
b) 3 
c) −3 
d) −2 
 
28. Luego de factorizar el polinomio 
P ( x) = 2x5 – x4 – 12x3 + 22x2 – 14x + 3 la 
suma de sus factores primos es: 
 
a) 3x –1 
b) 4x –1 
c) 3x +1 
d) 4x +1 
e) 2x –1 
 
29. Uno de los factores primos del polinomio 
P ( x) = ( x2 + x)
2 
–18( x2 + x) + 72 , es: 
a) x – 1 
b) x + 2 
e) 4 
 
25. Al factorizar: 
resulta igual a: 
 
 
2x2 – 5xy – 3y2 – y – 9x + 4 , 
c) x + 3 
d) x + 4 
e) x – 2 
 
30. Al factorizar el polinomio 
P ( x) = x7 + 27x4 – x3 – 27 , el número de 
a) (2x + y – 1)( x – 3y + 4) 
b) (2x + y – 1)( x – 3y − 4) 
c) (2x − y +1)( x + 3y − 4) 
d) (2x − y – 1)( x + 3y + 4) 
e) (2x + y – 1)( x – 2 y + 4) 
factores primos es: 
 
a) 3 
b) 4 
c) 2 
d) 5 
e) 1 
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  
 
31. La suma de los factores primos del polinomio 36. Uno de los factores primos de polinomio 
P ( x) = 2x3 – 84x – 72 , es: P ( x) = x4 – 4x3 +11x2 – 14x +10 es: 
 
a) 3x + 4 
b) 3x − 5 
c) 3x − 2 
d) 3x + 3 
e) 3x + 5 
32. Uno de los factores primos del polinomio 
a) x2 – 2x + 5 
b) x2 + 3x + 5 
c) x2 – 2x + 3 
d) x2 + 2x + 2 
e) x2 – 2x − 5 
P ( x, y ) = 10x2 +11xy – 6 y2 – x – 11y – 3 , 
es: 
a) (5x + 2 y + 3) 
b) (5x − 2 y + 3) 
c) (5x − 2 y − 3) 
37. La suma de los términos independientes de 
los factores primos lineales del polinomio 
P ( x) = x5 – 10x3 – 20x2 – 15x – 4 , es: 
a) 3 
b) 2 
c) 4 
d) (4x + 2 y + 3) 
d) −3 
e) −1 
e) (4x − 2 y + 3) 
33. La suma de los factores primos del polinomio 
P ( x) = 6x3 – 13x2 + 4 ; es: 
a) 5x − 3 
b) 6x − 3 
38. La suma de los coeficientes de los factores 
primos del polinomio 
P ( x) = ( x − 3)
2 
( x − 5)( x −1) − 5( x − 4)( x − 2) + 3 
es: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 7x − 3 
d) 5x + 3 
e) 6x + 3 
c) −2 
d) −3 
e) −1 
 
34. La suma de los factores primos del polinomio 39. Al factorizar P ( x) = 4x8 – 16x4 + 9 . El 
P ( x, y ) = 10x2 – 7xy – 12 y2 – 21x – 26 y – 1 
, es: 
 
a) 7x + y – 3 
b) 7x − y − 2 
c) 7x + y – 2 
d) 7x − y + 3 
e) 7x − y + 2 
 
35. La suma de factores primos lineales de 
P ( x) = x3 + 3x2 + 2x , es: 
a) 2x + 2 
b) 3x + 3 
c) 2x + 4 
d) 3x + 3 
e) 2x + 3 
número de factores primos es: 
 
a) 3 
b) 1 
c) 2 
d) 4 
e) 5 
 
40. Un factor primo del polinomio: 
P(x; y; z) = 2 ( x + y + z )
2 
+ ( x + y – z )
2  + 5(x2 + y2 – z2 + 2xy) 
es: 
a) 3x – 3y + z 
b) 3x – 3y − z 
c) 3x + 3y + z 
d) 3x + 3y − z 
e) 3x – 2y + z 
PLANA DOCENTE 45 
 
 
C 
xy 5 x3 yz3 
x − 5 
x − 5 
x 
4 x − 4 y 4 x − 4 y 
4 x + 4 y 
4 x + 4 y 
 . = 
 
 
 
 
DEFINICIÓN. La racionalización es el proceso 
que consiste en transformar el denominador (o 
Ejemplo 2: 
 
Racionalizar 
numerador) irracional de una expresión