ARITMETICA 17 - ANALISIS COMBINATORIO

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ARITMÉTICA
31. Análisis combinatorio I
ANUAL 2022
1
Análisis combinatorio
Permutación
Combinación
Si importa el orden
No importa el orden
Ordenamiento lineal
Ordenamiento circular
 
 
 
 
 
Con elementos repetidos
Normalmente usamos palabras con letras que se repiten.
“PALABRA”  
Sin elementos repetidos
Con elementos repetidos
Equivalencias:
 
 
 
 
 
 
Solución:
 
 
 
Luego:
 
 n = 7
Equivalencias:
 
 
 
 
 
 
Piden:
Solución:
 
 a: 1; 2; 3; …; 9
 b: 0; 1; 2; …; 9
 c: 0; 1; 2; …; 9  total de numerales = 9*10*10 = 900
Cifras m3(+): 3; 6; 9
Numerales de producto de cifras no m3(+):
 
 a: 1; 2; 4; 5; 7; 8
 b: 0; 1; 2; 4; 5; 7; 8
 c: 0; 1; 2; 4; 5; 7; 8  cantidad de valores = 6*7*7 = 294
Piden:
Numerales de producto de cifras m3(+) = 900 – 294 = 606
E) 606
Solución:
Ordenamiento en fila <> permutación lineal
“Primero, se permutan los grupos, y luego, se permuta internamente el grupo”
 
 
 
	Juan 	Daniel 	Luis 	Sofía 	Martín 	Rosa
Siempre juntos
Fijo entre ellas
Solución:
Ordenamiento de letras de una palabra <> permutación lineal con elementos repetidos
ARITMÉTICA  A I É I A R T M T C
“Primero, ordenamos los grupos con o sin repetición, y luego, internamente las vocales”
Solución:
 
 
 4 3 3 2 2
 4*3*2*3*2 = 144
 3 4 2 3 1
 3*2*1*4*3 = 72
Piden:
Cantidad total de formas = 144 + 72 = 216
					
					
Solución:
Total de preguntas = 13 (1er grupo: 6 y 2do grupo: 7)
Quiero contestar 10 preguntas (por lo menos 4 del 1er grupo)
Caso 1: 4 del 1er y 6 del 2do.
o
Caso 2: 5 del 1er y 5 del 2do.
o
Caso 3: 6 del 1er y 4 del 2do.
 
 
 
 
Solución:
Total de personas = 14 <> A, B, C y otras 11 personas.
(A, B y C son las personas que no pueden estar en un mismo grupo)
Deseamos agrupar 6 de ellos, de la siguiente manera:
Caso 1: escoger a 6 de las otras 11 personas
O
Caso 2: escoger o A o B o C y 5 personas de las restantes
 
 
 
 
 
 
Solución:
“Permutación circular”
Casos totales:
= 5! = 120
Casos no favorables:
Aquellos en los cuales las tres mujeres estén siempre juntas.
= 3!*3! = 36
Piden:
Casos favorables:
= 120 – 36
= 84
Luis
César
Juan
Ana
Esther
María
Fijo
Luis
César
Juan
Ana
Esther
María
Fijo
Solución:
X = 5!*4!
X =120*24
X = 2880
H1
H2
H3
H4
H5
M1
M2
M3
M4
M5
Fijo
Solución:
Sabores diferentes = n = 5
Quiero un pedido de: 3 helados
Solución:
Resultados: VVVVVVVEEEPP
 VVEPVVEVPVVE
 …
Dado que los resultados de los partido de un mismo equipo no se pueden dar de manera simultanea, entonces, a los resultados se le aplica la permutación con elementos repetidos.
Reforzamiento
1. Si un equipo de fútbol participa en 12 juegos en una temporada, con equipos distintos, ¿Cuántas maneras hay, entre los 12 juegos en que participa, que obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?
A) 7 920 B) 8 820 C) 7 620 
D) 6 840
Solución:
X = 3! = 6
2. Se va a imprimir 5 tipos de trabajos: A, B, C, D y E los cuales van a la cola de impresión que no establece prioridades entre los trabajos. ¿De cuántas formas distintas pueden imprimirse los trabajos de manera que el trabajo A vaya primero y el trabajo B vaya en el tercer lugar?
A) 6 B) 24 C) 36 D) 120
	1	2	B	3	A
Solución:
X = 4!*3!
X = 24*6
X = 144
3. Pedro tiene 7 libros de distintos autores, 3 de ellos son de geometría y 4 de aritmética. ¿De cuántas formas diferentes puede Pedro ordenar los libros en un estante que tiene espacio para esos 7 libros, si los 3 libros de geometría deben estar colocados juntos en la parte central con 2 libros de aritmética a cada lado.
A) 120 B) 256 C) 144 D) 98
	A1	A2	G1	G2	G3	A3	A4
Siempre al medio
Solución:
Dígitos: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
 
Primero escoger al 5 y a los otros tres, y luego, los permutamos.
 
 
 
 
4. Con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿Cuántos números diferentes de cuatro cifras pueden formarse sin que se repita alguna cifra, y además cada uno de estos números debe tener al dígito 5?
A) 1260 B) 1344 C) 1450 D) 336
	5	x1	x2	x3
Solución:
Dado que el portero es una posición fija, solo se permutan los demás.
X = 5! = 120
5. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 6 jugadores de un equipo de fulbito (1 portero, 2 defensas, 2 volantes y 1 delantero) teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?
A) 336 B) 144 C) 64 D) 120
Solución:
“Permutación con elementos repetidos”
6. Con los número 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, y 3. ¿Cuántas claves, de 8 dígitos, de acceso a una computadora, será posible diseñar, si deben empezar con el 1 y seguido del dígito 2?
A) 20 B) 18 C) 9 D) 15
		1	2	1	1	3	3	3	3
Solución:
Números (+): 7
Números (-): 5
Caso 1: escoger 3(+)
O 
Caso 2: escoger 1(+) y 2(-)
 
 
 
7. Se tiene 7 números positivos y 5 negativos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden multiplicar tres de ellos para que el resultado sea positivo?
A) 350 B) 230 C) 256 D) 105
Solución:
Primero, en cada mesa hay un adulto, luego, para la mesa (1) se escogen 2 alumnos, los cuales se ordenan; luego, para la mesa (2) se escogen 2 alumnos y se ordenan, y por último, los que quedan irían en la mesa (3) y solo los ordenamos. Además, los tríos se pueden permutar.
 
 
 
 
8. Una delegación de excursionistas está formada por los profesores Mila y Juan, un padre de familia y 6 estudiantes. Antes de llegar a un restaurant, la profesora Mila promete dar un premio al estudiante que calcule la cantidad de maneras que todos ellos puedan ubicarse de forma equitativa, en tres mesas circulares dispuestas en una fila, donde hay un adulto en cada mesa. Si el alumno Jorge es el ganador, ¿Cuál fue su respuesta?
A) 24*5! B) 28*4! C) 36*5! 
D) 15*6!
1
2
3
Mila
Juan
Padre
E1
E2
E3
E4
E5
E6
Solución:
Cantidad de frutas = 5
“Deseo 8 refrescos”
9. Una tienda ofrece refrescos de 5 sabores diferentes (limón, lúcuma, durazno, sandia y naranja) sin mezclarlos. Si Pepe, a pedido de su familia va a comprar refrescos a dicha tienda, ¿de cuántas maneras diferentes puede comprar 8 refrescos?
A) 382 B) 624 C) 495 D) 525
Solución:
Total de personas = 11 (comandantes: 5 y azafatas: 6)
Quiero un grupo de 3 comandantes y 4 azafatas.
10. Para formar una tripulación de un avión se eligen 3 comandantes y 4 azafatas entre un grupo de 11 personas, 5 de las cuales son comandantes y el resto azafatas. ¿Cuántas tripulaciones distintas se pueden formar?
A) 150 B) 120 C) 240 D) 300
Solución:
 
 
 
 
 
 
 
 11. Si , halle el valor de x.
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9
Propiedad:
Solución:
 
 2 3 3 1 1  
 3 6 1 1 1  
 2 9 1 1 1  
Por lo tanto, la cantidad es 30 + 20 + 20 = 70
12. ¿Cuántos números enteros positivos de 5 cifras existen, de manera que el producto de sus cifras sea igual a 18?
A) 70 B) 40 C) 20 D) 60