UNIDAD N2

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UNIDAD Nº2 POTENCIAL ELÉCTRICO-CAPACITANCIA
Potencial. 
Energía potencial eléctrica. 
Gradiente de potencial. 
Capacitancias y capacitores en serie y en paralelo. 
Energía de capacitores. 
Dieléctricos. 
Ley de Gauss en los dieléctricos. 
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI29/3/21
UNIDAD Nº2 FÍSICA III - 2021
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ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
DU =U f -Ui = -W
• Energía potencial del sistema
• El trabajo hecho por una fuerza electrostática es 
independiente del camino elegido
• El trabajo hecho por una fuerza electrostática es:
dW = F ×dr = q0E ×dr
El campo eléctrico que rodea una barra cargada 
no sólo puede describirse con un campo 
eléctrico (vectorial) E sino también a partir de 
una cantidad escalar denominada potencial 
eléctrico.
Para calcular la diferencia de potencial eléctrico entre
dos puntos A y B en un camo eléctrico, una carga de
prueba q0 se desplaza desde A hasta B manteniéndola
en equilibrio, y se mide el trabajo WAB que debe
realizar el agente externo.
Por definición: !" − !$ =
&$"
'0
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POTENCIAL ELÉCTRICO • Energía potencial eléctrica
!" = %⃗. !' !" = (0. *. !'
" = (0+
,
-
*. !'
∆/ = /- − /, = −" = (0+
,
-
*. !'
• Potencial eléctrico
1 = /( ; ∆1 = 1- − 1, =
/3 − /4
( =
Δ/
( = −" = −(0+,
-
*. !'
∆V=∆678 = −∫,
- :. !; La diferencia de potencialdepende únicamente de la
distribución de cargas
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POTENCIAL ELÉCTRICO
∆V= ∆"#$ = −∫(
) *. ,-
La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, ∆Vif, es igual al trabajo que debo realizar para desplazar una
carga unitaria desde un punto i a otro punto f
La diferencia de potencial define
una cantidad que es
independiente de la carga y que
describe una propiedad del
espacio
Unidades SI •Potencial eléctrico: Volt (V)
1 volt = 1J/C =1 joule / coulomb
1 J = 1 VC y 1 J = 1 N m
1 N/C = (1 N/C)(1 VC/J)(1 J/Nm) = 1 V/m
1 eV = e(1 V)
= (1.60×10-19 C)(1 J/C) = 1.60×10-19 J
•Campo eléctrico:
•Energía eléctrica:
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DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO EN UN CAMPO UNIFORME
La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, ∆Vif, es igual al trabajo que debo realizar para desplazar una
carga unitaria desde un punto i a otro punto f
DV =Vf -Vi = -Eòi ds = -Ed
DV = -òi Eds
DV =Vf -Vi = -òi E ×ds = -òi (E cos0°)ds =
Camino i-f
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DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO EN UN CAMPO UNIFORME
La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, ∆Vif, es igual al trabajo que debo realizar para desplazar una
carga unitaria desde un punto i a otro punto f
Camino i-c-f
Vc -Vi = -òi E ×ds = -òi (E cos90°)ds = 0
Vf -Vi = -òc E ×ds = -òc (E cos 45°)ds = -E cos 45°òc ds
Vf -Vi = -E cos45°
"
#$%45° = -Ed
La diferencia de potencial no 
depende de la trayectoria realizada 
para calcular DV
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Superficies Equipotenciales
El campo eléctrico no realiza trabajo sobre una carga que se desplaza sobre una superficie equipotencial
Las superficies equipotenciales siempre son
perpendiculares a las líneas de campo E. Unen puntos
de igual potencial eléctrico.
!" − !$ = 0 =
−'
()
= −*
$
"
+. -.
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Algunos Voltajes Típicos
Fuentes Voltaje aproximado
Tormenta eléctrica 108 V
Línea de alto voltaje 106 V
Fuente de tubo de TV 104 V
Sistema encendido automóvil 104 V
Instalación domiciliaria 220 V
Batería de automóvil 12 V
Batería Celular 3.6 V
Cambio del potencial sobre la piel (EKG y EEG) 10-4 V
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Potencial Debida a una Carga Puntual
Se muestran dos puntos a y b en las cecrcanías de la
carga puntual q. Por simplicidad se supondrán que se
encuentran alineadas. Calcular la diferencia de
potencial entre a y b, suponiendo que una carga de
prueba q0 se mueve sin aceleración, a lo largo de la
linea radial desde a hasta b.
A lo largo de la trayectoria el campo E apunta 
hacia fuera (derecha) y ds en sentido opuesto.
!. #$ = &. #'. cos 180° = −&. #'
Al producirse el movimiento hacia la 
izquierda se produce en la dirección en que 
r decrece; por lo tanto
#s = −#0 !. #$ = &. #0
12 − 13 = −4
3
2
!. #$ = − 4
53
52
&. #0
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Potencial Debida a una Carga Puntual
!" − !$ = −&
$
"
'. )* = − &
+$
+"
,. )-
, = 14012
3
-4
!" − !$ = −
3
4012
&
+$
+"
. )--4 =
3
4012
( 1-6 −
1
-7)
Si la posición de a es en el infinito→ !7 = 0
!" =
1
4012
3
-
Esto demuestra que las superficies equipotenciales de una carga 
puntual aisladas son esferas concéntricas con la carga puntual.
•Una partícula con carga positiva produce 
un potencial eléctrico positivo.
• Una partícula con carga negativa produce
un potencial eléctrico negativo.
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Potencial Debida a un Conjunto de Cargas Puntuales
Empleamos el principio de superposición
Para cargas puntuales
Es una suma algebráica de escalares
E puede ser = 0 donde V es ≠ 0
V puede ser = 0 donde E es ≠ 0
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Potencial Debida a una Distribución Continua de Cargas
Es preciso encontrar la expresión para dq
dq = l dl
dq =s dA 
dq = r dV
para una distribución lineal
para una distribución superficial
para una distribución volumétrica
La contribución del potencial en el punto P debido a la carga puntual
dq localizada en la distribución.
!" = 14&'(
!)
*
Integramos sobre 
toda la distribución
" = +!" = 14&'(
+!)*
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Potencial Debida a una Varilla Cargada
Una varilla de longitud L ubicada a lo largo del eje x tiene una densidad
lineal de carga λ. Encontrar el potencial eléctrico en un punto P localizado
sobre el eje de las y a una distancia d desde el origen.
dq = ldx
! = #$! = #
%
&
'
4)*%
$+
(+- + $-)
1
2
= '4)*%
ln(+ + (+- + $-)
1
2
! = '4)*%
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Potencial en un Conductor Aislado Cargado
• Recordemos que de acuerdo a la Ley de Gauss, la carga se
distribuye sobre la superficie externa del conductor.
• Además, el campo eléctrico existe sólo en la superficie exterior
y es perpendicular la superficie del conductor.
• Todos los puntos sobre la superficie del conductor
cargado tiene el mismo potencial eléctrico. Sería una
equipotencial.
• Con la expresión anterior también podemos demostrar que el
potencial eléctrico en el seno del conductor es constante
e igual al valor que tiene en su superficie.
Debido a que !. #$ = 0 sobre la super0icie, entonces:
78 − 7: = −;
:
8
!. #$ = 0
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Potencial en un Conductor Aislado Cargado
Sabemos que una carga colocada sobre un conductor aislado se
distribuirá en su superficie hasta que E sea igual a cero en todos los
puntos de su interior. Esto es igualmente válido si la esfera es hueca
o sólida.
La figura muestra que el potencial al igual que el campo varía
respecto de puntos que se alejan de la esfera conductora aislada.
Alcanzan su máximo valor justo sobre la superficie de la esfera. En
esta situación se comporta como una carga puntual.
Si una carga de prueba se introduce en la esfera, el potencial
permanece constante en cualquier punto del interior ya que el
campo E es cero. La tercera figura se obtiene de diferenciar la
primera.
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DISTRIBUCIÓN DE LAS CARGAS: demostración de lo enunciado antes
s1
s2
q1
q2Analogía de formas
! = 1
4pe0
q1
r1
= 1
4pe0
q2
r2
%&. 4)*1+ = ,& %+. 4)*2+ =,+
q1
r1
= q2
r2
%&
%+
= ,&,+
. *2
+
*1+
q1
q2
= r1
r2
reemplazo
%&
%+
= *&*+
. *2
+
*1+ =
*+
*&
Cuanto más pequeño es el radio
de la esfera, mayor será el
campo eléctrico cerca de su
superficie
La densidad de carga es mayor o más concentrada en las 
zonas donde el radio de curvatura es menor o zonas 
puntiaguadas, por ende también E
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Potencial V y campo eléctrico E. Conocer E a partir de V.
Si desplazamos una partícula de prueba qo positiva desde una superficie equipotencial a una
adyacente, el trabajo realizado por el campo eléctrico es:
W = -q0 dV
Desde otro punto de vista el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga podemos calcularlo
así: W = q0 E
!
×ds" (2)
(1)
Entonces de (1) y (2) obtenemos: - q0dV = q0E(cosq )ds ! cos % = −()(* = !+
,-./-01021 (1 ! 10 34 (561,,5ó0 *
Si V (x, y, z) !8 = −
9)
9: !; = −
9)
9<
!= = −
9)
9>
De esta manera podemos conocer el campo E a partir de conocer V 
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Energía Potencial Eléctrica de un sistema de cargas puntuales
El potencial debido a una carga q1 donde se encuentra q2 es el siguiente
La energía potencial del sistema q1, q2 será:
! = 14%&0
(1
)12
+ = (2. ! =
1
4%&0
(1(2
)12
Si fueran varias partículas cargadas, sería:
+ = +12 + +13 + +23 + ⋯+ +01 = 23456 (
7278
928
+
727:
92:
+
787:
98:
+…+
7;7<
9;<
)
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Capacitores y dieléctricos
Un capacitor consta de dos conductores aislados, a y b, (también los
llamaremos placas) y que tienen cargas iguales y opuestas, Q y –Q. Toda
línea de fuerza que se origine en a terminará en b. Se supondrán que
están en el vacío.
El capacitor está carcterizado por la carga Q de cualquiera de sus
conductores y por la diferencia de potencial ∆V entre ellos.
a) Q no es la carga total del capacitor ya que la carga total o neta es cero.
b) ∆V es la diferencia de potencial entre ellos.
Se supone que existe una proporcionalidad entre Q y ∆V y se propone :
" = $. ∆& Donde la constante de proporcionalidad
recibe el nombre de capacitancia
Al sistema de dos conductores aislados
con carga q de signos contrarios se
denomina condensadores o capacitores
La unidad de capacitancia es 1 Coulomb/volt = 1 farad
1( = 1$&
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Capacitores o condensadores.
1) ¿Cuánta carga Q hace falta para producir una
diferencia de potencial de 1,5 V?
+
+
+
+
-
-
-
-
DV=1,5 V
electrones
electrones
1,5 V 
Pila
+
_
Al conectar el capacitor a una
diferencia de potencial se
carga
! = #. ∆&
Va a depender de la capacitancia
2) ¿Qué sucede si se acercan las placas, si V= constante?
DV = -òi E ×ds = E d
Si DV es constante, d disminuye E aumenta, y q 
aumenta.
Q = C ∆V constante
aumenta
aumenta
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Cálculo de capacitancia.
La figura muestra un capacitor de placas
paralelas en el que los conductores de forma
arbitraria de figuras anteriores se han
transformado en placas paralelas de área A y
separadas una distancia d.
Si las dimensiones de las placas son grandes
respecto de la separación, se puede asumir
que E es uniforme, líneas paralelas e
igualmente espaciadas.La sencillez de la geometría permite determinar en forma
analítica la capacitancia.
Podemos calcular la capacitancia valiéndonos de la ley de Gauss, lo cual permite ver la utilidad de esta ley en 
situaciones de geometría simple.
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Cálculo de capacitancia.
Con líneas segmentadas se muestra una superficie gaussiana de altura h cerrada por tapas planas de
superficie A
El flujo de E a través de la tapa que está contenida en la placa del capacitor es nulo porque dentro de la placa
el campo eléctrico es nulo.
Asimismo el flujo a través de las tapas laterales también es nulo ya que E es paralelo a dichas paredes.
Sólo habrá flujo a través de la superficie que queda dentro de los espacios entre placas.
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Cálculo de capacitancia.
En este caso E es constante y el flujo se calcula como:
Como hemos dicho que E es constante y que la superficie de trazos es A igual al de la placa, la ecuación se 
reduce a:
!"Φ$ = & = !0 ∮). +,
!"Φ$ = & = !0. -. .
Φ$ = -. .
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Cálculo de capacitancia.
El trabajo necesario para llevar una carga de prueba q0 desde una placa a la otra puede expresarse como
q0.∆" o como el produ to de la fuerza 00. 3 por la distancia 7:
08. ∆" = 08. 3. 7
En términos más formales
": − "< = −=
<
:
>. ?@ = − =
<
:
3 cos 180° 7D = 3. 7
∆" = 3. 7
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Cálculo de capacitancia.
Sabemos que ∆" = $. &' = (. ∆" ( = '∆"
' = )*. $. +
( = '∆" =
)*. $. +
$. & =
)*. +
&
Como podemos ver la capacitancia depende solamente de la geometría del condensador o capacitor
)* = 8,85/10234
5
6
Permitividad eléctrica del vacío
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Tipos de condensadores o capacitores
Ceramic disk Monolithic ceramic Radial aluminum electrolytic Axial aluminum electrolytic
Mylar Solid tantalum, polarized
Dipped siver-mica
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Condensador o capacitor cilíndrico
Se conforma por medio de dos cilíndros conductores coaxiales de radios a y b y de longitud l ¿cuál es la 
capacitancia de ese dispositivo?
Suponemos que ! ≫ # lo que permite ignorar las curvaturas de las 
lineas de fuerza en los extremos del capacitor.
Se construye una superficie gaussiana coaxial de radio r y longitud l, 
cerrada con tapas planas 
La ley de Gauss dice $% ∮'. )* = ,
Suponemos ' constante, lo que nos permite sacarlo de la integral 
El flujo se produce a través de la superficie cilíndrica porque el de 
las tapas es cero. 
$%- 2/0 (!) = ,
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Condensador o capacitor cilíndrico
!"# 2%& (() = +
La diferencia de potencial entre las placas es:
∆- = -. − -0 = −1
0
.
2. 45 = 1
0
.
# 6& = 1
0
.
+
!" 2%& (()
6& =
+
2%!"(
(7
8
9
# =
+
!" 2%& (()
La capacitancia queda determinada por:
: =
;
∆<
=
;
=
>?@AB
CDE
F
=
GHIAC
CDE
F
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Condensadores o capacitores en paralelo
Encontrar la Capacitancia única equivalente
La figura muestra tres capacitores conectados
en paralelo. La diferencia de potencial en
cada capacitor de una disposición en paralelo
es la misma. Esto se debe a que todas las
placas superiores están conectadas entre si y
con la terminal a, y todas las placas inferiores
están conectadas entre sí y a un terminal b.
!" = $". & !' = $'. & !( = $(. &
La carga total de la combinación es: ! = !" + !' + !(
! = $". & + $'. & + $(. & = ($"+$' + $(). &
La capacitancia equivalente es: $ = !& = $" + $' + $(
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Condensadores o capacitores en serie
Encontrar la Capacitancia única equivalente
La figura muestra en este otro caso, a tres capacitores
colocados en serie. La magnitud de la carga q, para
capacitores conectados de esta manera, debe ser igual en
cada una de las placas.
La carga neta encerrada por la línea de trazos es cero.
Inicialmente la carga en las placas es cero. Al conectar la
batería entre a y b, sólo producirá una separación de
carga, permaneciendo la neta igual a cero.
La diferencia de potencial total de la combinación en serie es:
La capacitancia equivalente es: ! = #$ =
1
1
!& +
1
!' +
1
!(
$&=
#
!&
$' =
#
!'
$(=
#
!(
$ = $&+ $'+ $(= )*+ + 
)
*,
+ 
)
*- $ = # (
&
*+
+
&
*,
+
&
*-
)
La capacitancia equivalente de una combinación en 
serie es siempremenor que la más pequeña de las 
capacitancias.
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Almacenamiento de energía en un campo eléctrico
Se debe realizar trabajo para separar dos cargas iguales y opuestas. Esa energía se almacena en el sistema y
se puede recuperar si las dos cargas se dejan en libertad para que se aproximen nuevamente.
De manera semejante, un capacitor cargado ha almacenado una energía potencial U igual al trabajo W
necesario para cargarlo
!" = !$ = %!& = &' !&
Si el proceso continua en el tiempo hasta transferir la carga total, 
el trabajo total realizado será
" = (!" = (
)
*
&
' !& =
1
2
-.
'
" = $ = 12'. %
. = 12-. %
- = '. %
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Ejemplo: carga de un capacitor con batería
Se carga un capacitor por medio de una batería de 12 V. El capacitor es de placas cuadradas que tienen 
15cm de lado y d1= 2mm de separación entre ellas. Calcular:
1) La carga del capacitor.
2) La energía que almacena el capacitor.
3) Si se desconecta de la batería y distanciamos las placas a d2= 4mm, cuánta energía se almacena.
!1 =
1
2%1. '
( = 12 9,95 ,10
.//0 12' 2 = 7,2, 10.2 3
12 V
%/ = 4567/ =
8,89:;<= 5,/9>=5,/9>
5,55(> = 99,56 pF
? = %1. ' = 99,56 A0. 12 ' = 1,2 . 10.2 %
1)
2)
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DIELÉCTRICOS
Faraday investigó por primera vez el efecto de llenar el espacio entre las placas con un dieléctrico.
Faraday realizó la comparación con dos capacitores idénticos en uno de los cuales interpuso entre las
placas un dieléctrico. Al cargar ambos capacitores con la misma diferencia de potencial, encontró que la
carga del que contenía el dieléctrico era mayor que la del otro.
Como q es mayor en el capacitor con dieléctrico ante una diferencia de potencial igual, la relación ! = #$
Indica que la capacitancia aumenta ante la presencia de un dieléctrico entre las placas del capacitor.
Constante dieléctrica % = &'('&)*'+&)' &,+ -)./é&*1)&,&'('&)*'+&)' 234 -)./é&*1)&,
! = %. 67. 89
Los experimentos demuestran que la cacpacitancia de un condensador
aumenta un factor % si el espacio entre sus placas se llena con un dieléctrico.
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DIELÉCTRICOS
Los dieléctricos son materiales polarizables.
El efecto que provoca es la disminución del
campo eléctrico E y el aumento de la
capacitancia.
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DIELÉCTRICOS Y LA LEY DE GAUSS
Sin dieléctrico
!0#$0. &' = !0. $). ' = * $) =
*
' !0.
Con dieléctrico
!0#$. &' = !0. $. ' = * − *´
$ = *' !0.
− *´' !0.
$ = -./ =
0
/1 2).
0
/2).1
= 02).1
− 0´2).1
*´ = *(1 − 15 )
!0#5. $. &' = *
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Resumen
• La capacitancia nos dice cuanta carga podemos almacenar en una
configuración de conductores para una dada diferencia de potencial. q = CV
• Capacitancia depende solamente de la geometría
Placas paralelas Cilíndrico Esférico Esfera aislada
! = #$. &'
! = 2)#0
+
ln(/0)
! = 4)#0 0// − 0 ! = 4)#0 4
Capacitores en paralelo
n
Ceq =åC j Capacitores en serie
n
1 =å 1
Ceq j=1 C jj=1
Unidades F (farad) = C2/Nm o C/V (56 = 8.85 pF/m)
7 = 12!9
: ; = 12 #0<
:
Energía y densidad de energía almacenada en un capacitor
La constante dieléctrica incrementa la capacitancia,
debido al campo eléctrico inducido, = veces. = es un
número adimensional.
C¢ =>C