Tema 11 - Estadística II

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27UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 11
ESTADÍSTICA II
ARITMÉTICA
I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
(PARTE I)
Cuando se estudia el tema de promedios se indicó que
era un valor representativo de un conjunto de datos,
en esta primera parte en medidas de tendencia cen-
tral, estudiaremos algunos de los promedios para da-
tos no clasificados y clasificados.
A. Para datos no clasificados
Sea un grupo de "n" datos: a1, a2, a3,...an
1. Media aritmética  MA, X
1 2 3 na + a + a +...+ aX
n

2. Media geométrica  GMG,X
nG 1 2 3 nX = a × a × a ×...a
3. Media armónica H(MH, X )
nX =H 1 1 1 1+ + +...+
a a a an1 2 3
Ejemplo:
Sean números 6; 3 y 12.
6 +3+12MA = = 7
3
3MG = 6×3×12 = 6
3 36MH = = 5,14
1 1 1 7+ +
6 3 12

Se observa:
(menor dato) MH MG MA    (mayor dato)
B. Para datos clasificados
Se tiene una tabla de distribución de frecuencias.
1. Media aritmética  MA,X
x × fi iX = = x ×hi in


1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x f + x f + x f + x f + x fX =
n
2. Media geométrica G(MG, X )
fn iX = XG i
3 51 2 4f ff f fnG 1 4 52 3X = X × X × X × X × X
DESARROLLO DEL TEMA
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ESTADÍSTICA II
TEMA 11
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3. Media armónica  HMH, X
i
i
n
f
X =H x
 31 2 4
5
n
ff f f
+ + +
x x x x1 2 3
II. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
A. Media aritmética ( MA , x )
Llamada también media o promedio aritmético.
B. Mediana (Me; Xm)
Es aquel valor que separa en 2 grupos de igual cantidad
de datos.
1. Para datos no clasificados
Se ordena los datos en forma creciente y luego:
Si la cantidad de datos es impar, la mediana será el
termino central. Si la cantidad de datos es par, la
mediana será el promedio de los dos datos centrales.
2. Para datos clasificados
Se emplea la siguiente relación:
me 1
me
me
n F
2Me L xW
f

  
  
C. Moda (Mo)
Es el valor que se presenta con mayor frecuencia
en un grupo de datos.
1. Para datos no clasificados
Se considera al valor mas repetitivo, que puede
ser uno o mas valores.
2. Para datos clasificados
Se emplea la siguiente relación:
1
mo
1 2
d
Mo L x W
d d
 

III. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión consisten en obtener medidas
(valores) referenciales de un grupo de datos, que nos
permitan medir que tan dispersos o alejados estan los
datos con respecto a este valor de referencia.
A. Para datos no clasificados
Sean un grupo de "n" datos:
1 2 3 na , a , a ,..., a
1. Varianza 2 2(s ó )
 
n
2
i
2i 1
n 2 x
i 2 x2 i 1 n
x x
S S
n
 



2. Desviación estandar (S ó  )
 
nn 2 2
ii
2i 1i 1
xx x
S xS nn


 

B. Para datos clasificados
Se tiene una tabla de distribución de frecuencias.
Calculamos la media (X).
Luego:
1. Varianza  2 2S ó 
 n n2 2i i i i 22 2i 1 i 1
x x f x f
S S x
n n
 
  
  
 
2. Desviación estandar (S ó  )
 
 n n2 2i i i i 2i 1 i 1
x x f x f
S S x
n n
 
  
  
 
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ESTADÍSTICA II
Problema 1
Indique la alternativa correcta después de
determinar si cada proposición es verdadera
(V) o falsa (F) según el orden dado:
I. La frecuencia relativa es el cociente
entre la frecuencia acumulada del
i–ésimo intervalo y el número total
de datos.
II. La mediana de un conjunto de n
datos, es el valor que más veces
se repite.
III. Si {18, 19, 16, 17, 14} son los
datos que representan las notas
de un examen, entonces la des-
viación estándar es mayor que 1,7.
UNI 2012-II
A) VVV
B) VVF
C) FVV
D) FFV
E) FFF
Resolución:
I. Falsa
Porque la frecuencia relativa de un
intervalo es el cociente entre la
frecuencia absoluta simple del i-
ésimo intervalo y el número total
de datos.
 ii
f
h
n
II. Falsa
Porque la mediana de un conjun-
to de n datos es el valor que divi-
de al conjunto de datos, previa-
mente ordenados, en dos partes
iguales.
III. Verdadera
Porque 
y tenemos
    18 19 16 17 14x 16,8
5
    
2 2 2 2 2 218 19 16 17 14 – (16,8)
5
  2,96 1,72046
Donde   1, 7
Respuesta: D) FFV
Problema 2
El gráfico de barras representa los
montos de inversión extranjera en
millones de dólares en los últimos 4
años. De la información del gráfico se
puede afirmar:
I. El porcentaje de crecimiento anual
de la inversión en millones de
dólares ha ido disminiyendo.
II. La inversión en millones de dólares
ha crecido en un porcentaje
constante.
III. La inversión en el último año ha
sido más del 100% de la inversión
en el 1er año.
Indique la alternativa que corresponde
a la verdad o falsedad de las
afirmaciones.
UNI 2011-II
A) VVV
B) VVF
C) VFF
D) VFV
E) FFV
Resolución:
A partir del gráfico, tenemos
I. Verdadero
El porcentaje de crecimiento anual
de la inversión en millones de
dólares ha ido disminuyendo.
Respecto a lo anterior, se tiene lo
siguiente:
II. Falso
La inversión en millones de dólares
ha crecido en un porcentaje
constante.
III. Verdadero
La inversión en el último año ha
sido más del 100% de la inversión
en el 1.er año.
Respuesta: D) VFV
Problema 3
La tabla muestra los valores y
frecuencias de las notas de los alumnos
de Álgebra. Con la información
mostrada se puede afirmar:
I. La media es menor que la mediana.
II. La moda es mayor que la mediana.
III. La media es mayor a 13.
problemas resueltos
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ESTADÍSTICA II
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UNI 2011-II
A) VVV
B) VVF
C) VFF
D) FFF
E) FFV
Resolución:
Recuerda que: 



i i
i
f x
Media
f
Donde:
fi: frecuencia
xi : valor
Mediana: valor que ocupa el lugar
central cuando todos los valores están
ordenados.
Moda: valor cuya frecuencia es la mayor
de todas.
De la tabla, hallaremos la media ( x ), la
mediana (Me) y la moda (Mo) de las notas.
            2 5 5 8 8 10 15 12 15 14 25 16 5 18x
75
x 13, 47
Me = 14 (de los 75 valores, la mediana
es aquel valor que ocupa el lugar 38,
el cual corresponde a la nota 14).
Mo = 16 (es el valor cuya frecuencia es
25, la mayor de todas las frecuencias).
I. Verdadero
La media es menor que la mediana
porque x = 13,47 < Me = 14
II. Verdadero
La moda es mayor que la mediana
porque Mo = 16 > Me = 14
III. Verdadero
La media es mayor a 13 porque
x = 13,47
En consecuencia, las tres proposiciones
son verdaderas.
Respuesta: A) VVV