Función Cuádratica

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Universidad Nacional de Salta - Facultad de Ciencias Naturales 
Cátedra de Matemática I para Geología 
La función cuadrática es un modelo matemático empleado para describir trayectorias 
de objetos en movimiento, figuras geométricas con forma de parábola, y resolver 
problemas de optimización. 
Mg. Ramón Omar Renfige Córdoba 
2019 
Función cuadrática 
 
 
 
 
 1 
Lo que aprenderá 
1. Analizar y graficar funciones cuadráticas. 
2. Resolver problemas de optimización con funciones cuadráticas. 
3. Construir la ecuación de una parábola conociendo sus intersecciones con el eje de las 
abscisas y un punto arbitrario. 
4. Construir la ecuación de una parábola que pasa por tres puntos arbitrarios 
5. Resolver problemas utilizando como modelo matemático una línea de tendencia 
cuadrática. 
 
 2 
1. Parábolas en trayectorias, pliegues y optimización 
Los piroclastos de proyección aérea siguen trayectorias 
parabólicas. La parábola es la representación gráfica de una 
función cuadrática. 
La presión tectónica en rocas plásticas origina pliegues. La 
morfología de los pliegues parabólicos, con el origen de coordenadas 
en el núcleo, se describe con funciones cuadráticas 𝑦 = 𝑦0 (
𝑥
𝑥0
)
2
 
Canales para drenaje, de sección transversal rectangular se 
construyen doblando una lámina de ancho 𝑤. El área óptima de la 
sección transversal es el valor máximo (vértice) de la función 
cuadrática 𝐴(𝑥) = −
1
2
𝑥2 +
𝑤
2
𝑥 
 3 
2. Función cuadrática 
Una función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 es función cuadrática si tiene la forma 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎) 
Donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales y 𝑎 es un número distinto de cero. 
La gráfica de una función cuadrática se llama parábola. 
 
El número 𝑎, llamado coeficiente del término 
cuadrático, es distinto de cero. 
 
 4 
3. Concavidad 
La parábola de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es cóncava hacia arriba si el coeficiente del 
término cuadrático es un número positivo (𝑎 > 0) y es cóncava hacia abajo si dicho 
coeficiente es un número negativo (𝑎 < 0) 
 
 5 
4. Discriminante 
El discriminante de la parábola de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es 
∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
Si el discriminante es positivo, la parábola intercepta al eje 𝑥 en dos puntos. Si es igual a 
cero, intercepta al eje 𝑥 en un único punto. Si es negativo no intercepta al eje 𝑥. 
 
 
 6 
5. Intersección con los ejes coordenados 
Si el discriminante no es negativo, la intersección de la parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con el 
eje 𝑥 se obtiene resolviendo la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
La parábola intersecta al eje de las abscisas en dos puntos 𝑥1 
y 𝑥2. 
𝒙𝟏 = −
𝒃
𝟐𝒂
+
√𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝟐𝒂
−
√𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
La intersección de la parábola con el eje 𝑦 se encuentra 
evaluando 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 en 𝑥 = 0. 
La parábola intersecta al eje de las ordenadas en 
𝒚 = 𝒄 
 7 
6. Eje de simetría 
El eje de simetría es una recta vertical que divide a la parábola en dos ramas simétricas. Esta 
recta intercepta al eje 𝑥 en el punto medio ℎ del segmento que une los puntos 𝑥1 y 𝑥2. 
𝒉 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
 
𝑥1 = −
𝑏
2𝑎
+
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 𝑥2 = −
𝑏
2𝑎
−
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Sumando las raíces y dividiendo por 2 el resultado se obtiene 
una fórmula para calcular el eje de simetría en función de los 
coeficientes de 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
𝒉 = −
𝒃
𝟐𝒂
 
 8 
7. Vértice 
El vértice 𝑽(𝒉, 𝒌) es el punto donde el eje de simetría intercepta a la parábola. La ordenada 
𝒌 del vértice se obtiene evaluando 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 en ℎ. 
𝒌 = 𝒂(𝒉)𝟐 + 𝒃(𝒉) + 𝒄 
 
Sustituyendo ℎ = −
𝑏
2𝑎
 en 𝑘 = 𝑎(ℎ)2 + 𝑏(ℎ) + 𝑐 se halla una 
fórmula para calcular la ordenada 𝑘 de vértice en función de 
los coeficientes y término lineal de 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
𝒌 =
𝟒𝒂𝒄 − 𝒃𝟐
𝟒𝒂
 
 
 9 
8. Dominio e imagen 
El dominio es el conjunto de los números reales. 
𝑫𝒇 = 𝑹 
 
Si la parábola es cóncava hacia arriba, la imagen es 
𝑰𝒇 = [𝒌, +∞) 
 
 
Si la parábola es cóncava hacia abajo, la imagen es 
𝑰 = (−∞, 𝒌] 
 10 
9. Intervalos de crecimiento y decrecimiento 
 
Si la parábola es cóncava hacia arriba, la función es 
decreciente en 𝐼𝑑 = (−∞, ℎ) y creciente en 𝐼𝑐 = (ℎ, +∞) 
 
 
Si la parábola es cóncava hacia abajo, la función es creciente 
en 𝐼𝑐 = (−∞, ℎ) y decreciente en 𝐼𝑑 = (ℎ, +∞) 
 
 11 
10. Intervalos de positividad y negatividad 
Cuando la parábola intercepta al eje 𝑥 en dos puntos, esos puntos determinan intervalos 
donde la curva está sobre (positividad) o debajo del eje (negatividad). 
Si la parábola es cóncava hacia arriba, la función es positiva 
en 𝐼𝑝 = (−∞, 𝑥1) ∪ (𝑥2, +∞) y negativa en 𝐼𝑛 = (𝑥1, 𝑥2). 
 
 
 
Si la parábola es cóncava hacia abajo, la función es negativa 
en 𝐼𝑛 = (−∞, 𝑥1) ∪ (𝑥2, +∞) y positiva en 𝐼𝑝 = (𝑥1, 𝑥2). 
 12 
Función cuadrática con raíces reales distintas 
𝑓(𝑥) = − 𝑥2 − 2𝑥 + 8 
Coeficientes y término lineal 𝑎 = −1, 𝑏 = −2, 𝑐 = 8 
Concavidad Hacia abajo 
Discriminante ∆= (−2)2 − 4(−1)(8) = 36 
Intersección con el eje 𝑥 𝑥1 = −4 𝑥2 = 2 
Intersección con el eje 𝑦 𝑦 = 8 
Eje de simetría ℎ =
−4 + 2
2
= −1 
Ordenada del vértice 𝑘 = −(−1)2 − 2(−1) + 8 = 9 
Vértice (punto máximo) 𝑉(−1, 9) 
Dominio e Imagen 𝐷𝑓 = 𝑅 𝐼𝑓 = (−∞, 9] 
Crecimiento y decrecimiento 𝐼𝑐 = (−∞, −1) 𝐼𝑑 = (−1, +∞) 
Positividad y negatividad 𝐼𝑝 = (−4, 2) 𝐼𝑛 = (−∞, −4) ∪ (2, +∞) 
 13 
Función cuadrática sin raíces reales 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 
Coeficientes y término lineal 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, 𝑐 = 10 
Concavidad Hacia arriba 
Discriminante ∆= (−6)2 − 4(1)(10) = −4 
Intersección con el eje 𝑥 No tiene 
Intersección con el eje 𝑦 𝑦 = 10 
Eje de simetría ℎ = −
−6
2(1)
= 3 
Ordenada del vértice 𝑘 = (3)3 − 6(3) + 10 = 1 
Vértice (punto mínimo) 𝑉(3,1) 
Dominio e Imagen 𝐷𝑓 = 𝑅 𝐼𝑓 = [1, +∞) 
Crecimiento y decrecimiento 𝐼𝑐 = (3, +∞) 𝐼𝑑 = (−∞, 3) 
Positividad y negatividad Positiva para todo número 𝑥 
 14 
11. Optimización con funciones cuadráticas 
En situaciones modeladas con funciones cuadráticas, el valor óptimo de la variable 
dependiente, que puede ser máximo o mínimo, es la ordenada del vértice de la parábola, 
siendo la abscisa del vértice el valor que optimiza la función. 
 
La resolución de problemas de optimización con funciones cuadráticas requiere la obtención 
de las coordenadas del vértice y su relación con la situación que se trata. 
 15 
Canal con sección transversal de área máxima (Parte 1) 
El grupo industrial CEMAT ofrece canales modulares 
de hormigón sintético de alta resistencia para drenajes, 
que se construyen doblando una lámina de 60 cm de 
ancho de modo que la sección transversal sea 
rectangular. 
Son diversas las alternativas de doblez, pero interesa aquel para el cual el área 𝐴 es máxima. 
 
¿Cuáles deben ser las dimensiones del doblez para que el área 𝐴 sea máxima? 
 16 
Canal con sección transversal de área máxima (Parte 1) 
El área de la sección transversal rectangular del canal constituye la función a optimizar 
𝐴 = 𝑥𝑦 [1] 
Además, la suma de las dimensiones del doblez tiene que ser 60 cm 
𝑥 + 2𝑦 = 60 [2] 
De la ecuación [2] se despeja 𝑦 = 30 −
𝑥
2
 y se sustituye en la ecuación [1] para obtener 
𝐴(𝑥) = −
1
2
𝑥2 + 30𝑥 
La parábola tiene vértice 𝑉(30,460). Entonces, para 𝑥 = 30 cm el área es máxima y alcanza 
el valor 𝐴 = 460 cm2. De este modo, el doblez debe tener un ancho 𝑥 = 30 cm y una altura 
𝑦 = 15 cm. 
 17 
12. Construcción de la ecuación de la parábola 
Si 𝑥1 y 𝑥2 son las intersecciones con el eje 𝑥 de la parábola de 
ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, la expresión factorizada es 
𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) 
La expresión factorizada es útil para construir la ecuación de la 
parábola cuando se conocen las intersecciones con el eje de las 
abscisas y las coordenadasde un punto arbitrario. El procedimiento consiste en: 
1. Sustituir las coordenadas del punto y las intersecciones con el eje 𝑥 en la expresión 
factorizada y calcular el valor del coeficiente del término cuadrático 𝑎. 
2. Sustituir las intersecciones con el eje 𝑥 y el valor de 𝑎 en la expresión factorizada. 
3. Aplicar la propiedad distributiva para obtener 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 18 
Ecuación del arco de un tinglado parabólico 
Se construye un tinglado parabólico de 24 metros 
de ancho, 7 metros de altura en los laterales y una 
altura máxima de 10 metros y se quiere saber cuál 
será la altura del techo a 1 metro del inicio del arco 
parabólico y medida desde el suelo. 
Ubicando el sistema coordenado en el inicio del arco parabólico, las raíces de la parábola son 
𝑥1 = 0 y 𝑥2 = 24, y su vértice 𝑉(12,3). Con esta información en la expresión factorizada de 
la parábola se tiene 3 = 𝑎(12 − 0)(12 − 24) y se halla 𝑎 = −
1
48
. Entonces, la expresión 
factorizada es 𝑦 = −
1
48
𝑥(𝑥 − 24), y distribuyendo 𝑦 = −
1
48
𝑥2 +
1
2
𝑥. Con la ecuación de la 
parábola se halla que a 1 metro del inicio del arco el techo alcanza una altura de 0,50 m y 
desde el suelo una altura de 7,50 metros. 
 19 
13. Construcción de la ecuación de la parábola 
Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos arbitrarios 𝑃(𝑥1, 𝑦1), 𝑄(𝑥2, 𝑦2), 𝑅(𝑥3, 𝑦3) 
de la parábola, reemplazando las coordenadas de los puntos en 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se 
obtienen tres ecuaciones con tres incógnitas 𝑎, 𝑏 y 𝑐. 
{
𝑎𝑥1
2 + 𝑏𝑥1 + 𝑐 = 𝑦1 [1]
𝑎𝑥2
2 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 𝑦2 [2]
𝑎𝑥3
2 + 𝑏𝑥3 + 𝑐 = 𝑦3 [3]
 
Para resolver, de una de las ecuaciones, por ejemplo [1], se despeja una incógnita, por 
ejemplo 𝑐 = (𝑦1 − 𝑎𝑥1
2 − 𝑏𝑥1) y se sustituye en las otras dos ecuaciones que se resuelven 
para hallar 𝑎 y 𝑏. Finalmente, con estos valores se determina el número 𝑐. 
{
𝑎𝑥2
2 + 𝑏𝑥2 + (𝑦1 − 𝑎𝑥1
2 − 𝑏𝑥1) = 𝑦2 [2]
𝑎𝑥3
2 + 𝑏𝑥3 + (𝑦1 − 𝑎𝑥1
2 − 𝑏𝑥1) = 𝑦3 [3]
 
 20 
Ecuación de una parábola que pasa por tres puntos arbitrarios 
La parábola pasa por los puntos 𝑃(−2, −6), 𝑄(−1, −8) y 𝑅(2,10) 
{
𝑎(−2)2 + 𝑏(−2) + 𝑐 = −6 [1]
𝑎(−1)2 + 𝑏(−1) + 𝑐 = −8 [2]
 𝑎( 2)2 + 𝑏( 2) + 𝑐 = 10 [3]
 
De [1] se despeja 𝑐 = −4𝑎 + 2𝑏 − 6 [4] y se sustituye en [2] y [3] 
{
 𝑎 − 𝑏 + (−4𝑎 + 2𝑏 − 6) = −8 [2]
4𝑎 + 2𝑏 + (−4𝑎 + 2𝑏 − 6) = 10 [3]
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentra 𝑎 = 2 y 𝑏 = 4. Sustituyendo estos 
valores en la ecuación [4] se halla 𝑐 = −6. Conociendo los coeficientes cuadrático y lineal, y 
el término independiente se tiene la ecuación de la parábola. 
𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 6 
 21 
14. Línea de tendencia cuadrática 
En una planilla de cálculo, a partir de un gráfico de dispersión, se puede obtener una línea de 
regresión cuadrática (parábola), seleccionando la opción polinómica de grado 2. 
 
 22 
Estimación de la carga de rotura de un cable de acero. 
La bulonera SANTA FE ofrece cables de acero de distinto diámetro X (en mm) y carga de 
rotura mínima Y (en kg) 
a) Utilice una planilla de cálculo para obtener un 
gráfico de dispersión, línea de tendencia, 
ecuación y coeficiente de determinación. 
b) Estime la carga de rotura de un cable de 7 mm 
y determine en qué medida es fiable la 
estimación. 
 
X Y 
2 300 
4 1000 
6 2000 
8 4000 
10 6000 
 
 
 
 
Respuesta: (a) 𝑦 = 64,286𝑥2 − 51,429𝑥 + 140, (b) 2930,01 kg, 99,8% 
 23 
Bibliografía y videos 
1. DEMANA, F., Waits, B. y Foley, G. (2007). Precálculo gráfico, numérico y algebraico. 
(7a ed.). México. Pearson Educación. (página 176) 
2. STEWART, J., Redlin, L. y Watson, S. (2012). Precálculo Matemáticas para el Cálculo. 
(6a ed.). México. Cengage Learning. (página 224) 
3. Análisis de funciones cuadráticas (https://youtu.be/0pUnHF1FJ2s) 
4. Problema de optimización (https://youtu.be/TF2_IjxOtyY) 
5. Factorización de polinomios de segundo grado (https://youtu.be/Xqac1Z3JUFk) 
6. Ecuación de la parábola por tres puntos (https://youtu.be/6i6HtxBuEsE) 
https://youtu.be/0pUnHF1FJ2s
https://youtu.be/0pUnHF1FJ2s
https://youtu.be/TF2_IjxOtyY
https://youtu.be/TF2_IjxOtyY
https://youtu.be/Xqac1Z3JUFk
https://youtu.be/Xqac1Z3JUFk
https://youtu.be/6i6HtxBuEsE
https://youtu.be/6i6HtxBuEsE