Tema 27 - Radicación

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81UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 27
RADICACIÓN
ARITMÉTICA
I. RADICACIÓN
A. Definición
Es una operación matemát ica inversa a la
potenciación que consiste en que, dados dos
números llamados índice y radicando, se calcula
un tercer número llamado raíz, donde este últi-
mo elevado a la raíz produce al radicando. Así
tenemos:
n nN K K N  
Donde: 
 
 
 
 
+
+
N : Radicando (N )
n : Índice de la Raíz (n n 1)
K : Raíz enésima

  


B. Casos particulares
• Raíz cuadrada (de índice 2)
– Exacta
2
KN
0
N K 
– Inexacta
 Donde: 
 d
e
K : Raíz cuadrada aproximada 
 de N
r : residuo por defecto
r : residuo por exceso 
• Raíz Cúbica (de índice 3)
– Exacta
3
3
KN
0
N K 
– Inexacta
Donde:
K: Raíz cúbica aproximada de N
rd: Residuo por defecto
re: Residuo por exceso
Observación
Si un número es un cuadrado perfecto tiene una
cantidad impar de divisores y viceversa:
2
NSi :N k CD (Número impar)  
DESARROLLO DEL TEMA
82UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
RADICACIÓN
TEMA 27
Exigimos más!
Problema 1
De un número positivo que no tiene
raíz cúbica exacta. Si a este número
se disminuye en 721, entonces su raíz
cúbica disminuye de una cantidad en
una unidad, pero el residuo no se
altera. Determine la suma de las cifras
de la diferencia entre el número y el
residuo.
UNI 2008 - I
A) 16 B) 17 C) 18
D) 19 E) 20
Resolución:
Nos piden diferencia entre el número
y el residuo
N – r = ¿?
En el problema:
K3
r
N  N=K3+r ..... ( )
K3
r
N - 721 -1 N–721=(K–1)3+r.....( )
Restando  y : 721 = 3K2 – 3K+1
 K=16
En (): N = 163+r
N – r = 4096
Suma de cifras: 19
Respuesta: D) 19
Problema 2
Sea 2 ab 6 ab 12 ab 20 ab ... 72 ab         
un número natural, cuya cantidad de
divisores es impar.
¿Cuántos valores puede tomar ab ?
UNI 2011 - II
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución:
Ubicación de incógnita
Cantidad de valores de ab
Análisis de los datos o gráficos
2ab (2 6 12 20 ... 72) k      
Operación del problema
n(n 1)(n 2)1 2 2 3 3 4 ... n(n 1)
3
         
Reemplazando, tenemos:
28 9 10ab k
3
   
Simplificando:
4 2
2
2
2
2
ab 3 2 5 k
ab 15 95
15 1 15
15 2 60
15 3 135
    
   
 
 
 
 Hay dos soluciones
Respuesta: B) 2
Problema 3
¿Cuántos números enteros menores
que 100 existen que son cubos
perfectos y que al ser multiplicados por
3 se conv ierten en cuadrados
perfectos?
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
UNI 2011 - I
Resolución:
Ubicación de incógnita
N3: Cubo perfecto menor que 100
Cuántos valores toma N.
Análisis de los datos o gráficos
N3 < 100
3N3 = K2 (cuadrado perfecto)
Operación del problema
o o
2 3K 3 3N N 3  
Como: 3N3 = K2 
o
K 3
Luego: N = 
o
3
Como N3 < 100 N 3 (único valor)
Total de números que cumplen: 1
Sólo un número cumple las
condiciones: N3 = 27
Método práctico
Cubos perfectos menores que 100: 1;
8; 27; 64
Se triplican: 3; 24; 81; 192
Sólo es cuadrado perfecto: 81
Cumple sólo un número.
Respuesta: A) 1
problemas resueltos