Funciones Avazadas - Ejercicio y practica

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FUNCIONES
Autores : César Fernando Velásquez Michue
Arturo Ángel Fernández Salazar 
© Titular de la obra : Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Editor : Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Diseño gráfico : Área de cómputo y publicaciones de la Asociación
Fondo de Investigadores y Editores
© Asociación Fondo de investigadores v Editores
Av. Alfonso Ugarte N.° 1426 - Breña. Lima-Perú. Telefax: 332-3786
Para su sello editorial Lumbreras Editores
Página web: www.elum breras.com .pe
Primera edición: febrero de 2012
Tiraje: 10 000 ejemplares
ISBN: 978-612-307-093-9
Registro del proyecto editorial N .° 31501051100862 
"Hecho el depósito legal en ia Biblioteca Nacional del Perú"
N.° 2012-00626
Prohibida su reproducción total o parcial 
Derechos reservados D. LEG. N.° 822
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de febrero de 2012 
Calle Las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perú. Teléfono: 336-5889
índice .
......................... j *
" » PRESEN TACIÓ N ................................................................................................ 7
* M IN TRO D U CCIÓ N ...................................................................................................................................... 9
"■ FUNCIONES
Conocimientos previos.......................................................................................................................... 11
Par ordenado........................................................................ 11
Producto cartesiano ....................................................................................................................... 12
Plano cartesiano............................................................................................................................... 13
Relaciones............................................................................................................................................. 14
Funciones...................................................................................................................................................... 16
Definición de una función ........................................................................................................... 17
Dominio y rango de una fu n c ió n ................................... 19
Regla de correspondencia.......................................................................................................... 20
Función real de variable r e a l .................................................................................................... 22
Cálculo del dominio y el rango de una función ............................................................. 23
Gráfica de una función ................................................................................................................. 25
Funciones elem entales.......................................................................................................................... 27
Función constante .......................................................................................................................... 27
Función escalón unitario (|aQ) .................................................................................................... 28
Función signo (sgn)..................................................*....... 30
Función máximo en te ro .............................................................................................................. 31
Función identidad........................................................................................................................... 33
Función valor absoluto.................... 34
Función raíz cuadrada................................................................................................................... 35
Función inverso multiplicativo................................................................................................. 37
Funciones polinom iales........................................................................................................................ 38
Función lin e a l..................................................................................................................................... 38
Función cuadrática ......................................................................................................................... 39
Función cúb ica ........................................................... 42
Función potencial 44
5
Propiedades sobre el trazado de gráficas................................................................................... 44
Por desplazamiento horizontal................................................................................................ 44
Por desplazamiento v e rtica l....................................................................................................... 45
Por doble desplazam iento.......................................................................................................... 45
Por reflexión ......................................................................................................................................... 45
Álgebra de funciones.............................................................................................................................. 48
Igualdad de funciones.................................................................................................................... 48
Unión de funciones........................................................................... 48
Adición de funciones...................................................................................................................... 49
Sustracción de funciones............................................................................. 49
Multiplicación de funciones....................................................................................................... 49
División de funciones..................................................................................................................... 50
Potenciación de funciones.............................¡............................................................................ 50
Composición de funciones.......................................................................................................... 52
Algunas funciones especia les............................................................................................................ 55
Función p a r ................................................................................. 55
Función im p ar..................................................................................................................................... 55
Función periódica.............................................................................................................................. 55
Funciones m onótonas................................................................................................................... 58
Función in ve rsa ........................................................................................................................................... 60
Función inyectiva-.............................................................................................................................. 60
Función suryectiva............................................................................................................................ 63
Función biyectiva .............................................................................................................................. 64
Inversa de una función .................................................................................................................. 65
Algunas funciones trascendentes....................................................................................................69
Función exponencial....................................................................................................................... 69
Función logarítm ica......................................................................................................................... 73
PROBLEM AS RESUELTOS
Nivel básico ................................................................................................................................................... 76
Nivel interm edio......................................................................................................................................... 94
Nivel avanzado............................................................................................................................................. 136
l i PROBLEM AS PROPUESTOS
Nivel básico ................................................................................................................................................... 160
Nivel interm edio......................................................................................................................................... 169
Nivel avanzado............................................................................................................................................. 181
l l CLAVES............................................................................................................................................................. 189
B IBLIO G RAFÍA ............................................................................................................................................. 190
h
P r e se n t a c ió n
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de 
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Funciones, 
perteneciente a una nueva serie de tem as escogidos donde se realza el valor 
analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias.
La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los alum ­
nos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus co­
nocim ientos en tem as específicos en ¡os cursos de m atem áticas, ciencias na­
turales y razonam iento m atem ático. De esta forma, Lumbreras Editores abre 
una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didáctico 
y cuidadoso en la relación teoría-práctica.
Hay tem as principales en cada materia que necesitan de mayor profun- 
dización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso 
nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta com pletar una nu­
trida colección que permita m antener el reconocimiento y la confianza de los 
estudiantes, al m anejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos 
y problemas resueltos y propuestos por niveles.
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha signi­
ficado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesionales 
de prim er nivei, cuyo esfuerzo es un apoyo fundam ental a nuestro anhelo de 
una, educación científica y humanística integral, En este proceso, deseamos 
reconocer la labor de los profesores César Velásquez M ichue y Arturo Fer­
nández Salazar, de la plana de Álgebra de las academias Aduni y César Valle- 
jo, por su labor en la elaboración del presente m aterial, gracias a su valiosa 
trayectoria en la enseñanza preuniversitaria.
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
FUNCIONES
l l l CONOCIM IENTOS PREVIOS
Antes de iniciar el estudio de las funciones recordaremos brevemente la definición de par ordenado, 
producto cartesiano , plano cartesiano y relación binarla.
PAR ORDENADO
El par ordenado es un conjunto que consta de dos elem entos cualesquiera con un orden definido, 
los cuales son denom inados com ponentes. Se denota de la siguiente manera.
Ejemplos
De los pares ordenados (-2 ; 5); ( # ; ) y (Eva; José) se sabe lo siguiente:
• Las primeras componentes son - 2 ; # y Eva.
• Las segundas componentes son 5; -m. ̂ / y José.
Teorema 
Igualdad de pares ordenados
Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus prim eras y segundas componentes son iguales entre 
sí, respectivam ente.
primera comíiponente— ' I— segunda componente
(a; b) = (c; d) <H> a = c y b = d
Ejemplos
SI (2; 6) = (a; b) <-> o = 2 y b = 6. 
SI ( - 1 ; m )= (n ;V 3 ) n = - l y
11
LUM BRERAS EDITORES
APLICACIÓN 1
Si los pares ordenados (5 ; x 2- 4 ) y (y + 1; 12) son iguales, calcule el m enor valor de x + y .
Resolución
Por dato Í5 ; x 2- 4 ) = ( y + l ; 1 2 ) 5 = y + l a x 2- 4 = 1 2 o y = 4 a x 2 = 16 ++ y = 4 a ( x = 4 v
x= ~ 4).
Por lo tanto , el menor valor de x + y es cero.
Teorema
Sean a y b diferentes, la conm utatlvldad no se cumple con los pares ordenados, o sea (o; b ) * ( b ; a). 
PRODUCTO CARTESIANO
El producto cartesiano de los conjuñtos no vacíos A y B, denotados por A x B , e s el conjunto de to­
dos los pares ordenados, cuyas*primeras com ponentes pertenecen a A y las segundas componentes 
pertenecen a B. . ^ ,
Sim bólicam ente
Dados y Btfcfy: A x B = { ( a ; b)/a e A y b e B}
Ejemplos
Se tienen los conjuntos 4 = { - l ; 0 ; 5} y B ~ {2 ; 4}.
I . Para hallar A x B utilicem os el diagrama de
Venn.
2. También hallem os 6 x 4 utilizando el diagra­
ma de Venn.
A x 8 = {( - 1; 2), { -1 ; 4), (0; 2), (0; 4), {5; 2), (5; 4 )} /. 6 xA = {(2 ; -1 ) , (2; 0), (2; 5), (4; - 1 ) , {4; 0), (4; 5)}
Nota ......... -......—.................— - -....... -.............. ..... ............ .
De los ejem plos 1 y 2 podemos notar que el producto cartesiano no es 
conmutativo, es decir A x S ^ S x A
FUNCIONI1.
APLICACIÓN 2
Dados los conjuntos A = {x e Z / - l< x < 2 } y B = { a ; b ; c } , halle A x B .
Resolución
Por dato A tiene elem entos enteros y es de la form a A = {0 ; 1}. Luego, utilizando el diagrama de Vciui 
se tiene lo siguiente.
A x B = { (0 ; a), (0; b), {0 ; c), (1; a), (1; b), (1; c)}
Se observa que A tiene 2 elementos, B tiene 3 e le­
mentos y A x B tiene 6 elementos.
Propiedades
SI A y B son conjuntos no vacíos se cumple lo siguiente
I. A x B ^ B x A
II. A x B = B x A si y solo s ( a = b)
III. n {A x B ) = n{A)^n(B)
Observación
n{A): se lee número de elem entos de A.
PLANO CARTESIANO
El conjunto denotado por^R3>=R x R = {(x; y)/x..e R a y ¿ § _R }se denomina plano cartesiano, cuya 
representación geométrica es
Y
yo
p-- 1iiii
i
iiiii
0 xo X
Además
• Y es el eje de ordenadas y X es el eje de abscisas,
• Los ejes X e Vse Interceptan perpendicularmnn 
te en el punto 0 = (0 ; 0 ): origen de coordenadas.
• El punto P = (xQ; y0) tiene coordenadas de abscisa 
x a y- ordenada y0.
I 4
LUM BRERAS EDITORES
APLICACIÓN 3
Dados los con juntos A = {x e Z / - l < x < 2 } y 
H -{x e Z / ( x |< 3 } , halle gráficam ente el pro­
ducto ca rtes ian o ^ íxB )
Resolución
Los conjuntos tienen elem entos enteros y son 
finitos, pues x e Z .
A = {0 ; 1} y B = { - 2; - 1 ; 0; 1; 2}
Ahora ubicamos los elem entos de A sobre el eje 
X y los elem entos de 8 sobre el eje Y.
A x 8 = { ( 0 ;- 2 ) , (0; - 1 ) } , (0; 0), (0; 1), (0 ; 2), 
( 1 ; - 2 ) , ( 1 ; - 1 ) , (1; 0 ), (1 ; 1), (1; 2)}
APLICACIÓN 4
Dados los conjuntos
A = {x e R / - 2 < x < 3 } y B = {y e R / 2 < y< 4} 
halle gráficam ente el producto cartesiano A x B.
Resolución
Como los conjuntos A y 8 no son finitos, su 
producto cartesiano A x B tam poco es finito 
y para obtenerlo ubicamos los elem entos de 
A sobre el eje X y los elem entos de 8 sobre el 
eje Y.
Y
4
J x ; y ) - A x B
2
2 3 X
Nótese que A x B es rectángulo incluido en R 2 
y cuyos bordes son discontinuos debido a que x 
no llega a s e r - 2 , ni y llega a ser 4.
RELACIONES
Dados dos conjuntos A y 8 no vacíos, se denom inará relación R de A en 8 ’ a todo subconjunto del 
producto ca rtes¡ano(¿4x^
Simbólicamente
R es una relación de A en 8 R a A x B
wT FUNCIONI
Ejemplos
Dados los conjuntos A = {1 ; 3; 5} y B = {0; 2}, 
cuyoproducto cartesiano es 
A x S = { ( l ; 0 ), (1; 2), (3; 0 ), (3; 2), (5; 0), (5; 2)} 
se tiene
R l= { ( l ; 0), (1 ; 2), (3 ; 2)}
R2= {(1 ; 2), (3 ; 0), (5; 0), (5; 2)}
/?3= {(1 ; 0), (5 ; 2)} 
fl4=<j)
Son relaciones de A en B.
p c
Nota
f i : A - ) B v A —^->6
Se lee relación R de A en B.
APLICACIÓN 5
Dados los conjuntos A = { 2; 3; 4 } y B = { 3; 2; 7}, 
halle la relación ft: A —> B, cuya suma de compo­
nentes de sus elem entos sea par.
Resolución
Utilicem os el diagrama.de Venn para relacionar 
los elem entos de A con los elem entos de B se­
gún la condición dada.
R ^ B
2 ^ l ~ 3
3 < > 2
4 4 V 7
R = {(2 ; 2), (3 ; 3), (3; 7), (4; 2)}
APLICACIÓN 6
Halle la relación R con elem entos de las com 
ponentes enteras no negativas, cuya suma 
Inferior a cinco.
Resolución
Según los datos se tiene
R = { (x ; y) g Z + x Z + ¡ x + y < 5}
1 !
1 1 
1 2
1 3
2 1
2 2
3 1
R = {(1 ; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), {2; 2), (3 ; 1)) 
APLICACIÓN 7
Si A = {20 1 1 ; 2012}, cite todas las relaciones do 
A en A que presentan solo dos elementos.
Resolución
Hallemos A x A = A 2, mediante el diagrama do 
Venn.
A 2 = {(2011; 2011}, (2011; 2012), (2012; 2011),
( 2 0 1 2 ; 2 0 1 2 ))
Luego, citemos las relaciones R: A —> A que tio 
lien solo dos elementos. 
fí1={(2011; 2011), (2011; 2012)} 
fí2= {{2011; 2011), (2012; 2011)}
/?3 = { (2 0 1 1 ; 2 0 1 1 ), (201 2 ; 2 0 1 2 )} 
/?4= { (2011; 2012), (2012; 2011)} 
F?5={(2011; 2012), (2012; 2012)} 
Rg = {(2012; 2011), (2012; 2012)}
Lu m b r e r a s E d it o r e s
( f i i | FUNDONES____________ _____________________________________________________________________________
Antes de plantear una definición form al de una función, veam os dos ejem plos de relaciones, que 
nos perm itirán tener una ¡dea más clara de lo que son las funciones como un tipo de relaciones 
especiales.
Ejemplos
1. Si A es un conjunto que tiene como elem entos a tres apellidos paternos de personas y B es un 
conjunto que t iene por elem entos a cinco nombres de personas tal que
A = (Rojas, León, Ruiz} y 8 = {M a ría , Lucía, Paolo, Mery, Alberto)
una de las formas de re lacionar los elem entos de A con B m ediante el diagrama de Venn es
R
De donde
R - {(Rojas; Paolo), (León; M aría), (León; Lucía), (León; M ery), (Ruiz; A lberto)}
En esta relación se observa que un elem ento de A se puede re lacionar con más de un elem ento 
de 8, esto debido a que M aría, Lucía y M ery podrían ser herm anos o tal vez primos o quizás sim ­
plemente tienen el m ismo apellido paterno.
Función i s
2. Si A es un conjunto formado por cinco nombres y B es el conjunto formado por seis apellidos 
paternos tai que
/4={Luis, Iván, Juan, Luz, Eva} y fi = {Cruz, Quispe, Meza, V illa, Viza, Vargas}
luego una forma de relacionar los elem entos de A con B m ediante el diagrama de Venn es
De donde
H >={(Luis; Quispe), (Iván; Cruz), (Juan; M eza), (Luz; Viza), (Eva; V illa}}
I n esta relación se observa que a cada elem ento del conjunto A le corresponde un solo elemento 
ile B, ya que para cada nombre de ,4 le corresponde un único apellido paterno de B. En este caso la 
i elación R de A en 8 se llam ará función R á e A e n B.
tit FINICIÓN DE UNA FUNCIÓN
I Mdos los conjuntos no vacíos A y B, la relación / de A en B es una función de A en B si para cada 
elemento x de A existe un único elem ento y e B y (x; y) e / .
Notación
C
f : A —>6 o A — >B Además
Se lee: • A es el conjunto de partida
fu n c ió n /d e A en B • B e_s_e}conjuntarle .Ilegada
17
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Ejemplos
1. Sean A = { - 2; 2; 3; 4 } y f i= {0 ; 4 ; 5; 9 ; 16; 18}. Si le hacem os corresponder a cada elem ento de A 
con su cuadrado que es elem ento de B m ediante el diagrama de Venn se tiene
f e s función, ya que para cada 
elem ento de A le correspon­
de un único elem ento de B.
/ = { { - 2 ;4 ) , (2; 4), (3 ; 9), {4; 16)}
/= {(4 ; 8 ), (5 ; 10), (7; 14)} 
es una función.
g= { [ 1; 6), (2; 7), (3 ; 7), (4 ; 7), (5; 8)} 
es una función.
M ( 0 ; 2), (1 ; 1), (2; 3), (2 ; 5), (3; 4 )}
es una relación pero no una función, pues para 2 e A
le corresponde dos elem entos de B: el 3 y el 5.
18
FUNCIONI S
 -......... -... ... -.........- ...................................----- ---------- ̂ Nota
Toda función es una relación, pero no toda relación es función, j
Teorema
La re lac ión/: A —> B con (x; y) e / y (x; z) e f e s una función si y=z .
APLICACIÓN 8
SI el co n ju n to /= {{3 ; 2), (x; 4 ), (3; x 2- 7 ) , (2; 5 )} es una función, calcule el valor de x.
Resolución
Como (3 ; 2) e / , ( 3 ;x 2- 7 ) e / y f e s una función, 
entonces 2 = x2- 7 —» x 2=9 de d o n d ex= 3 v x= ~ 3 .
S lx = 3 —> /= {(3 ; 2), (3; 4 ), (2 ; 5 )} no es una función.
S lx = - 3 —» /= {(3 ; 2), (-3 ; 4 ), (2; 5 )} si es una función.
Por lo tanto, el valor de x e s - 3 .
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN 
Dominio de una función
Ll dominio de una funció n/: A —» B es el conjunto formado por todas las primeras componentes de 
los pares que pertenecen a ja función y se denota por D om /o D¡.
D o m /= {x e A/[x ; y) e / y para cada x existe un único y e B }
Rango de una función
Ll rango de una función / : A —> B es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los 
pares ordenados que pertenecen a la función y se denota por Ran/ o-Rj.
R an /= {y e B/(x; y) e / y para cada y le corresponde al menos un x e A }
1')
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Ejemplos
M { - 2; - 4 ) , ( - 1 ; - 2 ) , (0; 0), (1; 2), (2 ; 4 )} 
D o m /= {-2 ; - 1 ; 0; 1; 2}
R a n / = {- 4 ;- 2 ; 0; 2; 4 }
ff= {(2; 1), (1/2 ; 1), {0 ; 3), ( - 1 ; 1), (5; 1)} 
Domg = {2 ; 1/2; 0 ; - 1 ; 5}
R a n g = { l ; 3 }
Está dada por un^fórm ula matemática) la cual Indica la relación que existe entre los elem entos del 
dom inio y el rango de la funcioné
En la función/: A —» B, si {x; y) e / , entonces y=/(X)
Donde
A\ conjunto de partida y Dom /=A 
B: conjunto de llegada y R an / <z B 
x : variable independiente o preimagen de y v ía / . 
y: variable dependiente o Imagen de x v ía / .
REGLA DE CORRESPONDENCIA
/ ¡emplos
1. Para la fu n c ió n /
rf ..........
se observa que
1
l= / (o), l e s Imagen de 0 - » /(0) = ^ ^ 
1/2= 1/2 es imagen de 1 —» ^{i)= Y ~ Y
l/3= /(2); 1/3 es imagen de 2 -> /(2) = ^ ^ 
l/4 = /(3 j; 1/4 es imagen de 3 ->
y - f ( xy / e s imagen d e x f [ x ) = ^ ^
2. Sea g una función cuya regla de correspon­
dencia es
g(Xj= 2 x + l ; x e {0 ; 1; 3 ; 4 ; 5}
El dominio de la función g son los valores d f 
x, es decir, Domg = {0; 1; 3 ; 4 ; 5 } y para hallar 
el rango se evalúa los valores del dominio rn 
la regla de correspondencia.
Como <?(X) = 2 x + l 
S ix = 0 —> Q'(o)= 1
( 0 ; l ) e g 
S i x = l —> g(i) = 3 
(1; 3 ) e g 
Si x = 3 -> g(3)=7 
—> (3; 7 | e g 
Si x = 4 -> g(4)=9 
—» (4; 9) e g 
Si x = 5 — ̂ 0 (5, = 11
(5; 11) g g 
R a n g = {l; 3; 7; 9; 11} y 
g = í(0 ; 1), (1; 3), (3; 7), {4 ; 9), (5; 11)}
Observación
1. Toda función queda bien definida 
si.se conocen su(gpminjj? y_su_regla 
de correspondencia.
2. No es lo m ism o /y / ¡x,, p u e s /e s la 
función misma} m ientras que/¡x, es 
la regla de correspondencia de/.
FUNCIONI s
2 ]
LUM BRERAS EDITORES
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Sea la función / : A —» B. Diremos q u e /e s real de variab le real gj.y solo,si todo elem ento de A es nú­
mero real {A c ,R ) . Así m ismo, todo elem ento de B es número real ( A c R ) ,
Ejemplos
1. La funció n/: A —> B cuya regla de correspondencia e s/(X)= x2 con A = { - 1 ; 0 ; 2 ; 3; 4 } y
8 = {-2 ; -1 /2 ; 0 ; 1; 4 ; 5; 9; 16; 17} es real de variable real, ya que A c R , B c R y para todo ele­
mento del dominio (A) su imagen está en B.
2. La función / : [2 ;+ «>)—» R j , tal que /(*) = V x - 2 es una función real de variab le real, ya que 
D o m / = [ 2 ;+ o o ) c R a R q c : R .
x - 1
x —>------
x + 1
2. Si la fu n c ió n /tien e por regla de correspondenciaa 
/-^x); x e D o m / j
ü O bservación
1. La siguiente representación de una función
/2(x); x e D o m /2
entonces
I. por ser función D o m / j/n D om /2=(J) 
I!. D o m /= D o m /1 u D om /2
III. R an /= R an /1 u Ran/2
( jcmplo
L.i función f ^ = x 2 + l ; x > 0 
2 x - l ; x < - 2
equivale a =
x 2 + l j x e { 0 ; + « ) 
2 x - l ; x e - 2 ]
I negó (0 ; +=*) n — 2] = 4>.
Además D om /=< -~ ; - 2 ] u <0; +°o}. '
i )
Fu n c io n a
APLICACIÓN 9
Sea la función h: R R , tal que /i, , = J X 2 x ' X _ 1
' [ x+12; x < l
Calcule el valor de — — — .
V 4 )
Resolución
De la regla de correspondencia de h se tiene
h {s) = 82- 2 x 8 = 4 8 ; h{2)= 22- 2 x 2 = 0 ; h(_ 4)= —4H-12 = í
, ^(8)+ (̂2) 4 8+ 0l ueeo — — — - -------- = 6.uego
rt(-4 )
Nota
La evaluación de los valores de 
x se realiza de acuerdo al doml 
nio de la función. Así por ejem ­
plo /?(_4) no se podría calcular 
reemplazando x = - 4 en x2-2 x , 
ya que para este caso x> 1.
CÁLCULO DEL DOMINIO Y EL RANGO DE UNA FUNCIÓN
En la función/rea l de variable real (/ : R —>R ) , si (x; y), e f , su regla de correspondencia es y=f^y Luego 
tenemos que
I. Hallar su dominio implica obtener todos los valores reales de x para que la función esté bien 
definida en los reales.
Ejemplos
1. Qix) = —~— 1"2, Q existe siem pre (x —5) * 0 -+ D om g={x e R / x - 5 0 }= {x e R / x * 5}
1 x - 5
o equivalentem ente Domg = R - { 5 } . •
2. S I/w = V x - 2 ,/ e x is t e en R siem pre q u e x - 2 > 0 por el índice par del radical
—» D om /= {x e R / x - 2 > 0 }= {x e R / x > 2} o equivalentem ente D om /= [2 ; + °°)
II. Hallar su rango Implica obtener todos los valores reales de y o /(xj a partir del dominio.
Ejemplo
Para hallar el rango de la fu n c ió n / ^ = 3 x - l ; x e [ - 2 ; 2]
Procedemos así
- 2 < x < 2 m ultiplico por 3
- 6 < 3 x < 6 resto 1
- 7 < 3 x ^ l< 5 
~ 7 < f [x) < 5 
R a n /= [-7 ; 5]
23
Lu m b r er a s Ed ito res
A PLICA C IÓ N 10
Sea/ una función real de variable real, tal que 
/(Xj = ̂ 2 x - l + > /6-3x . Indique su dominio.
Resolución
Como los índices de los radicales son pares, en­
tonces
/(x) e R solo si 2 x - l > 0 y 6 - 3 x > 0 
-» x > l / 2 y 6 £ 3 x x > 1/2 y 2 > x 
-> 2 > x > l / 2 -> 1/2 < x < 2 
D o m /= [l/2 ; 2]
APLICAC IÓ N 11
Halle el dominio de la fu n c ió n / : 
regla de correspondencia es
f [x) = V 6 + x - x 2 - \ l x 2- 2 x - 5 0 1
—» R , cuya
fleso/uc/ón
En este caso solo se tendrán en cuenta los radi­
cales de índice par, ya que si el índice es Impar 
la raíz existe en R cuando el radicando es real 
(positivo, negativo o cero).
> / (xj e R si S + x - x ^ O —> x 2- x ~ 6< 0
> (x~ 3 ){x+ 2 )< 0 - ¥ x e [ - 2 ; 3]
-2
Resolución
3 5
Se parte del dom inio, así - < x < - .
2 2
—» 3 < 2x < 5 —» 2< 2 x - l < 4
1 1 ^ 1 „ 2 ^ 1 , . 1—> —> ^ — —> 1 > > — —» 1 > Qfív-l - —
2 2 x - l 4 2 x —l 2 1X1 2
*(*)
Rang=
2
A PLICA C IO N 13
Halle el rango de la función h que tiene por re­
gla de correspondencia a h ^ = x + 1
Resolución
• Hallemos el dom inio: Id función está defin i­
da solo s l x * 0.
—> Domh = { x e R / x * 0 } = R - { 0 }
• Hallemos el rango a partir del dominio. 
C o m o x 5*0 —> x < 0 v x > 0
1 „ 1 «— < 0 v —> 0
X X
1 1-> 1 + - < 1 V l + ~ >1 
X X
D o m /= [-2 ; 3]
" (* )
—> hivi < 1 V > 1
hM
V )
APLICACIÓ N 12
Determine el rango de la función g, tal que
%
2 /3 5
 ; x e ( - ; -
2 x - l \ 2 2 : . Ran/i = ( - o o ; l ) u ( l ;+ o o ) = R - { i } .
24
FUNCIONI
GRAFICA DE UNA FUNCION
Una función f : A —> B real de variable real es un conjunto de pares ordenados de com ponentes re.i 
les y puede por tanto considerarse como un conjunto de puntos en R 2, dichos puntos representan 
geom étricam ente a la función. Luego, la gráfica de/d enotada por Gyes el conjunto de puntos de IR*' 
que representan a los pares ordenados (x, y) e / . Es decir
Ejemplos
1, La gráfica de la fu n c ió n /= {(-3 ; - 2 ) , ( - 1 ; 1), (2 ; 0), (4; 3), (5; 4 )} es
2. Para graficar la fu n c ió n / , tal que/(X.j= 4 x - x ; x e ( - 1 ; 4 ], cuyo dominio (D o m /= (- l ; 4]) tiene 
infinitos elem entos, se debe tabular algunos valores de x e D om / para obtener algunos puntos 
que nos den una pista de cómo será la gráfica de/.
X y = 4 x -x 2 puntos
0 0 (0; 0)
1 3 ( i ; 3)
2 4 (2; 4)
3 3 (3; 3)
4 0 (4; 0)
i #
4
3
2
1
0 1 
- 1 
2 
- 3 
- 4
ia gráfica de/debe 
pasar por los puntos 
ya ubicados en el plano
2 3 4 X
2b
tUM BRERAS EDITORES
Ahora, al ubicar im aginariam ente todos los puntos que se obtendrían a partir del dominio y unir­
los, se obtendrá la gráfica aproximada d e / Así
Como D o m / = (- l ; 4] el punto (- 1 ; - 5 ) no pertenece a la gráfica y queda abierto, 
teorema
f . A > B es una función real de variable real si cualquier recta vertical corta a su gráfica en un 
solo punto.
I jemplos
g no es una función.
{nótese que la recta 
vertical corta en tres 
puntos a Gg)
t Alculo del dominio y rango a partir de la gráfica
• I .) proyección de la gráfica de la función/sobre el eje X determina su dominio.
• I .i proyección de la gráfica de la función/sobre el eje ^determina su rango.
FUNCIONl S
I ¡emplos
I, En la gráfica de la fu n c ió n / 
se observa que 
Dom /= [ - 3 ; 6)
Ran/= [- 4 ; 4)
Y
X
4
i , De la siguiente gráfica de la función g 
se observa que
Domg' = [- 8 ; 3) u -(3 ; + °° )= [- 8 ; + ° ° ) - {3 } 
Rang = [- 4 ; 0) U [1; +®=) i
8
- 4 -
(V l FUNCIONES ELEMENTALES_________________ _____________________________________________________
Existen un conjunto de funciones que consideram os como elem entales por las características que 
presentan, sin embargo, serán la base para poder estudiar muchas otras funciones.
FUNCIÓN CONSTANTE
Una funció n/ : X —> / e s constante porque para toda preimagen se tiene una única imagen. Asi
/
• Regla de correspondencia:/(x)= c; c e R ,
• D om /= {x1; x 2; x 3; x 4; x „ } c : R
y Ran/= {c}
11 n m ui i>» I | n ii m i1
%
 .
* U M U l ; 3 U 0 ;3 ) , ( l ; 3 U 2 ;3 ) , ( 5 ; 3 »
 ( i , l .D , I ; 2; 5 } y R an /= {3 }
• • ii .(til rt
Y
- 2 - 1 0 1 2 5 X
1 I n la fun c ió n /cu ya regla de correspondencia e s / (x)= 5 ;x e ( - 5 ; 20]
• l)o m /~ (-5 ; 20] y R an /= {5 }
• Gráfica
Y
5
»iit
iiii
- 5 20 X
i i n general, la función constante tiene las siguientes características:
• Regla de correspondenc¡a/(X) = c; c e R .
• D o m /= R y R an /= {c }
• Gráfica
Y
c
Y
c>0 0 c<0 X
0 X C
I UNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
• Regla de correspondencia
JO; x < a
A , i = m0 m = | 1 . x S b ; « r
• Hom/ R y R a n /= {0 ;1 }
*
• G id íka
Y
1 — «------
a X
tjemplo
ln lo función/, tal que/{X)= | i3(x) que equivale a
ÍO; x < 3 
/(x)=l^3M = j 1. x > 3 , su gráfica es
Y
1
3 X
APLICACIÓN 14
I *boce la gráfica de la función /(Xj = | i1(x2) y determ ine su dominio y rango.
Hrsolución 
La función dada es
/ w = i V * 2H ,
0; x < 1
1; x ¿ > i
y equivale a
/ ( x )= ^ t x 2 ) = | ° ;
Ahora su gráfica es
X < — 1 V X > 1
- 1 < X < 1
Y
1
----------- --- ^
- 1
“ ■ mm 11 '»
1 X
También D o m /= R y R an /= {0 ; 1}.
Funciones
29
*
u m b r e r a s E d it o r e s
FUNCIÓN SIGNO (sgn)
• Regla de correspondencia
f(x) - s§ n(x) -
- 1 ; x < 0
0; x = 0 
1; x > 0
* Dom/=(-©®; 0) w {0 } u (0 ; + °°> = R y R a n / = {- l ; 0 ; / }
• Gráfica
Y
1
0
■ c>
* X
Ejemplo
La función/(xj= sgn (x+ 2) equivale a
/ w = sgn(x+ 2) =
- 1 ; x + 2 < 0 [- 1 ; x < - 2
0; x + 2 = 0 -> / (xj= sg h (x + 2) = > 0; x = -2
1; x + 2 > 0 1; x > - 2
Ahora, su gráfica es
FUNCION!'.
FUNCIÓN M ÁXIMO ENTERO
Antes de estudiar a la función máximo entero, primero repasaremos brevem ente el máximo entero 
de un número.
SI x i IR., su máximo entero denotado por [[xj es el mayor de los enteros que es menor o igual a x.
/ Jcm plo
|2 ,5 j = 2; [2 ,5 ] : se lee máximo entero de 2,5.
Interpretación geométrica
Sea x= 2 ,5 en la recta numéricareal.
- 3 - 2 - 1 0 1 (2) 3 4 J o
| mayor entero que 
no supera a x
(jeom étricam ente, el máxim o entero [ x j es el número entero ubicado a la izquierda más próximo tic 
x, o que coincide con este, en caso de ser x un número entero.
I ¡om p los
• [2 ,751 = 2 • [01 = 0 ' • [ —41= —4 • [> ^ ] = 1
• [1,991 = 1 • [5] = 5 • [ -3 ,0 2 ]= - 4 • [ ~ ^ ] = - 2
Propiedades
Sean x e R y n e Z ; entonces 
I [ x l e Z 
í [ x ] = x <-> x e Z 
I. [ x ] = /i <h> n < x < n + 1 
4 [ x + n ]= [x ]+ n
M Í = M
APLICACIÓN 15
Resuelva la ecuación [ x - 5 l= 4 .
Resolución
Se aplicarán las propiedades (4) y (3). Así
[ x - 5 ] = 4 O [x+{—5)1=4 O [xl + ( -5 )= 4 O [x] = 9 O 9 < x < 9 + l 
. . CS = [9 ; 10)
31
l UMURI7RAS E d it o r e s
Ahora definim os la función máximo entero así
• Regla de correspondencia /jx) = [[x]
• D o m /= R y R a n /= Z
• Para hallar su gráfica partim os d e /M = Hx] = n n < x < n + l ; n e Z . 
Citando valores para n se tiene
f [x)= í x í =
- 3 ; - 3 < x < - 2 
- 2 ; - 2 < x < - l 
- 1 ; - l < x < 0 
0; 0 < x < l 
1; l< x < 2 
2 ; 2 < x <3 
3 ; 3 < x < 4
Luego, su gráfica es de la forma
4
3
2
1
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 X
- 1
- 2
- 3
- 4
APLICACIÓN 16
x —2
Halle el dominio de la función/, tal que f M = r-^ — .
• (X) [ x ]+ 2
Resolución
Se sabe que/(x) e R. flx] + 2 * 0 . 
i v r o [ x j + 2®0 M = - 2 - 2 < x < - 2 + l x g [ - 2 ; - l )
l nlonces [ x ] + 2 * 0 <-> x g [- 2 ; - 1 ) ; o sea x < - 2 v x > - l . 
Hnm f *(-«>; - 2 ) u [- 1 ; + °°)
12
I UNCIÓN ID EN TID A D
• Rpgla de correspondencia f(X)= x v y = x ; lo que implica que sus elem entos son de la form-i
( 2; - 2 ) , ( - 1; - 1) , (0 ; 0 ), (1/ 2 ; 1/ 2 ), (^ 2 ; 4 l ) , (200 ; 200 ) , ...
• D o m /= R y R a n /= R
• Gráfica
^ F u n c io n e s
— ............. -...............— ■ ■ • Observación i¡iií!
Si una función / t ie n e por regla de correspondencia a f {X) = - x v y = - x , sus 
elem entos serán de la forma (3; - 3 ) , (2; - 2 ) , (y¡2; - V 2 ), ( - 1 ; 1), ( - 4 ; 4 ) , . . . 
Por consiguiente, su gráfica es
Se observa que el D o m / = R y el R a n /= R .
33
I IIM I1UI MAS I D ltO KES
I UNCIÓN VALOR ABSOLUTO
• Hi'gl.i de correspondencia
/{ |x| = J X ; X " °
w - x ; x < 0
• U om / -R y R a n / = R ¿ = [0 ;+«>}
• Gráfica
C o m o y - |* l —» (y = x ;x > 0 ) v ( y = - x ;x < 0 ) .
I ij í 'Ko, la gráfica d e / s e obtiene uniendo las gráficas anteriores. Así
I ¡rmplo
1 n l.i función g, tal queg(x)= - |x | , se observa que el Domg = R y el R an g = R o= (~ °°; 0], lo que impli- 
t .i que su gráfica sea la siguiente.
\<\
m
Funciones
APLICACIÓN 17
Rsboce la gráfica de la función g, tal que <?(*)= | x —3 1 - 1 .
Resolución
IMra dibujar la gráfica de la función g, primero hallarem os su vértice y en forma práctica se igual.i -i 
i oro el va lo r absoluto, Así
| x —3 1 =0 x= 3 (abscisa de! vértice)
Luego g(X)= 13 —3 1 —1= —1 (ordenada del vértice)
F.ntonces,, el vértice es V= [3 ; - 1 ) . Ahora, para tener una pista más clara de la gráfica, se tabula par.i 
obtener dos puntos cuyas abscisas estén a la izquierda y a la derecha de la abscisa del vértice.
X y = |X “ 3 | - l puntos
2 0 (2; 0}
5 1 (5; 1)
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
• Regla de correspondencia /(X)= V * 
• • D o m /= R g y R an /= R g
• Gráfica
35
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Consecuencias
1. • Regla de correspondencia h ^ = - y f x
• Domh = R j = [ 0 ;+«>)
• Ran/i: co m o x> 0 h \/x > 0 h - V x < 0 <-» Ran/) = {-«=; 0]
• Gráfica
Y
\ X
' v /7
2. • Regla de correspondencia g^ )=4~ x
• D o m g = {x€ R / - x > 0 }= {x e R / x < 0 }= {-co ; 0]
• R a n g :c o m o x < 0 f-> - x > 0 V ^ x > 0 Rang=[0;+»=)
• Gráfica
APLICAC IÓ N 18
Esboce la gráfica de la función y , tal que'V|/(xj = > / j x í . 
Resolución
Redeflnlendo la función y se tiene 
[n /x ; x > 0
V M = 1 I—[ v - x ; x < 0
I uego, su gráfica es
Y
X
También se observa que el Dom\|/= R y el 
Ran\}/= Ro=[0; +=»)
K ,
FUNCIONf S
IUNCIÓN INVERSO MULTIPLICATIVO
• Regla de correspondencia /(x}=~
X
• D o m /= ]R - {0 } y R a n /= - {0 }
• Gráfica
APLICACIÓN 19
x+ 1Dibuje la gráfica aproximada de ía función g, tal que gM = ------.
x
Resolución 
Se tiene
x + 1 x 1 1
g( x ) ~ ~ > f f w _ x + x ^ ffW - 1 + x
Ahora, para obtener la gráfica de g bastaría aum entarle una unidad a las imágenes de la función 
1
f {x)= —; es decir, la gráfica d e /s e desplaza verticalm ente una unidad hacia arriba. Así
X
Y
i
2
y= 1 i ■‘W l
— - 1\ 2
_1 \ i
*io
1
-2
37
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
( % | FU N CIO N ES P O U N O M IA LES
Son aquellas funciones cuya regla de correspondencia está asociada a un polinomio. Entre las prin­
cipales tenem os
FUNCIÓN LINEAL
• Regla de correspondencia/(x)= m x+ 6 ; m * 0
• Dominio: D o m /= R a Rango: R a n /= R
• Gráfica:
Su gráfica Gyes una recta oblicua a la derecha si m > 0, y es oblicua a la izquierda si m < 0.
m > 0 O7<0
Tenga en cuenta que en cualquier caso tan 6= m . Adem ás, para dibujar la gráfica de una función 
lineal basta ubicar dos puntos en el plano cartesiano y por a llí trazar una recta.
Ejemplos
1 . f [ x ) = X + 2
18
2. g(x) = l - 2 x
■ FUNCIONI
FUNCIÓN CUADRÁTICA
• Regla de correspondenc¡a/(x)= ax2 + bx+ c; a ^ 0
• Dominio: D o m /= R ̂ , L ■= “
• Gráfica
Su gráfica Gyes una parábola sim étrica respecto a una recta vertical (llam ada eje de sim etría) que* 
pasa por el vértice de la parábola.
Si a> 0 , la parábola abre hacia arriba: \ J .
Si a < 0 , la parábola abre hacia abajo: A .
A continuación se muestran las gráficas de las funciones/¡X)= x2 y g ^ = - x 2
Es importante tener en cuenta que 
y=/¡x)= ax2+bx+c; o # 0 puede escribirse 
y = a (x -h )2+k, donde (h; k) es el vértice de la parábola
Ejemplo
Para dibujar la gráfica de/jX) = l+ 4 x - x 2 procede­
mos así
y=-'X2+ 4 x + l= - (x 2- 4 x + 4 - 4 ) + l 
y - - ( x - 2 ) 2+5 
luego el vértice es 
V=(ir ,k ) = (2; 5)
Como o = - l < 0 , entonces la parábola abre hacia 
abajo. Luego, la gráfica es
Veáse también que
En la gráfica de/(X)=ox2+bx+c; a*Q
se cumple que V=(h] k)
I UM BRERAS EDITORES
Tenga en cuenta ,
Ejemplo
Para la func¡ó n/(xj= x 2- x + l
Se tiene
h _ x i + x 2 _ 1 
2 2
1 1
k ~ f f i \ = -------+ 1 k = ~
i1 4 2
Luego V -
1 3̂ 
2 ' 4
Gráficam ente
n
f f
3
4
1 X
2
APLICACIÓN 20
Seo q ^ ~ x 2 + b x + c una función cuadrática cuya gráfica adjuntam os. Calcule el valor de M =
a X
Hrsolución
l)n Id gráfica observam os que g ^ = x 2 + bx+ c tiene dos raíces iguales x 1= x 2=a, luego 
Además, g(0)= c= 16 .
I nlonces ( x - a ) 2= x2+ b x + c —> x1- 2 a x + a 2= x2+ bx+ c ; a > 0 
> b -2a a c = a 2 —» a 2 = 16; a > 0 a b - - 2 a - » a = 4 a b= ~ 8
a + c 
~ b ~
( x - a ) 2.
4ü
FUNCIONI S
Análisis de la gráfica de la función cuadrática
Sea/(xj = ox2 + bx+ c; o * 0, de raíces x 1(x 2 y d iscrim inante A = b 2- 4 a c .
La gráfica d e / e s una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del coeflclcntr 
principal de/(xj, como se observa en los siguientes casos.
Ejemplo
Para dibujar la gráfica de la fu n c ió n /(x) = 2x2 +
Factorizamos la función.
/ m = (2 x - 1 ) ( x + 2 )
Luego, hallem os las raíces.
x + 2 = 0 —» x 1= - 2 
1
2 x - 1 = 0 —> X j = - 
1 2
Como o = 2> 0 , la gráfica es una parábola que
- 2 procedemos así
hacia arriba y corta al eje X en x = - 2 y x=
Lu m b r e r a s E d it o r e s
FUNCIÓN CÚBICA
• Regla de correspondencia/(X¡ = ax3 + bx2 + cx+c/; a * 0
• Dominio: D o m /= R a Rango: R a n /= R
• Gráfica
Su gráfica G fe s una curva que corta al eje X al menos en un punto, y al eje Ken el punto (0; d). 
A continuación se m uestran las gráficas de las funciones /(X)=* 3 V =—x3.
m Tensa en cuenta ................................................. ....................................................
Para d ibujarla gráfica de la funciónf M =ax3+bx2+c x + d , a * 0 es conveniente
hacer un cambio de variable que permita reducir el término cuadrático. Dicho
cambio es x = t — —, con lo cual/(x> se transforma en /(t¡ = o(t3+pt+q')/ llama- 
3o
da función cúbica reducida, y la gráfica de esta depende, del coeficiente a y de
( V ( n2
la expresión A = — I +[ —
3 2
Ejemplo
Sea/(X)= - x 3 + 3x+ 2 una función cúbica reducida.
F.ictoricem os /(xj= - ( x + l ) 2(x - 2 ) y obtengamos las raíces x 1= x 2= - l ; x 3 = 2. 
Adem ás,/(0j= 2 ; luego, su gráfica es
Nótese que en x 1= x2= - l (raíz doble) 
La gráfica es tangente al e je X.
A i
FUNCION! 4
Análisis de la gráfica de la función cúbica reducida
’.im /[x)--o(x3+ p x+ q ); una función cúbica reducida de raíces: x 1( x 2, x 3. La gráfica de/d epende
\2
— | , tal como se observa en los siguientes casos.2 Jlt* u y la expresión A = | ^ | +
Nótese lo siguiente:
• Si A < 0, las raíces x lf x 2 y x 3 son reales y diferentes.
• Si A = 0 , las raíces x 1, x 2 y x 3 son reales con x 2= x3 y
• Si A > 0 , las raíces x v x 2 y x 3 son tales que x x es real y x 2, x 3 no son reales, son complejas Imagi­
narias conjugadas.
APLICACION 21
,3\ \ f^ = x - a x + b es una fundón cúbica tal como se m uestra en la gráfica,
.ilcule el valor de la expresión M =
x2
+l7
\3
IU‘solución
De la gráfica mostrada tenem os
Lu m b r e r a s E d it o r e s
FUNCIÓN POTENCIAL
• Regla de correspondencia
/(xj=Jfnj n e Z + a n > 2.
• Dominio: D o m /= R , . /
• Gráfica '
n par n impar
( % [ PROPIEDADES SOBRE EL TRAZADO DE GRÁFICAS
S e a /u n a función con regla de correspondencia y=/(X)- A partir de la gráfica de f , construirem os la 
gráfica de otras funciones.
POR DESPLAZAM IENTO HORIZONTAL
Sea k > 0, tal que g(x)=/(x_*.¡ y h^=f^x+ky La gráfica de g se obtiene desplazando horizontalm ente a 
la derecha la gráfica de/, m ientras que la gráfica de h se obtiene desplazando a la izquierda la gráfica 
de /, k unidades en cada caso. Así
FUNCIONIS
POR DESPLAZAM IENTO VERTICAL
Sea k > 0 , tal que g[x)=f(x)+ k y h{X)=f(x)~k- La gráfica de g se obtiene desplazando verticalm enle 
hacia arriba la gráfica d e / , m ientras que la gráfica de h se obtiene desplazando hacia abajo la gráfica 
d e /, k unidades en cada caso. Así
^ M + k
/ 4 )
x
POR DOBLE DESPLAZAMIENTO
Sean h y k positivos, tenem os los siguientes casos:
• 9 { x ) = f ( x - h ) + k * 9 ( x ) = f ( x + b } + k
• 9(x)=/(x-/7)-í< * 9(x)=f(x+h)~k
En el caso de Q(x)=f(x-h) + k su gfáfica se obtiene desplazando la gráfica d e / , horizontalmente a la 
| derecha h unidades y verticalm ente hacia arriba k unidades. Así
POR REFLEXION
• Sean 9(x)=~f[x) y fyx)=/(-x) c*os funciones reales de variable real. La gráfica de g se obtiene por 
reflexión de la gráfica d e /so b re el eje X, m ientras que la gráfica de h se obtiene por reflexión de 
la gráfica d e /so b re el eje Y. Así
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Sea g una función, tal que <?(*)= \f[X)\> donde
Como g(x¡ = |/(Xj | > 0, entonces la gráfica de g se ubica en el sem iplano superior (y > 0) del plano 
R 2, y se obtiene repitiendo la gráfica d e /c u a n d o /(X) > 0 y reflejando sobre el eje X la gráfica de 
/c u a n d o /{x) < 0. Así
Sea h una función tal que h(x)~f(\x\y donde
* { x ) - / ( x ) -
* < 0
La gráfica de h es sim étrica respecto al eje Y por ser una función par.
1
/!(>
* F u n c io n i s
APLICACIÓN 22 
f'kboce la gráfica d e /.
;w = llx2 - 4 x l- a | 
llrsolución
h-nemos que f {x] = | | (x - 2 )2 —4 ¡—1|.
Hallemos G^paso a paso.
I .ü grafiquemos y = (x - 2 )2- 4 .
Y
i , ° grafiquemos y= | (x —2)2—4 1.
i . ° grafiquemos y= | (x —2) - 4 1-1.
4 .° grafiquemos /(x) = ||x2 - 4 x | - l |
y
2 4
APLICACION 2
Esboce la grá :a de/(xj= x 2- ¡ x | + l .
Resolución 
Nótese que
f { - x ) = ( - ^ ) 2 - I'- * I + 1 I X I + 1 = / ( * )
—> f e s una función par.
Luego, hallemos G fp a ra x> 0 .
x > 0 : /¡X)= x2- x + l = I T 3 x — + -
2 4
C o m o /e s par reflejamos esta curva respecto al 
eje Y.
Lu m b r e r a s E d it o r e s
[ % | Á LG EB R A DE FU N CIO N ES
Es el conjunto de relaciones y operaciones que se realizan entre dos o más funciones bien definidas. 
Entre ellas tenem os la igualdad, unión, adición, sustracción, m ultiplicación, división, potenciación y 
composición de funciones.
IGUALDAD DE FUNCIONES
Dadas/ y g dos funciones bien definidas, diremos q u e /y g son iguales si tienen el mismo dominio y 
la misma regla de correspondencia.
E sd ec ir f = g o Dom /=Dom g a / (x) = g{x)
APLICACIÓN 24
Afirm am os que las fu n c ¡o n e s/y g, tales que /¡xj = V l - x 2 y g¡x) = V l T x - V l - x , son ¡guales.
En efecto 
• Dom /=Dom g
Dominio d e / : l - x 2> 0 —» x 2< l —> | x | < l 
-> - 1 < x < 1 -> D o m / = [- l ; 1]
Dominio de g: ( l+ x > 0 a 1 - x > 0 ) —» ( x > - l a x < l ) 
— » - 1 < x < 1 — > D o m g = [- l ; l ]
g [x) = V r + x - V Í - x = tJ { 1 + x ) [ 1 - x ) = tJ i - x 2 = f [x)
UNIÓN DE FUNCIONES
Una funció n/p ued e considerarse como una unión de funciones: 
f y f v h ' —>fns' est ̂definida por tram os.
/1(x); x e D o m / i 
/2(x); x e D o m /2 
f (x)=-h(*)> x e D o m f 3
fn{x}' x e D o m /„
Es decir
48
l'or ejemplo, la función /e s tá definida por tram os. 
l - 2 s e n x ; x < 0 
V x - 1 ; 0 < x < lf \ x ) :
x - x + 1 ; x > l
Tenga en cuenta u
D om /j n Dom /2 n Dom/3 n ... n Dom/„=< 
Dom /1u D o rn /2o D o m / 3 U .. .u D o m /n=DQHí/
ADICIÓN D EFU N CIO N ES
/ + g = { ( x ; ( / + g )(x)) / x € D o m / n Dom g} es la función suma.
• D om (/+ g) = D o m /n Domg
• ( / + 9 ) W = / ( x ) + 9 ( x )
SUSTRACCIÓN DE FUNCIONES
f - g = { ( x ; ( / - g ) , x, ) / x e D o m / n Dom g} es la función diferencia.
• D o m (/-g ) = D o m /n Domg
• { / - á ) (x) = / ( x ) - 0 ( x }
MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES
/•£ = { ( * ; (/•9')(x})/X € D o m / n Dom g} es la función producto
• D om (/-g) = D o m /n Domg
• ( f - 9 \ x ) = f { x ) - 9 ( x )
Multiplicación de un real por una función
oc/ = { ( x ; (a / )M ) / x e D o m / a a s R }
• D om (a/) = D om /
• (a / ) (x ) = a - / (x)
FUNCIONPl
4 9
I IJM liHERAS EDITORES
DIVISIÓN DE FUNCIONES
t
• Dom
í x ; í r
\
/ x e (D o m /n D o m g ) a
( X ) , /
— |= (D o m /n D o m g }- {x e D o m g /g ()()= 0 }
I 9 J(x) 9 { x )
POTENCIACIÓN DE FUNCIONES
í ¡ /■/
/ ’ /■/■/
n facto res
• D om /n = D om /
• /"«i- [ / ( * ) ] " ; " ^ z +
I j rm p lo
Dadas las funciones
/ { ( l ; l ) , ( 2 ; 0 U - l ; 2 ) , ( 0 ; 4 ) , ( - 2 ; 3 ) } A g = { ( l ; 2), (2; 3), ( - 2 ; 0 ), (3; 1)}
Hallemos las fu n c io n e s/+ g ;/ -g ; —; 3f - g 2.
9
Resolución
• Dominio
D o m /= { l; 2; - 1 ; 0 ; - 2 } ; D o m g = {l; 2; - 2 ; 3}
> D o m / n D o m g = {l; 2 ;- 2 }
• Cálculo de f + g
(/+ 9 )( i)"/ (i)+ ff( i) = 1 + 2 = 3 - » ( l ; 3 ) e / + g
í/+ 9 )(2 )=/(2)+ 9(2) = 0 + 3 = 3 h> ( 2 ; 3 ) G / + g 
(/+ 9 )(-2 )=/(-2) + 9(-2) = 3 + 0 ~ 3 (~2; 3) G /+ g
Luego/+g = { ( l ; 3), (2; 3), ( - 2 ; 3)}
FUNCION! S
Análogamente calculamos f -g ' , f - g ' ,
9
f - g = { ( ( 2 ;- 3 ) , ( -2 ; 3)}
f - g = { [ 1; 2), (2; 0), { - 2 ; 0 )}
/
9 l( (2; 0 )
Nótese que — no está definida en x = - 2 , pues 
9
/ ( - 2 ) = 3
9(-2) 0
• Cálculo de 3 / - g 2
(3 / -g 2)(1) = 3-/(1)- g (21) = 3 - l - 2 2 — l ( l ; - l ) e 3 / - g 2
(3 / -g 2) (2) = 3./(2)- g (22) = 3 - 0 - 3 2= - 9 ( 2 ; - 9 ) e 3 / - g 2
(3 / -g 2) (_ 2) = 3 -/ ^ 2)- g 2„ 2) = 3 - 3 - 0 2= 9 - » ( - 2 ; 9 ) e 3 / - g 2 
Luego 3 / - g 2 = { ( l ; - 1 ) , (2; - 9 ) , ( - 2 ; 9)}.
APLICACIÓ N 25
'.r*an las funciones/(Xj= x 2- x + l y g = { ( l ; 5), (2 ; 0), (—1; 3), (3; 4)}. 
la lcu le
«• (/2- 3 g ) (3) b. (3g2- 2 / ) (_ 1)
Resolución 
Nótese que
|)o m /= R y D o m g = {l; 2 ; - 1 ; 3} -» D o m /n Domg = { l ; 2 ;- 1 ; 3}
« (/2- 3 g ) (3)=/23 r 3g(3)
► (/2—3g)(3, = (32 - 3 + l ) 2 - 3 ( 4 ) 
* (/2- 3 g ) (3)= 7 2- 1 2 = 37
b. ( 3g2- 2/)(„ 1}= 3g(2L1}-2/{_ 1}
- » (3g2 -2 / ) (_ 1j = 3(3)2 - 2 ( l + 1 + 1} 
-> t3g2 -2 / ){_ 1, = 2 7 - 2 ( 3 ) - 2 1
51
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
COM POSICIÓN DE FUNCIONES
S e a n /y g dos funciones tales que
Domg g Rang Dom / / Ran/
Nótese que existe (al menos) un elem ento en el dominio de g (x e Domg) con la característica 
de que g¡xj € Dom/, entonces existe. Si reunimos todos los valores x con esa propiedad, ten­
dremos que Rang n D om /^ (j).
Luego, podemos construir una nueva función h, tal que
h : S —> Ran/, con S c Domg
Adem ás ty*)= /(B(x)) A S - D o m h ~ { x / x e D o m g A g (x)e D o m /}
h se denomina la composición d e /co n g, es denotada por h = f o g , y es leída: "/com puesto con g". 
Definición
S e a n /y g dos funciones bien definidas tales que Dom f r\ Rang^4».
La función / o g se define así
• D o m (/o g )= {x /xe Domg A g (x)e D o m /}
Ejemplo
Dadas las funciones
/ . { ( - 2; 0), ( - 1 ; 4), (3; 1), (5; 2), ( 1 ; - 1 ) } 
ff - -{(“ 2; - 1 ) , (0; 3), (1; 3), (2; 0), (4; 5)} 
hallem os las fu n c io n es/o g y g o f .
52
F u n c io n a
ttesolución
• Veamos si e x is te /o g
D o m /= {-2 ; - 1 ; 3 ; 5; 1 } a Rang = { - 1 ; 3; 0 ; 5}
D o m /n Rang = { - 1 ; 3 ; 5 }^ > f o g existe.
Nos interesan los pares ordenados de g que tengan como segundas componentes a — 1; 3 y r», y 
los pares ordenados d e / que tengan como prim eras componentes a - 1 ; 3 y 5. Así
(- 2 ; - 1 ) e g a ( - 1 ; 4) e / ( - 2 ; 4 ) e / o g
(0; 3) e g a (3; 1) e / (0; l ) e / o g
(1; 3) e g a (3; 1) e / (1; l ) e / o g
(4; 5) e g a (5; 2) 6 / —» (4; 2 ) s / o g
Lueg o /o g = { { - 2 ; 4) , (0 ; 1), (1; 1), (4 ; 2)} 
Usando el diagrama sagital tenemos
f o g = {(—2; 4), (0; 1), (1 ; 1}, (4; 2)}
• Veamos si existe g o f .
Domg = { - 2 ; 0 ; 1; 2; 4 } a R an /= {0 ; 4; 1; 2}
Domg n R an /= {0 ; 1; 2; 4}
Nos interesan los pares ordenados d e /q u e tengan como segundas componentes a 0; 1; 2 y 4, y 
los pares ordenados de g que tengan como primeras componentes a 0; 1; 2 y 4. Así 
( - 2 ; 0 ) e / a ( 0 ;3 ) e g ( - 2 ; 3) e g o /
(3; l ) e / a ( l ; 3 ) e g -> (3; 3) e g o /
1
LUM BRERAS EDITORES
(5; 2) e / a (2; 0) e g —> ( 5 ; 0 ) e g o /
( - 1 ; 4 ) g / a ( 4 ; 5 ) e g - » { - 1 ; 5 ) € g o f 
Luego g o / = { ( - 2 ; 3), (3; 3), (5; 0), ( - 1 ; 5)}.
Nótese q u e /o g ¿ g o f .
Luego, la composición de funciones no es conm utativa.
APLICACIÓN 26
Dadas las fu n c io n e s/y g, h a lle /o g. 
f (x )=x2~ 2 x - l ; - 2 < x < 4 ; g(x) = \/x + l ; x > 0
Resolución
• Hallemos el dominio
Sabemos que D o m (/o g)={*/x e Dom0 A 5(x) eD o m ^ } 
E s d e c ir ,x e R g a - 2 < g ^ < 4 x > 0 a - 2 < V x + 1< 4
—> x > 0 a V x + 1< 4 —> x > 0 a x < 9 
—» 0 < x < 9 —> D o m (/o g) = [0; 9]
• Hallemos la regla de correspondencia.
( / ° 9)(x)= f(g{x)) = / ( ^ +1) = ( V x + l ) - 2 ( V x + l ) - l
( / o 0}(x) = x + - 2 y í - x - 2
i f ° g ) ( x ) = x - 2 ;x g [ 0 ;9 ]
Propiedades ^ ^
Sean/; g y h funciones bien definidas. )
• En g en era l/o g * g o f .
• Asociativa: ( / o g) o h = f o (g o h) ( x
• / función id en tid ad :/o 1=1 o f 
Además V n e Z +: ln o f = f r .
• Distributiva 
( f+ g ) o h = f o /i + g o h 
(/■g) o / i= /o h+ g o h
P*í - í
OomCp^)
FUNCION! S
( í j ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES
FUNCIÓN PAR
Sea/u n a función, tal q u e x e D o m /y { - x ) e D o m / .S iV x e D o m / :/ {x)=/(_ x), diremos q u e /e s iin.t 
función par.
Gráficamente
Nótese que y= /M = /(_ x).
Además, la gráfica d e /e s s im é tr\a 
con respecto al eje Y.
Por ejem plo, la función/, tal q u e /(x)= x2- x 4+ l es una función par. 
En efecto, el dominio d e /e s D o m /= R . Luego, x e R a ( - x ) e R .
Además
/ ( - , ) = ( - x ) 2 - ( - x ) 4 + 1 = * 2- * 4 + 1 = / m 
Es decir, V x e D om /:/(x)= /(_ x). A s í ,/ e s una función par.
FUNCIÓN IMPAR
S e a /u n a función tal que: x e D om / y (- x ) e Dom/.
Si V x e D o m / :/ (_ x)= -/ (x) diremos q u e /e s una función impar.
Nótese q u e y= /(x) a - y = / (_ x).
~ h*)=h-x) -> f{~x}= -Ax)
Adem ás, la gráfica de / es simétrica con 
respecto al origen de coordenadas (0; 0).
k
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Por ejemplo, la fu n c ió n / tal que/(x)= ^ x - 2 x es una función impar.
I n efecto, el dominio d e /e s D o m /= R . Luego, si x e R —> ( - x ) e R .
Además
f (-x j = %f-x — 2(—x) = - ^ x + 2 x = - { ¥ x - 2 x ) = - / M
Es decir, V x e Dom/: / (_ x}= - / (x}.
A s í ,/ e s una función impar.
FUN CIÓ N PER IÓ D IC A
S e a /u n a función real. Si V x e Dom/: existe 7 V 0 , tal que ( x + T ) e D om / a f ( x + T ) - f { x ) ' diremos que 
f e s una función periódica. El número 7 es llamado periodo d e /.
Gráficam ente
Se observa q u e/{x)= /(x+r)= /(x+2T1 = ...
Toda función periódica con periodo 7 tiene su gráfica G p ta l que la misma forma que tiene en un 
intervalo de longitud 7 se repite horizontal y periódicam ente en el siguiente intervalo consecutivo y 
anterior de longitud 7.
Observamos, además, que si 7 es un periodo d e /, entonces 27, 3 7 ,. . . tam bién son periodos d e /.
11 menor valor positivo de 7 se llama periodo mínimo.
‘j6
Fu n c io n i s
APLICACION 27
Pruebe que la función seno es una función pe- 
urtdica im par con periodo mínimo 7=271.
ttrsoiución
* Veamos que /¡X} = senx es una función pe­
riódica.
Supongam os que ex iste 7 ^ 0 , ta i que 
sen (x+ 7 ) = senx; V x e R .
Tomemos en p art¡cu la rx= 0 :
sen7= 0
-4 T= 2kn ; k e Z .
Luego T e R a (x+ 7 ) e R , entonces la fun­
ción seno es periódica con periodo 7,
Cuando k e Z +
T = 2 n ; 471; 6ti; ...
Luego 7= 2 te es el periodo mínimo.
• Ahora, veam os que/(x) = senxes una función 
impar.
S e a x e R a ( - x ) e R , luego 
/(_*) = s e ñ (- x )= - s e n x = - / (X)
—» / ,_ * ,= - / (x); V x e R .
Así, la función seno es impar.
Gf :
Y
1 / f
- 1
i 1 / X
1
Resolución 
Nótese que
V * ] =A i - l - * l ) =/ ( i- |x | ) = h(xr 
—> h es par
Para dibujar su gráfica convenientem ente trab a­
jam os para x< 0 y la gráfica obtenida la reflej.i 
mos al eje Y.
Si x < 0, entonces =/{1+x).
Nótese que la gráfica de h resulta de trasladar la 
gráfica d e /u n a unidad a la izquierda. Así
x< 0
Reflejamos y obtenemos la gráfica de h.
APLICACIÓN 28
Sea/u n a función cuya gráfica se muestra. Esbo­
ce la gráfica de h.
5 /
Lu m b r e r a s E d it o r e s
FUNCIONES MONÓTONAS
Una fu n c ió n /se dice que es monótona si es cualquiera de las siguientes funciones.
Función creciente
Una función f e s creciente s i V x 1( x 2 <e D o m f : x 1 < x 2 —> f[x1) < f(x2y 
Función decreciente
Una función f e s decreciente si V x y x 2 e D om /: x 1 < x2 —*• f (x1) > f{x2y 
Función no decreciente
Una función f e s no decreciente si V xv x 2 € D om /: x 1 < x 2 / ^ < / ^ .
Función no creciente
Una fu n c ió n /e s no creciente si V x v x2 e D om /: x 1 < x2 - * / { x ^ - f ^ y 
Ejemplos
1, / |xj= V x es creciente. 2. 9{x)= —; x> 0 , es decreciente. 3. h es no creciente.
Regla práctica para calcular rangos de funciones crecientes y decrecientes
S e a /u n a función cuyo dominio es [a; b] y cuya gráfica es una curva continua dibujada de un solo 
trazo (sin saltos bruscos verticales).
I uego
• S i/ e s creciente, entonces Ranf- [f(a)>f(b)]
• S i/ e s decreciente, entonces Ran/= [/(*,>;/ {o)],
'i8
F u n c ió n » n
Gráficam ente
• /c rec ien te • /d ecrec ien te
Y y
Ab) -------- /(o)
f(a) \ i i i i i i
a b x a b x
Ran f={f(a)'>f(b)] R a n /= [/ (i); / (0)] (
..................................-............. —....— ............... -............... Tenga en cuenta
Si ei dominio de una función /e s {a; b) y los valores f(a)>f(b) existen en R , entonces 
• /creciente —¥ Ran/= {/(o )¡/(&)) • /decreciente —» Ranf=(f[b)> f{a))
Análogamente, en los casos cuyos dominios sean (a ; b] o [a; b).APLICACIÓN 29
Sea /u n a función, tal que f ^ = 1 + V x ; x e {4 ; 9]. Halle su rango.
Resolución
Como V x g (4 ; 9 ],/ (X) = l + \/x es creciente y / (4) = 3 existe, entonces 
Ran/ = (_/¡4¡; /(g )]= (3 ; 4] Ran/ = (3 ;4 ]
APLICACIÓN 30
Sea g una función, tal que g ^ = cosx; x e ^0; ~ j . Halle su rango.
Resolución
gM = co sxes decreciente V xe^ O ; y como g(0¡ = l a existen, entonces
Rang = ^ „ j g{0| = (0 ; l ) -> Rang = {0 ; l )
b')
Lu m b r e r a s E d it o r e s
n FUN CIO N IN VERSA
FUN CION IN YEC TIV A
Conocida también como función univalente o uno a uno, se caracteriza porque cada elem ento del 
rango es imagen de un único elem ento del dominio.
Ejemplos
f e s función inyectiva y el ran­
go podría coincidir o no con el 
conjunto de llegada Y.
g es función, pero no es inyec­
tiva ya que un elem ento del 
rango es imagen de dos e le­
mentos del dominio.
Definición
La función f : X -+ Y e s inyectiva. Si para ^ x 2} c D om /: X j ^ x 2 —> / (x ) ^ f{x i y
Equivalentemente
f \ X •+ V es inyectiva. Si para {x 1; x 2} c D om /: f {x i )-f(x2) x i ~ x 2 
Está definición es la más usada.
/ jemplo
I n la función / , tal q u e /(x)=100x+217; D om /= R 
sra {x : ; x2} c D om / y /(X1}=/(X2) —> 100x2+217=100x2+217 
> 100x 2=100x 2 —̂ x i = x 2 1° clue prueba q u e /e s inyectiva.
bO
FUNCION! S
APLICACIO N 31
Determine si la función g tal que 9{x) = — - es inyectiva.
Resolución
Domg = { x e R / x - 2 * 0 } = { x € R / x * 2 } = R - { 2 }
Además
x _ x - 2 + 2 2
0 M _ x ^ 2 _ x - 2 + x - 2
Ahora, sea { x ¿ x2} c Domg a g¡x j =9(Xly
2 i 21 + = 1 + -
Xi —2 x - ,- 2
1— - — = — - — -> x 1 - 2 = x 2 - 2
x1 - 2 x 2 - 2
_> x 1=x2
Por lo tanto , g es una función inyectiva o univalente.
Interpretación geométrica
G rá fica m e n te ,/e s una función inyectiva si cualquier recta horizontal corta a su gráfica en un solo 
punto. Así
/ e s inyectiva. g no es inyectiva.
61
LUMBRERAS EDITORES
APLICACIÓN 32
En la función
[ x 2; - 3 < x < 0 
W [ ^ ; 0 < x < 9
determ ine s i/ e s inyectiva y halle su rango.
Resolución
Esbocem os la gráfica de la función.
f e s inyectiva, ya que al trazar una 
recta horizontal, esta corta a la grá­
fica de / e n un solo punto. 
R a n /= [-3 ; 0) u (0 ; 9)
R a n /= [-3 ; 9 > \ {0 }
Teorema
Toda función creciente o decreciente es inyectiva. 
Ejemplo
f es creciente y es inyectiva, g es decreciente y también es
pues si se traza una recta ho- inyectiva.
rizontal corta a la gráfica d e / 
en un solo punto.
FUNCIONI'S
FUNCIÓN SURYECTIVA
Conocida tam bién como función sobreyectiva o epiyectiva, se caracteriza porque ei conjunto i l r 
llegada coincide con el rango.
Ejemplos
f e s una función suryec- g es una función, pero no es
tiva , pues Ran/= Y. suryectiva, pues Rang í Y
Definición
La funció n/: X —» Y e s suryectiva si Ran/= Y 
Ejemplo
Veamos que la función/: [ - 1 ; 5 ) -> ( - 7 ; 5 ], tal que f ^ = 3 - 2 x , es suryectiva.
En efecto, D o m / = [- l ; 5 ).y conjunto de llegada =<-7; 5]
• Calculem os el rango
- l< x < 5 - í - > 2 > - 2 x > - 1 0 5 > 3 —2 x > —7 o 5 > / (x)> -7 R an/= < -7 ;5 ]
Ahora, se observa que R a n /= (-7 ; 5 ]= con junto de llegada. Por lo ta n to ,/e s suryectiva.
APLICACIÓN 33
La función g: [2; 11] —» [0 ; 5 ), tal que g ^ = V x - 2 ¿g es suryectiva?
Resolución
Como D om g= [2 ; 11]; conjunto de llegada = [0; 5)
Hallando el rango
2 < x < 11 0 < x - 2 < 9 O 0 < V x - 2 < 3 0 < g (x)< 3 Rang = [0 ;3 ]
Ahora, se observa que Rang= [0; 3] ^ [0; 5) (conjunto de llegada)
Por lo tanto, la función g no es suryectiva.
( ) i
Lu m b r e r a s E d it o r e s
APLICACIÓN 34
Dada la función h: A —> ( - 9 ; 5 ], cuya regla de correspondencia es
, _ Í - x 2 ; - 3 < x < 1
[ x - 1 ; l< x < 6
determ ine si h es una función sobreyectiva.
Resolución
Esbocem os el gráfico de h.
Se observa que
Ran/? = ( - 9 ; 5] = conjunto de llegada 
Por lo tanto , h es función sobreyectiva.
m Tenga en cuenta ¡
Si el conjunto de llegada de una función no se conoce se asume que 
la función es suryectiva.
FUNCION BIYECTIVA
La función/ : X —> Y, es blyectiva si es a la vez inyectiva y suryectiva. 
Ejemplos
f e s iyectiva y suryectiva a la 
vez, lo que implica que f e s 
biyectiva.
g es función inyectiva, pero 
no suryectiva, lo que implica 
que g no es biyectiva.
M
Fu n c io n a
h es función suryectiva, pero 
no invectiva, lo que implica 
que h no es biyectiva.
APLICACION 35
linda la función g: (0 ; 4] —» ( - 1 ; 15], tal que g ^ ~ x 2- l , determ ine si g es biyectiva. 
Mfsolución
I'.hocem os el gráfico de g.
Se observa que
• g es creciente en todo su dom inio, lo que impli­
ca que g es inyectiva.
• Rant? = [-1 ; 15) = conjunto de llegada, lo que im­
plica que g es suryectiva.
Por lo tanto, g es biyectiva.
INVERSA DE UNA FUNCION
Sr\» la fu n c ió n /= {(x ; y ) / x e D o m / a y=/(x)} biyectiva. Su inversa denotada p o r/* se obtiene al ¡nter- 
lim b la r los componentes en cada par ordenado d e / . A s í/ * = { (y ; x ) / x € Dom/ a y=/(x)}-
I ¡rmplos
/ = { (2 ;4 ) , (3; 1), (5 ; 6), (7; 8)}
D om /= {2 ; 3; 5 ; 7} y R an /= {4 ; 1; 6; 8 } D o m /*= {l; 4 ; 6; 8 } y R an /*= {3 ; 2; 5; 7}
Si ff= { ( l ; 1), (4; 2), (9 ; 3 ), (16 ; 4 )} g *= {(1 ; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16)}
65
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Propiedades
1. Toda función b iyectiva /tien e in v e rsa /* , además
D o m /*= R a n /y R an /*= D o m /
2. Si f e s una función biyectiva, se cumple que ( / * ) = f
3, Si y~f{X) es Ia re§ la de correspondencia de la función / biyectiva, entonces para la regla de 
correspondencia d e / * despejamos x de la regla anterior y obtenem os x = / ^ y para hallar 
intercam biam os x por y.
4, Si / es la función identidad y / e s biyectiva, se cumple
5. S i/ y g son funciones biyectivas, tal q u e /o g existe, entonces ( / o g)* existe y ( / o g)* = g * o / * . 
[ jem plos
1. Dada la función/jxj = 3 x + l ; x e ( - 3 ; +«>)
Resolución
C o m o /e s creciente, entonces es inyectiva. Luego R a n /= (/ (_3); + °° )= (-8 ; + °°).
Recuerde que cuando no se conoce el conjunto de llegada de una función se asum e que esta es 
suryectiva.
C o m o /es inyectiva y suryectiva, entonces es biyectiva. Luego e x is te /* .
Hallemos /(*).
De y=/(x) = 3 x + l despejam osx.
C / ° / * ) (x) = /(x) = x ;y x e D° m / *
( / * ° A * ) =/w = x ; V x e D o m /
Finalmente intercambiamos x por y.
FUNCIONI'S
X —2
) . Dada la función g(,\ = ------; x > l , halle g * si existe.
w x + 2
Resolución
• Hallemos el rango.
x - 2 x + 2 - 4 „ 4
Como g¡X) = ------= ---------- ' = 1---------.
1 ' ■ x + 2 x + 2 x + 2
1 1 4 4Como x > l —> x + 2 > 3 -+ 0 < < - ->-0 > --------- > —
x + 2 3 x + 2 3
h „ 4 1 1 / 11 > 1 -------- > — —> l> g ( , > — —> Raníai - ( — ; 1
x + 2 3 W 3 i9) \ 3
• Veamos si g es inyectiva,
Sea { x ¿ x 2} c Domg a Sf(X l)=ff(x2}-
4 4 4 4
—> X = X —̂ --------- ~ > Xi + 2 = x 7 + 2
x x +2 x2 +2 x : +2 • x 2 +2
-» x 1= x2, lo que implica que g es inyectiva.
• Como no se conoce el conjunto de llegada, g es suryectiva.
• Hallamos gj,xj.
* - 2 ,De y = g¡x) = despejamos x.
' x + 2
x - 2
-+ y = ------- -+ y x + 2y = x - 2 —> y x - x = - 2 - 2 y
x + 2
x (y - l) = -2(l+y) * =
—( i —y) i - y y i - y
Luego, intercam biam os x por y.
♦ 2(x + l ) / 1 „
S M = — : - - J A
( ./
IU M BRERA S EDITORES
APLICACIÓN 36
Dada la función fyxp ^ + l ; x > 0, halle h* si existe. 
Resolución
Como no se conoce el conjunto de llegada, h es suryectlva. 
Veamos si h es inyectiva.
Su gráfica es
De donde se observa que h es inyectiva V x > 0 y su Ran/i = [ l ; + 00). 
Como h es suryectiva e inyectiva, entonces h es biyectiva.
Hallamos h ^ .
De y= fyxj= x 2+ l —> y = x 2+ l —» y - l = x 2 —> - J y - 1 = |x | .
Pero x > 0 -» x = y j y - 1 —» fy* ¡ =y[y~-1 (intercam biam os x por y). 
= V x - 1 ; x e
rt
Nótese que las gráficas 
de h y h * son sim étricas 
a la gráfica de y= x . 2 ---
FUNCION!»
Gráfica de la función inversa
Sea ia fu n c ió n /b iyectiva . La gráfica d e / * se obtiene a partir d e / , reflejando su gráfica a travós de 
Id recta y=-x. Así
Y
f / y=x
S /
y - x w y )/
" / %
/ x - / - - y / { y - , A
x / y x
Ejemplo
f e s una función biyectiva, tal como se muestra en la gráfica.
ALGUNAS FUNCIONES TRASCENDENTES
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Es aquella cuya regla de correspondencia es _/¡x) =£>*; 6 > 0 a 6 * 1 . 
Su dominio es el conjunto R y su rango R +.
Por e jem plo, las siguientes funciones son exponenciales.
A
2 ' hM -
F(x) = 2 * ; G(x l= ex ; Hlx, = J 2 * ; . . .
- I con e = 2 ,7182818 ...;
7M ’ (*)
G()
u m r r e r a s E d it o r e s
Gráfica de una función exponencial
Como In base b es positiva y d iferente de 1, tenem os dos casos. 
Caso l: 0 < b < 1
Veamos la gráfica de la función =[ -
Tabulamos algunos valores.
X - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
flx) 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8
Ubicamos los puntos (x; /¡x¡) en el plano R 2.
Nótese q u e /e s una función inyectiva (monótona 
decreciente) en su dominio R . Su gráfica G¡ corta 
al eje Y en el punto (0; 1); es decir, (0 ; 1) e f .
( l YAdem ás, V x e R : y = f(x¡ - - j > 0 .
Luego, el rango d e /e s R a n /= R += (0 ; +°°).
Caso II: b > 1
Veamos la gráfica de/(X)= 2X. 
I.ibulnmos algunos valores.
X - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
/(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
/ü
Ubicamos los puntos (x ; f ) en el plano R 2.
r ..................................................................... .......................
FUNCIONl'i
Nótese que f e s una función ¡nyectiva (monótona creciente) en su dominio R . Su gráfica G^cort.i .>1 
eje Y en el punto (0; 1); es decir, (0; 1) e f .
Además, V x e R : y/ = /(x¡ = 2 X > 0 .
Luego, el rango d e /e s R a n /= R += (0 ; +«>).
I n general, la gráfica de una función exponencia l/jx)=bx; b > 0 a b ^ 1 tiene una de las siguientes 
formas.
Caso I: base b con 0 < b < 1 Caso II: base b con b > 1
. Y
i\ b* 1
11 'v 
b*2
X1 x 2
Nótese que
• D o m /= R a R an /= (0 ;+ °» )
• S i x 1< x 2, entonces bxi > bx*. 
Así, la función es decreciente.
Nótese que
• D o m /= R a R an /= {0 ; + ° o )
• Si x 1 < x 2, entonces bxi < bx2. 
Así, la función es creciente.
/ I
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Propiedades
Se tiene la función exponencia l/(X) = b*; b > 0 a b ¿ 1.
1. V x s R : = bx > 0 ; es decir, la gráfica de/ : G^está ubicada siem pre por encima del e je X , y pasa
por el punto (0; 1).
2. S ib > 1, en to n ce s/es creciente en todo su dominio R , es decir, x 1 < x 2 o b*1 < b*2
3. Si 0 < b < 1, entonces f e s decreciente en todo su dominio R , es decir, <x<x2 <h* b*1 > b *2
4. /es .inyectiva en todo su dominio R . Luego bxi = x 1 = x 2
APLICACIO N 37
Esboce la gráfica de la función/.
A r 2^
Resolución 
Tenemos que
> « { ¡ T
Como la base es b = - < 1, entonces f e s decre- 
2
dente. Su gráfica se obtiene trasladando la grá­
fica de y = | — | una unidad a la derecha.
Así
A PLICA C IÓ N 38
Resuelva la inecuación exponencial
2x+ l /2 \x+2
Resolución
Resolvem os la inecuación así
- Y_x+1 / _ \—x—2
ó ‘ > -
Como la base b = — > l , entonces comparamos
los exponentes sin que cam bie el sentido de la 
desigualdad.
A s í 2 x + l> - x - 2 <r-> 3 x > - 3 o x > - l 
CS = [ - l ; + ~ )
n
FUNCIONI >
FUNCIÓN LOGARÍTM ICA
Es aquella función cuya regla de correspondencia es/(X) = log¿x; ó > 0 a b 9* 1. 
Su dominio es el conjunto R + y su rango R .
Por ejem plo, las siguientes funciones son logarítmicas.
/{x )= log2x ; g(x )= lo g ^ x ; /i(x) = loge x con e = 2 ,7182818 ...;
F(x)= lo g iX ; 6 (x )= lo g ^ x ; H(x) = log^x; ...
2 T '<?
Gráfica de una función logarítmica
Como la base b es positiva y diferente de 1, tenem os dos casos.
Caso I: 0 < b < 1
Veamos la gráfica de ia función / |xj ^logj^ x .
2
Tabulamos algunos valores.
X 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8
hx) - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
Ubicamos los puntos (x ;/ jx)) en el plano R 2.
Nótese q u e /e s una función inyectiva (monótona 
decreciente) en su dominio R +. Su gráfica Ĝ corta 
al eje X en el punto (1; 0 ); es decir, (1; 0) € / .
Además, V x e R +: y = /(x) = log1 x e R .
2
Luego, el rango de f e s R a n /= R .
i\
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Caso I I : ¿? > 1
Veamos la gráfica de = log2x, 
Tabulamos algunos valores
X 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
f[x) - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
Nótese q u e /e s una función inyectiva (monótona 
creciente) en su dominio R +. Su gráfica Gf corta al 
eje X en el punto (1 ; 0 ); es decir, (1; 0) € / .
Adem ás, V x e R +: /(x) = log2x e R .
Luego, el rango d e /e s R a n /= R .
En general, la gráfica de una función logarítmica /¡xj = log¿,x; b > 0 A b ^ l tiene una de las siguientes 
formas:
Caso I: base b con 0 < b < 1 Caso II: base b con b < 1
Nótese que
• D o m /= R += (0 ; +°°) a R a n /= R
• Si x 1 < x 2, entonces log^Xj > lo g ^ - 
Asi la función es decreciente.
Nótese que
• D o m ^ R ^ ÍO ; + ° ° > a R a n /= R
• Si x 1 < x 2, entonces lo g ^ < log¿,x2. 
Así la función es creciente.
■
HJN( io n i
Propiedades
Dada la función logarítmica/^xj= log jbx ; b > 0 a í j í I .
1. Su gráfica pasa por el punto (1 ; 0).
2. SI b > 1, en to n ce s/es creciente en todo su dominio R +.
Es decir x 1 < x 2 o lo g bx 1 <log¿,x2
i . Si 0 < b < 1, en to n ce s/es decreciente en todo su dominio IRH
Es decir x 1 < x 2 <->logbx 1 >loglbx2
4. / e s inyectiva en todo su dominio. Luego
lo g ¿x1 = logbx2 <-»x1 = x 2
APLICACION 39
Sea / (x) = logx( l - x 2) una función, halle su do­
minio.
Resolución 
Dominio d e /
/ (x) 6 R o 1 - x 2 > 0 a x> 0 a x * 1
« - * x 2 < 1 a x > 0 a x ?í : 1
o |x ] < 1 a x > 0 a x * 1
♦- » x < 1 a x > 0
<- > 0 < x< 1
D om / = (0 ;1 )
APLICACIÓN 40
Resuelva la Inecuación logarítmica 
log! (2x —1) > log! (x + l )
2 2
Resolución
Resolvemos la inecuación así 
log1(2 x - l )> lo g 1 (x + l)
2 2
<- >2 x- l > 0 a x + l > 0 a 2 x - l < x + l 
1
f ) X > - A X > — 1 A X < 2 
2
f-»
1
X > — 
2
A x < 2
- < x < 2
2
,. c s = ( - ;2
/
PROBLEMAS RESUELTOS
N i v e l b á s i c o
P R O B L E M A N .° I
Dado el conjunto A = {2011; 2012}, ¿cuántas 
funciones / : A —> A que presentan 2 elem entos 
se pueden obtener?
D) 5 E) 6
Resolución
Hallemos A x A = A 2. A través del diagrama de 
Venn se tiene
A } • {(2011; 2011K (2011; 2012), (2012; 2011),
(2012 ; 2012 )}
Ahora, citarem os las fu n c io n es/: A —> A con 2 
H rm entos.
/ 1= {(2011 ; 2011 ), (2012 ; 2011 )} 
/ 2= {(2011 ; 2011 ), (2012 ; 2012 )} 
/3 = {(2011 ; 2012 ), (2012 ; 2011 )} 
/4= {(2011 ; 2012 ), (2012 ; 2012 )}
Se observa que son 4 funciones.
 C la v e (C
P R O B L E M A N.° 2
Si el siguiente conjunto/= {(2 ; 7), (3; 4), (2x; x), 
(x; 2x), (3; x 2- 5 ) } representa a una función, cal­
cule la suma de elementos del dominio.
/ ) - 4 B) - 3 C) 2
D) 4 É) 14
Resolución
Com o/es función, además (3; 4) e / y (3 ;x2—5) e / 
4 = x 2- 5 —» x 2 = 9 (x= 3 v x = -3 )
Luego 
Si x= 3
—> /= {(2 ; 7), (3; 4), (6; 3), (3; 6 )} no es función.
Si x = - 3
—> /= {(2 ; 7), (3; 4), ( - 6 ;- 3 } , ( - 3 ; - 6 } } es función 
Como D om /= {2; 3 ; - 6 ; - 3 } , las sumas de sus 
elem entos es 2 + 3 + (- 6 ) + ( - 3 )= - 4 .
C l a v e (A)
Func ItJNI s
P R O B L E M A N .° 3
El dominio de la función g real de variable real con 
regla de correspondencia g ^ = y f x está Incluido 
en el conjunto U = { - 4 ;—9 ;—1; 0; 1; 2; 4 ; 9; 10; 16}. 
SI los elementos del rango son enteros, indique su 
mayor suma.
A) 4
B) 5 
,C ) 10
D) 14 
[) 16
Resolución
Como g: Domg c : U -+ Z , entonces Domg={0; 1; 
fl; 9; 16}.
Además nos interesa que g(x )= V x e Z .
Luego
S lx - 0 ^ g(0)= VÓ = 0 y (0 ; 0) e g
Si x = l —» g(1)= V I = 1 y (1; l ) s 9
S Ix= 4 -> g(4)= V 4 = 2 y (4; 2) G g
Sí x = 9 '—» g(9)= V 9 = 3 y ( 9 ; 3 ) e g
Si x= 16 —> g{16j= V l6 = 4 y{16; 4) g g
Ahora g = {(0 ; 0), (1; 1}, (4; 2), (9; 3), (16; 4 )} y 
Rang={0; 1; 2; 3; 4}.
. . 0 + 1 + 2 + 3+ 4 = 10
C l a v e ( c )
P R O B L E M A N .° 4
SI / y g son funciones, tal que
A) 12 B f 14 C) 15
D) 24 / E) 26
Resolución
Del gráfico se observa que
/ (1)~6 /{2) = 5 /(3) = 7 /(4) = 6 
Luego
M = “ ^ + / (3 r / (4 )+ 9 (/p))
i
M = | f ,+7- 6 + a 2
12
-+ M = l + l + 12 = 14
 C la v e ( B )
P R O B L E M A N .° 5
Halle el rango dé la función/, tal que 
/ : {1 ; 2; 3; 4 } —» B
x -> 3 * '2
A) {1; 3; 9; 27} B) {V 3 ; 1; 3; 9} C) {0 ; 1/3; 1; 3)
D) {0 ; 1; 3; 9} ^ E } {1/3 ; 1; 3;
7/
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
Del dato se obtiene que
f {x] = 3 X~2; x e {1 ; 2 ; 3; 4 }= D o m / 
SI X - l / (1) = 3 -1 = 1/3 ; (1; 1/3) e / 
S¡ x = 2 —> /(2) = 3 °= 1 ; (2; 1) e /
Si X=3 —» /(3) = 31 = 3; (3; 3) G / 
S ix = 4 —> /¡4) = 32= 9 ; (4; 9) G / 
> / = { ( ! ; 1/3), (2; 1), (3; 3), {4; 9)} 
R a n /= {l/3 ; 1; 3 ; 9}
_C L A V E ( E )
P R O B L E M A N .° 6
¿Cuántos elem entos enteros presenta el dom i­
nio de la función real de variab le real 
fw = yfx + l + ^ J l l - S x - x 2?
A) 3 
D) 6
Resolución
B) 4 4 5
E) 8
P R O B L E M A N .° 7
S i/ e s una función constante, tal que 
3 / ( i ni + 8
= 4 / ca lcu le/(20i 2)-
/(12) — 1
B) 2011 C) 14 
E) 8
A) 2012
y ( 12
Resolución
C o m o /e s constante, su regla de corresponden­
cia será de la siguiente forma.
/(x) = c / ( io )= c ;/ ( i2 ) = c v h 2012)= c
Reemplacem os en el dato.
3 c+ 8
 = 4 3 c + 8 = 4 c - 4 + + c = 1 2
c - 1 .
/(2012) = 12
CLAVE Í D ,
P R O B L E M A N .° 8
La gráfica de la función g que tiene por regla de 
correspondencia a = -------1— 1= es
Hallemos el dominio de/. A) Y B) Y
/ e R ++ x+ 1 > 0 y l l - 3 x > 0 2 '
11
++ X > -1 A ---> X
3
X X
11
++ - l < x < — 
3
C) Y
2 r
D o m / = [- l ; 11/3]
I liego, los elem entos enteros son 
- 1 ; 0 ; 1; 2 y 3 (en total cinco)
- 2 X
CLAVE (C. - 2
/H
FUNCION! %
Resolución
\ X \ x
C o m o g ..= - — - + -— ; ; Rang = ] 
U) x Ix
• - { 0 }
9{X)~
-+
-+ ?(*)
X X
- + x > 0 
x x
- X X
— + — ; x < 0 
x - x
1 + 1; x > 0 
—1 + (—1); x < 0
2; x > 0 
- 2 ; x < 0
Su gráfica es
Resolución
Por dato fyxj= x 3 + ¿ .
De! gráfico/7(_ 2) = - 7 y h ^ = a . 
Luego
6(_ 2) = { - 2 )3 + b = - 7 b= 1
/j(4j = {4) +6 = 0 —» o = 65
También del gráfico Ran6 = [- 7 ; o> =[-7 ; 65>.
Nota
Cuando x se acerca a 4 por la izquierda 
su imagen se acerca a 65, pero si x * 4, 
entonces * 65. En forma práctica 
para saber el mayor extremo de! rango 
se puede calcular h^ .
_C L A V E ( D )
CLAVE
P R O B L E M A N .° 10
Sea/(Xj = m x+ 6 una función lineal. Si 2/(0j, 
calcule
P R O B L E M A N .° 9
Indique el rango de la función h con regla de 
correspondencia 6 (x)= x3 + 6 y cuya gráfica se 
m uestra a continuación.
A) [- 7 ; 65]
B) [- 7 ; 9)
C) J - 7 ; 9] 
j f [ - 7 ; 65)
E) [- 7 ; 63)
A) -1 
D) 2
/B) 0 C) 1
E) 1/2
Resolución
Tenemos que/¡xj= m x+ 6
f [ i )= m + b A /(o r b 
Com o/(1) = 2/{0) -+ m + b = 2 b - » m = b.
Luego , / (x)=fax+6
/(_1j " - 6 + 6 = 0
_C L A V E ( B )
/'»
IUMBRERAS EDITORES
P R O B L EM A N .° 11
Calcule el área de la región generada por la grá- 
3
(lea de la función /(x )= - - x + 6 y los ejes coor­
denados.
A) 18 u2 B) 15 u2 y ó , 12 u2 
D) 9 u2 E) 6 u2
Resolución
Esbocemos la gráfica de = ~ - x + 6 ,
Tabulamos algunos valores.
X /(*)
0 6
4 0
El área de la región § es
s = l ^ U2 -> § = 12u2 
2
-Clave (C)
............................................................................................................." h
Resolución
La gráfica d e / (Xj = 2x2- x es una parábola que 
abre hacia arriba \ J , pues su coeficiente prin­
cipal es positivo: 2, cuyo vértice es V=[h; k), 
dondeft = X l^ * 2 a k=f^hy
Calculam os las ra ícesx^ x2 de/(x).
/(x) = l-) “ i* 2x2- x ~ 0 
-> x { 2 x - l )= 0 
—» x = 0 v 2 x - l = 0 
—> x x - 0 v x 2 = 1/2 
Luego
CLAVE ( D
P R O B L E M A N .° 13
S e a /{x)= x3-o x + ¿ i una función cúbica cuya grá­
fica se m uestra. Calcule ab.
P R O B L EM A N .° 12
Halle las coordenadas del vértice de la gráfica 
do la funció n/w = 2x2- x .
y : -O
' 3
Fu n c io n i ••
Rofolución
í )<’ la gráfica d e / s e tiene 
/(0) = 3 b = 3
/(_3, = 0 - » -2 7 + 3 o + 6= 0
- » 3 a —2 7 - b -» a=S 
o¿ = (8)(3) = 24
C la v e (A ,
P R O B LEM A N .° 14
I '.boce la gráfica de la función 
/ m = x 2- 4 x + 3 ~ Q t. ■
- 1 . . V X
Resolución
La gráfica de f e s una parábola que abre hacia 
arriba \ J , pues su coeficiente principal es posi­
tivo 1. Para hallar su vértice podemos com plr 
ta r cuadrados. Así
/ (x) = x 2- 4 x + 3 = x 2- 4 x + 4 ~ 1
f{x]=(x ~ 2)2+Q ) 
i t
h k
Luego, el vértice es V={2 ; - 1 ) .
Para hallar los interceptos con los ejes procede 
mos así
• Eje K n Gf. H acem o sx= 0 —> y ~ f ^ = 3
• Eje X n Gf. Hacemos y = 0 y = /(x) = 0
- » x 2- 4 x + 3 = 0
— ̂ X j = l ; x 2 = 3
Luego, Gf es
C l a v e ( A
81
LUM BRERAS EDITORES
P R O B L E M A N .° 15
SI la gráfica d e /e s
Esboce la gráfica de g(x)=f{x- i ) + l-
A)
-1
1/
B)
X
y
\ - i N ' X
C)
D)
Resolución
De la gráfica de / obtenemos la gráfica de g: 
Q{x)=f{x- i)+ . 1- Así, la gráfica d e /s e traslada una 
unidad a la derecha, luego sube otra unidad. 
Gráfica de g:
P R O B L E M A N .° 16
Esboce la gráfica d e / jx)= |x 2- 2 x j .
A) Y f B) V
D) e) y+
Resolución
Tenemos que g ^ ~ \ x ¿ - 2 x \ = \ x (x -2 ) \ . Luego, 
podemos esbozar la gráfica de g a partir de la 
gráfica d e /M = x (x - 2 ) .
Así
Nótese que al tom arle valor absoluto a 
/(X)= x { x - 2 ), la parte gráfica donde/¡X) < 0 se re 
fieja respecto al eje X.
C l a v e (C
H2
/
F u n c io n a
P R O B LEM A N.° 17
Sea/ una función cuya gráfica se m uestra. Esbo- 
iü la gráfica de h{x)= f{1_ x) + 2.
A) Y 8 ) ' Y ‘
Resolución
De la gráfica de / jxj obtenemos la gráfica il«» 
f(x+ iy entonces G^se traslada una unidad a la 
izquierda.
Luego, cambiamos x p o r - x para obtener
/(_x+1)= /(1_ x), entonces la gráfica d e / ( x ( ] , u
refleja con respecto al eje Y.
Finalm ente, sumamos 2 a / ( i- * ) para obt<*n<*i 
/(i _ x) + 2; entonces toda la gráfica sube tln%
unidades.
H i
Lu m b r e r a s E d it o r e s
P>
A) 12 u2 
D) 6 u2
B) 10 u2 s Q 9 u2 
E) 4,5 u2
tesolución
a gráfica de /co rresponde a una función valor 
bsoluto, abre hacia abajo y se traslada 2 unida- 
les a la derecha y sube m unidades, luego
f(x)= m ~ l * - 2 | —» 3 - \ x - n \ = m - \ x - 2 \
> m = 3 a n = 2 -*■
;ntonces,/(X) = 3 - | x - 2 | .
uego, la gráfica de f e s
§ —— u - 9 u
2
C la v e CC
P R O B L E M A N .° 19
Sea la gráfica de /
Si 9 [ x ] ~ f { z - \ x \ y calcu le ff(o) + 9(-z j- 
B) 2A) 0 
D) 6
Resolución
De la gráfica d e /ten e m o s que
/(o) = 1 A /(2) = 3 
Como 9'(x)=/{2-|x |)' entonces
0 (O )= / (2 - O ) = / ( 2 ) = 3
3 ( - 2 ) = / ( 2 - | - 2 | ) = !/(0) = 1
■■■ 0(0) + Sr(-2) = 3 + 1 = 4
4 
E) 8
C la v e (C
P R O B L E M A N .° 20
Se tiene la gráfica d e /
H4
H *t- FUNCIONIS
B) Y Como h es par reflejam os esta curva con rosptn 
to al eje Y.
_CLAVE ( f )
Resolución
Nótese que
h{. x )= f {l_ x h í ) = f { l x h l ) = h {x] 
Entonces, h es una función par.
Luego hallam os ¡a gráfica de h para x > 0. 
x > 0 :/7 m = /(x- d
P R O B L E M A N .° 21
S e a n /y g dos funciones, tales que 
/ w = 2 x - l ; x e ( - 4 ; 6] y 
g = { ( - 3; 0), (—2; 4 ), (1; 2), (4; -1 ) , (6; 0)}. 
Calcule el valor de M.
M = ( f - g ) w + ( f o g ) {_2]
A) - 1
D) 3
$ 0 C) 1 
E) 4
Resolución
Debemos calcular M.
M = f(4)'9(4)+/(g(_ 2))
Tenemos que
/(4}=7; Q{4)= _ 1 ; Sr(-2) = 4 
Luego
/W = {7 H - l)+ / (4)= - 7 + 7= 0 
-> M = 0
 C l a v e ( j j V
8b
Lu m b r e r a s E d it o r e s
*
P R O B L E M A N .° 22
Dadas las fu n c io n es/y g, ta les que /(jr) = 2 x2 
x e ( - 2 ; 2] y gw