Función cuadrática

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FUNCIÓN CUADRÁTICA 
Situación​: 
En un estudio sobre la trayectoria de una bala arrojada desde un puente se establece 
una relación entre el tiempo (​t​, en segundos) desde que se efectúa el disparo y la altura 
(​h​, medida en metros) a la que se encuentra la bala. El modelo matemático se 
corresponde, aproximadamente, con esta expresión: (t) t 5h = − 5 2 + 4 
 
a) ¿A qué altura se encuentra la bala en el instante del disparo? ¿Qué valor de 
tiempo le corresponde a ese instante? 
b) ¿A qué altura se encuentra el objeto al segundo de ser soltado? ¿y a los 2 
segundos? 
c) Realizar la representación gráfica de la función. ¿Qué parte del gráfico tiene 
sentido para el problema? ¿Por qué? 
d) Hallar dominio y el conjunto imagen de ​h​. 
e) Marcar en el gráfico las respuestas de los ítems a y b. 
f) ¿Alguna raíz de h tiene sentido en el problema? Explicar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIÓN CUADRÁTICA: ​son funciones polinómicas de segundo grado, es decir, aquellas 
en las que la variable está elevada al cuadrado, y este es el mayor exponente con el que 
aparece. 
 
Analíticamente​: 
La ley de una función cuadrática puede estar escrita de distintas maneras: 
➔ Forma canónica 
➔ Forma polinómica 
➔ Forma factorizada 
 
Desarrollaremos cada una de ellas a continuación. 
 
Gráficamente​: 
La curva llamada ​parábola​ es la representación gráfica de las funciones cuadráticas. 
El punto de la parábola donde se da el valor máximo o mínimo se llama ​vértice​. 
La parábola es simétrica respecto de una recta que se llama ​eje de simetría​. 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
Para saber​: 
La trayectoria de una pelota que se lanza hacia adelante (tenis, básquet, fútbol, etc) 
también es una parábola; las antenas que reciben las señales de los satélites artificiales 
tienen sección parabólica. 
 
Analicemos la función dada por la ley​: y = x2 
Hacemos una tabla y ubicamos los puntos ​(x;y) obtenidos en un sistema de ejes 
cartesianos: 
 
Observemos que​: 
- Es posible unir los puntos. 
- La curva es una ​parábola 
- Df = R 
- I f = R
+
0 
- La parábola tiene dos ​ramas​, una ​creciente en el intervalo ___________, y otra 
decreciente​ en el intervalo __________. 
- La función es ​par​, es decir simétrica con respecto al eje de ordenadas (Justificar). 
La recta ​x=0​ se llama ​eje de simetría​. 
- El ​(0;0) es el punto donde las dos ramas se unen. A este punto se lo lo llama 
vértice​. 
- f​ tiene un ​mínimo absoluto​ en ​y=0 
- Intersección con el eje x​: ​(0;0) 
- Intersección con el eje y​: ​(0;0) 
- Conjunto de positividad: 0}R − { 
- Conjunto de negatividad: Vacío: ⊘ 
- Raíces de ​f ​: Hallamos lo valores de ​x​ para los cuales ​y​ vale 0. 
(x)f = 0 
x2 = 0 
x = 0 
 tiene dos raíces reales e iguales: f x1 = x2 = 0 
 
Conociendo la gráfica de la función cuya ley es podremos graficar cualquier otray = x2 
función cuadrática a partir de esta (que se llama parábola matriz). 
 
 
Reflexión con respecto al eje x 
(x) (x)g = − f 
Graficar la función (x)g = − x2 
 
 
 
 
Función Vértice Eje de simetría Raíces Ordenada al origen 
(x)f = x2 (0;0) x=0 x1 = x2 = 0 0 
(x)g = − x2 
 
Movimientos de las representaciones gráficas 
 
Dada la función R / f (x) xf : → R = 2 
 
 
Traslaciones verticales 
 
Graficar las siguientes funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos (es posible la 
ayuda de GeoGebra). 
(x)g = x2 + 4 (x)h = x2 − 4 
 
 
 
 
 
 
Función Vértice Eje de simetría Raíces Ordenada al origen 
(x)f = x2 (0;0) x=0 x1 = x2 = 0 0 
(x)g = x2 + 4 
(x)h = x2 − 4 
 
 
En general​: 
Dadas las funciones y , (x)f (x) (x)g = f + h h∈ R 
 
Si , la gráfica de se obtiene desplazando la gráfica de h unidades haciah > 0 g f 
________________ 
Si , la gráfica de se obtiene desplazando la gráfica de unidades haciah < 0 g f h| | 
________________ 
 
 
Actividad​: 
A partir de la gráfica de , graficar las siguientes funciones cuadráticas mediante(x)f = x2 
corrimientos. Dar el vértice, las intersecciones con los ejes y el eje de simetría. 
(x) /2 g = x2 + 3 (x)h = − x2 + 1 
 
 
 
 
 
Traslaciones horizontales 
 
Graficar las siguientes funciones ​en un mismo sistema de ejes cartesianos: 
(x)g = (x )+ 3 2 (x)h = (x )− 3 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función Vértice Eje de simetría Raíces Ordenada al origen 
(x)f = x2 (0;0) x=0 x1 = x2 = 0 0 
(x)g = (x )+ 3 2 
(x)h = (x )− 3 2 
 
 
En general​: 
Dadas las funciones y , (x)f (x) (x )g = f − k k ∈ R 
 
Si , la gráfica de se obtiene desplazando la gráfica de k unidades hacia lak > 0 g f 
derecha 
Si , la gráfica de se obtiene desplazando la gráfica de unidades hacia lak < 0 g f k| | 
izquierda. 
 
 
Actividad​: 
A partir de la gráfica de , graficar las siguientes funciones cuadráticas mediante(x)f = x2 
corrimientos. Dar el vértice, las intersecciones con los ejes y el eje de simetría. 
(x) x )g = ( + 2 2 (x) (x )h = − 1 2 + 3 (x) x /2)s = − ( + 1 2 + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dilatación y contracción de ordenadas 
 
Graficar ​las siguientes funciones ​en un mismo sistema de ejes cartesianos: 
(x) xg = 3 2 (x) xh = 3
1 2 
 
 
 
 
 
 
 
Función Vértice Eje de simetría Raíces Ordenada al origen 
(x)f = x2 (0;0) x=0 x1 = x2 = 0 0 
(x) xg = 3 2 
(x) xh = 3
1 2 
 
 
En general​: 
Dadas las funciones y (x)f (x) . f (x), a = , a =g = a / 0 / 1 
 
a) Si la gráfica de “se estira” en dirección vertical.a| | > 1 f 
b) Si la gráfica de “se contrae” en sentido vertical.0 < a| | < 1 f 
c) Si la gráfica de sufre además una reflexión con respecto al eje ​x​. a < 0 f 
 
 
Actividad​: 
A partir de la gráfica de , realizar las gráficas de las siguientes funciones. Dar el(x)f = x2 
vértice, las intersecciones con los ejes y el eje de simetría. 
(x) xw = − 2
1 2 
(x) (x )h = 2
1 − 3 2 
(x) (x )g = − 3 + 1 2 
(x) (x )s = − 2 + 2 2 − 1 
 
 
 
 
 
 
Forma canónica de la ecuación de la función cuadrática 
g : R → R 
x g(x) (x ) → = a − k 2 + h 
 
¿Cómo se obtiene la gráfica de a partir de la gráfica de ?g (x)f = x2 
Hacer un bosquejo de los corrimientos y dar un ejemplo 
¿Cuál será el vértice de la parábola? ¿Cómo influirá el signo de en la gráfica?a 
 
 
 
 
Actividad​: Encontrar la ecuación de las parábolas 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma polinómica de la ecuación de la función cuadrática 
 
Si desarrollamos algebraicamente la ley de la función cuadrática dada en su forma 
canónica, obtendremos la forma polinómica: 
 
Por ejemplo si efectuamos los cálculos en la siguiente ecuación dada en forma canónica: 
(x) (x )s = − 2 + 2 2 − 1 
 
 
 
 
Obtenemos: que es la misma ecuación en forma polinómica(x) x xs = − 2 2 − 8 − 9 
 
Actividad​: Encontrar la ecuación polinómica de todas las funciones trabajadas 
anteriormente. 
En general​: ​la ecuación de una función cuadrática dada en forma polinómica será: 
 
 ,(x) x xg = a 2 + b + c =a / 0 donde: ​a​ es el coeficiente del término 
cuadrático 
 ​b​ es el coeficiente del término lineal 
 ​c​ es el coeficiente del término independiente 
 
 
Gráfica de una función cuadrática dada en forma polinómica 
 
Para graficar debemos buscar: _ El vértice 
_ El eje de simetría 
_ Las intersecciones con los ejes 
 
 
En general​: Dada con(x) x xg = a 2 + b + c =a / 0 
 
VÉRTICE​: x ; y )V = ( v v 
La abscisa del vértice de la parábola es: xv = 2a
−b 
La ordenada del vértice de la parábola es: y (x ) v = g v 
 
Ejemplo​: 
 
Graficar ​especificando las coordenadas del vértice, la ecuación del eje(x) x xs = − 2 2 − 8 − 9 
de simetría y las intersecciones con los ejes coordenados. 
Luego dar el conjunto imagen, el valor máximo o el valor mínimo de la función,según 
corresponda, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
 
 
Empezamos buscando el vértice: 
 
xv = −(−8)2 . (−2) =
8
−4 = − 2 
(− ) .(− ) .(− ) . 4 6yv = s 2 = − 2 2
2 − 8 2 − 9 = − 2 + 1 − 9 = − 1 
Vértice​: − ; )V = ( 2 − 1 
 
Seguimos con las intersecciones con los ejes​: 
 
Intersección con ​eje y ​: (0) . 0 . 0s = − 2 2 − 8 − 9 = − 9 
Intersección con ​eje y ​: 0 ;− )( 9 
 
 
Intersección con ​eje x ​: x x− 2 2 − 8 − 9 = 0 
o tiene solución x1,2 = 2.a
−b±√b −4.a.c2 = 2.(−2)
−(−8)±√(−8) −4.(−2).(−9)2 = −4
8±√64−72 = −4
8±√−8 = n 
Intersección con ​eje x ​: NO TIENE 
 
Luego escribimos el eje de simetría​: 
 
Eje de simetría: x = − 2 
 
Por último graficamos: 
 
Como ya vimos la gráfica es la que se 
muestra en la figura: 
 
Falta hacer el estudio de la función​: 
 
 
 
 
Actividad​: 
a) Graficar la función a partir del vértice, las intersecciones con(x) x xf = 2 + 6 + 5 
los ejes y el eje de simetría. Escribir la fórmula de la función en forma canónica. 
b) Luego dar el dominio, el rango, el valor máximo o mínimo que toma la función, 
y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Signo de del coeficiente principal 
 
Dada con(x) x xg = a 2 + b + c =a / 0 
_ Si la parábola abre hacia _______________ y la función tiene un valor __________________a > 0 
_ Si la parábola abre hacia _______________ y la función tiene un valor __________________a < 0 
 
 
Actividad​: 
Graficar las funciones: 
(x) x xf = 2 − 2 + 5 
(x) x xg = 2 − 3 − 4
7 
(x) x xh = − 2
1 2 − 2 − 2 
a) Buscar el vértice, las intersecciones con los ejes y el eje de simetría. 
b) Escribir la ecuación de la función en forma canónica y factorizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intersecciones con el ​eje x 
 
Dada la función , con , para buscar las intersecciones con el ​eje(x) x xf = a 2 + b + c =a / 0 
x​, se debe resolver la ecuación , aplicando la ​fórmula resolvente​:x xa 2 + b + c = 0
, donde se llama ​discriminante.x = 2.a
−b±√b −4.a.c2 .a.cb2 − 4 = Δ 
 
Luego: 
 
_ Si , la ecuación tiene dos raíces reales distintas, entonces ​LA= .a.cΔ b2 − 4 > 0 
PARÁBOLA CORTA EL ​EJE X​ EN DOS PUNTOS. 
 
_ Si , la ecuación no tiene raíces reales, entonces ​LA PARÁBOLA NO= .a.cΔ b2 − 4 < 0 
INTERSECTA AL ​EJE DE ABSCISAS. 
 
_ Si , la ecuación tiene una raíz real doble, entonces ​LA PARÁBOLA= .a.cΔ b2 − 4 = 0 
CORTA EL ​EJE X​ EN UN PUNTO que coincide con el VÉRTICE. 
Distintas formas de la ecuación de la parábola 
 
 
Forma canónica de la ley de la parábola 
(x) (x )g = a − xv 2 + yv con =a / 0 
 
Donde ​es el coeficiente principal y el punto es el vértice de la parábolaa x ; y )( v v 
 
 
Forma factorizada de la fórmula de la parábola 
 g(x) (x )(x ) = a − x1 − x2 con =a / 0 
 
Donde ​es el coeficiente principal y son las raíces de la parábolaa ,x1 x2 
 
 
Forma polinómica de la ecuación de la función cuadrática 
(x) x xg = a 2 + b + c con =a / 0 
 
Donde es el coeficiente del término cuadrático, es el coeficiente del término lineal ya b 
 es el coeficiente del término independientec 
 
 
Ejemplo​: 
1) Graficar las siguientes funciones cuadráticas expresadas en forma factorizada 
(x) (x )(x )f = 3 − 2 + 1 
(x) (x )(x )g = − 2 − 1 − 4 
Expresar cada una de ellas en forma polinómica y en forma canónica. 
 
2) Dada la gráfica de una función cuadrática, encuentre la ecuación de la misma en sus 
tres formas.