Ejercicios resueltos de Estática

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índice
*M PRESENTACIÓN..........
" * INTRODUCCIÓN ..Y.......
T i ESTÁTICA
Conceptos previos........
Equilibrio mecánico
Fuerza.....................
Interacción..............
Fuerzas usuales.....
Descomposición rectangular de fuerzas
Condiciones del equilibrio mecánico (CEM )......
Primera condición del equilibrio mecánico
Caso de dos fuerzas................................
Caso de tres fuerzas................................
Segunda-Condición del equilibrio mecánico
Momento de una fue
Momento resultante
Fuerza de gravedad ( f g )
Fuerza de tensión (t ) 
Fuerza elástica ( f £) ...
Diagrama de fuerzas
Operaciones con fuerzas.... 
Fuerza resultante (Fr )
Fuerza de rozamiento...................................................................................................... 31
Fuerza de rozamiento estático ( f s ) ....................................................................... 32
Fuerza de rozamiento cinético \ f k ) ...................................................................... 32
T il PROBLEMAS RESUELTOS
Nivel básico...................................................................................................................... 34
Nivel intermedio.............................................................................................................. 81
Nivel avanzado................................................................................................................... 105
PROBLEMAS PROPUESTOS
Nivel básico........................................................................................................................ 133
Nivel intermedio............................................................................................. 142
Nivel avanzado................................................................................................................... 146
CLAVES................................................................................................................................ 155
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................... 157
ESTÁTICA
.............................................................. i »
Cuando observamos los objetos en los diferentes lugares hay algo muy frecuente: el estado de 
reposo.
La madera sostiene el 
vaso.
La soga restringe el movi­
miento de la carreta.
Los pernos fijan la piza­
rra, muy pesada, en la 
pared.
El cartel reposa en el pos­
te rígido con los pernos 
empotrados.
La varilla entre las esca­
leras evita que estas se 
abran.
Hay múltiples situaciones como estas, y debemos notar que los cuerpos que están alrededor son los 
que permiten el estado de reposo.
• Si el poste que sostiene el cartel fuera tan delgado como el lapicero, ¿se animaría a pararse debajo?
• Con pernos del tamaño y de la resistencia de los chinches, ¿la pizarra se caería?
• ¿El dueño de la carreta podría usar una estaca de 5 cm en un suelo arenoso?
Es así que los cuerpos del entorno y su capacidad (resistencia) para evitar (restringir) el movimiento 
juegan un papel importante si buscamos mantener un cuerpo en reposo. Por ello revisaremos las 
condiciones que se cumplen en cada caso.
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Lu m b r e r a s E d it o r e s
CONCEPTOS PREVIOS
EQUILIBRIO MECÁNICO
MRU Rotación uniforme
En los tres casos, los cuerpos permanecen estables, es decir, no hay movimiento o cambio de mo­
vimiento de forma repentina; a diferencia de los cuerpos cuando están en un móvil con velocidad 
variable como las combis.
¿La persona B se animaría a reci­
bir una taza con café caliente? 
¿La persona A al caminar hacia la 
puerta podría mantener sus ma­
nos en los bolsillos?
En ambos casos, probablemente, diríamos que no, ya que la combi “nos sacude” al cambiar su velo­
cidad; pero si es un bus interprovincial con 110 km/h de velocidad constante, estaríamos estables, 
tomaríamos el café y caminaríamos tranquilos. Por lo tanto, no importa el módulo de la velocidad, 
sino que esta cambie o se mantenga constante.
el estado mecánico 
Equilibrio es j está en
mecánico
en el cual un cuerpo 
y/o sistema
■ Reposo 
* MRU
■ Rotación 
uniforme
FUERZA
Es un vector que representa la acción física de un cuerpo sobre otro: empujar, jalar, atraer, presionar, 
sostener, repeler, golpear, etc. Su unidad de medida es el newton, cuyo símbolo es N.
J Z
equivale a F=
Este vector representa lo que 
la mano hace con el bloque.
12
Es t á t ic a
Ejemplo
En el siguiente gráfico, ¿cuántos cuerpos hay?
La respuesta sería cuatro cuerpos: 
la canasta, la mano que aplica Fv el
viento
viento que aplica F2 y la Tierra que 
aplica F3.
INTERACCION
Cuando un cuerpo actúa sobre otro se da una acción física mutua, recíproca; aunque nuestra aten­
ción, por lo general, se centra solo en una de estas acciones (fuerza).
•!*
La mano aplica una fuerza al balde para 
elevarlo, pero también el balde aplica una 
fuerza a la mano que tensa los músculos.
Para un análisis de estas fuerzas realizamos una separación imaginaria. Veamos a la esfera en el 
plano inclinado con la mano.
separación imaginaria
Entre los cuerpos que interactúan surgen dos fuerzas que tienen las siguientes características:
• Son colineales.
• Son opuestas en dirección.
• Tienen igual módulo.
F (M/E) = F {E/M)
f (m/e): fuerza de la mano sobre la esfera 
f (e/m )'- fuerza de la esfera sobre la mano 
• Actúan en cuerpos diferentes, generando efectos diferentes.
Todo lo anterior se conoce como la tercera ley de Newton o ley de acción y reacción.
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L u m b r e r a s E d it o r e s
FUERZAS USUALES
Entre los diferentes cuerpos se presentan múltiples fuerzas; cuando interactúan, de todas ellas hay 
algunas con nombre propio por ser frecuentes. Presentamos las siguientes:
Fuerza de gravedad ( f g )
Es el resultado de la interacción entre la Tierra y los cuerpos de su alrededor. Es de tipo atractiva, es 
decir, vertical hacia abajo.
La Fg se gráfica a partir del centro de gravedad 
(C.G.) del cuerpo. Su ubicación depende de la dis­
tribución de la masa en la extensión del cuerpo.
Su módulo viene dado por
Fa=M g ; unidades: Fa : N; M : kg; g :m /s
)M
k
Ejemplo
Si el módulo de la Fg para un cuerpo de 1 g es 10* N, calcule x. 
Resolución
La masa debe estar en kilogramos, entonces debemos recordar que
1 kg = 1000g - > l g = —— kg = 10_3kg 
1000
Ahora
Fg= M g -> 10x=10~3-10 
10x= 1 0 “2 
x = - 2
l i O bservación —
Para cuerpos homogéneos, es decir, aquellos donde su masa se distribuye uniformemente en toda 
la extensión del cuerpo, su centro de gravedad (C.G.) se ubica así:
14
Es t á t ic a
Fuerza de tensión [t )
Es el resultado del incremento de las interacciones internas en una cuerda cuando es estirada.
A lo largo de toda la cuerda, la fuerza interna se incre­
mentó en 75 N, es decir, la fuerza de tensión es 7 = 75 N.
En el gráfico se representó la fuerza que la cuerda aplica a la persona para que esta no caiga. 
Ejemplo
En el gráfico, la cuerda cuelga del clavo y le aplica fuerza hacia abajo (jala). Además, la cuerda sostie­
ne el bloque y le aplica fuerza hacia arriba (jala).
¿Son fuerzas de acción y reacción?
Resolución
No, ya que se trabajó con la fuerza que la cuerda aplica al clavo y al bloque, no se analizó fuerzas 
mutuas entre los dos cuerpos.
Son fuerzas de igual módulo de direcciones opuestas pero son transmitidas a lo largo de la cuerda y 
no son de un cuerpo sobre otro.
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Lu m b r e r a s E d it o r e s
Fuerza elástica {FE )
Se presenta en cuerpos elásticos cuando se les deforma como resultado del incremento de las inte­
racciones internas.
 «o-------- 1
FEf — x —f
- ^ M S L S L m S i L ñ j ^
d0: longitud natural, cuando no hay deformación 
El resorte comprimido empuja buscando recuperar 
su f!0; mientras que el resorte estirado jala buscan­
do recuperar su $0.
Experimentalmente se obtiene
Fe =K-x
Donde
x : deformación del resorte (cm; m)
( N N
K: constante de rigidez del resorte — ;—
V cm m
Interpretación de la constante de rigidez
Si K = 200 N/m, entonces significa que por cada 1 m que se le deforme al resorte, este aplica una Fe 
de módulo de 200 N.
N 200 N N —
Pero también K = 200— = ---------- = 2— ; entonces por cada 1 cm de deformación, la FE generada
es de 2 N. 
Gráficamente
m (100 cm) cm
x = l cm
[Fe=2 N
16
Es t á t ic a
DIAGRAMA DE FUERZAS
También llamado diagrama de cuerpo libre (DCL). Consiste en representar todas las fuerzas sobre un 
cuerpo o sistema.
Ejemplos
En la figura 3, la cuerda (1) sostiene la polea y se representan dos fuer­
zas desde los extremos derecho e izquierdo; como cuando una per­
sona hace "patita de gallo": la fuerza se distribuye en ambos brazos.
Por otro lado, sobre la polea ideal no dibujamos la Fg porque su masa 
es despreciable. y F 2 son las fuerzas en cada brazo y F sería la carga 
en nuestras manos.
Cuando una superficie es lisa, no se opone de forma alguna a que un cuer­
po resbale al estar apoyado en tal superficie.
Rp\ fuerza de reacción del plano inclinado; por ser superficie lisa se gráfica 
perpendicularmente a ambas superficies en contacto.
Se debe tener en cuenta las superficies en contacto, más aún sin son puntas o esquinas como en los 
siguientes casos.
"patita de gallo"
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L u m b r e r a s Ed it o r e s
• k
A continuación se muestran los diagramas de fuerzas respecto a
a punto de volcar
lisa
cada caso.
estirado
superficie
lisa
La cuerda sostiene la barra, ya Como está a punto de volcar,
que por ser lisa podría resba- solo se apoya en la esquina,
lar y terminar sobre el piso. Además, R es perpendicular
a la barra.
OPERACIONES CON FUERZAS
Luego de saber dibujar las fuerzas sobre un cuerpo, ahora veamos las operaciones más importantes. 
Fuerza resultante ( f r )
Es la fuerza que equivale a un grupo por producir igual efecto. Veamos lo que pasa con dos esferas 
sobre una superficie horizontal.
v=0
i #
v=0 /
El resultado de aplicar dos o más fuer­
zas sobre un cuerpo se puede lograr con 
una sola fuerza, a la que se le denomina 
fuerza resultante.
Hacemos la separación ima­
ginaria para analizar cada 
cuerpo.
18
Es t á t ic a
Matemáticamente
FR - F 1 + F2 +...
Forma geométrica
¡Suma vectorial!
Entonces se ordenan las 
fuerzas, una a continuación 
de otra, y la FR va del punto 
inicial al final.
O bservación
La Fr no es una fuerza adicional, sino es aquella que equivale al grupo de fuerzas 
actuantes.
Casos
Fr = 10 N
Se sumaron los mó­
dulos de las fuerzas.
21 N
Fr 8N
Fr = 13 N
Se restaron los mó­
dulos de las fuerzas.
| 6 N
8 N
Fr = IO N
Se aplicó el teorema de 
Pitágoras con el módu­
lo de las fuerzas.
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Lu m b r e r a s E d it o r e s
Descomposición rectangular de fuerzas
Así como un grupo de fuerzas puede ser equivalente a una sola FRl también una fuerza se puede 
reemplazar por dos o más para un mejor análisis.
Para un mayor análisis de F, 
realizamos la descomposición 
rectangular.
Por acción de F, el coche 
puede avanzar sobre el 
piso pero también po­
dría alzar vuelo.
F1 y F2 son componentes de F. 
F j produce el desplazamiento 
del vehículo sobre el piso.
F2 tiende a producir que el 
vehículo se eleve.
Ejemplos
1. Si sobre el costal la FR es vertical hacia arriba y de 20 N módulo, calcule el módulo de F y la 
medida del ángulo a . (g = 1 0 m/s2)
Resolución
Realizamos la descomposición de F .
equivale a
í condición del 
Fr i problema 
m { (Fr = 20 N)
20
Es t á t ic a
En la horizontal, no hay FR 
Fx= 50 N
En la vertical
FR=Fy- F g
Resolución
(I)
2 0 = F y - 3 0 N
Fy= 5 0 N ( I I )
De (I) y (II)
F =50 N
F = 50V2 N y cc=45°
2. Mientras el collarín de 4 kg se mueve sobre 
la varilla lisa, la F R sobre él es horizontal. 
Calcule el módulo de FR y la reacción de la 
varilla cuando el collarín pase por P.
(K = 150 N/m; g = 1 0 m/s2)
d0~30 cm 
P--------------
Cuando el collarín pasa por P, el resorte 
mide 50 cm; es decir, se encuentra estirado 
x= 2 0 cm .
Luego en el diagrama de fuerzas actúan 
tres fuerzas, de tal manera que su resulta­
do será horizontal, entonces en la vertical 
no hay resultante.
Analizamos fuerzas realizando el cálculo de 
fg Y ff-
Fg= M g = 4 -1 0 = 4 0 N 
Fe = K x = 150 0,2=30 N
Como la Fr sobre el collarín es horizon­
tal, entonces en la vertical las fuerzas dan 
como resultante nula.
—> /? = 22 N (para anular las fuerzas 
en la vertical)
Y en la horizontal 
Fr =24 N
\~Fr | = 24N y |fi| = 22N
21
Lu m b r e r a s E d it o r e s
lílsll CONDICIONES DEL EQ UILIBRIO M ECÁNICO (CEM)
PRIMERA CONDICIÓN DEL EQUILIBRIO MECÁNICO
Referida al equilibrio mecánico de traslación, es decir, cuando un cuerpo o sistema no presenta
aceleración (o).
No presenta
a i #
di
r v=o
reposo
MRU inconstante
Para lo cual se verifica
Forma algebraica (luego de descom­
poner fuerzas si es necesario)
■ '• 
X f ( - ) = X F ( ~ >
X F ( t ) = X F ( l )
Forma geométrica (sin descomponer 
ninguna fuerza)
Se formará un polí­
gono (por lo general 
será triángulo) con las 
fuerzas, una a conti­
nuación de otra. No 
importa el orden.
%i N ota / ------------- --— -------------
El triángulo también podría formarse con cuatro fuerzas para lo cual dos de estas 
deben ser paralelas.
22
Es t á t ic a
Caso de dos fuerzas
En el gráfico, sobre la placa actúan tres fuerzas, 
pero si retiramos la mano, solo quedarían dos 
fuerzas.
S f •
Así, la placa no se mantiene en reposo y se la­
dea, ya que las fuerzas están en líneas diferen­
tes.
El equilibrio se alcanza solo cuando las dos fuer­
zas están contenidas en la misma línea.
Inmediatamente hacemos el diagrama de 
fuerzas
T=M g 
7 = 3 -1 0 
- > 7 = 3 0 N
En este caso, no importa resaltar que las 
dos fuerzas son colineales.
2. Para la placa homogénea, ¿qué distancia 
respecto de P puede sobresalir el punto 6?
Ahora sí hay reposo, además T = F g para que la 
Fr sea nula
En conclusión, si dos fuerzas garantizan el equi­
librio mecánico de un cuerpo o sistemas, estas 
son colineales, opuestas, de igual módulo.
En los problemas se presentarán casos más fá­
ciles.
Ejemplos
1. Calcule la tensión en la cuerda para el blo­
que en reposo.
Del gráfico 
3d=15cm 
—> d = 5 m
Lo que más importó en este caso es que las 
fuerzas sean colineales.
La placa apoyada en el piso estaría casi 
balaceándose pero aún en reposo, para lo 
cual encima de P deberá ubicarse al C.G.
mediana
baricentro 15 cm
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L u m b r e r a s E d it o r e s
Caso de tres fuerzas 
• Fuerzas paralelas
Para la barra en reposo
Actúan tres fuerzas y dos de estas son para­
lelas ( Fg y RP). Con esto al aplicar la prime­
ra condición de equilibrio se define la ter­
cera fuerza [Fmano). Entonces la Fmano será 
paralela a las anteriores.
Luego aplicamos FR= 0, entonces
2 F ( I ) = Z F ( I )
Rp+ Fman0 = Fg
Para resolver un problema, primero debe­
mos identificar si actúan tres fuerzas y di­
bujar dos de ellas para que la tercera enca­
je con las dos primeras y se verifique que
7 r = o.
Para la barra realizamos el diagrama de 
fuerzas
i
Primero graficamos la Fg, luego la reacción 
del techo RT, y notamos que son paralelas, 
entonces la reacción de la esquina RE tam­
bién será paralela a las anteriores.
N ota / —
Un error común es graficar a RE de forma 
perpendicular a la barra.
Esto lo solemos hacer por pensar en 
superficies lisas y que siempre la fuerza 
en el contacto debe ser perpendicular. 
Recuerda que una fuerza entre dos su­
perficies en contacto siempre será per­
pendicular cuando una de ellas o ambas 
superficies sean lisas.
¡No hay fuerzas horizon­
tales que equilibrar!
24
Es t á t ic a
Para la placa triangular homogénea en re­
poso realicemos el diagrama de cuerpo 
libre (DCL).
Luego
Debemos notar que solo el piso horizontal 
es liso y allí RP es perpendicular, además 
resulta paralela con la Fg por lo que R¡ (re­
acción del plano inclinado) también es pa­
ralela.
• Fuerzas concurrentes
Para la barra homogénea en reposo actúantres fuerzas, y al dibujar dos de estas, no 
son paralelas; por lo tanto, para el equili­
brio las tres fuerzas serán concurrentes. 
Con las dos primeras fuerzas se ubica el 
punto de concurrencia C. Entonces la re­
acción de la articulación que surge en P se 
orienta a lo largo de la línea, que une P y C. 
Luego, para resolver aplicamos la forma 
geométrica de la primera condición de equi­
librio formando el triángulo de fuerzas.
Al dibujar el triángulo, apóyate de la línea 
que trazaste al final, ya que luego debes 
ubicar la geometría para comparar los mó­
dulos de las fuerzas formando un triángulo 
de fuerzas.
Un error común es pensar que a (en el trián­
gulo de fuerzas) es 37°, pero la fuerza R no 
está contenida ni es paralela a la barra.
Observa el gráfico.
2 2
Luego, desarrollando el gráfico se tiene 
3
tana = - 
2
El triángulo sombreado es semejante al de 
fuerzas, entonces 
Fg= 3 K -» T = 2 K
En los problemas, primero identificamos 
que actúan tres fuerzas y dos de ellas (las 
que rápidamente se puedan dibujar) no 
son paralelas, así veremos que se trata de 
tres fuerzas concurrentes.
25
L u m b r e r a s E d it o r e s
APLICACIÓN 1
Para la barra en reposo, ¿a qué distancia de P se 
encuentra su C.G.?
APLICACION 2
Para la barra en reposo, determine el cociente 
que resulta de dividir el módulo de la Fg con el 
de la reacción de la articulación.
Resolución
Actúan tres fuerzas donde las dos tensiones evi­
dentemente no son paralelas entre sí ni con la 
Fg. ¡Fuerzas concurrentes!
d c .G . - c = K 'H
Con la prolongación de T1 y T2 encontramos C 
(el punto de concurrencia) y así de la Fg su línea 
de acción vertical debe pasar por C. Con esto se 
define el C.G.
Trabajando la geometría de los triángulos rec­
tángulos tenemos
¿ b a r r a d
80 cm=4/C 
K = 2 0 cm
Por lo tanto, el C.G. de la barra está a 20 cm del 
punto P.
Resolución
Actúan tres fuerzas: 7 , Fg y R. Las dos primeras 
no son paralelas, por ello las tres serán concu­
rrentes.
Al completar el triángulo de fuerzas utilizando 
la línea de acción de R, se forma el triángulo 
isósceles, entonces R = F g.
26
Es t á t ic a
SEGUNDA CONDICIÓN DEL EQUILIBRIO MECÁ­
NICO
Referida al equilibrio mecánico de rotación, es 
decir, cuando un cuerpo o sistema está en repo­
so o presenta rotación uniforme.
Para analizar las fuerzas bajo este enfoque, de­
bemos revisar los siguientes conceptos.
Momento de una fuerza (M o )
Es una magnitud física que mide la capacidad 
de una fuerza para producir rotación respecto 
a un punto.
Veamos
Al jalar horizontalmente con la cuerda, ya sea 
de A o B, hay la tendencia de producir efecto de 
rotación sobre el bloque.
Si en diferentes casos aplicamos igual fuerza de 
tensión en A y B, ¿en qué caso el bloque estará 
más propenso a rotar?
El bloque estará propenso a rotar cuando apli­
camos la fuerza en A, esto por la mayor distan­
cia desde O a la línea horizontal que contiene a 
cada fuerza.
Tienes que evitar decir o pensar que la distan­
cia da fuerza, lo que sucede es que la distancia 
juega un papel importante en la intensidad o 
magnitud del efecto de rotación que una fuerza 
produce o tiende a producir.
Veamos también
10 d1
| 0 d2 \Fg T Í O N
r í f r
45 N
T F9
En ambos casos, el dedo mantiene en reposo a 
la barra, evitando que gire en sentido O respec­
to de O.
En el segundo caso, la fuerza del dedo debe ser 
mayor por tener menor distancia, entonces no 
por ser mayor fuerza podrá producir más fácil­
mente rotación, sino que influye la distancia.
Para el cálculo, siempre habrá un punto de re­
ferencia O, de donde mediremos los momen­
tos de cada fuerza (centro de momentos). Tam­
bién debemos trazar la línea de acción de cada 
fuerza.
efecto de rotación 
respecto de O
27
L u m b r e r a s E d it o r e s
La figura anterior es abstracta, pero puede ser 
un molde de cartulina en la pared de madera 
con un chinche alrededor del cual puede ser 
girada.
Gráficamente, observamos que la línea de ac­
ción de Fg pasa por O.
Entonces M F0 = 0, es decir, ni O ni C siempre 
que la línea de acción de F pase por O.
chinche
Mq = ± F -d
Unidades: N • m; N-cm 
Se usa
(+): cuando la F busca producir rotación C 
(-): cuando la F busca producir rotación O
Donde d es la distancia (brazo de palanca) des­
de O perpendicular a la línea de acción de F .
Tener en cuenta que no todas las fuerzas pue­
den producir rotación, como por ejemplo
Así como está la barra, la Fg no trata de producir 
rotación alguna.
En estos casos, la fuerza de gravedad sí presenta 
la capacidad de producir efecto de rotación.
Momento resultante {Mq S)
Es la medida del efecto neto de la rotación que 
trata de producir fuerzas en conjunto.
Mroes = l M F0
Tenga en cuenta
De algunas fuerzas su momento puede ser 
cero.
Mf0 = 0
lo cual no implica que la fuerza se anula, 
sino que respecto de ese centro de momen­
tos no puede producir efecto de rotación.
28
Es t á t ic a
APLICACION 3
Para la placa, calcule el Mq '
Resolución
Por ello, para el equilibrio de rotación se verifica 
que
R
N0 6 cm 
-q -
T, = 20 N
F2= 5 N 2 cm'
, 4 cm X
Fg= 25.N
r2=6 n
F i = l l N
Esta corta ecuación nos permite completar el 
análisis de fuerzas, junto con la primera condi­
ción de equilibrio, sobre un cuerpo o sistema en 
equilibrio mecánico.
Dicha ecuación equivale a
Como O está ubicado en la articulación observa­
mos que las líneas de acción de F lt de T2 y de R 
pasan por O, por ello
o
Luego
M } =+7"! ■d1 = +20-6 = + 1 2 0 N cm 
í giro O
M % = - F g -d = 25-5 = -1 2 5 N-cm 
í giro O
Mo = ~ f e(2) • d 2 = “ 5-2 = -1 0 N-cm
-+ Mr¿ s = 'Z M F0 = M T¿ + MF0g + M%
= (+ 1 2 0 )+ ( -1 2 5 )+ ( -1 0 )
Mq S = -1 5 N cm
De este resultado, lo que más nos importa es 
interpretar el signo. Si el momento resultante 
es negativo, implica que el conjunto de fuer­
zas, en ese instante, buscan producir rotación 
horaria desde el reposo, lo cual no es equilibrio 
mecánico.
En este caso solo se toma el valor de los mo­
mentos sin su signo.
Reflexiona antes de leer la respuesta, ¿en esta 
ecuación se vincularán a todas las fuerzas?
Como planteamos al analizar el momento, o 
capacidad de una fuerza, no siempre la fuerza 
aplicada tiende o trata de producir rotación, por 
ello sin que las fuerzas sean nulas o se equili­
bren pueden tener un momento de fuerza cero 
y así no entrarían en la ecuación anterior. Esto 
dependerá de dónde ubiquemos a O (centro de 
momentos).
Como en un problema hay incógnitas, algunas 
que se quieren calcular y otras no, y datos; si 
nos referimos a las fuerzas, nos conviene que el 
momento sea cero. ¿De quiénes?
Indudable de las que no son datos y que no 
queramos conocer, para quedarnos solo con la 
incógnita que deseamos calcular.
Por lo tanto, el punto O se ubicará convenien­
temente por donde pasen o se intersecten el 
mayor número de líneas de acción de fuerzas 
desconocidas y que no se quieran conocer.
29
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Ejemplo
Para la barra homogénea de 6 kg en reposo, de­
termine la tensión en la cuerda.
30 cm 10 cm
Resolución
De una inspección rápida se trata el caso de tres 
fuerzas paralelas.
T
Tenemos de la segunda condición de equilibrio 
I M0) = X M 0)
MT = M Fg
7-30 = 60-20 
-» 7 = 4 0 N
No fue necesario aplicar la ecuación (I)
En el gráfico de fuerzas, sobre la barra tampoco 
fue necesario la precisión de R , solo importó 
que actúe pasando por O, es decir, podríamos 
haber hecho esto.
R y
\ / C.G. r
F9
Aplicamos la primera CEM 
Fr = 0 
-> R + T = F g 
- > /? + 7 = 6 0 N O)
En esta ecuación tenemos dos incógnitas que 
no permiten que la ecuación sea resuelta. De­
bemos buscar otra ecuación que tenga las mis­
mas incógnitas, o que permita el cálculo directo 
de la fuerza de tensión.
Para aplicar la segunda CEM, debemos escoger 
el punto O y lo haremos por donde pase /?, así 
Mq = 0, es decir, no es horario ni antihorario.
20 cm 10 cm
O.
C.G.
7
10 cm ,
Fg \ = 60m £ = o
Los tres gráficos de R son incorrectos desde 
el punto de vista del correcto DCL, pero para 
el cálculo solo de 7 no genera problema, siem­
pre que apliquemos solo la segunda CEM, ya 
que en los tres casos Mq = 0.
Al ubicar O en otro punto, el resultado será el 
mismo.
20 cm ; 10 cm 10 cm
Si O está en el C.G., entonces M Fg = 0 y 
Mo = M q 
7-10=/?-20
30
Es t á t ic a
Reemplazamos en (I)
- + 7 = 60 
2
-> 7=40 N
Si O está fuera de la barra
-> M g + M j= M o «
/?• 5 0 + 7 -2 0 = 6 0 -3 0 
5/?+27=180 (II)
De (I)
R = 6 0 - T 
De (II)
5 (6 0 -7 )+ 2 7 = 1 8 0
-> 7= 40 N 
Conclusiones
• Tomando momentos en un punto distinto 
al extremo izquierdo por donde pasa R sí 
importa el gráfico correcto de R.
• Notamos que la respuesta es independien­
te de donde ubiquemos a O, pero en los 
dos últimos casos sí se usó la ecuación (I)
! i| FUERZA DE ROZAM IENTO
la pa-
Ello debido a que la tabla está empotrada en la 
pared.
Puede parecer extraño, pero es cierto y lo no­
taremos al hacer una ampliación de la zona de 
contacto.
Para que la tabla no resbale hacia abajo sobre la 
pared, ambas deben ser rugosas, ásperas.
Justamente por la presión entre las superficies, 
las rugosidades de la tabla encajan, empotran y 
engranan en las de la pared.
En los microcontactos se genera resistencia u 
oposición al deslizamiento (una superficie res­
bale sobre otra). No olvides que primero debe 
haber presión entre las superficies y también 
tendencia (intento) a resbalar.
Entonces la pared...
• soporta la presión del bloque.
• se opone a que el bloque resbale hacia abajo. 
Lo anterior se da por la reacción de la pared.
En el gráfico, F presiona a la tabla contra 
red y esta se mantiene en reposo.
31
Lu m b r e r a s E d it o r e s
%
Realizamos el DCL
Donde
//v: fuerza normal; mide la intensidad de la pre­
sión entre las superficies y siempre es perpen­
dicular a las superficies en contacto.
/ : fuerza de rozamiento; mide la oposición de 
la pared a que la tabla resbale, se gráfica en di­
rección opuesta hacia donde el cuerpo trata de 
resbalar.
Í n y / son componentes de la reacción de la
FUERZA DE ROZAMIENTO ESTÁTICO (7 s)
Actúa solo cuando entre las superficies no hay 
deslizamiento. Veamos el caso del bloque sobre 
el piso y la acción de una fuerza horizontal, cuyo 
módulo va aumentando.
A medida que F aumenta, se incrementa la 
tendencia a resbalar hasta que el bloque esté a 
punto de resbalar como en el tercer caso. 
Mientras el bloque no resbala, se mantiene en 
reposo y se cumple la primera CEM: FR= 0
Eje f N= F g 
Eje X :fs = F
caso l : / s = 10 N 
caso 2:/s = 18 N 
caso 3 :/s= 25 N
Como en este caso el bloque está a punto de 
resbalar, la f s toma su máximo valor.
La fS(máx.) depende de lo siguiente:
• La presión entre las superficies f N.
• El grado de rugosidad entre las superficies, 
que se mide con el coeficiente de roza­
miento estático ,us.
fs( máx.) - Ms/w
Es decir, el cálculo de la f s será con las condicio­
nes de equilibrio, y si el cuerpo está a punto de 
resbalar, también se usará esta ecuación.
FUERZA DE ROZAMIENTO CINÉTICO ( f K)
Actúa solo cuando una superficie resbala sobre 
otra.
La f K se gráfica en dirección opuesta hacia 
donde la superficie resbala. Cuando hay desli­
zamiento, las rugosidades disminuyen, se liman 
asperezas, por ello
Vk < V s
í coeficiente de 
rozamiento cinético
32
r
Es t á t ic a
“ > / * = M v
En este caso no se habla del máximo valor. 
Ejemplo
En cada caso, determine el módulo de la / y el 
Considere j is =0,75.
F1=10_N
 j 2 kg
no resbala
a punto de resbalar
F ,= 12 N — a
resbala con MRU
Resolución
En los tres casos, el bloque está en equilibrio me­
cánico y podemos aplicar la primera CEM FR= 0
fs( máx.)
\Fg
a u
|/ai
En los tres casos se cumple que 
f N = Fg
ya que ambas fuerzas actúan verticalmente y la 
trayectoria es horizontal o no hay movimiento
-> f N= 20 N
Caso 1 (equilibro estático)
f s = F i 
-> /S= 1 0 N
Caso 2 (equilibro estático) 
f s = F 2
Pero no conocemos F2> por ello interpretamos 
que está a punto de resbalar y la f s toma su 
máximo valor, entonces aplicamos
f s ~ f s ( máx.)
/s = Ms//V 
f s = 0,75-20 
/s= 1 5 N
Caso 3 (equilibrio cinético)
Í k = F i 
-> /^= 1 2 N
Luego aplicamos
f K = V - K ÍN 
1 2 = ^ - 2 0 
••• ^ = 0 , 6
33
PROBLEMAS RESUELTOS
N I V E L B Á S IC O Aplicamos la geometría
P R O B L E M A N .° I
Se muestra una placa triangular homogénea en 
reposo. Indique la alternativa que corresponde 
al correcto DCL de dicha placa.
- 6 cm -
A)
C)
D)
Resolución
Por estar el cuerpo en reposo y sometido a dos 
fuerzas, estas deben ser colineales, opuestas y 
de igual módulo. La línea que las contiene debe 
pasar por el baricentro de la placa triangular por 
ser homogénea.
_ C LA V E (D . 
P R O B L E M A N .° 2
Para el sistema mostrado, indique verdadero (V) 
o falso (F) en las siguientes proposiciones.
I. Sobre la esfera actúan dos cuerpos.
II. Sobre el coche actúan cuatro cuerpos.
III. Sobre el sistema coche-esfera actúan dos 
fuerzas.
A) VVV
D) FFV
B) VFV C) FVV 
E) FVF
mediana
- Y
34
Es t á t ic a
Resolución Resolución
En el problema no debemos graficar las fuerzas 
sobre los cuerpos, sino que tenemos que ver 
con qué cuerpos interactúa cada cuerpo que se 
menciona.
I. Verdadera
La esfera se apoya en el coche y es atraída 
por la Tierra. Actúan dos cuerpos.
II. Falsa
El coche se apoya en el plano inclinado, 
tiene a la esfera encima y es atraído por la 
Tierra. Actúan tres cuerpos.
III. Verdadera
El sistema se apoya en el plano inclinado y 
es atraído por la Tierra. Actúan dos cuerpos.
Sobre la esfera actúan F g y R (perpendicular 
a la superficie).
Como el dato es que la FR es horizontal, enton­
ces al tener fuerzas sobre los ejes X e V, en Y la 
resultante será nula.
Luego de descomponer R tenemos 
RY = Fg —> Ry = M g 
RY = 1,2-10
C l a v e ( B ,
P R O B L E M A N .° 3
Para la esfera de 1,2 kg, al pasar por P, la fuerza 
resultante es horizontal. Determine el módulo 
de la reacción de la superficie lisa en dicho pun­
to. (g = 1 0 m/s2)
A) 15 N
D) 25 N
B) 20 N C) 16 N 
E) IO N
Por trigonometría 
/?cos37°=12
R - - = 1 2 
5
.-. R = 15 N 
Otra forma
O
35
L u m b r e r a s E d it o r e s
Como la Fr de Fg y R es horizontal, podemos 
aplicar el método geométrico dibujando Fg a 
continuación de R para formar la FR; para ello 
nos apoyamos de la línea que contiene a R.
De manera inmediata el ángulo 37° se traslada, 
entonces
Fg = 4k = Mg = 12 N 
-» k = 3 N 
R = Sk 
R = 15 N
C la v e l A)
P R O B L E M A N .° 4
Para el instante mostrado sobre el bloque liso 
de 7 kg, la reacción del muro es de 50 N. Calcule 
el módulo de la fuerza resultante.
Al descomponer la reacción del muro que es 
perpendicular al bloque tenemos
/?/ = 40N;/?X = 3 0 N y Fg = Mg = 70 N
40 N
30 N
70 N
30 N
30 N
Fr = 30>/2N 
Otra forma
Ahora descomponemos la Fg de forma paralela 
y perpendicular al bloque
A) 20 N
D) 50 N
Resolución
B) 40 N C) 30V 2 N 
E) IO N
Luego aplicamos el teorema de Pitágoras
FR = y¡62 + 4 2 2
= V 36 + 1764
= V1800
Fr = 30-\/2 N
C la v e (C
=70 N = 5 x 1 4 N
En los nuevos ejes
perpendiculares
tenemos
R = 50 N
4 x 1 4 N
R= 50 N
36
Es t á t ic a
P R O B L E M A N .° 5
indique verdadero (V) o falso (F) en las siguien­
tes proposiciones.
I. En las interacciones, las fuerzas de acción y 
de reacción se anulan.
II. Cuando un cuerpo rugoso resbala sobre un 
piso rugoso, este le ejerce dos fuerzas.
III. La fuerza de gravedad sobre una barra pue­
de actuar en un punto diferente a su punto 
medio.
A) FVF 
D) W F
B) FVV C) VFV 
E) FFV
• actúan en cuerpos diferentes produ­
ciendo efectos diferentes.
• son opuestas.
• son de igual módulo.
• son colineales.
Falsa
El piso ejerce una sola fuerza, solo que esta 
se descompone para un mejor análisis.
equivalentes
A
Í n
Resolución
I. FalsaR
Al referirnos que dos fuerzas se anulan, es­
tas deben...
• actuar sobre el mismo cuerpo.
• ser opuestas.
• ser de igual módulo.
• ser colineales.
- v M M r :
separación
imaginaria
En el caso de las fuerzas de acción y de re­
acción son fuerzas que...
III. Verdadera
La Fg siempre actúa desde el centro de 
gravedad (C.G.) del cuerpo y si este es ho­
mogéneo y regular, el C.G. se ubica rápida­
mente por la simetría en su geometría; en 
el caso de una barra sería su punto medio; 
si no fuese homogénea, el C.G. puede ser 
cualquier otro punto.
C l a v e
P R O B L E M A N .° 6
Se muestra un bloque liso de 3 kg en reposo. 
Determine los módulos de la reacción del piso y 
de la pared, respectivamente. (g = 1 0 m/s2)
A) 30 N; 20 N
B) 10 N; 20 N
C) 30 N; 30 N
D) 20 N; 20 N
E) 15 N; 10 N
12 kg
37
U.H — míAS Ed .t o r e s
Resolución
Luego de realizar el diagrama de fuerzas para 
los bloques, aplicamos la primera CEM.
Nota
Para aplicar la primera CEM de forma 
más ágil colocamos 
Eje X: =
E jey:XF(I) = XF(j)
S¡7fi = 0 
Bloque 2
• Eje Y
T = F 9(2) 
7 = 2 0 N
Bloque 1
• Eje Y
Ri = Fg(i)
R1 = 30 N
Eje X
R-) = T
/?2 = 20 N
P R O B L E M A N .° 7
Para la cuña lisa de 2,1 kg se cumple que la reac­
ción del piso y la pared son de igual módulo, con 
ello determine el módulo de F .
A) 210 N
B) 100 N
C) 105 N
D) 50 N
E) 80 N
Resolución
Del DCL solo F es oblicua, por ello conviene que 
la descompongamos y apliquemos así la prime­
ra CEM.
F„ = 0
C la v e (Aj
Eje X: R = —F
• Eje /: R = —F + Fn
De las ecuaciones anteriores 
4 3
- F = - F + Ffí -> F = SFn
7 = 5 - 2 1 
7 = 1 0 5 N
38
Es t á t ic a
Otra forma Igualmente
R = —F 
5
R = —F + Fn
••• F = 5 F n
C la v e (C,
P R O B L E M A N .° 8
Ahora aplicaremos la primera CEM de manera 
geométrica, es decir, con las fuerzas sin des­
componer formaremos un polígono.
Recuerda que con este método no importa el 
orden en que las fuerzas vayan dibujándose. 
Forma 1
R
Por geometría
R = —F 
5
R = —F + Fn
Se muestra una esfera de 5 kg en reposo. Si se 
verifica que la relación entre la tensión en la 
cuerda y la reacción del plano inclinado es de 
2 a 3, respectivamente, calcule el módulo de la 
fuerza de tensión. (g = 1 0 m/s2)
A) 25 N
B) 20 N
C) 30 N
D) 18 N
E) 19 N
Resolución
En el problema, el ángulo del plano inclinado 
(19°) puede generar preocupación porque no 
es notable, pero lo primero es ver cuántas fuer­
zas actúan. Como son tres fuerzas, estas pue­
den ser paralelas o concurrentes.
F = 5 F n
Forma 2 ¡Estamos con fuerzas paralelas!
39
-•WIWWUo — #E1
f b = o
Fg = T + R
Pero por dato 
T 2
R = —T 
R 3 2
Reemplazamos en (I)
50 = 7 + —T
2
T = 20 N
(I)
_ C l a v e ( B )
Si la Fr = 0, entonces formamos el triángulo de 
fuerzas guiándonos de la línea que contiene a R .
F = 15 N
P R O B L E M A N .° 9
En el gráfico se muestra un coche de 3 kg que 
realiza MRU. Determine el módulo de F . 
ig = 10 m/s2)
A) IO N
B) 15 N
C) 20 N
D) 5 N
E) 15,2 N
C la v e (B
P R O B L E M A N .° 10
Se muestra una esfera de 9 kg en reposo. De­
termine la mínima deformación del resorte que 
está en posición horizontal. (/C=1500N/m , 
g = 1 0 m/s2)
Resolución
No debemos olvidar que el equilibrio mecánico 
engloba reposo, MRU y rotación uniforme para 
un cuerpo o un sistema en donde indistinta­
mente aplicamos la primera y/o segunda CEM.
En consecuencia, el coche está en equilibrio ci­
nético de traslación.
A) 30 cm
D) 10 cm
B) 80 cm C) 6 cm
E) 8 cm
40
jhsf
Es t á t ic a
Resolución
Si contamos con cuántos cuerpos interactúa la esfera, sería plano inclinado, resorte comprimido, 
tierra y techo.
Pero con este último, la interacción será dula si el resorte aplica una FE mínima, ya que a mayor 
F e la esfera presionaría más el techo. Entonces fltecho = cuando la FE y x son mínimos, mantenién­
dose la esfera en reposo.
Aplicamos la primera CEM del triángulo de fuerzas
h (mín.) ^ ^
1 5 0 0 x ^ = ^ 9 10
*{mín.) = 8 c m
4
C l a v e ( e )
P R O B L E M A N .° I I Resolución
Jn a barra reposa sobre la pared lisa sujetada 
de una cuerda. Determine la relación entre la 
'eacción de la pared y la fuerza de gravedad, 
'espectivamente.
A) 4/5
3) 3/4
£) 2/3 
5) 1/2
El 5/3
T
La cuerda sostiene la barra de dos puntos y en 
cada uno aplica la misma fuerza de tensión, 
en ocasiones confundimos el módulo de las 
fuerzas con la geometría del problema.
4 1
Lu m b r e r a s E d it o r e s
P R O B L E M A N .° 12
En el gráfico, una barra de 1,8 kg y poleas idea­
les reposan. Calcule la tensión en las cuerdas (.1) 
y (2), respectivamente. (g = 1 0 m/s2)
¡Error! El valor de la fuerza de tensión no de­
pende de la longitud de la cuerda.
La geometría entra a tallar...
• cuando se descomponen fuerzas.
• cuando se forma el triángulo de fuerzas.
• al aplicar la segunda CEM y al calcular dis­
tancias (brazos de palanca).
Ahora en el DCL de barra 
4 3
r* = S T y r ^ 5 r 
Aplicamos
Fo = 0
EjeX: R = - T
E je / : Fa = —T + T
Fn = —T
En consecuencia
-T
Fg 2
A) 9 N; 18 N
C) 2 N; 4 N
D) 3 N; 6 N
Resolución
B) 6 N; 3 N 
E) 10 N; 5 N
C l a v e ( D )
Como se tratan de poleas ideales, entonces
^polea
Analizamos el sistema conformado por la polea 
A, la polea B y la barra. Dicho sistema solo está 
sostenido por la cuerda (2) de tres puntos.
Fr = 0 
-> 3 T2= F g 
372 = 18 
T2= 6 N
42
Es t á t ic a
Para la polea A
-> Fr = 0
2T1 = T2 
2 7 í= 6 
7‘1= 3 N
P R O B L E M A N .° 13
La barra lisa es de masa despreciable y reposa 
con el resorte estirado 10 cm. Determine el mó­
dulo de la reacción en A si en la articulación es 
de 20 N. (K=180 N/m)
A) 2 N B) IO N C) 28 N
D) 38 N E) 8N
Resolución
Sobre la barra solo dibujaremos tres fuerzas: 
Fe , Ra Y flart.- N ° graficamos Fg porque la masa 
es despreciable.
Entonces podemos tener fuerzas paralelas o 
fuerzas concurrentes.
t 2
C la v e (D)
En el DCL, Ff y RA son paralelas; por ello, /?art se 
gráfica también paralela.
Luego aplicamos la primera CEM
Fr = 0 - > I F ( \ ) = I F ( \ )
r a = R an. + f e
R A = R art. + K x
Ra = 2 0 + 180 0,1 
«^ = 38 N
C l a v e ( D )
P R O B L E M A N .° 14
En el sistema, la esfera y la barra son de 4,8 kg. 
Determine la reacción del piso que es de doble 
módulo que la de la articulación. Considere su­
perficies lisas. (g = 1 0 m/s2)
A) 40 N B) 48 N C) 32 N
D) 50 N E) 64 N
43
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
Al haber dos cuerpos una posibilidad de análi­
sis sería realizar una separación imaginaria para 
dibujar y calcular la reacción entre la esfera y la 
barra o la tensión en la cuerda. Pero en el pro­
blema piden la reacción del piso, por ello anali­
zaremos el sistema.
En consecuencia tenemos sobre el sistema fuer­
zas paralelas, cumpliéndose
Fr = 0
- > Rp + fígrt. = Fg[s\st.) (0
Condición del problema
rt.
 v D _ RPWart.“ —
Reemplazamos en (I)
RP + - ^ = M (sis,t.y9
1 r p = (2 -4 ,8)10 
Rp= 64 N
_ C la v e ( ¥ )
P R O B L E M A N .° 15
Del problema anterior, calcule la tensión en la 
cuerda.
A) 25 N B) 14 N C) 48 N
D) 50 N E) 7N
Resolución
Para cada cuerpo actúan los siguientes cuerpos:
• Esfera: cuerda, barra y tierra
• Barra: piso, articulación, esfera, cuerda y 
tierra
Entonces más fácil es analizar a la esfera
T \
Luego de graficar las tres fuerzas sobre la esfera 
y formar el triángulo de fuerzas tenemos
cot74°= —
F9
24 ~ 48 
7=14 N
_ C l a v e ( § )
4 4
Es t á t ic a
P R O B L E M A N .° 16
Se muestra una barra de 2 kg sobre superficies 
lisas. Si el módulo de F es igual que el de la re­
acción en B, calcule la reacción en A.
(g = 10 m/s2)
Luego aplicamos
A) IO N 
D) 25 N
B) 15 N C) 20 N 
E) 5N
Resolución
Sobre la barra actúan cuatro fuerzas y conviene 
aplicar la descomposición y tener solo fuerzas 
horizontales y verticales.
Como F = R b y ambas forman ángulos de 37° y 
53° con la horizontal, entonces 
F = R r= 5 K
Fo=0Eje X
4 K = 3 K + Ra 
Ra = K 
Eje Y
4 K = 3 K + F„
Fg= K
Entonces 
*A = Fg 
.-. ^ = 20 N
C l a v e ( C
P R O B L E M A N .° 17
Para la esfera de masa M en reposo, calcule el 
máximo valor de F . Considere superficies lisas.
A) Mgsena
C) /VJgtana
D) Mg seca
B) Mg cosa
E) M gcota
Resolución
Por acción de F , la esfera tiende a trepar la 
rampa y así perder contacto con el piso. Pero 
se debe asegurar el reposo, entonces no debe 
subir y F será máxima cuando la reacción del 
piso sea nula; por lo tanto, la esfera está a punto 
de subir.
45
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
Sobre la barra actúan tres fuerzas que concu­
rren en el C.G. ya que está apoyada justo desde 
tal punto en el muro A.
max.
max.
Al formar el triángulo de fuerzas tenemos
ta n a = 5ná2L
Fn
Fmáx=M g ta n a
P R O B L E M A N .° 18
C la v e
Se muestra una barra en reposo, de tal modo 
que los módulos de las reacciones en A y en la 
articulación son iguales. Determine la medida 
del ángulo a .
Del triángulo de fuerzas se tiene 
a = 4 5 °
C la v e
P R O B L E M A N .° 19
Para la barra de 1,6 kg en reposo, determine el 
módulo de la reacción en A. Considere que la 
tensión en la cuerda es de 29 N. (g = 1 0 m/s2)
A) 30° 
D) 37°
B) 45° C) 60° 
E) 43°
A) 16 N
B) 29 N
C) 13 N
D) 12 N
E) 11 N
46
Es t á t ic a
Resolución
Sobre la barra actúan tres fuerzas paralelas por 
estar la cuerda de forma vertical.
Fr = 0
R + F g= T 
R + 16=29 
R = 13 N
P R O B L E M A N .° 20
C la v e (C
Para el sistema mostrado, calcule el módulo de 
la tensión en la cuerda (1). (g = 1 0 m/s2)
A) 50 N
D) IO N
B) 20 N C)' 40 N 
E) 30 N
Resolución
Las cuerdas (1) y (3) sostienen al sistema forma­
do por los bloques y las otras cuerdas. Por ello 
aplicaremos la primera CEM al sistema.
Del DCL, aplicamos de la primera CEM.
Entonces
Fg( s¡st.) = 4 ^ = 4 0 N 
7"1 = 3/C = 30 N
C l a v e
P R O B L E M A N .° 21
Del problema anterior, calcule la tensión en la 
cuerda (2).
A) 60 N
C) 50 N
D) 40 N
B) 30V2N 
E) 30 N
47
L u m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
Analizamos el nudo entre las cuerdas (1) y (2).
Para las fuerzas que actúan en el nudo, tenemos
Fr= O -
T2 = 30y¡2 N
C l a v e ( b )
P R O B L E M A N.° 22
Para el sistema mostrado en reposo, determine 
la deformación del resorte K= 125 N/m.
(g = 1 0 m/s2)
A) estirado 20 cm
B) comprimido 30 cm
C) comprimido 20 cm
D) estirado 30 cm
E) estirado 10 cm
Resolución
Por la diferencia de masas entre los bloques, es­
tos comprimen al resorte.
Primero analizamos el sistema
De Fr = 0 para el sistema 
2(7’1+ r 2) = Fg(sist.) 
2(7‘1+7'2) = 90 N 
-> 7^+72= 45 N
Para A
Fr = 0 -> T1 + T2 + FE = Fg{A)
45 + K x= 70 
125 x = 25
x = — m = 2 0 cm 
5
_C LA V E (C)
48
Es t á t ic a
P R O B L E M A N .° 23
Se muestra un bloque liso que realiza MRU. De­
termine el módulo de F si es de igual valor que 
de la reacción de la superficie, además indique 
la medida del ángulo a . (/W=4 kg, g = 10 m/s2)
A) 30 N; 16°
B) 50 N; 11°
C) 40 N; 8o
D) 20 N; 10°
E) 25 N; 16°
Resolución
Como de las tres fuerzas dos de ellas son de 
igual módulo, entonces el triángulo de fuerzas 
será isósceles.
-+ F = 25 N 
Del gráfico
0 + a = 53° - > 37° + a = 53° 
a = 1 6 °
_ C LA V E ( § )
P R O B L E M A N .° 24
Se muestra una barra de 3 kg en reposo sobre 
una superficie semiesférica. Indique verdadero 
(V) o falso (F) en las siguientes proposiciones. 
(AM = 30 cm, M 8=20 cm)
I. El C.G. de la barra está a 25 cm de A.
II. El módulo de la reacción de la superficie es 
de 30csca.
III. La superficie es lisa.
A) FFF B) FVF C) FVV
D) FFV E) VFV
Resolución
Inmediatamente sobre la barra en reposo ac­
túan dos fuerzas y estas serán colineales.
I. Falsa
Justo el C.G. está encima del punto de apo­
yo y es a 30 cm de A.
49
L u m b r e r a s E d it o r e s
Falsa
El módulo de ambas fuerzas es igual, en­
tonces R = 30 N.
Falsa
La R no actúa perpendicular a las superfi­
cies, incluso si fuese perpendicular no po­
dríamos afirmar que la superficie es lisa, ya 
que podría ser que/s =0; no hay tendencia 
a resbalar. Pero en este caso sí hay/s.
C la v e (A)
P R O B L E M A N .° 25
Para el sistema mostrado, determine la reacción 
en el piso. Considere superficies lisas y esferas 
homogéneas de 4 kg cada una. (g = 1 0 m/s2).
A) 30 N
B) 20 N
C) 40 N
D) 80 N
E) 50 N
De Fr = 0
• Eje X
« i
• Eje Y
R~ Fg( sist.} 
R = 80 N
C l a v e
P R O B L E M A N .° 26
Del problema anterior, calcule el módulo de la 
reacción entre las esferas.
A) 20 N
D) IO N 
Resolución
B) — V IN O « ° N 
3
E) 15 N
Resolución
Analizando el sistema tenemos que actúan cua­
tro fuerzas.
Para la esfera superior actúan solo tres fuerzas, 
y sobre la otra actúan cuatro fuerzas.
De la primera CEM, formamos el triángulo de 
fuerzas.
En el caso anterior no influyó la separación de 
las paredes porque no era necesario definir nin­
gún ángulo. Ahora sí necesitamos tal ángulo.
50
Es t á t ic a
C la v e (b )
P R O B L E M A N .° 27
Para el sistema mostrado en reposo, calcule la medida del ángulo a si la reacción del piso y la pared 
son de igual módulo. Considere superficies lisas y cuerpos de igual masa.
A) 37°
B) 45°
C) 30°
D) 37°/2
E) 53°/2
Resolución
La única fuerza que guarda relación con el ángulo a es la de mutua interacción entre la esfera y el 
triángulo. Por ello los analizamos por separado.
Aplicamos FR= 0 
Para el triángulo
• Eje X\ RX= T (I)
. Eje /: Ry= F g (II)
Para la esfera
• Eje X: RX= R (III)
• Eje Y: Ry+ F g= R
De (II)
R = 2 Fg 
Entonces en (III)
Rx = 2Fg
En el triángulo de fuerzas
Fn y¡3 40
cosoc = -
R*
80 r 
Rx = — V3 N
2 Rv
Del gráfico a = 30°
51
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Reconstruyamos R
.*. a = 53°/2
C l a v e ( E
P R O B L E M A N .° 28
Para el bloque mostrado en reposo, calcule la 
reacción del piso. ( g = 10 m/s2)
3 kg |
>2 kg
A) 20 N B) 30 N
C) W Í 3 N
D) 50 N E) IO N
Resolución
El bloque tiende a resbalar hacia la derecha.
Para la esfera 
T = Fg{ 2)=20N
Para el bloque, formamos el triángulo de fuerzas
rg( i)“
Por teorema de Pitágoras
R = y¡Fg( i ) + T 2 = V 3 0 2 +202
••• R = 10>/l3 N
C l a v e ( c )
P R O B L E M A N .° 29
Se muestra una placa triangular a punto de res­
balar. Determine el módulo de la fuerza de roza­
miento y el coeficiente de rozamiento estático. 
(g = 1 0 m/s2)
F = 50 N \ 2 kg
/ W °
A) 20 N; 0,2
B) 30 N; 0,5
C) 30 N; 0,3
D) 20 N; 0,5
E) IO N ; 0,1
52
Es t á t ic a
Resolución
A diferencia del problema anterior debemos 
dibujar la f s y la fu , y no la R.
Luego de descomponer F , aplicamos la primera 
CEM.
• -E je X :/5= 3 0 N
• Eje Y :fN=A0 + Fg
f N= e o N
Por estar a punto de resbalar
/ s = M-s/ a/
30 = |is 60 
/. (^5=0,5
C l a v e ( B )
P R O B LE M A N .° 30
En el gráfico, el bloque de 10 kg reposa con el re­
sorte comprimido 5 cm. Calcule el módulo de la 
fuerza de rozamiento. ÍK = 8 N/cm, g = 10 m/s2)
A) 40 N
D) 25 N
B) 50 N C) 30 N 
E) 28 N
Resolución
Realizamos el DCL del bloque.
I F„
Del reposo 
Fr = 0
• Eje Y\fN= F g
f N= 100 N
• Eje X: FE= fs
K x = f s
8-5 = fs 
/S= 4 0 N
C la v e (A)
P R O B L E M A N .° 31
Se muestra un bloque de 4 kg en reposo. Indi­
que verdadero (V) o falso (F) en las siguientes 
proposiciones.
I. El módulo de la reacción del plano inclina­
do es 40 N.
II. Al reducir el valor del ángulo 0, la reacción 
disminuye.
III. Si 0 = 3 7 ° y el bloque está a punto de resba­
lar, entonces el p.s =0,75.
A) FVF 
D) VFV
B) FFF C) FVF 
E) VVF
53
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Resolución 
I. Verdadera
Sobre el bloque solo actúan dos fuerzas.
Del reposo 
Fr = 0 
R = Fg 
/?=40 N 
Falsa
Mientras el bloque reposa, R = F g; esto in­
dependientemente del ángulo 0.
A menor valor de 0, menor tendencia a res­
balar y no resbalará el bloque.
Verdadera
Al estar a punto de resbalar, aúnhay repo­
so, pero la fuerza de rozamiento estática 
toma su máximo valor.
Descomponemos /?, que continúa siendo 
vertical.
tan0 = :> _ fs (máx.) _
Í n Í n 
—» p.s = tan0 - tan37°
|is=0,75
C l a v e ( D )
P R O B L E M A N .° 32
En el sistema mostrado, los bloques son de igual 
masa y B está a punto de resbalar. Calcule el jts 
entre el bloque 6 y el piso. (g = 10 m/s2)
A) 1
D) 0,8
B) 0,5 C) 2 
E) 1,2
Resolución
Cuando se indique que un cuerpo está a punto 
de resbalar y se encuentre en reposo, podemos 
aplicar FR= 0 y calcular f s, pero también pode­
mos aplicar
/s= /s(máx.)= Ms/w
Para el bloque B 
Fr= 0
• Eje X: f s = SM
• Eje /: f N + 6M = 10M -> f N=AM 
Luego
f s = fs(máx.) “ > SM = [lsAM
••• |XS= 2
C la v e ( c )
P R O B L E M A N .° 33
El sistema mostrado está en movimiento inmi­
nente. Calcule el fi5 entre el bloque A y el plano 
inclinado. Considere que los bloques presentan 
igual masa.
A) 1
B) 0,5
C) 2
D) 0,8
E) 1,2
Resolución
Cuando un cuerpo o sistema está en movimien­
to inminente, es equivalente (cuando hay ten­
dencia a deslizar) a que esté a punto de resbalar.
# ................................................................................................
Luego de descomponer la Fgl comparamos las 
fuerzas paralelas al plano y el bloque tiende a 
resbalar hacia arriba.
F r = 0
• Eje X: T=6M + f s f s=AM
• Eje /: f N= m 
Luego
f s ~ f s ( máx.)
4 M = y is - 8 M 
••• fis =0,5
Es t á t ic a
Otra forma
Dos fuerzas de igual módulo se equilibran con 
una fuerza contenida en la bisectriz de dichas 
fuerzas.
F
Entonces F i equilibra a F y F.
Cuando un cuerpo está a punto de resbalar, la 
reacción entre las superficies forma un ángulo 
con la normal, cuya tangente es el |̂ s.
/normal
—> p.s=tan0 
En el problema
C l a v e ( b )
Fg=10M
0 + 370= 1(1800 -53°)
2
53°
0 = — —> jrs = tan0 
fis=0,5
normal
-10M bisectriz de 
T y Fg
55
Lu m b r e r a s E d it o r e s
%
P R O B L E M A N .° 34
En el gráfico, entre todas las superficies los coefi­
cientes de rozamiento son 0,3 y 0,5. Si la barra de 
5 kg está a punto de resbalar, calcule la reacción 
en A.
A) IO N B) 20 N C) 30 N
D) 10V5N E) 10V3N
Resolución
Como no se indica si la barra es homogénea ni 
el valor del ángulo a , entonces no debe ser ne­
cesaria tal información. En cada superficie está a 
punto de resbalar.
fs ~ fs ( máx.) 
fs ~ ^s//v 
/s=0,5/w 
F 2 F I
| son los valores 
í que podemos usar 
3 F 6 F \
Del DCL de la barra
En la horizontal, la f N en A se equilibra con f s 
en B; por ello colocamos 2F y así completamos 
las otras fuerzas. Luego FR= 0
En el eje Y se tiene
5 F= Fg
F= 10
Ra = f J 5 = 10V5N
_CLA V E ( D )
P R O B L E M A N .° 35
Si el bloque B desciende realizando MRU, de­
termine el módulo F . (/WA= 2 0 k g , MB= 13 kg, 
g = 1 0 m /s2)
D) 70 N E) 90 N
Resolución
Recuerde que al realizar MRU también se aplica 
la primera CEM, pero sobre el bloque A habrá
7k.
56
Es t á t ic a
C l a v e ( e ) 
P R O B L E M A N .° 36
Si la tabla realiza MRU resbalando debajo del 
bloque, determine el \xK entre el bloque y la ta- 
bla- {M tabla = 3 k8' M bloque = 2 kg)
A) 0,25 B) 0,20 C) 0,35
D) 0,30 E) 0,40
Resolución
Realizamos una separación imaginaria y tenga­
mos presente que la tabla resbala debajo del blo­
que y sobre el piso, entonces en ambos hay f K.
I f
/«!) /a/(D
Para el bloque
• Eje Y
ÍN ( l ) = F g
/w ( l) = 20 N
• Eje X
T = fm )
Luego
/k(1) = M,K(1)//V(1)
/ / f ( i ) = M ' K ( i ) ' 2 0 ( O
Para la tabla
• Eje Y
fN(2)= fN (l)+ F g 
/ a/(2) = 5 0 N
• Eje X
F = f K ( l ) + fl<(2)
/ « l) + M'«2)'/w(2)
2 5 = / # f ( i ) + 0 , 4 • 5 0
/ « i r 5 n 
Reemplazamos en (I)
5 = ^ « i ) '20
M * ( i ) = 0 > 2 5
_ CLA V E (A)
Para B
T = F9
7=130 N 
Para A
• Eje Y
ÍN ~ Fg 
f N= 200 N
• Eje X
F + fK= T
f+Mtf/w= l 30 
7+0,2 • 200=130 
7=90 N
57
L u m b r e r a s E d it o r e s
P R O B L E M A N .° 37
El bloque de 2 kg realiza MRU. Calcule el módu­
lo de F considerando la tabla lisa. ( g = 10 m/s2)
A) 50 N B) 100 N C) 30 N
D) 20 N E) 35 N
Resolución
Realizamos una separación imaginaria
Para la tabla
• Eje X: F = R 
Para el bloque
• Eje X :fN= R
• Eje Y :fK= F g
\iKf N=M g 
\iK-R=M g 
0 ,2 F = 2 • 10 
F=100 N
 C l a v e ( § )
P R O B L E M A N .° 38
En el sistema en reposo, la esfera de 1,3 kg es 
lisa y la cuña de 2,7 kg está a punto de resbalar. 
Calcule la tensión en la cuerda.
A) 30 N
B) 17 N
C) 15 N
D) 50 N
E) 40 N
Resolución
Para la cuña no hay ángulos; además descono­
cemos el radio de la esfera. Por ello, no conviene 
separar imaginariamente. Entonces analizamos 
el sistema, el cual es afectado por tres fuerzas.
Como la cuña está a punto de resbalar 
—» ns=tan0
— =tan0 
24
0 = 1 6 °
-> oc=53°
58
Es t á t ic a
Formamos el triángulo de fuerzas del DCL También cuando ya hay deslizamiento, el ángulo 
de la normal con la R define el \xK.
g(s¡st.)
En consecuencia
W r 4 ^ 4 0 N
T= 3K
r = 3 0 N
C l a v e
P R O B L E M A N .° 39
Sobre el bloque que asciende con MRU, el mó­
dulo de F es igual que el de Fg. Calcule el 
entre el bloque y el plano inclinado.
D) 0,5
B) C) y/7-I
Resolución
Sobre el bloque en equilibrio cinético actúan 
tres fuerzas, dos de las cuales son de igual mó­
dulo, entonces la tercera estará en la bisectriz 
de las dos primeras.
-> 0 + 3 0 ° = - (1 8 0 ° -6 0 ° ) 
0 = 3 0 °
Luego
lis ta n ©
C la v e (E
P R O B L E M A N .° 40
Para la barra homogénea en reposo, calcule la 
tensión en la cuerda (1). (/W=3,6 kg, g= 1 0 m/s2)
A) 16 N 
D) 40 N
(i)
12 cm 8 cm
B) 20 N C) 30 N
E) 16 N
normal
' ' N bisectriz
59
L u m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
En el DCL de la barra tenemos tres fuerzas pa­
ralelas
De la primera CEM 
R + T = F g 
R + T= 36 N
De la segunda CEM respecto a la articulación
• Mq = 0 (la línea de R pasa por O)
• M t = M q9 
r -1 2 = Ff -10
7-6 = 36-5 
7=30 N
_ C LA V E ( C )
P R O B L E M A N .° 41
Se muestra una barra homogénea de 2 m de
A
longitud en reposo. Calcule — siendo RA y RB
r b
las reacciones en los apoyos A y B.
30 cm 2 0 cm
_ A i v ;:v:................ i a _ ‘
A B
A) 2/3 B) 1 C) 3/2
D) 7/8 E) 8/7
Resolución
Como queremos comparar RA y RB, entonces 
no importa Fg sino que esté actuando desde el 
punto medio de la barra.
30 cm 70 cm O 80 cm 20 cm
Aplicamos la segunda CEM respecto de O
• MF¿ = 0
• M q B = M q A 
Rb -80= R a -70
Rb 7
_ C la v e ( § )
P R O B L E M A N .° 42
Para la barra homogénea en reposo, calcule la 
tensión en la cuerda.
Datos: M =2,6 k; g = 1 0 m/s2
A) 26 N B) 13 N C) 30 N
D) 25 N E) 14 N
60
ir Es t á t ic a
Resolución
Al tomar momentos respecto a la articulación 
no importa graficar con precisión a la reacción, 
ya que su momento será nulo.
De la segunda CEM
M To = Mog 
T-40 = Fg -40 
7=26 N
Nota
No olvidar que la distancia para calcu­
lar el momento de cada fuerza debe 
ser perpendicular a la línea de acción 
de cada fuerza.
_CLAVE (A)
P R O B L E M A N .° 43
Para la barra homogénea en reposo, calcule su 
masa si la tensión en la cuerda (1) es 20 N. Con­
sidere que la polea es ideal.
A) 2 kg B) 3 kg C) 1 kg
D) 4 kg E) 1,5 kg
Resolución
Para la barra
M F0g = M } + M }
Fg -3C = r 2 -40 + 72-5l0 
3 (M 1 0 ) = 9 10 
M = 3 kg
_ C la v e ( § )
P R O B L E M A N .° 44
Para la barra homogénea en reposo, determi­
ne la deformación del resorte de K = 5 0 N/m. 
{m - 2 kg, g = 1 0 m/s2)
A) 15 cm B) 20 cm C) 10 cm
D) 25 cm E) 12 cm
61
L u m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
Al dibujar las fuerzas designamos a la longitud 
de la barra 5b, ya que por el ángulo 53° usare­
mos distancias que serán 3b o 4b.
Resolución
De la segunda CEM respecto de O
Mr0 = 0
M
FE -A b =Fg -2,Sb
K x -4 = 2 0 -2,5
5 0 -x -4 = 5 0
1
x = — m 
4
x = 2 5 cm
C la v e (D)
P R O B L E M A N .° 45
Para la barra homogénea y lisa de 2 kg, calculela reacción en P. ig = 10 m/s2)
A) 7,5 N
B) 8N
C) IO N
D) 15 N
E) 12 N
De la segunda CEM respecto de O
. MqXN = 0 
• MRo = M F¿¡
R-M = Fg -3Q 
R -8 = 20-3 
R = 7,5 N
C l a v e ( Á )
P R O B L E M A N .° 46
En el sistema en reposo, ¿qué máximo valor 
puede tomar la masa del bloque? Considere 
barra homogénea. (Lbana = 48 cm, Mbarra= 8 kg)
(i) (2 )
16 cm
A) 1 kg 
D) 4 kg
B) 2 kg C) 3 kg 
E) 5 kg
Resolución
A mayor masa del bloque, la barra podría em­
pezar a girar en sentido horario alrededor del 
extremo de la cuerda (2), por ello tendremos 
/V/b|oqUe máxima cuando 7’1=0.
62
Es t á t ic a
Resolución
T ,= 0
24 cm 8 cm O 16 cm
Fn T=M g
De la segunda CEM respecto de O
• m t¿ = o
T - l ¿ = Fg - ¿ 
Mg -2 = 8 g 
M = 4 kg
P R O B L E M A N .° 47
Para la barra homogénea, calcule el ángulo a si 
la reacción de la pared lisa y la fuerza de la gra­
vedad son de igual módulo.
A) 37°
D) 45°
B)
127°
C)
143°
2
E) 30°
Como tenemos la reacción entre R y Fg, toma­
mos momentos en la articulación
• MqXN = 0
• M * = M F0g
R d2= Fg d1 (dato R = F g) 
d2= d 1
CLAVE (D) Luego
tan a =
_ 2 ¿ i
tan a = 2
a = -
127°
C la v e (B
P R O B L E M A N .° 48
A) 2 kg
B) 1 kg
C) 3 kg
D) 2,5 kg
E) 4 kg
La placa triangular homogénea reposa y la re­
acción en Pva le 20 N. Determine la masa de la 
placa.
63
L u m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
Realizamos el DCL ubicando el C.G. en el bari­
centro del triángulo.
Las fuerzas son paralelas.
Aplicamos la segunda CEM respecto de O 
• M t = 0
' MF0g = M R0 
Fg -2 d = R -3 d 
(10M)2 = 20-3 
.-. M = 3 kg
C la v e ( C
P R O B L E M A N .° 49
Se muestra una barra homogénea doblada por 
su punto medio. Calcule la tensión en la cuerda.
(Mbarra = 6 k g , 0 = l O ™ /s2)
A) 45 N
B) 30 N
C) 60 N
D) 50 N
E) 20 N
Resolución
Por ser la barra homogénea, la masa se distri­
buye de manera uniforme por toda la extensión 
de la barra; en este caso, igual masa por cada 
unidad de longitud.
L -» M
2 L -> 2 M
3 L -> 3 M
4 L -> 4 M
Realizamos el DCL en el que actúan fuerzas pa­
ralelas
3 kg
3 kg
De la segunda CEM 
M t = MFg + M Fg 
T -2 d = F g-d + F g -2d 
27=30+2•30 
7=45 N
Observación
En cada segmento recto de la barra, la 
Fg actúa en su punto medio.
_C LA V E (A)
64
Es t á t ic a
P R O B L E M A N .° 50
Se muestra una placa triangular homogénea 
de igual masa que la esfera, ambas en reposo. 
Determine x. Considere que el sistema está en 
movimiento inminente.
A) 10 cm 
D) 25 cm
B) 20 cm C) 30 cm 
E) 15 cm
Resolución
Si el sistema está a punto de moverse, debe es­
tar a punto de volcar y se apoya solo en el borde 
del muro. Se tienen tres fuerzas paralelas.
^ 20 cm-* 40 cm *
0
m t = m Fq
Mg x = M g (4 0 -x ) 
x = 2 0 cm
C l a v e ( B
P R O B L E M A N .° 51
Se muestra una barra de 4 kg en reposo. Indique 
verdadero (V) o falso (F) en las siguientes propo­
siciones. Considere que la barra es homogénea.
I. La tensión en la cuerda es del 20^1 + —J.
II. Si a=b, la reacción en la articulación es cero.
III. Si a<b, la reacción de la articulación actúa 
hacia abajo sobre la barra.
A) VFV 
D) VVV
Resolución 
I. Verdadera
B) FVV C) FFV 
E) VVF
De la segunda CEM
M T0 =Mog
T a = 40
a + b
T = 20| 1 + - 
a
(O
65
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Verdadera
De la ecuación (I) si o=b, la tensión es 
7= 40 N, igual a la Fg, por lo cual R = 0. Por 
lo tanto, la cuerda sostiene a la barra del 
punto medio.
Verdadera
Si a < b , la barra tiende a rotar en sentido 
horario respecto de P, por ello R actúa so­
bre la barra hacia abajo.
C la v e Cd)
P R O B L E M A N .° 52
Si la barra homogénea de 3 kg en reposo es lisa, 
determine la tensión en la cuerda. (g = 1 0 m/s2)
En el DCL, Rv R2 y 7 son desconocidas pero 
solo buscamos 7; entonces al aplicar la segun­
da CEM respecto de O (punto donde concurren 
/?iY/?2) tendremos
M,Rio = M o = 0
M t0=M % 
T-3 d = Fg -2d 
7 -3 = 3 0 -2 
7=20 N
C la v e (B,
P R O B L E M A N .° 53
Para la barra lisa y homogénea en reposo, calcule 
la masa del bloque. (/Wbarra= 6 kg, g= 1 0 m/s2)
A) IO N 
D) 35 N
B) 20 N C) 25 N 
E) 15 N
Resolución
Desarrollamos el DCL para la barra.
A) 6 kg
B) 1 kg
C) 2 kg
D) 4 kg
E) 3 kg
66
Es t á t ic a
Resolución
Realizamos el DCL de la barra
Aplicamos la segunda CEM respecto al punto 
donde concurren R1 y R2 , ya que son fuerzas 
desconocidas y no se desean conocer.
• M q 1 = M q 2 = 0
• MT0 = M F0g 
T-2Ly¡2=FgLy¡2 
(10M) • 2=60 
M = 3 kg
_ C l a v e ( í )
P R O B LE M A N .° 54
-ara la barra homogénea de 2,4 kg en repo­
so determine la reacción de la pared lisa A. 
j = 10 m/s2)
A) 4 N B) 8 N C) 6 N
D) 12 N E) 8N
Resolución
Operamos el DCL de la barra
• MqB = Mq = 0
. MqA = M q 
RA 6 d = Fg-d 
Ra - 6= 24 
Ra = 4 N
_ C l a v e (A)
67
Lu m b r e r a s E d it o r e s
P R O B L E M A N .° 55
Se tiene una placa rectangular homogénea a 
punto de volcar. Determine la deformación del 
resorte. (Mplaca= 9 kg, K = 120 N/m, g = 10 m/s2).
20 cm
40 cm
10 cm
K M i H
A) comprimido 2,5 cm
B) estirado 3 cm
C) estirado 2,5 cm
D) comprimido 3 cm
E) estirado 4 cm
Resolución
La placa está a punto de volcar en sentido hora­
rio respecto a la articulación, y por ello el resor­
te debe estar estirado.
*piso=0
''
20 cm /
10 cm
' x / ' Fe
, / k \ 30 cm
h 1 °
110 cm i
Aplicamos la segunda CEM
• M Rxn= 0 
. MFJ = M F0g
Kx-3Ó = M g )Ó 
120x - 3 = 9 • 10
x = — m 
40
—> x=0,025 m
Por lo tanto, el resorte está estirado 2,5 cm.
C la v e C
P R O B L E M A N .° 56
Se muestra una esfera homogénea en reposo 
sobre una pared rugosa. Si la tensión en la cuer­
da es de 30 N, calcule la fuerza de rozamiento 
estático sobre la esfera. (g = 10 m/s2)
^XN"
A) 15 N
C) 30sen28°
D) 15cos28°
B) 30 N
E) 20 N
68
Es t á t ic a
Resolución
Realizamos el DCL de la esfera descomponiendo 
la R de la pared porque se quiere calcular la Fs.
Del DCL conviene aplicar la segunda CEM res­
pecto al centro de la esfera, ya que
• Mq = M qN = 0 (fg y f N no se conocen.j
. J e . .t rLa cuerda es tangencial
• ( a |a esfera.
f s - r = T r 
f s=3Q N
 C l a v e ( § )
P R O B L E M A N .° 57
La esfera homogénea de 2 kg reposa sobre el 
plano inclinado. Determine la fuerza normal. 
(gr=10 m/s2)
A) 16 N
B) 18 N
C) 12 N
D) 24 N
E) 20 N
Resolución
Realizamos el DCL para la esfera
Del DCL conviene que apliquemos la segunda 
CEM respecto de O
• Mfs = M T = 0 f " v / s ™ )
\ queremos conocer.)
. Mf N = M Fg
fN 'dOA = Fg'doB
Por geometría
d(DA= doB ?N= F g
/n = 2 0 N
C l a v e ( § )
P R O B L E M A N .° 58
En el sistema en reposo, la barra y la esfera son 
de igual masa, además son homogéneas. Deter­
mine el valor de sena.
69
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
Realizamos el DCL para la barra
Respecto de O
• Mq = 0
• MT = M Fg{1)
Fg( 2) ' d Fg ( l ) 'L
Por dato
Fg (2 )-F g(l)
d L
—> se n a = — = — 
4 L AL
sen a = sen— 
4
d = L
_ C LA V E (A 
P R O B L E M A N .° 59
En el sistema en reposo, la barra y el bloque 
son de igual masa. Determine el valor del sena. 
Considere que la barra es homogénea.
A) ° T
Resolución
Desarrollamos el DCL de la barra
l 4~2
T d - Fr
L>/2
Del enunciado T= Fg 
En (I)
¿V2
d = -
Luego
¿V2 
2 
21
d 2 se n a = — = — - 
2 L
T ise n a = —
(O
C l a v e (C
70
Es t á t ic a
P R O B L E M A N .° 60
Para la barra en reposo, determine a qué distan­
cia de A está su centro de gravedad.
A) 45 cm B) 30 cm
D) 40 cm
Resolución
Del DCL
d1+ d 2= S 0 cm
Respecto de O
• M% = 0
• M T l= M T2 
T1 d1 = T 2d2
Pero
C) 35 cm 
E) 50 cm
(I)
Ti = T 2 (se trata de la misma cuerda)
En I
d1- d 2
Observación
Siempre que haya equilibrio y actúen tres fuerzas 
paralelas, se verifica que la que actúa en dirección 
contraria a las otras dos se ubica en una posición 
intermedia de dichas fuerzas.
Entonces se cumpleque
M p0 = 0, A / 1 = A / 2, fjc/i = F2d2 
Ejemplos
(3F)d=(F)3d 
(SF)2d=(2F)5d 
(F)d=(F)d 
(2F)3d=(3F)2d 
Con esta observación podemos acortar pasos y 
colocar los valores a Fx y F2, ya que F1+F2=F, esto 
por la primera CEM.
••• d(A_c.G .r 40 cm
C la v e (D
P R O B L E M A N .° 61
Para la barra homogénea, calcule la tensión en 
la cuerda. (/Wbarra= 4 kg, g = 10 m/s2)
A) 15 N
B) 40 N
C) 20 N
D) IO N
E) 30 N
71
L u m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
Desarrollamos el DCL de la barra
Por ser tres fuerzas paralelas sobre la barra en 
reposo
7=37 y R = F 
De la primera CEM 
Fg= 4 F
i
40 N = 47 
7=30 N
P R O B L E M A N .° 62
C l a v e ( E
En el sistema en reposo, la barra es homogénea. 
Calcule la relación entre la masa de la polea lisa 
y la barra.
8 L 2 L
A) 1/8
D) 2/5
B) 2/3 C) 1/4
E) 1/2
Resolución
Realizando el DCL de la barra y de la polea
Para la barra, tenemos 
71= 37; 72=57; Fg(1)= 8 F
Para la polea
27í = Fg(2) + h
Fg(2)'
m 2 _ Fg(2) _ F 
Mx
M2
Mi
rg(2) :
''g (i) 8 F
C l a v e ( A ;
P R O B L E M A N .° 63
Si la reacción de la articulación es el doble que 
la tensión en la cuerda, calcule la distancia de B 
al C.G. de la barra. Considere que la reacción de 
la articulación está hacia arriba.
12 cm 4 cm
A) 11 cm
D) 8 cm
B) 7 cm C) 6 cm
E) 12 cm
72
Es t á t ic a
Resolución
Desarrollamos el DCL de la barra
T= F
A d c.G. 2 d B
T 4 cm\R=2F 1 g
En el DCL aplicando la propiedad de las tres 
fuerzas paralelas tenemos
30 = 12 cm
d = 4 cm
d (B -C .G .) = 2 d + A c m 
d ( B - C.G.) = ̂ C m
_ C l a v e ( § )
P R O B L E M A N .° 64
Si la barra homogénea de 1,5 kg reposa, calcule 
la reacción en el punto P. ig = 1 0 m/s2)
Resolución
Operamos el DCL de la barra
Del DCL 
R = F 
FS = F 
Por la primera CEM 
RP= 2 F 
—> Rp= 2 Fg 
Rp= 30 N
_CLA V E ( b )
P R O B L E M A N .° 65
Para la esfera homogénea en reposo, calcule la 
tensión en la cuerda.
K sfera=A2 kg; g = 10 m/s2)
A) 15 N
C) 45 N
D) IO N
B) 30 N 
E) 22 N
A) 25 N 
D) 32 N
B) 30 N C) 40 N 
E) 28 N
L u m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
Realizamos el DCL de la esfera
Resolución
Realizamos el DCL de la barra
Del DCL
Del DCL y la geometría
T = 4F 
R = 5F
- > Fg= 9 F 
72= 9 F 
F = 8 N 
J - 4 F - 3 2 N
« i= f l2= y
R2 = — = 25N 
2 2
En la descomposición de R2 
Í S = \ * 2
f s = \ 25 
f s= 15 N
C la v e (D)
C l a v e ( C ,
P R O B L E M A N .° 66 P R O B L E M A N • 67
Para la barra homogénea en reposo, calcule la Para la placa triangular homogénea en reposo,
fuerza de rozamiento del plano inclinado.
(M barra=5 kg)
determine la masa del bloque. (/Wp|aca= 6 kg y 
g = 10 m/s2)
A) 20 N
D) 30 N
B) 25 N C) 15 N
E) 40 N
74
d
Es t á t ic a
Resolución
Desarrollamos el DCL de la placa
Del DCL 
T ,= F
F 9 = 3 F
60 = 3 F -> F= 20 N 
Para el bloque
Fg= TX -+ 10M =20 
M = 2 kg
C l a v e ( A
P R O B L E M A N .° 68
Se muestran barras homogéneas de igual masa y 
en reposo. Calcule la reacción del piso liso consi­
derando que la tensión en la cuerda (1) es 10 N.
A) 15 N 
D) 7,5 N
B) 20 N C) IO N 
E) 12,5 N
Resolución
Realizamos el DCL de cada barra
Del DCL de cada barra 
Barra (1)
T - R - í
Dato: 7^=10 N 
-> Fg= 20 N 
Barra (2)
R-> =
10 + 20
/?2=15 N
_CLA V E (A) 
75
Lu m b r e r a s E d it o r e s
P R O B L E M A N .° 69
Se muestra una tabla homogénea de masa M y 
una persona de masa 2M en un extremo. Indi­
que la verdad (V) o la falsedad (F) en las siguien­
tes proposiciones.
1
1,8 m
i )
I. La reacción del piso se concentra a 30 cm 
del extremo A.
II. Cuando la persona se ubica en B, el módulo 
de la reacción del piso sobre la tabla dismi­
nuye.
III. Al estar la persona en B, la reacción del piso 
se concentra a 1,2 m de A.
A) VVV 
D) FVV
B) VFF C) VFV 
E) FVF
Resolución
Operamos el DCL del sistema en ambos casos
2 Mg
2 Mg
En el DCL del sistema de cada caso, aplicamos 
la primera CEM
R=3M g (siempre)
Por la segunda CEM
6 d = l,8 m
d = 0,3 m =3 0 cm
I. Verdadera
d(A- Pl)= d = 30 cm
II. Falsa
Mientras que el sistema esté en reposo 
R=3M g
III. Falsa
d(A_p2)= 5 d = l t5 m
C la v e (B
P R O B L E M A N .° 70
En el sistema en reposo, la barra de 14 kg es 
homogénea y la plataforma es de 1 kg. Calcule 
el máximo número de bloques de 1,2 kg que se 
pueden colocar en la plataforma y garantizar el 
reposo del sistema.
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
40 cm 20 cm
76
Es t á t ic a
Resolución
Realizamos el DCL de la barra
Para la barra 
Fg= 2 F= 1 4 0 N
10+12 -n=70 
n = 5
Por lo tanto, son cinco bloques como máximo 
para que el sistema aún repose.
_ CLA V E ( ? )
P R O B L E M A N .° 71
Siendo las barras homogéneas e idénticas, indi­
que la verdad (V) o la falsedad (F) en las siguien­
tes proposiciones. (M barra= 3 kg)
I. La reacción en la articulación A es 30 N.
II. La reacción en C e s horizontal.
III. La reacción en la articulación C es de 20 N.
A) VVV B) FFF C) FVV
D) FVF E) VVF
Resolución
Por la simetría del sistema, la reacción en C es 
horizontal.
Realizamos una separación imaginaria.
I. Falsa
Del DCL
Ry = Fg = 30N 
RX = R 
-> Ra > 30 N
II. Verdadera
Las barras no se apoyan una sobre la otra 
por la simetría y por tener igual masa.
III. Verdadera 
De la segunda CEM respecto de B
m rb = m f¿>
R -3 = F g -2 
3/?=30 • 2 
R = 20 N
_CLA V E ( C )
77
L u m b r e r a s E d it o r e s
P R O B L E M A N .° 72
Se muestra un sistema en reposo donde la esfe­
ra y la barra son de igual masa y homogéneos. 
Determine el módulo de la fuerza de tensión. 
ÍM = 1,2 kg; g = 1 0 m/s2)
A) 17 N
B) 18 N
C) 19 N
D) 16 N
E) 21 N
Resolución
Realizamos la separación imaginaria entre la ba­
rra y la esfera. Entre las superficies no hay / , ya 
que no hay tendencia a resbalar.
Para la esfera formamos el triángulo de fuerzas
R= 20 N
Para la barra respecto de O 
MqXN = 0 
M“ + M F° = M T0 
R-SL+Fg-3L = T-8L 
20-5 + 12-3 = 8 T 
7=17 N
_ C la v e (a)
P R O B L E M A N .° 73
En el gráfico se muestra una barra homogénea 
en reposo. Determine la deformación del resor­
te de K = 500 N/m. (g = 1 0 m/s2)
A) 10 cm B) 14 cm C) 8 cm
D) 16 cm E) 5 cm
78
Es t á t ic a
Resolución
Realizamos el DCL de la barra y dibujamos la Fg 
por cada segmento recto.
de O
M0fi = 0
rAB cBCP pos.
M T0 + M 0g = M FJ + M 09 
T-4d + ^ / k f c í = Fe L + ly ig ^ Scí
y w V = / c x ( / / V 2 )
2-40>/2=500 xV2
x = — m 
50
x = 1 6 cm
_CLA V E (D)
P R O B L E M A N .° 74
Se muestra una barra homogénea. Calcule el co­
ciente entre la fuerza de tensión y la fuerza de 
gravedad de la barra.
A) 2/3
B) 1/3
C) 1/2
D) 3/2
E) 4/3
Resolución
Realizamos el DCL de la barra
Aplicamos la segunda CEM respecto de O 
• Mq = 0
MTo = M F0g 
T -d 1= F g-d2
T- 2/.sen59°=Fg - Lcos31°
Notamos que 
5 9 °+ 3 1 °= 9 0 ° 
En (I)
T -2 = F n
F9 2
sen59°=cos31°
_C la ve ( C ) 
79
Lu m b r e r a s E d it o r e s
P R O B L E M A N .° 75
Se muestra una barra homogénea a punto de 
resbalar. Calcule el módulo de la reacción del 
piso. (Mbarra= l ,8 kg)
A) 7 N
D) 12 N
Resolución
B) 8 N C) 9 N
E) 6,4 N
Rp ■ 2Lsen37°=Fg ■ Z.cos37°
Rp -2 — = 18 —
5 5
Rp= 12 N
C la v e (d)
P R O B L E M A N .° 76
Se muestra una placa cuadrada homogénea. 
Calcule la tensión si la fuerza de rozamiento 
estática es de 20 N.
A) 12 N
B) 18 N
C) 15 N
D) 10V2N
E) 20V2N
Por el |is = ~ > e* ángulo de la reacción del piso 
con su normal forman 16°.
Resolución
Realizamos el DCL de la placa acomodando la 
geometría
Aplicamos la segunda CEM respecto al punto de 
apoyo de la pared
Aplicamos la segunda CEM respecto del C.G. de 
la placa tomando en cuenta que en este punto 
concurren las fuerzas que no buscamos y no son 
datos
80 jhsf
Es t á t ic a
M f§ = Mqn = ( 
Mq = M fs 
T-d = f s - d J 2 
T = 20V2N
C l a v e ( E
N i v e l i n t e r m e d i o
P R O B L E M A N .° 77
En el gráfico,una escuadra de masa desprecia­
ble está en reposo. Indique el correcto DCL para 
la escuadra.
Resolución
Sobre la escuadra actúan tres fuerzas que son 
concurrentes, ya que están en reposo.
T
Resorte estirado 
para evitar que 
a escuadra gire 
por acción_de la 
fuerza de T
_ C LA V E !vE 
P R O B L E M A N .° 78
Para el instante mostrado sobre la esfera de 
8 kg, determine el módulo de la fuerza de re­
sistencia del aire si la FR toma su mínimo valor. 
(g = 1 0 m/s2)
A) 40 N 
D) 20V3N
Resolución
La fuerza de resistencia del aire actúa en direc­
ción contraria a la velocidad.
punto inicial
geométri­
camente
para/?
81
L u m b r e r a s E d it o r e s
La Fg tiene módulo y dirección definidos. La R 
solo tiene dirección definida y su módulo se 
acomoda para que la FR sea mínima.
Entonces de las múltiples opciones para la FR/ 
será mínima al ser perpendicular a R.
Luego, por la geometría
2 2 
.-. /? = 40 N
 Clave (A)
P R O B L E M A N .° 79
Se muestra una barra doblada por su punto me­
dio. Estando en reposo, calcule la reacción en 
la articulación. Considere que la barra presenta 
masa despreciable. (g = 1 0 m/s2)
A) IO N B) 20 N C) 30 N
D) 15 N E) 18 N
Resolución
Sobre la barra solo actúan dos fuerzas que por 
la primera CEM serán colineales. No importa la 
forma del cuerpo ya que su M ~ 0.
• k
Además, las fuerzas son de igual módulo.
.-. R = T = 20 N
_CLAVE (§)
P R O B L E M A N .° 80
En el gráfico, el sistema está en reposo y los re­
sortes son idénticos y miden 80 cm de longitud 
natural. Si los bloques son de 3 kg cada uno, de­
termine la reacción del piso. (g = 1 0 m/s2)
A) 75 N B) 60 N C) 20 N
D) 85 N E) 65 N
82
Es t á t ic a
Resolución
Ambos resortes están comprimidos. 
x 1 = 10cm —» f f (i) = K -x 1 = F
x 2 = 3 0 cm —» Ff (2) = K-x2 = 3 F
P R O B L E M A N .° 81
El sistema que se muestra está en reposo y la 
barra es de 2,4 kg. Calcule la reacción del piso, 
considerando que la argolla B y la esfera son li­
sas. ig = 10 m/s2)
A) 12y¡3 N B) 28 N C) 32 N
D) 24 N E) 20V3N
Del reposo 
Fr = 0
• Bloque A
FE (2 )= FE(1)+ F g
3 F = F + 3 0 
F = 15 N
• Bloque B
R = FE (2 )+ Fg
R = 3 F+ M g 
R = 3 1 5 + 3 1 0 
.-. R = 75 N
C l a v e
Resolución
Sobre el sistema actúan tres fuerzas paralelas
F p -0 R + T = F,r R
R + T = 2 A + 10M
g(sist.)
(O
Debe actuar 
paralela a la 
Fg y T , no 
habiendo 
tendencia 
a resbalar.
83
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Analizamos la esfera Resolución
Sobre la barra actúan tres fuerzas concurrentes
Tenemos un triángulo de fuerzas que es equi­
látero
- > R i = T=Fg 
T = 1 0 M 
Reemplazamos (II) en (I) 
/?+10M =24 + 10/W 
« = 2 4 N
(II)
C l a v e
P R O B L E M A N .° 82
La barra de masa despreciable está en reposo. 
Si el extremo superior es liso, determine la me­
dida del ángulo a.
A) 30°
B) 20°
C) 35°
D) 28°
E) 40°
Formamos el triángulo de fuerzas
Tenemos
a = ( 3
a + ( 3 = 7 0 °
a = 3 5 °
C la v e (C
P R O B L E M A N .° 83
Para el sistema mostrado se verifica
Ha = Ha _ J_ . Si la esfera y la barra son de 6 kg 
2 3 5
y 4 kg, respectivamente, calcule la reacción en­
tre la esfera y la barra.
A) 30 N
B) 20 N
C) 10 N
D) 15 N
LU 17,,5 N
84
Es t á t ic a
Resolución
Realizamos la separación imaginaria
Se indica el orden en el que se fueron dibujando 
las fuerzas empezando con la barra.
Del dato
2 3 5
Fr = 0
• Barra
Fg (b )+ R = T + R A
40 + R = 7 F (I)
• Esfera
Fg(e) = R + RB
6 0 = R + 3 F (II)
De (I) y (II)
F= 10 N
/?=30 N
 C l a v e (A)
P R O B L E M A N .° 84
Se tiene un sistema en reposo despreciando 
todo rozamiento. Calcule la tensión en la cuerda 
si el resorte está deformado 15 cm.
<AC= 100 N/rn, ¿cuerda = 100 cm ' 9 = 10 m/s^
A) 8 N B) IO N C) 13 N
D) 11,3 N E) 12,5 N
Resolución
Desarrollamos el DCL de la polea ideal
Para la polea 
f r = o
85
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Formamos el triángulo de fuerzas
-> a=(3
7e=27co sa
i
(Kx)
De la geometría
c/=¿1sena+/.2sen(3 
d = (L 1+ L 2) sena
d=L cuerda-sen« 
80=100senoc
se n a = — —> a = 53° 
5
En (I)
100-0,15 = 27— 
7=12,5 N
0)
C l a v e
P R O B L E M A N .° 85
La cuña triangular es lisa y está en reposo. De­
termine su masa si 7= 36 N. (g = 1 0 m/s2)
A) 2,4 kg 
D) 2,4 kg
B) 3,6 kg C) 3,2 kg 
E) 1,2 kg
Resolución
Realizamos el DCL de la placa
Al formar el triángulo de fuerzas, este es isós­
celes 
F=Fg 
36= 10 M 
M = 3,6 kg
C l a v e
P R O B L E M A N .° 86
En el sistema, la placa triangular es de masa 
despreciable y está a punto de resbalar. Calcule 
el coeficiente de rozamiento entre la placa y la 
superficie. Considere que la esfera es lisa.
86
Es t á t ic a
P R O B L E M A N .° 87
En el gráfico observamos un muelle semicir­
cunferencia! de masa despreciable en reposo.
. . . . M-)
Calcule el cociente de masas —- .
M1
A) 0,75
D) 1,33
B) 0,6 C) 1,25 
E) 0,67
Resolución
La placa, para quien Fg= 0, es afectada solo por 
dos fuerzas que serán colineales.
La fuerza de acción y reacción entre la placa y la 
esfera será perpendicular a ambas superficies.
A)
C)
cosa
1 -c o s a
D) sen a
B) sena 
E) tana
Resolución
Desarrollamos el DCL del muelle
Por estar a punto de resbalar 
|is= ta n a 
|Xs=tan53°
4
|As =1,33
C l a v e ( D ) Para el muelle, las tres fuerzas son paralelas.
normal
87
Lu m b r e r a s E d it o r e s
%
Luego, aplicamos la segunda CEM respecto de O.
• Mq = 0
. m } = m }
T i- d 1= T 1-d2
M 1g r c o s a = M 1g -r
Mj
—- = co sa 
M1
_ C la v e (A)
P R O B L E M A N .° 88
De una barra homogénea doblada, su parte más 
larga está a punto de resbalar. Determine en di­
cho contacto el coeficiente de rozamiento está­
tico y el módulo de la reacción en el punto A. 
(Mbarra = 6 k g ,g = 1 0 m/s2)
A) 0,4; 30 N
Q
B) cot—; 15 N
2
C) 0,6; 20 N
D) tanO; 25 N
q
E) t a n - ; 15 N
2
8 8
Resolución
Operamos el DCL de la barra
Tenemos sobre las barras cuatro fuerzas para­
lelas, donde graficamos la Fg para cada parte 
recta.
Por estar a punto de resbalar 
ps = ta n a
p.s = t a n ^ 9 0 ° " j 
0
Uc=CO t —
3 2
Por la segunda CEM respecto de B 
MFBg(2) = Mbb = 0 
MgA = M FgW 
RA -4d = Fg(1y3d 
ARa = 3-20 
Ra = 15 N
C l a v e ( b )
Es t á t ic a
P R O B L E M A N .° 89
Si el bloque está a punto de resbalar, indique 
la verdad (V) o la falsedad (F) en las siguientes 
proposiciones.
0,4 
0,5
I. La reacción del piso es de 50>¡5 N.
II. El módulo de F es mayor que 50 N.
III. Si F=100 N, el ángulo 0 es 37°.
A) FFV B) FVF C) VFF
D) VVV E) FVV
Resolución
I. Falsa
/s= /máx. (Por estar a punto de resbalar) 
/s= li s//v U n > 100 N Va Pue F presiona) 
/s=0,5/w
1 i
Fi 2 Fj
F1 > 5 0 N -> R = F1-J5>50>/5N
II. Verdadera
Del gráfico anterior 
/s=Fcos0>5O N
Como cos0< 1 
-> F> 5 0 N
III. Verdadera
Si F=100 N -> F = F g
Por ello la R pasa por la bisectriz de F y Fg.
tanoc=|is
53°tana = 0,5 —> a = —
2
También
6 + 2a=90°
.-. 6 = 3 7 °
_ C l a v e ( § )
P R O B L E M A N .° 90
Para la placa rectangular homogénea de 2 kg 
hay reposo con el resorte de /C=150N/m. 
Calcule su deformación si los vértices A y B es­
tán en la misma vertical.
A) 6 cm
B) 3 cm
C) 8 cm
D) 5 cm
E) 11 cm
Fg= 100 N
89
L u m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
Acomodamos la geometría para que los vértices 
de A y B estén en la misma vertical y realizamos 
el DCL de la placa
A) 3/7 B) 7/24 C) 5/9
D) 3/5 E) 4/3
Resolución
Como Ra y RB tienen igual módulo y la Fg es 
vertical, entonces RA y RB forman igual ángu­
lo con la vertical, y por estar la barra a punto 
de resbalar, en cada punto de apoyo, la reac­
ción forma con la normal un ángulo a, tal que 
ps =tana.
Kx = ^M g
1 5 0 x = — 2 1 0 
5
2
x = 8 cm
_ C l a v e ( c )
P R O B L E M A N .° 9 1
Se muestra una barra a punto de resbalar. Si el 
coeficiente de rozamiento en ambas superficies 
es igual, además las reacciones en A y B son de 
igual módulo, calcule