Tema 15 - Técnicas de conteo

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41UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 15
TÉCNICAS DE CONTEO
ARITMÉTICA
En este capítulo desarrollaremos métodos para realizar un
conteo rápido y poder conocer de cuántas maneras puede
ocurrir un acontecimiento; por ejemplo.
• ¿Cuántas jugadas se pueden hacer en la TINKA?
• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 2
personas en una carpeta de 4 asientos?
I. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL
CONTEO
Son dos principios básicos para el conteo:
A. Principio de Adición
Si un determinado suceso A ocurre de “m” mane-
ras diferentes y un suceso B ocurre de “n” maneras
diferentes entonces, el suceso “A o B” (en sentido
excluyente) se podrá realizar de “m + n” maneras
diferentes.
Aplicación 1:
En un centro comercial se desea comprar una ca-
misa, esta prenda se vende en:
• 13 tiendas del 1.er nivel
• 15 tiendas del 2.o nivel
¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir
una tienda para hacer esta compra?
Rpta.: ________________
Aplicación 2:
Mario para viajar de Lima a Chiclayo dispone de 11
líneas de transporte terrestre y 5 de transporte
aéreo.
¿De cuántas maneras diferentes puede elegir el
medio de transporte?
Rpta.: ________________
Aplicación 3:
De cuántas maneras diferentes puede ir de A a B
sin retroceder ni repartir ningún tramo.
Rpta.: ________________
B. Principio de Multiplicación
Si un determinado suceso A ocurre de “m” mane-
ras diferentes y por cada uno de estos el suceso B
ocurre de “n” maneras diferentes, entonces los
sucesos “A” seguido de “B”, o “A” y “B” simultánea-
mente ocurre de “m x n” maneras diferentes.
Aplicación 4:
Se desea enviar una pareja mixta de nadadores a
las olimpiadas y se dispone de 8 varones y 15 da-
mas. ¿Cuántas parejas diferentes se podrán for-
mar?
Rpta.: ________________
Aplicación 5:
Se tienen 3 cajas vacías, de cuántas maneras dife-
rentes se pueden distribuir 4 conejos en dichas
cajas.
Rpta.: ________________
Aplicación 6:
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obte-
ner al lanzar 3 dados?
Rpta.: ________________
Aplicación 7:
De 10 alumnos, se desea formar un comité inte-
grado por un Presidente, Secretario y Tesorero.
¿Cuántos comités se pueden formar?
Rpta.: ________________
DESARROLLO DEL TEMA
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TEMA 15
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II. FACTORIAL DE UN NÚMERO
Sea n   se define como factorial de "n" denotado por
n! al producto de los enteros consecutivos del 1 al n.
Ejemplo:
0! = 1 (por convención)
1! = 1
2! = 1 x 2
3! = 1 x 2 x 3
4! = 1 x 2 x 3 x 4
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5
También:
• 5! 1 2 3 4 5
4 !
     • 8 ! 7 ! 8 
5! 4 ! 5  8 ! 5! 6 7 8   
5! 3! 4 5  
Técnicas de conteo
Permutación
a. Permutación lineal con elementos diferentes
Son todos los ordenamientos que se pueden
formar con parte o con todos los elementos que
conforman un conjunto.
Ejemplo:
Dado el conjunto:
 A a,b, c, d, e
de cuántas maneras se podrán ordenar sus ele-
mentos si los tomamos de:
a. 2 en 2
b. 3 en 3
c. ordenamos todos
Resolución:
a) 5 4 20; pero 
5 4
5 4 3! 5! 20
3 ! (5 2)!
   

b) 5 4 0 3 6
5 4 3
5 4 3 2! 5! 60
2 ! (5 3)!
    

c)
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1 5! 120     
Luego: se tienen "n" elementos diferentes
al ordenarlos en "r" en "r" el número de
maneras está dado por:
 n!P(n, r) 0 r n
(n r)!
  

Observación
r n P(n, n) Pn n!   
Aplicación 8:
De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5
chicas en una banca para 7, si dos de ellas quieren
sentarse en los extremos.
Aplicación 9:
Se tiene un aula de 25 alumnos 5 de talla alta, 10
de talla intermedia y 10 de baja estatura. De
cuántas maneras se les podrá ordenar para formar
una batallón de desfile.
b. Permutación con elementos repetidos
Permutar las letras: A, A, B, B, B.
Luego si se tiene "n" elementos donde hay
r1 : elementos de una primera clase.
r2 : elementos de una segunda clase.

r3 : elementos de una k-ésima clase.
El número de permutaciones diferentes que se
pueden formar con ellos será:
1 2 4
1 2 3 k
n!p(n, r , r ,....r )
r ! r ! r ! ... r !

   
Donde: 1 2 3 kr r r ... r n    
Aplicación 10:
Cuántas palabras de 10 letras con sentido o no se
pueden formar con las letras de la palabra ARIT-
MÉTICA.
c. Permutación circular
Es un arreglo u ordenamiento de elementos dife-
rentes alrededor de un objeto en estos ordena-
mientos no hay primer, ni último elemento, por
hallarse todos en un ciclo cerrado imaginario.
Ejemplo: De cuántas maneras se pueden or-denar
4 elementos alrededor de un objeto.
A B
D C
A AB C
C DD B
A C
B D
A AD D
C BB C
La idea es mantener fijo un elemento y permutar
los restantes. Luego dados "n" elementos, al
ordenarlos alrededor de un objeto se podrá hacerlo
de:
0P (n) (n 1)! 
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Aplicación 12:
Se sientan 8 personas alrededor de una mesa, de
cuántas maneras se podrá ordenar.
Rpta.: ________________
Aplicación 13:
5 parejas de novios juegan a la "ronda". ¿Cuántas
rondas podrán formar si cada pareja no se separa?
Rpta.: ________________
III. COMBINACIONES
Son diferentes "grupos" o subconjunto que se pue-
den formar con parte o todos los elementos de un
conjunto.
Ejemplo:
Cuántos subconjuntos se pueden formar con los ele-
mentos de:
 A a,b, c, d
A. Binarios
           a,b , a, c , a, d , b, c , b, d , c, d
B. Ternarios
       a,b, c , a,b, d , a, c, d , b, cd
Luego el número de combinaciones (o subconjuntos)
que se pueden formar con "n" elementos diferentes
tomados de "r" en "r", se calcula:
  

n
r
n!c 0 r n
r !(n r) !
Observaciones:
• n0c 1
• nnc 1
• 
n n
r n rc c
Aplicación 13:
Cuántas rectas se pueden trazar con 10 puntos no
colineales.
Rpta.: ________________
Aplicación 14:
Con 8 varones y 3 damas cuántos comités de 4 perso-
nas se pueden formar de modo que:
A. Hayan 2 varones y 2 damas.
B. Siempre esté Tatiana en el grupo.
C. Haya al menos 2 mujeres.
D. Haya a los más tres varones.
Rpta.: ________________
Conclusión:


Permutaciones Ordenamientos
Combinaciones Agrupaciones
Problema 1
El dueño de un concecionario automo-
triz desea vender todos los autos que
le quedan, los cuales son de diferentes
modelos, pero en el salón de exhibi-
ción tendrán sólo 3 autos, el dueño cal-
cula que existen 210 maneras diferen-
tes de ordenar la exhibición, ¿cuántos
autos le quedan por vender?
UNI 2012-I
A) 4 B) 5
C) 6 D) 7
E) 8
Resolución:
Ubicación de incógnita
Hallar el número de autos que quedan
por vender.
Análisis de los datos o gráficos
La cantidad de ordenamientos de "n"
autos tomados de 3 en 3 es 210.
Operación del problema
 
n
3
6 5
7
n!P 210
(n 3)!
n (n 1)(n 2) 210
n 7 autos

 

   
 
Método práctico
.......
(n autos)
Salón
de
exhibición
n x (n-1) x (n-2) = 210
 n = 7
Respuesta: D) 7
Problema 2
¿De cuántas formas puede ordenarse los
elementos del conjunto {V; S; #; *}?
UNI 2008 - II
A) 6 B) 8
C) 16 D) 24
E) 32
Resolución:
Ubicación de incógnita
Nos piden el número de ordenaciones
Análisis de los datos o gráficos
Dado que hay 4 elementos y tácita-
mente nos indica ordenarlos todos.
problemas resueltos
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Operación del problema
Cantidad de
ordenaciones
= P = 4! =2444
Respuesta: D) 24
Problema 3
Determine el número de trayectorias que
permiten ir de A hacia B sólo con despla-
zamientos hacia arriba o a la derecha.
A) 196
B) 204
C) 225
D) 252
E) 260
Observación:
Para ir de A a B hay tres formas:
En el problema:
Por lo tanto, el número de trayectoria
de A hacia B es 252.
Método práctico:
En el problema: m = 5 y n = 5
Número de trayectorías
  10 9 8 7 6 5!5 5 ! 10!
5! 5! 5! 5!
      
  5!
252
120


Respuesta: D) 252