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UNIDAD Nº5 POTENCIAL ELÉCTRICO-CAPACITANCIA Potencial. Energía potencial eléctrica. Gradiente de potencial. Capacitancias y capacitores en serie y en paralelo. Energía de capacitores. Dieléctricos. Ley de Gauss en los dieléctricos. Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA DU =U f -Ui = -W • Energía potencial del sistema • El trabajo hecho por una fuerza electrostática es independiente del camino elegido • El trabajo hecho por una fuerza electrostática es: dW = F ×ds = q0E ×ds El campo eléctrico que rodea una barra cargada no sólo puede describirse con un campo eléctrico (vectorial) E sino también a partir de una cantidad escalar denominada potencial eléctrico. Para calcular la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos A y B en un camo eléctrico, una carga de prueba q0 se desplaza desde A hasta B manteniéndola en equilibrio, y se mide el trabajo WAB que debe realizar el agente externo. Por definición: !" − !$ = &$" '0 UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 POTENCIAL ELÉCTRICO • Energía potencial eléctrica !" = %⃗. !' !" = (0. *. !' " = (0+ , - *. !' ∆/ = /- − /, = −" = (0+ , - *. !' • Potencial eléctrico 1 = /( ; ∆1 = 1- − 1, = /3 − /4 ( = Δ/ ( = −" = −(0+, - *. !' ∆V=∆678 = −∫, - :. !; La diferencia de potencialdepende únicamente de la distribución de cargas UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 POTENCIAL ELÉCTRICO ∆V= ∆"#$ = −∫( ) *. ,- La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, ∆Vif, es igual al trabajo que debo realizar para desplazar una carga unitaria desde un punto i a otro punto f La diferencia de potencial define una cantidad que describe una propiedad del espacio Unidades SI •Potencial eléctrico: Volt (V) 1 volt = 1J/C =1 joule / coulomb 1 J = 1 VC y 1 J = 1 N m 1 N/C = (1 N/C)(1 VC/J)(1 J/Nm) = 1 V/m 1 eV = e(1 V) = (1.60×10-19 C)(1 J/C) = 1.60×10-19 J •Campo eléctrico: •Energía eléctrica: UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO EN UN CAMPO UNIFORME La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, ∆Vif, es igual al trabajo que debo realizar para desplazar una carga unitaria desde un punto i a otro punto f DV =Vf -Vi = -Eòi ds = -Ed DV = -òi Eds DV =Vf -Vi = -òi E ×ds = -òi (E cos0°)ds = Camino i-f UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO EN UN CAMPO UNIFORME La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, ∆Vif, es igual al trabajo que debo realizar para desplazar una carga unitaria desde un punto i a otro punto f Camino i-c-f Vc -Vi = -òi E ×ds = -òi (E cos90°)ds = 0 Vf -Vi = -òc E ×ds = -òc (E cos 45°)ds = -E cos 45°òc ds Vf -Vi = -E cos45° " #$%45° = -Ed La diferencia de potencial no depende de la trayectoria adoptada para calcularla UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Superficies Equipotenciales El campo eléctrico no realiza trabajo sobre una carga que se desplaza sobre una superficie equipotencial Las superficies equipotenciales siempre son perpendiculares a las líneas de campo E. Unen puntos de igual potencial eléctrico. !" − !$ = 0 = −' () = −* $ " +. -. UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Algunos Voltajes Típicos Fuentes Voltaje aproximado Tormenta eléctrica 108V Línea de alto voltaje 106V Fuente de tubo de TV 104V Sistema encendido automóvil 104V Instalación domiciliaria 220V Batería de automóvil 12 V Batería Celular 3.6 V UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Potencial Debida a una Carga Puntual Se muestran dos puntos a y b en las cecrcanías de la carga puntual q. Por simplicidad se supondrán que se encuentran alineadas. Calcular la diferencia de potencial entre a y b, suponiendo que una carga de prueba q0 se mueve sin aceleración, a lo largo de la linea radial desde a hasta b. A lo largo de la trayectoria el campo E apunta hacia fuera (derecha) y ds en sentido opuesto. !. #$ = &. #'. cos 180° = −&. #' Al producirse el movimiento hacia la izquierda se produce en la dirección en que r decrece; por lo tanto #s = −#0 !. #$ = &. #0 12 − 13 = −4 3 2 !. #$ = 4 53 52 &. #0 UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Potencial Debida a una Carga Puntual !" − !$ = −& $ " '. )* = & +$ +" ,. )- , = 14012 3 -4 !" − !$ = 3 4012 & +$ +" . )--4 = 3 4012 ( 1-6 − 1 -7) Si la posición de a es en el infinito→ !7 = 0 !" = 1 4012 3 - Esto demuestra que las superficies equipotenciales de una carga puntual aisladas son esferas concéntricas con la carga puntual. •Una partícula con carga positiva produce un potencial eléctrico positivo. • Una partícula con carga negativa produce un potencial eléctrico negativo. UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Potencial Debida a un Conjunto de Cargas Puntuales Empleamos el principio de superposición Para cargas puntuales Es una suma algebráica de escalares E puede ser = 0 donde V es ≠ 0 V puede ser = 0 donde E es ≠ 0 UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Potencial Debida a una Distribución Continua de Cargas Es preciso encontrar la expresión para dq dq = l dl dq =s dA dq = r dV para una distribución lineal para una distribución superficial para una distribución volumétrica La contribución del potencial en el punto P debido a la carga puntual dq localizada en la distribución. !" = 14&'( !) * Integramos sobre toda la distribución " = +!" = 14&'( +!)* UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Potencial Debida a una Varilla Cargada Una varilla de longitud L ubicada a lo largo del eje x tiene una densidad lineal de carga λ. Encontrar el potencial eléctrico en un punto P localizado sobre el eje de las y a una distancia d desde el origen. dq = ldx ! = #$! = # % & ' 4)*% $+ (+- + $-) 1 2 = '4)*% ln(+ + (+- + $-) 1 2 ! = '4)*% Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Potencial en un Conductor Aislado Cargado • Recordemos que de acuerdo a la Ley de Gauss, la carga se distribuye sobre la superficie externa del conductor. • Además, el campo eléctrico existe sólo en la superficie exterior y es perpendicular la superficie del conductor. • Todos los puntos sobre la superficie del conductor cargado tiene el mismo potencial eléctrico. Sería una equipotencial. • Con la expresión anterior también podemos demostrar que el potencial eléctrico en el seno del conductor es constante e igual al valor que tiene en su superficie. Debido a que !. #$ = 0 sobre la super0icie, entonces: 78 − 7: = −; : 8 !. #$ = 0 UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Potencial en un Conductor Aislado Cargado Sabemos que una carga colocada sobre un conductor aislado se distribuirá en su superficie hasta que E sea igual a cero en todos los puntos de su interior. Esto es igualmente válido si la esfera es hueca o sólida. La figura muestra que el potencial al igual que el campo varía respecto de puntos que se alejan de la esfera conductora aislada. Alcanzan su máximo valor justo sobre la superficie de la esfera. En esta situación se comporta como una carga puntual. Si una carga de prueba se introduce en la esfera, el potencial permanece constante en cualquier punto del interior ya que el campo E es cero. La tercera figura se obtiene de diferenciar la primera. UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 DISTRIBUCIÓN DE LAS CARGAS: demostración de lo enunciado antes s1 s2 q1 q2Analogía de formas ! = 1 4pe0 q1 r1 = 1 4pe0 q2 r2 %&. 4)*1+ = ,& %+. 4)*2+ = ,+ q1 r1 = q2 r2 %& %+ = ,&,+ . *2 + *1+ q1 q2 = r1 r2 reemplazo %& %+ = *&*+ . *2 + *1+ = *+ *& Cuanto máspequeño es el radio de la esfera, mayor será el campo eléctrico cerca de su superficie La densidad de carga es mayor o más concentrada en las zonas donde el radio de curvatura es menor o zonas puntiaguadas, por ende también E UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Potencial V y campo eléctrico E. Conocer E a partir de V. Si desplazamos una partícula de prueba qo positiva desde una superficie equipotencial a una adyacente, el trabajo realizado por el campo eléctrico es: W = -q0 dV Desde otro punto de vista el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga podemos calcularlo así: W = q0 E ! ×ds" (2) (1) Entonces de (1) y (2) obtenemos: - q0dV = q0E(cosq )ds ! cos % = −()(* = !+ ,-./-01021 (1 ! 10 34 (561,,5ó0 * Si V (x, y, z) !8 = − 9) 9: !; = − 9) 9< != = − 9) 9> De esta manera podemos conocer el campo E a partir de conocer V UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Energía Potencial Eléctrica de un sistema de cargas puntuales El potencial debido a una carga q1 donde se encuentra q2 es el siguiente La energía potencial del sistema q1, q2 será: ! = 14%&0 (1 )12 + = (2. ! = 1 4%&0 (1(2 )12 Si fueran varias partículas cargadas, sería: + = +12 + +13 + +23 + ⋯+ +01 = 23456 ( 7278 928 + 727: 92: + 787: 98: +…+ 7;7< 9;< ) UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Capacitores y dieléctricos Un capacitor consta de dos conductores aislados, a y b, (también los llamaremos placas) y que tienen cargas iguales y opuestas, Q y –Q. Toda línea de fuerza que se origine en a terminará en b. Se supondrán que están en el vacío. El capacitor está carcterizado por la carga Q de cualquiera de sus conductores y por la diferencia de potencial ∆V entre ellos. a) Q no es la carga total del capacitor ya que la carga total o neta es cero. b) ∆V es la diferencia de potencial entre ellos. Se supone que existe una proporcionalidad entre Q y ∆V y se propone : " = $. ∆& Donde la constante de proporcionalidad recibe el nombre de capacitancia Al sistema de dos conductores aislados con carga q de signos contrarios se denomina condensadores o capacitores La unidad de capacitancia es 1 Coulomb/volt = 1 farad 1( = 1$& UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Capacitores o condensadores. 1) ¿Cuánta carga Q hace falta para producir una diferencia de potencial de 1,5 V? + + + + - - - - DV=1,5 V electrones electrones 1,5 V Pila + _ Al conectar el capacitor a una diferencia de potencial se carga ! = #. ∆& Va a depender de la capacitancia 2) ¿Qué sucede si se acercan las placas, si V= constante? DV = -òi E ×ds = E d Si DV es constante, d disminuye E aumenta, y Q aumenta. Q = C ∆V constante aumenta aumenta UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 ' = 14*+, - ./ Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Cálculo de capacitancia. La figura muestra un capacitor de placas paralelas en el que los conductores de forma arbitraria de figuras anteriores se han transformado en placas paralelas de área A y separadas una distancia d. Si las dimensiones de las placas son grandes respecto de la separación, se puede asumir que E es uniforme, líneas paralelas e igualmente espaciadas.La sencillez de la geometría permite determinar en forma analítica la capacitancia. Podemos calcular la capacitancia valiéndonos de la ley de Gauss, lo cual permite ver la utilidad de esta ley en situaciones de geometría simple. UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Cálculo de capacitancia. Con líneas segmentadas se muestra una superficie gaussiana de altura h cerrada por tapas planas de superficie A El flujo de E a través de la tapa que está contenida en la placa del capacitor es nulo porque dentro de la placa el campo eléctrico es nulo. Asimismo el flujo a través de las tapas laterales también es nulo ya que E es paralelo a dichas paredes. Sólo habrá flujo a través de la superficie que queda dentro de los espacios entre placas. UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Cálculo de capacitancia. En este caso E es constante y el flujo se calcula como: Como hemos dicho que E es constante y que la superficie de trazos es A igual al de la placa, la ecuación se reduce a: !"Φ$ = & = !0 ∮). +, !"Φ$ = & = !0. -. . Φ$ = -. . UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Cálculo de capacitancia. El trabajo necesario para llevar una carga de prueba q0 desde una placa a la otra puede expresarse como q0.∆" o como el producto de la fuerza 00. 3 por la distancia 7: 08. ∆" = 08. 3. 7 En términos más formales ": − "< = −= < : >. ?@ = − = < : 3 cos 180° 7D = 3. 7 ∆" = 3. 7 UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Cálculo de capacitancia. Sabemos que ∆" = $. &' = (. ∆" ( = '∆" ' = )*. $. + ( = '∆" = )*. $. + $. & = )*. + & Como podemos ver la capacitancia depende solamente de la geometría del condensador o capacitor )* = 8,85/10234 5 6 Permitividad eléctrica del vacío UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Tipos de condensadores o capacitores Ceramic disk Monolithic ceramic Radial aluminum electrolytic Axial aluminum electrolytic Mylar Solid tantalum, polarized Dipped siver-mica UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Condensador o capacitor cilíndrico Se conforma por medio de dos cilíndros conductores coaxiales de radios a y b y de longitud l ¿cuál es la capacitancia de ese dispositivo? Suponemos que ! ≫ # lo que permite ignorar las curvaturas de las lineas de fuerza en los extremos del capacitor. Se construye una superficie gaussiana coaxial de radio r y longitud l, cerrada con tapas planas La ley de Gauss dice $% ∮'. )* = , Suponemos ' constante, lo que nos permite sacarlo de la integral El flujo se produce a través de la superficie cilíndrica porque el de las tapas es cero. $%- 2/0 (!) = , UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Condensador o capacitor cilíndrico !"# 2%& (() = + La diferencia de potencial entre las placas es: ∆- = -. − -0 = −1 0 . 2. 45 = 1 0 . # 6& = 1 0 . + !" 2%& (() 6& = + 2%!"( (7 8 9 # = + !" 2%& (() La capacitancia queda determinada por: : = ; ∆< = ; = >?@AB CDE F =GHIAC CDE F UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Condensadores o capacitores en paralelo Encontrar la Capacitancia única equivalente La figura muestra tres capacitores conectados en paralelo. La diferencia de potencial en cada capacitor de una disposición en paralelo es la misma. Esto se debe a que todas las placas superiores están conectadas entre si y con la terminal a, y todas las placas inferiores están conectadas entre sí y a un terminal b. !" = $". & !' = $'. & !( = $(. & La carga total de la combinación es: ! = !" + !' + !( ! = $". & + $'. & + $(. & = ($"+$' + $(). & La capacitancia equivalente es: $ = !& = $" + $' + $( UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Condensadores o capacitores en serie Encontrar la Capacitancia única equivalente La figura muestra en este otro caso, a tres capacitores colocados en serie. La magnitud de la carga q, para capacitores conectados de esta manera, debe ser igual en cada una de las placas. La carga neta encerrada por la línea de trazos es cero. Inicialmente la carga en las placas es cero. Al conectar la batería entre a y b, sólo producirá una separación de carga, permaneciendo la neta igual a cero. La diferencia de potencial total de la combinación en serie es: La capacitancia equivalente es: ! = #$ = 1 1 !& + 1 !' + 1 !( $&= # !& $' = # !' $(= # !( $ = $&+ $'+ $(= )*+ + ) *, + )*- $ = # ( & *+ + &*, + & *- ) La capacitancia equivalente de una combinación en serie es siempre menor que la más pequeña de las capacitancias. UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Almacenamiento de energía en un campo eléctrico Se debe realizar trabajo para separar dos cargas iguales y opuestas. Esa energía se almacena en el sistema y se puede recuperar si las dos cargas se dejan en libertad para que se aproximen nuevamente. De manera semejante, un capacitor cargado ha almacenado una energía potencial U igual al trabajo W necesario para cargarlo !" = −!% = &!' = '( !' Si el proceso continua en el tiempo hasta transferir la carga total, el trabajo total realizado será " = )!" = ) * + ' ( !' = 1 2 ./ ( " = −% = 12(. & / = 12.. & . = (. & UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Ejemplo: carga de un capacitor con batería Se carga un capacitor por medio de una batería de 12 V. El capacitor es de placas cuadradas que tienen 15cm de lado y d1= 2mm de separación entre ellas. Calcular: 1) La carga del capacitor. 2) La energía que almacena el capacitor. 3) Si se desconecta de la batería y distanciamos las placas a d2= 4mm, cuánta energía se almacena. !1 = 1 2%1. ' ( = 12 9,95 ,10 .//0 12' 2 = 7,2, 10.2 3 12 V %/ = 4567/ = 8,89:;<= 5,/9>=5,/9> 5,55(> = 99,56 pF ? = %1. ' = 99,56 A0. 12 ' = 1,2 . 10.2 % 1) 2) UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 DIELÉCTRICOS Faraday investigó por primera vez el efecto de llenar el espacio entre las placas con un dieléctrico. Faraday realizó la comparación con dos capacitores idénticos en uno de los cuales interpuso entre las placas un dieléctrico. Al cargar ambos capacitores con la misma diferencia de potencial, encontró que la carga del que contenía el dieléctrico era mayor que la del otro. Como q es mayor en el capacitor con dieléctrico ante una diferencia de potencial igual, la relación ! = #$ Indica que la capacitancia aumenta ante la presencia de un dieléctrico entre las placas del capacitor. Constante dieléctrica % = &'('&)*'+&)' &,+ -)./é&*1)&,&'('&)*'+&)' 234 -)./é&*1)&, ! = %. 67. 89 Los experimentos demuestran que la capacitancia de un condensador aumenta un factor % si el espacio entre sus placas se llena con un dieléctrico. UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 DIELÉCTRICOS Los dieléctricos son materiales polarizables. El efecto que provoca es la disminución del campo eléctrico E y el aumento de la capacitancia. UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 DIELÉCTRICOS Y LA LEY DE GAUSS Sin dieléctrico !0#$0. &' = !0. $). ' = * $) = * ' !0. Con dieléctrico !0#$. &' = !0. $. ' = * − *´ $ = *' !0. − *´' !0. $ = -./ = 0 /1 2). 0 /2).1 = 02).1 − 0´2).1 *´ = *(1 − 15 ) !0#5. $. &' = * UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 UNIDAD Nº 5 FÍSICA III - 2022 Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI10/10/22 Resumen • La capacitancia nos dice cuanta carga podemos almacenar en una configuración de conductores para una dada diferencia de potencial. q = CV • Capacitancia depende solamente de la geometría Placas paralelas Cilíndrico Esférico Esfera aislada ! = #$. &' ! = 2)#0 + ln(/0) ! = 4)#0 0// − 0 ! = 4)#0 4 Capacitores en paralelo n Ceq =åC j Capacitores en serie n 1 =å 1 Ceq j=1 C jj=1 Unidades F (farad) = C2/Nm o C/V (56 = 8.85 pF/m) 7 = 12!9 : = 12;. 9 Energía almacenada en un capacitor La constante dieléctrica incrementa la capacitancia, debido al campo eléctrico inducido, < veces. < es un número adimensional. C¢ ==C
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