Tema 25 - Números racionales II

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75UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 25
NÚMEROS RACIONALES II
ARITMÉTICA
Un número aval es la expresión lineal de una fracción expresada en cierta base, se obtiene al dividir los términos de la
fracción.
Ejemplo 1
En general, en toda fracción, al realizar la división de su nu-
merador con su denominador, genera un número llamado
Aval, dependiendo la base en que está expresado. Un
número aval consta de 2 partes:
Observación:
Trabajaremos inicialmente con fracciones irreductibles para
facilitar las operaciones, los números del ejemplo se llaman
decimales debido a que están expresados en base 10, a-
demás el decimal que se genere puede ser exacto o
periódico dependiendo de los factores que posea el de-
nominador.
Ejemplo:
 
24 : parte entera
24,526 52 : parte noperiódica
6 : parteperiódica






Y se puede desdoblar, ambas partes con su respectiva base:
• 24,427 = 24 + 0,427
• 361, 45 361 0, 45 
 
• 254,368 = 2548 + 0,368
• 9 9948,526 48 0,526 
 
I. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE
UN NÚMERO AVAL
A. En base 10
• 1 1 2 3
3 4 572, 345 7x10 2x10
10 10 10
     
• 
2 3 4
6 3 6 30,63 0,6363... ...
10 10 10 10
     
Se observa que a partir de la coma decimal y hacia
la derecha todos los dígitos serán divididos entre
las potencias consecutivas de 10.
DESARROLLO DEL TEMA
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TEMA 25
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B. En otras bases
• 28 1 2 3 4
4 5 2 3
261,4523 2 8 6 8 1
8 8 8 8
        
•        
 1
7 1 2 3 4
5 1 1 1
42,51 4 7 2 ...
7 7 7 7
En general:
 2 1 0
n 1 2 3 4 5 6 7
d e f g h g h
abc,defgh a n b n c n ...
n n n n n n n
             
TABLA DE NUEVES
29 3
299 3 11 
3999 3 37 
29999 3 11 101  
299999 3 41 271  
3999999 3 7 11 13 37    
 
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C. Cambio de base
Expresar 3/4 en los sistemas: decimal, exaval y hep-
taval.
Resolución:
 
76
3 0.75 0.43 0.51
4
  
II. FRACCIÓN GENERATRIZ
Observación
Así como podemos expresar una fracción en su forma
decimal o aval, también se puede llevar de su forma
decimal o aval a la fracción que la origina, a dicho proceso
denominaremos fracción generatriz.
Ejemplo:
 
Justificaremos para 0, abc.
Más ejemplos:

 45 243 272 0, 45 2
99 99 112, 45
245 2 243 27
99 99 11
     

  

Observación
Para determinar si una fracción irreductible genera un aval
(decimal) exacto o periódico, ello dependerá del denominador.
Estudiaremos primero en el sistema decimal.
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Problema 1
Expresa 90, 74

 en base 4.
UNI
Nivel fácil
A) 40, 31

B) 90,74

C) 90,70

D) 40,64

E) 40,52

Resolución:
9 9
9
9
74 7 60 50, 74
80 72 6

  





base 4
5 4 6
2 4 0,311....(4)
2 4
9 4
50,74 0,31
6
 
 
Respuesta: B) 

40, 31
Problema 2
Si se cumple que:
8 6abc,32 342, xyzmn
Calcule:
a + b + c + x + y + z
UNI
Nivel intermedio
A) 15 B) 16
C) 17 D) 18
E) 20
Resolución:
 a + b + c + x + y + z = 15
Respuesta: A) 15
Problema 3
¿Cuántas fracciones propias e irre-
ductibles, generan un decimal con 3
cifras no periódicas y 2 cifras en el pe-
riodo; si el denominador es de 2 cifras?
UNI
Nivel intermedio
A) 30
B) 11
C) 27
D) 40
E) 20
Resolución:

 
32 11ab 35 x

  ab 88
Cantidad de valores de N:
      388 2 11
= 22  1  110  10 = 40
Respuesta: D) 40
III. COMO DETERMINAR EL NÚMERO DE
CIFRAS EN EL PERIODO
Cuando el denomimador de una fracción irreductible
no tiene factor 2 ni 5. El decimal que se genera es
periódico puro y para determinar el número de cifras
en su periodo se tendría: irreductible; p es primo
o o
(p 2 p 5)   Nf a, bc...de
p x cifras

  
Ejemplo:
¿Cuántas cifras periódicas genera 
3
1f
11
 ?
Rpta. 242 cifras
problemas resueltos