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CAPÍTULO 9: INTRODUCCIÓN A CURVAS 
9.1- Definición, expresiones analíticas. 
Sea 𝑅 = {𝑂; 𝚤, 𝚥,𝑘�⃗ } una referencia afín en 𝔸3 siendo 𝐵 = {𝚤, 𝚥,𝑘�⃗ } una base ortonormal. Diremos 
que una curva es una aplicación 𝑓 definida como: 
𝑓: 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ3 
𝜆 → [𝑥(𝜆),𝑦(𝜆), 𝑧(𝜆)] 
 
Siendo 𝐼 un intervalo de ℝ. 
 
- Ejemplo: una curva viene dada por la función 𝑓(𝜆) = [2 + 𝜆2, 𝑐𝑜𝑠(𝜆), 1 − 𝜆] siendo 
𝐼 = [0,2𝜋]. 
La expresión �⃗�(𝜆) = 𝑥(𝜆)𝚤 + 𝑦(𝜆)𝚥 + 𝑧(𝜆)𝑘�⃗ se denomina expresión cartesiana vectorial de la 
curva y las expresiones {𝑥 = 𝑥(𝜆),𝑦 = 𝑦(𝜆), 𝑧 = 𝑧(𝜆)} se denominan expresiones 
paramétricas de la curva. 
- Ejemplo: la expresión cartesiana vectorial de la curva anterior es (2 + 𝜆2)𝚤 + 𝑐𝑜𝑠(𝜆)𝚥 + (1 −
𝜆)𝑘�⃗ y la expresiones paramétricas de la curva anterior son {𝑥 = 2 + 𝜆2,𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝜆), 𝑧 = 1 −
𝜆} 
Si las expresiones 𝑥(𝜆),𝑦(𝜆), 𝑧(𝜆) son derivables y existe 𝜆0 ∈ 𝐼 tal que la derivada de 𝑥 con 
respecto a 𝜆 en el punto 𝜆0 no se anula entonces podemos aplicar el teorema de la función 
implícita (que no cunda el pánico: no vamos a utilizar cosas de cálculo para hacer los ejercicios) 
y concluir que la curva se puede expresar de la forma: 
𝑦 = 𝑦(𝑥) 
𝑧 = 𝑧(𝑥) 
que se conocen como ecuaciones cartesianas explícitas de la curva (también podríamos 
despejar las variables 𝑥,𝑦 en función de la variable 𝑧, por ejemplo). También podemos 
expresar la curva como intersección de dos superficies, es decir: 
𝐹(𝑥,𝑦, 𝑧) = 0 
𝐺(𝑥,𝑦, 𝑧) = 0 
que se conocen como ecuaciones cartesianas implícitas de la curva. 
- Ejemplo: encontrar todas las expresiones de hélice circular que tiene por expresiones 
paramétricas {𝑥 = 4 cos(𝜆) ,𝑦 = 4 sin(𝜆) , 𝑧 = 3𝜆} donde 𝜆 pertenece al intervalo (−∞,∞). 
La expresión cartesiana vectorial de dicha curva es 4 cos(𝜆)𝚤 + 4 sin(𝜆)𝚥 + 3𝜆𝑘�⃗ , las ecuaciones 
cartesianas explícitas son {𝑥 = 4 cos �𝑧
3
� ,𝑦 = 4𝑠𝑖𝑛 �𝑧
3
�} y las ecuaciones cartesianas implícitas 
son: 
 
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𝑥 − 4 cos �
𝑧
3
� = 0 
𝑦 − 4𝑠𝑖𝑛 �
𝑧
3
� = 0 
 
9.2- Curva plana y alabeada. Curva de clase 𝒉. 
Diremos que una curva 𝛾 es plana si existe un plano que contiene a todos los puntos de la 
curva. Diremos que una curva es alabeada si no existe un plano que contiene a todos los 
puntos de la curva. 
- Ejemplo: la hélice circular de ecuaciones paramétricas {𝑥 = 4 cos(𝜆) , 𝑦 = 4 sin(𝜆) , 𝑧 = 3𝜆} 
es una curva alabeada. 
- Ejemplo: demostrar que la curva de ecuaciones paramétricas {𝑥 = cos(𝜆) ,𝑦 = sin(𝜆) , 𝑧 =
2 − cos (𝜆)} es una curva plana. 
De las ecuaciones 𝑥 = cos(𝜆) ,𝑦 = sin(𝜆) se sigue que todos los puntos de la curva verifican 
𝑥2 + 𝑦2 = 1. De las ecuaciones 𝑥 = cos(𝜆) , 𝑧 = 2 − cos (𝜆) se sigue que todos los puntos de 
la curva verifican 𝑧 = 2 − 𝑥, por lo que podemos interpretar la curva como la intersección 
entre el cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 y el plano 𝑧 = 2 − 𝑥 y obviamente todos sus puntos están 
contenidos en dicho plano. 
- Observación: si nos dan una curva con unas expresiones paramétricas más complicadas no 
parece sencillo saber a priori si dicha curva es plana o no lo es. Sin embargo, más adelante 
definiremos el vector binormal y veremos que para que una curva sea plana es necesario y 
suficiente con que dicho vector tenga una dirección constante. La “idea” es sencilla: 
calculamos el vector tangente y el vector normal en un punto cualquiera de la curva en función 
de 𝜆. Si la curva es plana entonces el producto vectorial de ambos vectores siempre será un 
vector normal al plano que contiene a la curva, por lo que dicho producto vectorial tendrá la 
misma dirección independientemente del valor que tome 𝜆. 
Por otra parte, diremos que la curva de expresiones paramétricas {𝑥 = 𝑥(𝜆),𝑦 = 𝑦(𝜆), 𝑧 =
𝑧(𝜆)} es de clase ℎ si las funciones 𝑥(𝜆),𝑦(𝜆), 𝑧(𝜆) admiten derivadas parciales de orden ℎ 
continuas en 𝐼. 
 
9.3- Punto múltiple. Curva cerrada, curva simple. 
Sea 𝛾: 𝐼 → ℝ3 una curva y sea 𝐼 = [𝜆1,𝜆2] el intervalo sobre el que está definida. Diremos que 
dicha curva es cerrada si se verifica que 𝛾(𝜆1) = 𝛾(𝜆2), es decir, si el punto inicial de la curva 
coincide con su punto final. 
Por otra parte, diremos que un punto 𝑃 de dicha curva tiene multiplicidad 𝑛 si existen 𝑛 
valores distintos 𝛼1, … ,𝛼𝑛 pertenecientes al intervalo 𝐼 tales que 𝛾(𝛼1) = ⋯ = 𝛾(𝛼𝑛) = 𝑃 
Finalmente, si la curva 𝛾 no tiene puntos de multiplicidad mayor que uno diremos que 𝛾 es una 
curva simple. 
9.4- Puntos regulares y singulares. 
 
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Se dice que un punto 𝑃 = 𝑥(𝜆0),𝑦(𝜆0), 𝑧(𝜆0) ∈ 𝛾 es singular si la curva 𝛾 no tiene vector 
tangente en dicho punto. Si el punto 𝑃 es singular se verifica 𝑥′(𝜆0) = 𝑦′(𝜆0) = 𝑧′(𝜆0) = 0. 
 En caso contrario, diremos que dicho punto es regular y el vector tangente en dicho punto 
viene dado por (𝑥′(𝜆0),𝑦′(𝜆0), 𝑧′(𝜆0)). 
Si la curva 𝛾 viene dada como la intersección de las superficies 𝐹(𝑥,𝑦, 𝑧) = 0,𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 
entonces podemos afirmar que el punto 𝑃 es singular si se verifica que: 
|
𝜕(𝐹,𝐺)
𝜕(𝑥,𝑦)
|𝑃 + |
𝜕(𝐹,𝐺)
𝜕(𝑥, 𝑧)
|𝑃 + |
𝜕(𝐹,𝐺)
𝜕(𝑦, 𝑧)
|𝑃 = 0 
Esta última condición es equivalente a imponer que los gradientes de las funciones 𝐹,𝐺 sean 
proporcionales. 
 
- Observación: como ya comenté, que no cunda el pánico. En los ejercicios no va a ser 
necesario operar con gradientes o matrices jacobianas y es suficiente con saber calcular el 
vector tangente si la recta viene expresada en forma paramétrica (aunque es un buen ejercicio 
de cálculo 2 saber calcular el vector tangente en un punto dado de una curva que viene 
expresada como intersección de dos superficies). 
 
9.5- Cambio de parámetro. Longitud de una curva. 
Sea 𝛾: 𝐼 → ℝ3 una curva y sea 𝐼 = [𝜆1,𝜆2] el intervalo sobre el que está definida. Sea 𝜆 el 
parámetro que aparece en las ecuaciones paramétricas de dicha curva y sea 𝛽 otro parámetro 
que depende de 𝜆. Podemos hacer un cambio de parámetro de forma que la curva 𝛾 quede en 
función de 𝛽 si se verifica que 𝜕𝜆
𝜕𝛽
≠ 0. 
- Ejemplo: consideremos la curva de ecuaciones paramétricas {𝑥 = 2 cos(𝜆) ,𝑦 =
2 sin(𝜆) , 𝑧 = 0} con 𝜆 ∈ [0,2𝜋). Si consideramos el cambio 𝜆 = 2𝛽 tenemos que 𝜕𝜆
𝜕𝛽
= 2 ≠ 0 
por lo que podemos hacer el cambio de parámetro anterior y la curva queda: 
 
{𝑥 = 2 cos(2𝛽) ,𝑦 = 2 sin(2𝛽) , 𝑧 = 0} con 𝛽 ∈ [0,𝜋) 
 
- Observación: como se ve en el ejemplo anterior en el cambio de parámetro también cambia 
el intervalo al que pertenece el parámetro (pasa de [0,2𝜋) a 0,𝜋) con el nuevo parámetro). La 
“idea” de imponer que 𝜕𝜆
𝜕𝛽
≠ 0 sirve para que los puntos que son singulares con el parámetro 𝜆 
sigan siendo singulares con el parámetro 𝛽 y que los puntos que son regulares con el 
parámetro 𝜆 sigan siendo regulares con el parámetro 𝛽. 
 
Por otra parte, si tenemos parametrizada la curva 𝛾 en función del parámetro 𝜆 ∈ 𝐼 = [𝜆1,𝜆2] 
la longitud de dicha curva viene dada por la expresión: 
 
𝐿 = � �𝑥′(𝜆)2 + 𝑦′(𝜆)2 + 𝑧′(𝜆)2
𝜆2
𝜆1
𝑑𝜆 
 
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- Observación: la “idea” es dividir la curva en trozos muy pequeños, para cada trozo aproximar 
la longitud por el módulo del vector tangente (�𝑥′(𝜆)2 + 𝑦′(𝜆)2 + 𝑧′(𝜆)2) y sumar dichas 
longitudes mediante una integral. 
 
9.6- Parámetro arco. 
Sea 𝛾: 𝐼 → ℝ3 una curva y sea 𝐼 = [𝜆1,𝜆2] el intervalo sobre el que está definida. Sea 𝑠 el 
parámetro que aparece en las ecuaciones paramétricas de dicha curva. Diremos que la curva 𝛾 
está parametrizada respecto del parámetro arco si se verifica que: 
�𝑥′(𝑠)2 + 𝑦′(𝑠)2 + 𝑧′(𝑠)2 = 1 
para todo 𝜆 ∈ 𝐼. La utilidad de este concepto viene dada cuando queremos calcular la longitud 
de una curva entre dos puntos 𝑎, 𝑏 puesto que: 
𝐿 = ��𝑥′(𝑠)2 + 𝑦′(𝑠)2 + 𝑧′(𝑠)2
𝑏
𝑎
𝑑𝑠 = � 1𝑑𝑠 = 𝑏 − 𝑎
𝑏
𝑎
 
Sin embargo, si la curva no está parametrizada respecto del parámetro arco tendríamos que 
calcular la integral(que puede no ser fácil). Veamos con un ejemplo cómo podemos 
reparametrizar una curva que nos dan respecto del parámetro arco: 
- Ejemplo: consideremos la curva 𝛾 de ecuaciones paramétricas {𝑥 = sinh(𝜆) ,𝑦 =
cosh(𝜆) , 𝑧 = 𝜆} con 𝜆 ∈ [0,∞). Para parametrizar dicha curva respecto del parámetro arco 
tomamos 𝑠 como parámetro arco y hacemos el cambio: 
𝑠 = ��𝑥′(𝜆)2 + 𝑦′(𝜆)2 + 𝑧′(𝜆)2
𝜆
0
𝑑𝜆 = ��𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝜆) + 𝑠𝑖𝑛ℎ2(𝜆) + 12
𝜆
0
𝑑𝜆
= ��2𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝜆)
𝜆
0
𝑑𝜆 = √2� cosh(𝜆)
𝜆
0
𝑑𝜆 = √2 sinh(𝜆) 
donde hemos usado que 𝑠𝑖𝑛ℎ2(𝜆) + 1 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝜆) para resolver la integral. Hacemos el 
cambio de parámetro y resulta: 
𝑥 = sinh(𝜆) =
𝑠
√2
 
𝑦 = cosh(𝜆) = �𝑠𝑖𝑛ℎ2(𝜆) + 1 = �
𝑠2
2
+ 1 
𝑧 = 𝜆 = 𝑎𝑟𝑐 sinh (
𝑠
√2
) 
con 𝑠 ∈ [0,∞), y ya tenemos la curva parametrizada respecto del parámetro arco. 
 
- Observación: al parametrizar respecto del parámetro arco siempre se hace el cambio: 
 
 
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𝑠 = ��𝑥′(𝜆)2 + 𝑦′(𝜆)2 + 𝑧′(𝜆)2
𝜆
𝜆1
𝑑𝜆 
siendo 𝜆1 un valor fijo (cero en el ejemplo anterior) y siendo 𝜆 el parámetro por el que está 
parametrizada la curva y el valor que ponemos arriba en la integral (para que al resolver la 
integral la expresión resultante siga dependiendo de 𝜆 y tengamos una ecuación que nos 
relaciona el parámetro arco 𝑠 con el parámetro 𝜆) 
 
9.7- Triedro de Frenet. 
Consideremos una curva 𝛾 parametrizada respecto del parámetro arco 𝑠. El triedro de 
Frenet es una referencia móvil que para cada punto de la curva 𝛾(𝑠0) tiene como origen dicho 
punto y como vectores de la referencia tiene el vector tangente, el vector normal y el vector 
binormal en dicho punto (el vector tangente y el normal os sonarán bastante de física y el 
vector binormal es el producto vectorial del vector tangente y el vector normal, lo vemos con 
más detalle). Además, todos los vectores de dicha referencia tienen módulo uno. 
Llamemos 𝑅 = {𝛾(𝑠0);𝑇�⃗ (𝑠0),𝑁��⃗ (𝑠0),𝐵�⃗ (𝑠0)} al triedro de Frenet en el punto 𝑠0. El vector 
tangente unitario vendrá dado por: 
𝑇�⃗ (𝑠0) = 𝛾′(𝑠0) 
Notad que, como la curva está parametrizada por el parámetro arco se tiene que |𝛾′(𝑠0)| = 1 
por lo que el vector anterior tiene módulo uno. 
 
Por otra parte, el vector normal unitario en el punto 𝑠0 viene dado por: 
 
𝑁��⃗ (𝑠0) =
𝛾′′(𝑠0)
|𝛾′′(𝑠0)|
 
 
Y el vector binormal unitario viene dado por 𝐵�⃗ (𝑠0) = 𝑇�⃗ (𝑠0) × 𝑁��⃗ (𝑠0). 
 
Si la curva 𝛾 está parametrizada por un parámetro 𝜆 que no es el parámetro arco y 
queremos calcular el triedro de Frenet en el punto 𝜆0 las expresiones anteriores son un poco 
más complicadas. Esta vez el vector tangente unitario viene dado por: 
 
𝑇�⃗ (𝜆0) =
𝛾′(𝜆0)
|𝛾′(𝜆0)|
 
el vector binormal unitario viene dado por: 
𝐵�⃗ (𝜆0) =
𝛾′(𝜆0) × 𝛾′′(𝜆0)
|𝛾′(𝜆0) × 𝛾′′(𝜆0)|
 
y el vector normal viene dado por: 
𝑁��⃗ (𝜆0) = 𝐵�⃗ (𝜆0) × 𝑇�⃗ (𝜆0) 
9.8- Algunas definiciones. 
 
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Sea 𝛾: 𝐼 → ℝ3 una curva y sea 𝜆 el parámetro que aparece en las ecuaciones paramétricas de 
dicha curva. Sea 𝛾(𝜆0) un punto de dicha curva. 
Definimos la recta tangente en 𝛾(𝜆0) como la recta que pasa por dicho punto y que tiene 
como vector director 𝑇�⃗ (𝜆0). 
Definimos la recta normal en 𝛾(𝜆0) como la recta que pasa por dicho punto y que tiene como 
vector director 𝑁��⃗ (𝜆0). 
Definimos la recta binormal en 𝛾(𝜆0) como la recta que pasa por dicho punto y que tiene 
como vector director 𝐵�⃗ (𝜆0). 
Definimos el plano normal en 𝛾(𝜆0) como aquel que pasa por dicho punto y que tiene como 
vector normal a 𝑇�⃗ (𝜆0). 
Definimos el plano rectificante en 𝛾(𝜆0) como aquel que pasa por dicho punto y que tiene 
como vector normal a 𝑁��⃗ (𝜆0). 
Definimos el plano osculador en 𝛾(𝜆0) como aquel que pasa por dicho punto y que tiene 
como vector normal a 𝐵�⃗ (𝜆0). 
- Ejemplo: calcular el triedro de Frenet y todas las rectas y planos anteriores con la curva de 
ecuaciones paramétricas {𝑥 = 𝜆,𝑦 = 2𝜆2 − 1, 𝑧 = 𝜆2 + 𝜆} en el punto 𝑃 = (0,−1,0). 
Tenemos que el punto 𝑃 = (0,−1,0) se da si 𝜆 = 0. Por otra parte, es claro que el parámetro 
𝜆 no es el parámetro arco por lo que empleamos las fórmulas “largas” para calcular el triedro 
de Frenet. Tenemos que 𝛾′(𝜆) = (1,4𝜆, 2𝜆 + 1) y 𝛾′′(𝜆) = (0,4,2) 
El vector tangente es: 
𝑇�⃗ (0) =
𝛾′(0)
|𝛾′(0)|
= (
1
√2
, 0,
1
√2
) 
El vector binormal es: 
𝐵�⃗ (0) =
𝛾′(0) × 𝛾′′(0)
|𝛾′(0) × 𝛾′′(0)|
=
(−4,−2,4)
6
 
El vector normal es: 
 
𝑁��⃗ (0) = 𝐵�⃗ (0) × 𝑇�⃗ (0) = (−
√2
6
,
4√2
6
,
√2
6
) 
Ya tenemos el triedro de Frenet. Para calcular las rectas y los planos pedidos solo hay que 
sustituir los vectores anteriores en las fórmulas: 
𝑟𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ≡ (0,−1,0) + 𝜆(
1
√2
, 0,
1
√2
) 
 
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𝑟𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 ≡ (0,−1,0) + 𝜆(
√2
6
,−
4√2
6
,−
√2
6
) 
𝑟𝑏𝑖𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 ≡ (0,−1,0) + 𝜆
(−4,−2,4)
6
 
𝜋𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 ≡
1
√2
𝑥 + 0(𝑦 + 1) +
1
√2
𝑧 = 0 
𝜋𝑜𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 ≡ −
4
6
𝑥 −
2
6
(𝑦 + 1) +
4
6
𝑧 = 0 
𝜋𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 ≡
√2
6
𝑥 −
4√2
6
(𝑦 + 1) −
√2
6
𝑧 = 0 
 
Veamos otro ejemplo en el que demostramos que una curva que nos dan es una curva plana 
empleando el vector binormal (usando la “idea” que comentamos en uno de los ejemplos 
iniciales): 
 
- Ejemplo (examen final geometría diferencial de la Universidad Complutense): considérese la 
curva 𝛾: (−1,1) → ℝ3 definida de la siguiente manera: 
 
𝛾(𝑡) = (
1 + 𝑡
1 − 𝑡
,
1
1 − 𝑡2
,
1
1 + 𝑡
) 
 
a) Calcular el triedro de Frenet en el punto 𝛾(0). 
 
b) Demostrar que 𝛾 es una curva plana y calcular el plano que la contiene. 
 
a) Es fácil ver que la curva no está parametrizada por el parámetro arco, por lo que empleamos 
las fórmulas “largas”. Tenemos: 
 
𝛾′(𝑡) = (
2
(1 − 𝑡)2
,
2𝑡
(1 − 𝑡2)2
,
−1
(1 + 𝑡)2
) 
𝛾′′(𝑡) = (
4
(1 − 𝑡)3
,
2(1 + 3𝑡2)
(1 − 𝑡2)3
,
2
(1 + 𝑡)3
) 
El vector tangente es: 
 
𝑇�⃗ (0) =
𝛾′(0)
|𝛾′(0)|
= (
2
√5
, 0,
−1
√5
) 
El vector binormal es: 
𝐵�⃗ (0) =
𝛾′(0) × 𝛾′′(0)
|𝛾′(0) × 𝛾′′(0)|
=
(1,−4,2)
√21
 
El vector normal es: 
 
𝑁��⃗ (0) = 𝐵�⃗ (0) × 𝑇�⃗ (0) =
(4,5,8)
√105
 
 
 
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b) Si la curva es plana el vector binormal será constante en todos los puntos de la curva y será 
el vector normal al plano en el que está contenido la curva. Como la curva pasa por el punto 
(1,1,1) el plano que contiene a la curva debería ser: 
 
𝜋 ≡ 1(𝑥 − 1) − 4(𝑦 − 1) + 2(𝑧 − 1) = 0 
 
Podéis comprobar sustituyendo las expresiones paramétricas de la curva que realmente el 
plano anterior la contiene. 
 
9.9- Curvatura y torsión. 
Intuitivamente, la curvatura 𝜅 mide la tendencia que tiene una curva a desviarse del vector 
tangente. Por ejemplo, una recta tiene curvatura cero ya que no se desvía nada de su vector 
tangente y una circunferencia tiene curvatura constante (la inversa de su radio) en cualquier 
punto de la circunferencia la tendencia a desviarse del vector tangente es la misma por 
simetría. 
Respecto a cómo se calcula vamos a distinguir dos casos. De nuevo, si la curva 𝛾 está 
parametrizada por el parámetro arco las cosas son más sencillas y la expresión de la curvatura 
en un punto 𝑠0 es: 
𝜅(𝑠0) = ±|𝛾′′(𝑠0)| = ±�𝑥′′(𝑠0)2 + 𝑦′′(𝑠0)2 + 𝑧′′(𝑠0)2 
en la fórmula anterior aparece la expresión ±. Si queremos determinar el signo de la curvatura 
podemos emplear las fórmulas de Frenet (ver el apartado siguiente). 
Si la curva 𝛾 está parametrizada por un parámetro distinto del arco la expresión de la 
curvatura en un punto 𝜆0 es: 
𝜅(𝜆0) = ±
|𝛾′(𝜆0) × 𝛾′′(𝜆0)|
|𝛾′(𝜆0)|3
 
Por otra parte, la torsión 𝜏 mide la tendencia que tiene una curva a desviarse de su plano 
osculador. Si la curva 𝛾 está parametrizada por el parámetro arco las cosas son más sencillas y 
la expresión de la torsión en un punto 𝑠0 es: 
𝜏(𝑠0) =
det (𝛾′(𝑠0),𝛾′′(𝑠0),𝛾′′′(𝑠0))
𝜅2(𝑠0)
 
donde det (𝛾′(𝑠0),𝛾′′(𝑠0),𝛾′′′(𝑠0)) es el determinante de la matriz que tiene por columnas 
𝛾′(𝑠0),𝛾′′(𝑠0),𝛾′′′(𝑠0).Si la torsión 𝛾 está parametrizada por un parámetro distinto del arco la expresión de la torsión 
en un punto 𝜆0 es: 
𝜏(𝜆0) =
det (𝛾′(𝜆0),𝛾′′(𝜆0),𝛾′′′(𝜆0))
|𝛾′(𝜆0) × 𝛾′′(𝜆0)|2
 
9.10- Formulas de Frenet-Serret. 
 
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Sea 𝛾 una curva parametrizada respecto del parámetro arco 𝑠. Se verifica que: 
𝑑𝑇�⃗
𝑑𝑠
= 𝜅𝑁��⃗ 
𝑑𝑁��⃗
𝑑𝑠
= −𝜅𝑇�⃗ + 𝜏𝐵�⃗ 
𝑑𝐵�⃗
𝑑𝑠
= −𝜏𝑁��⃗ 
Las expresiones anteriores relacionan las derivadas de los vectores que forman el triedro de 
Frenet con los propios vectores que forman dicho triedro. 
Si la curva 𝛾 está parametrizada por un parámetro 𝜆 que no es el parámetro arco las 
expresiones anteriores quedan de la siguiente forma: 
𝑑𝑇�⃗
𝑑𝜆
= |𝛾′(𝜆)|𝜅𝑁��⃗ 
𝑑𝑁��⃗
𝑑𝜆
= −|𝛾′(𝜆)|𝜅𝑇�⃗ + |𝛾′(𝜆)|𝜏𝐵�⃗ 
𝑑𝐵�⃗
𝑑𝜆
= −|𝛾′(𝜆)|𝜏𝑁��⃗ 
- Ejemplo: sea 𝛾 la curva de ecuaciones paramétricas {𝑥 = 0,𝑦 = cosh(𝜆) , 𝑧 = sinh (𝜆)}. 
Calcular el triedro de Frenet y la torsión de 𝛾 en el punto en el que la curvatura valga uno. 
Vemos que 𝜆 no es el parámetro arco, por lo que vamos a emprelar la expresión “larga” de la 
curvatura. Tenemos que 𝛾′(𝜆) = (0, sinh(𝜆) , cosh(𝜆)) y 𝛾′′(𝜆) = (0, cosh(𝜆) , sinh(𝜆)). Por 
tanto: 
𝜅(𝜆) = ±
|𝛾′(𝜆) × 𝛾′′(𝜆)|
|𝛾′(𝜆)|3
= ±
sinh2(𝜆) − cosh2 (𝜆)
(sinh2(𝜆) + cosh2 (𝜆))3/2
= ±
−1
cosh3/2 (2𝜆)
= 1 
De donde se sigue que cosh3/2 (2𝜆) = 1 lo que implica que 𝜆 = 0 y el punto pedido es (0,1,0) 
(si tomamos el signo positivo obtenemos la ecuación cosh3/2 (2𝜆) = −1 que no tiene 
soluciones reales). 
Por otra parte, observamos que 𝛾′′′(𝜆) = (0, sinh(𝜆) , cosh(𝜆)) = 𝛾′(𝜆) por lo que: 
 
𝜏(𝜆) =
det (𝛾′(𝜆),𝛾′′(𝜆),𝛾′′′(𝜆))
|𝛾′(𝜆) × 𝛾′′(𝜆)|2
=
0
|𝛾′(𝜆) × 𝛾′′(𝜆)|2
= 0 
y la torsión es nula en todos los puntos de la curva, por lo que también será nula en el punto 
pedido. Finalmente tenemos: 
𝑇�⃗ (0) =
𝛾′(0)
|𝛾′(0)|
= (0,0,1) 
 
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𝐵�⃗ (0) =
𝛾′(0) × 𝛾′′(0)
|𝛾′(0) × 𝛾′′(0)|
= (−1,0,0) 
𝑁��⃗ (0) = 𝐵�⃗ (0) × 𝑇�⃗ (0) = (0,1,0) 
-Resumen capítulo 9: 
En el examen final podéis esperar una cuestión que valdrá entre medio punto y un punto de 
este tema. Aunque aparecen muchas fórmulas, es un tema cortito (os lo explicarán en menos 
de dos semanas) y no será necesario hacer muchos cálculos para contestar a la cuestión del 
examen. Aconsejo que os escribáis todas las fórmulas en el libro y que hagáis tres o cuatro 
cuestiones de años anteriores para practicar (son todas del mismo estilo). Además, tener en 
cuenta que algunos cursos podrían no haber visto el tema entero antes del examen por lo que 
sólo entrará hasta donde haya visto el curso que menos ha visto. 
 
Os recuerdo que los tres temas más importantes del segundo cuatrimestre son Jordan, 
producto escalar y matriz proyección, transformaciones ortogonales y movimientos. Después 
iría el espacio afín y finalmente este tema así que no le dediquéis una cantidad 
desproporcionada de tiempo. 
 
Veamos alguna cuestión de examen: 
 
- Ejemplo (examen final mayo 2013, 0.5 puntos): 
 
Se considera la curva 𝛾(𝜆) = (𝜆3 − cos(𝜆) ,−𝜆3 + 2 cos(𝜆) , 3 cos(𝜆) + 3). ¿Es una curva 
plana? Razonar la respuesta. 
Solución 1: como ya hemos visto, si la curva es plana el vector binormal será constante. 
Tenemos que 𝛾′(𝜆) = (3𝜆2 + sin(𝜆) ,−3𝜆2 − 2 sin(𝜆) ,−3 sin(𝜆)) y 𝛾′′(𝜆) = (6𝜆 +
cos(𝜆) ,−6𝜆 − 2 cos(𝜆) ,−3 cos(𝜆)) por lo que el vector binormal será: 
𝐵�⃗ (𝜆0) =
𝛾′(𝜆0) × 𝛾′′(𝜆0)
|𝛾′(𝜆0) × 𝛾′′(𝜆0)|
 
En realidad nos vale cualquier vector proporcional al binormal, por lo que no es necesario 
calcular el módulo. Además, nos basta con calcularlo en un punto por lo que podemos hacer 
𝜆 = 0 y tenemos: 
𝛾′(0) × 𝛾′′(0) = (0,0,0) × (1,−2,−3) = (0,0,0)? ! 
El resultado obtenido es bastante raro. Esto puede llevarnos a pensar que la curva no es plana. 
Sin embargo, si lo miramos con calma vemos que el problema es que 𝜆 = 0 es un punto 
singular de la curva (puesto que 𝛾′(0) = (0,0,0)) por lo que tenemos que usar otro punto para 
calcular el vector binormal. Vamos a tomar 𝜆 = 𝜋
2
 a ver si hay más suerte: 
 
Pedro_CC 11 
 
𝛾′ �
𝜋
2
�× 𝛾′′ �
𝜋
2
� = (3 �
𝜋
2
�
2
,−3 �
𝜋
2
�
2
, 0) × (6 �
𝜋
2
�+ 1,−6 �
𝜋
2
� − 2,−3)
= �
9𝜋2
4
,
9𝜋2
4
,−
3𝜋2
4 �
 
el último vector es proporcional a (3,3,−1), por lo que éste es nuestro candidato a vector 
normal del plano. Un punto de la curva es (−1,2,6) (hemos tomado 𝜆 = 0 para calcular el 
punto. Podemos tomar cualquier 𝜆 para calcular el punto, incluso si se trata de un 𝜆 que 
proporciona un punto singular). Finalmente nuestro plano candidato a contener la curva es: 
𝜋 ≡ 3(𝑥 + 1) + 3(𝑦 − 2) − 1(𝑧 − 6) = 0 
que podemos expresar la forma: 
𝜋 ≡ 3𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −3 
sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la curva resulta: 
3𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 3(𝜆3 − cos(𝜆)) + 3(−𝜆3 + 2 cos(𝜆))− (3 cos(𝜆) + 3) = −3 
por lo que la curva 𝛾 está contenida en 𝜋 y, por tanto, es una curva plana. 
 
Solución 2: si no tenemos mucha idea de curvas podemos razonar el ejercicio. Si todos los 
puntos de la curva están contenidos en un plano basta con sustituir valores de 𝜆 hasta obtener 
tres puntos de la curva no alineados. Con esos tres puntos puedo calcular el plano candidato a 
contener la curva y después sustituir las ecuaciones paramétricas para concluir si la curva es 
plana o no lo es. 
 
Si tomamos 𝜆 = 0 obtenemos el punto (−1,2,6). 
Si tomamos 𝜆 = 𝜋
2
 obtenemos el punto (�𝜋
2
�
3
,−�𝜋
2
�
3
, 3) 
Si tomamos 𝜆 = 3𝜋
2
 obtenemos el punto (�3𝜋
2
�
3
,−�3𝜋
2
�
3
, 3) 
 
Es fácil comprobar que estos tres puntos no están alineados. Os aconsejo que calculéis el plano 
que los contiene y comprobéis que os sale el mismo que en la solución anterior. 
 
- Observación: hay muchas formas de hacer esta cuestión. La solución que tenéis en moodle 
muestra que la torsión es nula en todos los puntos de la curva, lo que también implica que la 
curva es plana (aunque no nos da el plano en el que está contenida la curva). 
 
 
- Ejemplo (examen final junio 2013, 1 punto): 
 
¿Existe algún punto 𝑃 de la curva 𝛾(𝜆) = (𝜆, 𝜆3 + 2, 𝜆2 + 1) con 𝜆 ≥ −1
2
 en el cual la recta de 
ecuaciones implícitas {𝑥 = 0,𝑦 = 𝑧} está contenida en el plano normal de 𝛾(𝜆) en el punto 𝑃? 
Razonar la respuesta. 
Recordemos que el plano normal en un punto 𝑃 es el que pasa por dicho punto y tiene como 
vector normal el vector tangente unitario a la curva en dicho punto. Dicho vector tangente es: 
 
Pedro_CC 12 
 
𝑇�⃗ (𝜆) =
𝛾′(𝜆)
|𝛾′(𝜆)|
 
y como no necesitamos que tenga módulo uno podemos quedarnos con: 
𝛾′(𝜆) = (1,3𝜆2, 2𝜆) 
si la recta del enunciado está contenida en el plano normal su vector director será ortogonal al 
vector normal del plano, es decir: 
(1,3𝜆2, 2𝜆) ∘ (0,1,1) = 0 
 
de donde se obtiene 𝜆(3𝜆 + 2) = 0 por lo que tenemos 𝜆 = 0 al ser 𝜆 = −2
3
 imposible porque 
el enunciado impone que 𝜆 ≥ −1
2
. Tenemos que el punto buscado es 𝑃 = (0,2,1) y el plano 
normal en dicho punto es: 
 
𝜋 ≡ 1(𝑥 − 0) + 0(𝑦 − 2) + 0(𝑧 − 1) = 0 
 
que resulta ser el plano 𝑥 = 0. Claramente dicho plano contiene a la recta del enunciado (una 
de las ecuaciones implícitas de dicha recta es 𝑥 = 0) por lo que la respuesta a la pregunta del 
enunciado es sí.