Tema 17 - Cuatro operaciones I

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49UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 17
CUATRO OPERACIONES I
I. ADICIÓN
Es una operación matemática, que consiste en reunir
dos o más cantidades (sumandos) en una sola cantidad
(suma).
a b c S+ + =
sumandos suma
Observación:
Se recomienda colocar los sumandos en forma vertical.
4 3 2 +
 9 4
5 2 6
1
12 10
 2 1
Base 10
3 6 2 +
 5 4
4 3 6
1
11 8
 3 1
Base 8
8
8
8
Sumas notables
• Suma de los "n" primeros enteros positivos.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n
n(n 1)S
2
+=
• Suma de los "n" primeros pares.
S = 2 + 4 + 6 + ... + (2n)
S n(n 1)= +
• Suma de los "n" primeros impares.
S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)
2S n=
• Suma de los "n" primeros cuadrados perfectos.
S = 12 + 22 + 32 + ... + n2
n(n 1)(2n 1)S
6
+ +=
ARITMÉTICA
• Suma de los "n" primeros cubos perfectos.
S = 13 + 23 + 33 + ... + n3
2n(n 1)S
2
 
  
+=
• Suma de: S 1 2 2 3 3 4 ... n(n 1)  = + + + + +
n(n 1)(n 2)S
3
+ +=
• Suma de:     0 1 2 nS a a a ... a
 
 

n 1a 1S
a 1
II. SUSTRACCIÓN
Operación que consiste en que dado dos cantidades
(minuendo y sustraendo) hallar una tercera cantidad
(diferencia) tal que:
M S D– =
Observación:
Se recomienda restar en forma vertical.
8 2 5 –
1 6 2
6 6 3
se presta 10
Base 10
6 1 4 –
1 5 1
4 4 3
se presta 8
Base 8
8
8
8
Propiedades
1. En toda resta se cumple: M S D 2M+ + =
2. Para un numeral de tres cifras:
DESARROLLO DEL TEMA
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CUATRO OPERACIONES I
TEMA 17
Exigimos más!
Problema 1
Si (a + b + c)2 = 2 025.
Hallar el valor de:
S abc bca cba= + +
Nivel fácil
A) 4895 B) 4905
C) 4695 D) 4995
E) 4 05
Resolución:
Se tiene:
(a + b + c)2 = 2 025
Entonces:
a + b + c = 45
Escribiendo los numerales en forma
vertical y sumando ordenadamente.
 a b c +
 b c a
 a c b
S = 4 9 9 5
44
Respuesta: D) 4 995
Problema 2
¿Cuántos números de 3 cifras existen tales
que sumado con el número que resulta
de invertir el orden de sus cifras se
obtiene un número capicúa de 4 cifras?
Nivel intermedio
A) 8 B) 7
C) 9 D) 5
E) 10
Resolución:
Debemos hallar los números de la forma
abc tal que:
 a b c +
 c b a
 x y y x
Si el resultado tiene 4 cifras se deduce
que x = 1.
En las unidades tenemos: a + c = 11
En las decenas:
 2b + 1 = ...y < 10
Entonces:
 y = 1 b = 0
De la condición anterior tanteamos:
a c 11+ =
2 9
{ {
9 2
3 8
 Los números son:
8 números
209;308;407;506;605;704;803;902
Respuesta: A) 8 números
Problema 3
Calcula la suma de todos los números
capicúa de 4 cifras.
Nivel intermedio
A) 935 000
B) 444 000
C) 143 000
D) 480 000
E) 495 000
Resolución:
Los números son:
1001; 1111; 1221; ....; 9779; 9889; 9999
a pesar de no formar una progresión
aritmética, podemos observar que:
1001+9999=1111+9889=1221+9779=...
Las sumas de los términos de la suce-
sión que son equidistantes de los ex-
tremos, son iguales.
Entonces como existen:
a b b a
9.10 =90 números
Se forman 45 parejas, y la suma de
todas ellas es:
45(1001 + 9999) = 495 000
Respuesta: E) 495 000
Ejemplos:
• 8 1 4 –
4 1 8
3 9 6
• 7 8 1 –
1 8 7
5 9 4
III. COMPLEMENTO ARITMÉTICO
Es lo que le falta a una cantidad para ser unidad del
orden inmediato superior.
Ejemplos:
• CA( 7 ) 10 7 3= – =1
1 cifra
• CA( 38 ) 10 38 62= – =2
2 cifras
• CA( 681 ) 10 681 319= – =3
En general: CA( N ) 10 N= –
x
x cifras
Observación:
En forma práctica se puede calcular restando de 10
a la última cifra y las restantes restamos de 9.
CA( 4 8 3 ) 5 1 7=
9–4 9–8 10–3


9 10
CA(86 3 ) 137

En general
Si C 0 entonces
CA( abc ) (9 a)(9 b)(10 c)= –– –
3 cifras
problemas resueltos