UNIDAD N3 Parte B

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UNIDAD Nº3 CORRIENTE - RESISTENCIA - FUERZA 
ELECTROMOTRIZ
Fuente Real
Múltiples Fuentes
Circuitos de Mallas Múltiples
Circuito RC
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI14/9/21
UNIDAD Nº3 FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI14/9/21
Fuente Real
Toda fuente tiene cierta resistencia interna, r, al flujo de cargas.
e - ir - iR = 0
Aplicando la regla de las mallas
𝑖 =
𝜀
𝑟 + 𝑅
Recorriendo el circuito en sentido horario desde a hasta b
𝑉𝑎 + 𝜀 − 𝑖 𝑟 = 𝑉𝑏 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝜀 − 𝑖 𝑟 = V
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝜀 − 𝑖 𝑟 = 𝜀 −
𝜀
𝑟 + 𝑅 𝑟 = 𝑅
𝜀
(𝑟 + 𝑅)
La potencia entregada será
𝑃 = 𝑉 𝑖 = 𝜀 − 𝑖𝑟 𝑖 = 𝜀𝑖 − 𝑖!𝑟
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Múltiples Fuentes
𝜀1 = 4,4 𝑉 𝜀2 = 2,1𝑉 𝑟1 = 2,3 Ω 𝑟2 = 1,8Ω. 𝑅 = 5,5Ω
Si elegimos recorrer la malla en sentido antihorario, obtenemos:
−𝜀1+ 𝑖𝑟1+ 𝑖 𝑅 + 𝑖 𝑟2+ 𝜀2 = 0 𝑖 = "!#""
$!%&%$"
= 0,2396 A
A) Recorriendo el circuito desde b hasta a
Vb - ir1 + e1 =Va
Va -Vb = -ir1 + e1 = +3,84V
B) Recorriendo el circuito desde a hasta c :
Va -e2 -ir2 =Vc
Va -Vc = e2 + ir2 = +2,53V
A) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería 1?
B) ¿ y en la batería 2?
C) Hacer el balance de potencia.
horario horario
Balance de Potencia.
𝑃𝜀1 = 𝑖 𝑉𝑎𝑏 = 0,2396𝐴. 3,84 𝑉 = 0,92 𝑊
𝑃𝜀2 = 𝑖 𝑉𝑎𝑐 = 0,2396𝐴. 2,53𝑉 = 0,60 𝑊
𝑃𝑅 = 𝑖! 𝑅 = (0,2396𝐴)2. 5,5Ω = 0,32 𝑊
Balance de Potencia.
𝑃𝜀1− 𝑃𝜀2 − 𝑃𝑅 = 0 
0,92 𝑊 − 0,6𝑊 − 0,32𝑊 = 0
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Circuitos de Mallas Múltiples 
• Determinar los nodos, ramas y mallas.
• Rotular arbitrariamente las corrientes en cada rama. 
Asignando la misma corriente a todos los elementos
en serie de cada rama
• Los sentidos de las corrientes se asignan 
arbitrariamente.
• Regla de los nodos: 𝑖1+ 𝑖3 = 𝑖2
• Se pueden usar tantas ecuaciones 
para los nodos como se desee, en 
general para un circuito de N nodos
hace falta N-1
ecuaciones.
Malla 1
Malla 2
Rama 1
Rama 2
Rama 3
Nodo: punto donde confluyen 2 o más ramas.
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Circuitos de Mallas Múltiples 
Sentido antihorario : badb (malla 1)
bdcb (malla 2)
badcb (malla 1 y 2)
Malla 1
Malla 2
Rama 1
Rama 2
Rama 3
Para recorrer las mallas debemos elegir un sentido: horario o
antihorario.
Para resolver un circuito como el de la imagen necesitamos plantear
tantas ecuaciones independientes, como corrientes tengamos de
incógnitas
Regla de los nodos 𝑖1+ 𝑖3 = 𝑖2
Regla de las mallas
Regla de las mallas
e 1 - i1R1 + i3R3 = 0
- i3R3 - i2R 2 - e 2 = 0
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Circuito RC
Al introducir los capacitores al circuito, permite establecer el concepto de que
las corrientes varían con el tiempo. Si el interruptor S se mueve al punto a ¿Cuál
será la corriente que se establece en el circuito de una sola malla así formado?
Para contestar esto usaremos el principio de conservación de la energía
A través de cualquier sección transversal del circuito pasa una carga dq = i dt en
un intervalo de tiempo dt. El trabajo realizado por la fuente es 𝑑𝑤 = 𝜀. 𝑑𝑞. Ese
trabajo debe ser igual a la energía térmica que aparece en la resistencia durante
el tiempo dt (=𝑖!𝑅𝑑𝑡)más el aumento de energía potencial U 𝑑𝑈 = 𝑑 ('
!
!(
) que
se alamacena en el capacitor
𝜀 𝑑𝑞 = 𝑖!𝑅𝑑𝑡 + 𝑑 ('
!
!(
) O bien 𝜀 𝑑𝑞 = 𝑖!𝑅𝑑𝑡 + ('
(
) 𝑑𝑞
Dividiendo ambos miembros por dt se obtiene:
𝜀 𝑑𝑞/𝑑𝑡 = 𝑖!𝑅 + ('
(
) 𝑑𝑞/𝑑𝑡 𝑑𝑞
𝑑𝑡 = 𝑖
𝜀𝑖 = 𝑖!𝑅 + '
(
𝑖 𝜀 = 𝑖 𝑅 + CD
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Circuito RC
Esta ecuación también se puede obtener por medio del teorema de las mallas,
ya que este se desprende del principio de conservación de la energía.
Partiendo del punto x y recorriendo el circuito en sentido horario, se
experimenta un aumento de potencial al pasar por la fuente y una disminución
al pasar por la resistencia y el capacitor
𝜀 = 𝑖 𝑅 + CD
x
𝜀 − 𝑖 𝑅 −
𝑞
𝐶 = 0 𝜀 = 𝑖 𝑅 +
𝑞
𝐶
𝑖 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡
Sustituyo esta última en
la ecuación anterior
𝜀 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡 𝑅 +
𝑞
𝐶 Ahora el problema resulta encontrar a q(t) que satisfaga la ecuación diferencial
FC
FG
= H
I
(𝜀 − C
D
) La solución es: 𝑞 = 𝐶 𝜀 (1-𝑒#)/&()
Si derivamos esta expresión y reemplazamos ambas en la ecuación
diferencial , llegamos a una identidad , lo que permite encontrar
que es la solución a la ecuación diferencial.
1
1
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Circuito RC. Carga de un Capacitor
𝜀 − 𝑖 𝑅 - !
"
= 0
x
Si t = 0 ; 𝑞(t=0) = 0. reemplazo en la ecuación (1) 𝜀 = 𝑖 𝑅 𝑖 =
𝜀
𝑅
𝜀 = 𝑖 𝑅 +
𝐶 𝜀
𝐶 𝑖 = 0
Cuando conectamos el interruptor en a, aplicando la regla de las mallas, obtenemos:
𝜀 = 𝑖 𝑅 +
𝑞
𝐶
𝑖 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡
𝜀 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡 𝑅 +
𝑞
𝐶
Condiciones de borde
(1)
La solución es: 𝑞 = 𝐶 𝜀 (1-𝑒#)/&()
Si 𝑡 → ∞; 𝑞 → 𝐶 𝜀 = 𝑞𝑚á𝑥 reemplazo en la ecuación (1) 
Entonces
𝑑𝑞
𝑑𝑡 =
𝜀
𝑅 −
𝑞
𝑅𝐶
𝑑𝑞
𝑑𝑡 =
𝐶𝜀
𝑅𝐶 −
𝑞
𝑅𝐶 = −
𝑞 − 𝐶𝜀
𝑅𝐶
RC constante de 
Tiempo
𝑑𝑞
𝑞 − 𝐶𝜀 = −
𝑑𝑡
𝑅𝑐
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Circuito RC. Carga de un Capacitor
x
𝑑𝑞
𝑑𝑡 =
𝜀
𝑅 −
𝑞
𝑅𝐶
𝑑𝑞
𝑞 − 𝐶𝜀 = −
𝑑𝑡
𝑅𝑐
Integrando
N
+
'
𝑑𝑞
𝑞 − 𝐶𝜀 = −
1
𝑅𝐶N
+
)
𝑑𝑡
ln
𝑞 − 𝐶𝜀
−𝐶𝜀 = −
𝑡
𝑅𝐶
𝑑𝑞
𝑑𝑡 =
𝐶𝜀
𝑅𝐶 −
𝑞
𝑅𝐶 = −
𝑞 − 𝐶𝜀
𝑅𝐶
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Circuito RC. Carga de un Capacitor
Integrando
N
+
'
𝑑𝑞
𝑞 − 𝐶𝜀 = −
1
𝑅𝐶
N
+
)
𝑑𝑡
ln
𝑞 − 𝐶𝜀
−𝐶𝜀 = −
𝑡
𝑅𝐶
La carga en función
del tiempo,
La corriente en
función del tiempo,
q(t) =Ce (1- e-t /RC )
𝑖 𝑡 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝜀
𝑅
𝑒QG/ID
Al inicio, un capacitor se comporta como un conductor
ordinario, pero para tiempos largos actúa como un
circuito abierto.
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Circuito RC. Carga de un Capacitor
Diferencia de Potencial
La carga en función
del tiempo,
La corriente en
función del tiempo,
q(t) =Ce (1- e-t /RC )
𝑖 𝑡 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝜀
𝑅
𝑒QG/ID
• t = 0: q = 0, Vc = 0, i = e/R;
• t => ¥: q = ce, Vc = e, i = 0;
𝜏 = 𝑅𝐶 𝑒𝑠 𝑙𝑎 constante de 
tiempo capacitiva
𝑉𝑐 𝑡 =
𝑞(𝑡)
𝐶 = 𝜀(1 − 𝑒
# )&()
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Circuito RC. Descarga de un Capacitor
Conectamos el interruptor en b (lo aislamos de la fuente 𝜀)
𝜀 − 𝑖𝑅 −
𝑞
𝐶 = 0 −
𝑞
𝐶 − 𝑖𝑅 = 0
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑖 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡
−
𝑞
𝐶 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡 𝑅
𝑑𝑞
𝑞 = −
1
𝑅𝐶 𝑑𝑡
Condidicón inicial q(t=0) = q0
Integrando N
'#
'
1
𝑞 𝑑𝑞 = N
+
)
−
1
𝑅𝐶 𝑑𝑡
ln
𝑞
𝑞0
= −
𝑡
𝑅𝐶
𝑞 𝑡 = 𝑞0 𝑒QG/ID
𝑖 𝑡 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡 = −
𝑞0
𝑅𝐶 𝑒
#)/&(
Ec. de Carga Ec. de Descarga
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