UNLC Unidad 3 - Ultima versión

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UNIVERSIDAD NACIONAL LOS COMECHINGONES 
 Cátedra:Estadística Ciclo Lectivo:2019 
 Unidad N°3: Combinatoria-Probabilidades 
 
1.-Análisis Combinatorio 
El análisis combinatorio brinda muchos recursos que , en general, están basados en el 
principio general de la multiplicación. Este principio nos provee una regla útil para contar y 
tiene que ver , obviamente, con el sentido común. 
Por ejemplo: Se cuenta con cuatro aparatos distintos para hacer funcionar cierta máquina, 
donde sólo se necesitan dos de ellos cualesquiera y dispuestos en hilera .¿De cuántas 
maneras diferentes podría darse el armado?. 
Llamemos, por ejemplo, con A, B , C y D a los respectivos aparatos. Entonces , tenemos 
la siguiente situación gráfica: 
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
 
𝐵
𝐴
𝐶
𝐷
 
𝐶
𝐴
𝐵
𝐷
 
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
 
  
Para colocar uno de los aparatos en primer lugar se cuenta con cuatro posibilidades 
diferentes y por cada una de ellas, a su vez, para colocar el segundo aparato pueden darse 
de tres formas diferentes. En consecuencia existen 4.3=12 formas diferentes. 
Observación: El análisis Combinatorio puede ser Simple o con Repetición : 
 En el Análisis Combinatorio Simple, en cada conjunto ordenado o no , los 
elementos no pueden repetirse. 
 En el Análisis Combinatorio con Repetición se admite la posibilidad de repetir 
elementos. 
 
1.1-Análisis Combinatorio Simple 
Fórmulas de Conteos 
 La fórmula de la multiplicación. 
 La fórmula de la permutación. 
 La fórmula de la combinación. 
Fórmula de la multiplicación 
Si un evento A tiene n formas de realizarse y si por cada una de estas un segundo evento B 
tiene m formas de realizarse, entonces el número de formas distintas en que puede 
realizarse o presentarse la secuencia de los eventos A y B es m .n. 
Observaciones: 
1°) Este principio se puede extender a más de dos eventos o sucesos. Así si se tienen k (
Nk  ) eventos que se pueden realizar de ni formas distintas (i=1,2,3,4,5,…….k) entonces 
el número total de maneras distintas en que puede presentarse la secuencia de los k eventos 
es el producto n1. n2. ……… nk 
2°) Vemos que el ejemplo anterior, obedece a dicho principio de la multiplicación, en cuyo 
caso el suceso o evento es la disposición de los aparatos : cuatro en primer lugar, con que se 
cuenta para hacer funcionar la máquina, 
 
Fórmula de la permutación (simple) 
 Como se puede observar, la fórmula de la multiplicación se aplica para encontrar el 
número de arreglos posibles, dados dos o más eventos. 
 La fórmula de la permutación se utiliza para determinar el número posible de 
arreglos cuando hay un sólo grupo o conjunto de n elementos distintos. Dado un 
conjunto A={ a1. a2. …… an} de n elementos distintos, se denomina Permutación 
Simple de orden n a cada conjunto ordenado de los n elementos. 
 
 Con Pn designaremos a la cantidad de permutaciones simples de orden n que pueden 
formarse a partir de un conjunto de n elementos distintos. Dos permutaciones de orden n 
son distintas, solamente cuando difieren en el orden de sus elementos. 
La expresión de Pn es: Pn=n!. 
Ejemplo: Un operario debe realizar cuatro verificaciones de seguridad antes de activar su 
máquina, pudiendo realizarlas de cualquier modo, pero implica que cambiando el orden 
resultan verificaciones distintas ¿De cuántas maneras distintas puede realizar las 
verificaciones?. 
Aquí el valor de n es cuatro y ,como para activar la máquina se deben realizar las cuatro 
verificaciones (las cuales varían según el orden), entonces se trata de permutaciones 
simples de orden 4,esto es P4=4!. 
Observación: Si se consideran todos los arreglos posibles, de un conjunto de n elementos 
distintos, donde también interesa el orden pero ahora intervienen r de los n objetos (1≤ r 
< n) , entonces la fórmula que permite contar este número total de arreglos se denomina 
Variaciones (simples) de r elementos que pueden formarse de un grupo o conjunto de 
n elementos. 
Se expresa así: 𝑽𝒏,𝒓 = 𝒏. (𝒏 − 𝟏). (𝒏 − 𝟐) … … . (𝒏 − (𝒓 − 𝟏)) 
 =𝒏. (𝒏 − 𝟏). (𝒏 − 𝟐) … … … . . (𝒏 − 𝒓 + 𝟏) 
Ejemplo: ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas pueden formarse con los dígitos del 
1 al 9?. 
Como todas las cifras deben ser distintas y, además, interesa el orden porque se trata de un 
sistema posicional donde cada arreglo es de orden p=4 (donde n =9), entonces se trata de 
variaciones simples de orden 4 a partir de un conjunto de 9 elementos ,esto es: 
 𝑉 , = 9.8.7.6 
Fórmula de la combinación(simple) 
La fórmula de la combinación simple se utiliza para contar todos los arreglos o 
combinaciones posibles, de r objetos de un conjunto de n elementos distintos (1≤ r ≤ n), 
donde no interesa el orden . La fórmula que permite contar este número total de arreglos 
se denomina Combinaciones simples de r elementos que pueden formarse de un grupo 
o conjunto de n elementos. 
Con Cn designaremos a la cantidad de combinaciones simples de orden p que pueden 
formarse a partir de un conjunto de n elementos . Dos combinaciones simples de orden p 
son distintas si tienen al menos un elemento distinto. La fórmula que se utiliza para contar 
el número total de combinaciones simples es: 
𝑪𝒏,𝒑 =
𝒏!
𝒑! (𝒏 − 𝒑)!
 
Ejemplo: Un mecanismo consta de 15 componentes, ¿de cuántas maneras diferentes 
pueden fallar 3 componentes simultáneamente?. 
En este caso los componentes difieren sólo si tienen algún elementos diferente, por lo tanto, 
no interesa el orden (son combinaciones simples de orden 3 formadas a partir de un 
conjunto de 15 elementos) .El número total de combinaciones simples es:𝐶 , =
!
!( )!
 
 
1.2.-Análisis Combinatorio con Repetición 
 Permutaciones con repetición: El número de permutaciones de n elementos donde 
hay uno repetido n1 veces, otro n2 veces etc, está dado por la expresión: 
 
!!......!.
!
2|
,....,,1
k
nn
n nnn
n
P k  
Ejemplo: ¿Cuántos números de 3 dígitos pueden formarse con los números:3 y 7 
admitiendo que el 3 puede repetirse dos veces y el 7 una ? 
Analizando gráficamente, resultan tres números los que pueden formarse , donde importa el 
orden pero hay elementos que pueden repetirse : 
3
3{7 
7{3 
 
7{3{3  
  
 Lo que coincide con el resultado que brinda la fórmula correspondiente: 3
!1!.2
!31,2
3 P 
 
 Variaciones con repetición: Dado un conjunto o grupo de n elementos distintos, se 
llama Variación con repetición de orden r (con r ∈ 𝑁)a un conjunto ordenado de p 
elementos de A, distintos o repetidos .Aquí r puede ser mayor, menor o igual que n. 
Si es mayor que n, en cada arreglo, aparecerán elementos repetidos. En este caso, 
dos arreglos con repetición, del mismo orden, son distintos cuando difieren en al 
menos un elemento o bien , teniendo los mismos elementos, difieren en el orden de 
los mismos .Por el principio general de la multiplicación, resulta: 
 
𝑽𝒏,𝒑 = 𝒏
𝒑 
 Ejemplo:¿Cuántos números de 2 dígitos pueden formarse con los dígitos:2,3,4,5 donde se 
admite que sus cifras pueden repetirse?. 
Analizando gráficamente, resultan tres números los que pueden formarse, donde importa el 
orden pero hay elementos que pueden repetirse : 
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧
2
2
3
4
5
 
3
2
3
4
5
 
4
2
3
4
5
 
5
2
3
4
5
 
  
 
𝑉 , = 4 = 16 
 
 Combinaciones con repetición: Dado un conjunto o grupo de n elementos 
distintos, se denomina Combinación con repetición de orden r Nrnr  ,( ) a un 
conjunto formado por r elementos distintos o repetidos , elegidos entre los 
elementos de un conjunto A. 
La cantidad de combinaciones con repetición de orden r que pueden formarse a partir de un 
conjunto de n elementos distintos , está dada por la expresión :)!1(!
)!1(
,´ 


nr
rn
C rn 
Ejemplo: En una bodega hay cuatro t ipos diferentes de botellas: Anís. Ron, 
Vodka, Whisky. ¿De cuántas formas se pueden elegir dos botellas? 
No entran todos los elementos. Sólo el ije 2. 
No importa el orden. Da igual que el ija 2 botel las de anís , que 1 de ron y 1 de 
anís, por ejemplo. 
Sí, se repiten los elementos. Puede elegir más de una botel la del mismo t ipo. 
Gráficamente: 
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎧
𝐴
𝐴
𝑅
𝑉
𝑊
 
𝑅
𝑅
𝑊
𝑉
 
𝑉
𝑉
𝑊
 
𝑊{𝑊 
  
 𝐶 =
( )!
!( )!
=
!
= 10 
2.-Probabilidades 
El Cálculo de Probabilidad nos provee reglas para el estudio de los experimentos aleatorios 
o al azar, constituyendo la base inductiva o inferencial. 
Experimentos aleatorios: son aquellos en los que no se puede predecir el resultado final, a 
diferencia de los determinísticos, en los cuales, realizados de una misma forma y bajo las 
mismas condiciones iniciales, el resultado siempre es el mismo. 
Las condiciones que se verifican en un experimento aleatorio son : 
 Se puede repetir indefinidamente , siempre en las mismas condiciones. 
 Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. 
 El resultado que se obtenga , pertenece a un conjunto de resultados posible 
conocidos previamente. 
Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles al realizar un experimento 
aleatorio y se denota con la letra S. Los elementos de un espacio muestral se denominan 
Sucesos Elementales (e). 
Los sucesos aleatorios que con gran frecuencia aparecen en el cálculo de probabilidades, 
son los siguientes: 
 Suceso Seguro: Es aquel que siempre se verifica después del experimento aleatorio, 
es decir , el mismo S. 
 Suceso imposible: Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento 
aleatorio. Por lo tanto, la única posibilidad es que el suceso imposible sea un 
conjunto  . 
 Suceso Complementario a un suceso A: Es aquel que se verifica si,como resultado 
del experimento aleatorio no se verifica A y se denota A . 
 
Operaciones Básicas con Sucesos Aleatorios: 
 Unión: Dados dos sucesos aleatorios A y B S , se denomina Suceso 
Unión entre A y B , al conjunto formado por todos los sucesos elementales 
que pertenecen a A o bien a B. La unión entre A y B se denota A  B. 
 
 Intersección: Dados dos sucesos aleatorios A y B S , se denomina Suceso 
Intersección entre A y B , al conjunto formado por todos los sucesos 
elementales que pertenecen a A y a B a la vez. La intersección entre A y B 
se denota A  B. 
 Diferencia: Dados dos sucesos aleatorios A y B S , se denomina Suceso 
Diferencia entre A y B , al conjunto formado por todos los sucesos 
elementales que pertenecen a A pero no a B. La diferencia entre A y B se 
denota A -B. 
 Diferencia Simétrica: Dados dos sucesos aleatorios A y B S , se 
denomina Diferencia simétrica entre A y B , al conjunto formado por todos 
los sucesos elementales que están en A o en B pero que no pertenecen 
simultáneamente a ambos. La diferencia simétrica entre A y B se denota 
 A  B. 
Las leyes de De Morgan :Son propiedades que relaciones las operaciones unión, 
intersección y sucesos o eventos complementarios. Las mismas expresan lo siguiente: 
 BABA  
 A  B  A  B 
 
 
Probabilidad Clásica: Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de 
resultados posibles, y no existe ningún motivo que favorezca a unos resultados en contra de 
otros , se calcula la probabilidad de un suceso A , como el cociente entre el número de 
casos favorables y el número de casos posibles. Esto es : 
P(A)=
𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬 𝐚 𝐀
𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞𝐬
 
Probabilidad Frecuencial: En los experimentos aleatorios se observa que cuando el 
número de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso 
A tienden a converger hasta cierta cantidad que se denomina probabilidad de A. De modo 
que se tiene: 
fn(A)=
𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐨𝐜𝐮𝐫𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐞 𝐀
𝐧
=
𝒏𝒊
𝒏
 (frecuencia relativa del evento A) 
P(A)=lim
→
f (A) = lim
→
=
𝒏𝒊
𝒏
 (probabilidad del evento A) 
 
Probabilidad Axiomática: 
 La probabilidad sólo puede tomar valores entre 0 y 1 .En particular ,no puede ser 
negativa. 
 La probabilidad del suceso seguro es 1 
 La probabilidad de dos sucesos excluyentes (de intersección igual al conjunto vacío) 
es la suma sus probabilidades respectivamente. 
 La probabilidad de la intersección de dos sucesos es menor o igual que la 
probabilidad de cada uno de los sucesos por separado. 
 La probabilidad de la unión de dos sucesos es mayor o igual que la probabilidad de 
cada uno de los sucesos por separado 
 La probabilidad del complemento de un evento A es P(�̅�)=1-P(A). 
 
 
Probabilidad Condicionada: Si B es un suceso del espacio muestral S ,con probabilidad 
no nula y A es cualquier otro suceso también del espacio muestral S , llamamos 
Probabilidad Condicionada de A dado B, a la cantidad que se representa mediante la 
notación P(A/B) y que se calcula como : P(A/B)=
( ∩ )
( )
. 
Ejemplo: Sea el caso de lanzar un par de dados corrientes. Si se sabe que la suma obtenida 
fue 6,hallar la probabilidad de que uno de los dados sea el 2. 
Si llamamos B: la suma de las caras de los dados es 6 entonces 
B={(1,5),(2,4),(3,3,),(4,2),(5,1)}. Por otra parte, si llamamos A : aparece por lo menos un 2 
en uno de los dados, resulta: 𝐴 ∩ 𝐵={(2,4),(4,2)}.Luego: P(A/B)=
( ∩ )
( )
= → P(A/B)= 
Observaciones: 
1.-De acuerdo a la definición de probabilidad condicional, la probabilidad de la intersección 
de dos sucesos de probabilidad no nula se puede definir como: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵/𝐴)
𝑃(𝐵). 𝑃(𝐴/𝐵)
  
Si entre dos sucesos no existe ninguna relación cabe esperar que la expresión “dado que” 
no aporte ninguna información . De ese modo aparece el concepto de Independencia de dos 
sucesos A y B como: 
A es independiente de B si y sólo si P(A∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵). 
2.La relación anterior puede extenderse a más de dos conjuntos, de modo que si se tienen 
A1,A2,…..,An eventos independientes entre sí:P(A1∩A2∩…..∩An)=P(A1)…….P(An) 
3.-Si en particular A y B son sucesos de probabilidad no nula , tenemos entonces que: 
 
𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐵, 𝑃(𝐴) ≠ 0 𝑦 𝑃(𝐵) ≠ 0 ⇔
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴/𝐵)
ó
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴)
  
 
 
Se propone la siguiente actividad: 
Se tiene un lote con 12 artículos, de los cuales 4 son defectuosos. Se toman al azar dos 
artículos uno tras otro. 
a)Si se realizan sucesivamente las extracciones con reposición, ¿cuál es la probabilidad de 
que los dos artículos estén buenos?. 
b) Si se realizan sucesivamente las extracciones sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de 
que los dos artículos estén buenos?. 
c) Si se realizan sucesivamente las extracciones sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de 
que el primer artículo esté bueno y el segundo sea defectuoso?. 
 
Regla de la Adición: Si A y B son dos sucesos de un espacio muestral S , no 
necesariamente disjuntos, la probabilidad de la unión entre ambos es: 
P(A∪ 𝐵 = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃𝐴 ∩ 𝐵) 
En efecto, a la unión la podemos expresar como sigue: 
 𝐴 ∪ 𝐵 =(A-B) ∪ 𝐵 (unión disjunta), de donde P (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴 − 𝐵) + 𝑃(𝐵).Entonces 
P (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐵) 
Si en particular A y B son disjuntos,entonces P(A∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) (pues 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅). 
Ejemplo: De 200 estudiantes de la UNLC, 80 están inscriptos en Estadística y 40 están 
inscriptos en Inglés. Estas cifras de inscripción incluyen a 30 estudiantes inscritos en ambos 
cursos.¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante aleatoriamente elegido esté inscripto 
en Estadística o en Inglés o en ambas?. 
Sean los eventos: 
E: número de alumnos inscriptos en Estadística e I: número de alumnos inscriptos en 
Inglés. Entonces P(E)= , P(I)= y P(𝐸∩ 𝐼) = Luego: 
P(𝐸 ∪ 𝐼) = + − → P(𝐸 ∪ 𝐼) = 0,4 + 0,2 − 0.15 → P(𝐸 ∪ 𝐼) = 0,45 
 
Teorema de la Probabilidad Total: Si A1, A2,……….., An, ∈ 𝑆 es un sistema exhaustivo 
y excluyente de sucesos, entonces, para cualquier suceso B de S : 
 𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴 ). 𝑃(𝐵/𝐴 ) 
Ejemplo: 
Atendiendo al nivel de contaminación , una ciudad está dividida en tres zonas A, B y C. El 
50% de la población vive en la zona A , el 40% en B y el resto en C. El nivel de 
contaminación influye en la incidencia de una determinada enfermedad pulmonar ; dicha 
enfermedad afecta a 10 de cada 100 personas que viven en A ,mientras que sólo afecta a 1 
de cada 100 de las que viven en B y a 5 de cada 1.000 en C. ¿Cuál es la probabilidad de que 
una persona de esa ciudad, elegida al azar, contraiga esa enfermedad pulmonar ? 
De acuerdo la situación tenemos el siguiente esquema: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧−𝐴
𝐼
𝑁𝐼
 
−𝐵
𝐼
𝑁𝐼
 
−𝐶
𝐼
𝑁𝐼
 
  
Donde A,B y C son los eventos excluyentes cuya unión representa toda la ciudad e I el 
suceso incidencia que puede provenir de alguno de los eventos anteriores. Completando el 
esquema con los datos del problema, tenemos que : 
P(I)=P(A).P(I/A)+P(B)P(I/B)+P(C).P(I/C)→P(I)=0,0545→ 𝑃(𝐼) ≅5,5% 
 
Teorema de Bayes: 
Si A1, A2,……….., An, ∈ 𝑆 es un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos y B un 
suceso del cual conocemos todas las probabilidades P(𝐵/𝐴 ), i=1,2,3,…n ,a las que 
denominaremos verosimilitudes. Entonces se cumple que, para cualquier i=1,2,……,n, 
 𝑃(𝐴 /𝐵) =
( ). ( / )
∑ ( ). ( / )
 
Nota: Este teorema es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo 
información de antemano sobre ese suceso. Por otra parte, tiene vinculación íntima con la 
comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados. 
Ejemplo: Con respecto al problema anterior sobre el nivel de contaminación que influye en 
la incidencia de una determinada enfermedad pulmonar, ¿cuál es la probabilidad de que una 
persona elegida al azar viva en la zona C sabiendo que está afectada por dicha 
enfermedad?. 
Aquí los aspectos causales son las distintas zonas que corresponden a la ciudad y los 
efectos observados son las respectivas incidencias. Observando el esquema y la Fórmula de 
Bayes, se tiene que : 
P(C/I)= 
,
, , ,
→P(C/I)≅ 0,009 
 
 
 
 
 
 
 .