UNIDAD N7

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UNIDAD Nº7: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Ecuaciones de Maxwell. 
Velocidad de la luz. 
Ondas sinusoidales. 
Energía y can8dad de movimiento . 
Ondas electromagné8cas estacionarias. 
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI21/10/21
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Unidad Nº7
Clases anteriores mencionamos (sin demostrarlo) que las ecuaciones de Maxwell predicen la existencia
de ondas electromagnéOcas cuya rapidez en el vacío está determinada por:
! = 1$%&%
= 3x 10* +,-.
A esta canOdad c se la denomina ”rapidez de la luz” pero en realidad
c es la rapidez de las ondas electromagnéOcas sin importar cuáles
sean sus longitudes de ondas / o sus frecuencias 0, recordando que
! = /0
ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO
La figura sugiere el intervalo del espectro
electromagnéOco. De las Ec. De Maxwell se puede
concluir que todas estas ondas Oenen la misma
naturaleza y velocidad. Sí Oenen diferentes
longitudes de onda y frecuencia.
Los nombres de las disOntas regiones del espectro
se asocian con las técnicas experimentales para
producir y detectar tales ondas.
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Unidad Nº7
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Unidad Nº7
¿Qué Gpo de arreglo de las cargas o corriente se prevé que produzca una onda electromagnéGca?
Una carga eléctrica
en reposo genera un
patrón de líneas de
campo eléctrico
Una carga eléctrica en movimiento genera un campo
magnéGco, además del eléctrico, de tal manera que una
vez establecidas decimos haber alcanzado una condición
estacionaria y existe en dicho espacio una densidad de
energía relacionada con los campos elétricos y magnéGcos
que es constante en el Gempo.
GENERACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
Fuera de esto que se describe, en puntos distantes no se traslada ninguna
señal de la carga a puntos distantes; tampoco se transporta energía ni
momento, y no hay radiación electromagnéGca.
Las ondas electromagnéGcas transportan energía de un punto a otro del espacio por medio de sus
campos eléctricos y magnéGcos.
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Unidad Nº7
GENERACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
Si agitáramos la carga hacia adelante y atrás se podría enviar una señal a una persona que tuviera un
equipo para detectar los cambios en los campos eléctrico y magnéUco. Se podría adoptar un código
que haga agitar las cargas con una determinada velocidad o dirección. Las señales se emiten con una
onda electromagnéUca. Para producir estas ondas hay que acelerar las cargas.
Es decir, que las cargas está0cas y las que están en movimiento a velocidad constante no irradian
nada. Las que irradian son las aceleradas. Toda radiación proviene de corrientes que varían con el
0empo.
Una forma fácil de tener corrientes variables es hacer que varíen senoidalmente con el Uempo, es
decir CA. Un circuito que puede emplearse para este fin es el ya visto LRC con una fuente externa que
restaura la energía que se disipa en el circuito o la transportada por radiación.
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Unidad Nº7
Movimiento Ondulatorio
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Unidad Nº7
Movimiento Ondulatorio: Ondas Viajeras
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Unidad Nº7
Movimiento Ondulatorio
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Unidad Nº7
Movimiento Ondulatorio
EN UN MOVIMIENTO ONDULATORIO SE PROPAGA ENERGÍA
Función de Onda
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Unidad Nº7
GENERACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
La corriente en el circuito varía
senoidalmente con la frecuencia angular
resonante ! , la cual es,
aproximadamente,1/ LC cuando la carga
resisSva es pequeña.
El oscilador se acopla con un
transformador a una línea de transmisión
Esa línea de trasmisión sirve para conducir la corriente a una antena. La geometría de la antena determina
las propiedades geométricas de los campos eléctricos y magnéScos radiados. Suponemos una antena de
dipolo, la cual, puede considerarse simplemente como dos conductores rectos.
Podemos ver a la antena como un dipolo eléctrico oscilatorio, en donde una rama conduce una carga
instantánea q, y la otra rama conduce -q. La carga q varía senoidalmente con el Sempo y cambia de signo en
cada semiciclo. Las cargas se aceleran ciertamente al moverse de un lado al otro en la antena, y como
resultado la antena es una fuente de radiación dipolar eléctrica.
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Unidad Nº7
GENERACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
La figura muestra una serie de “instantáneas” que dan una representación esquemática de cómo se forma el
campo de radiación. Se muestra únicamente el campo eléctrico; el campo magnético correspondiente
puede inferirse a partir de la corriente en los conductores, usando la regla de la mano derecha
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GENERACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
Los campos E y B radiados
desde un dipolo eléctrico. Los
campos se muestran a
distancias grandes en
comparación con las
dimensiones del dipolo. Un
observador distante en el
punto P registra una onda
plana que se mueve en la
dirección x.
La figura es un corte a través del plano xy. Para obtener un cuadro más completo del campo, debemos
imaginar que la figura gira alrededor del eje y. Suponemos que observamos el campo a distancias del dipolo
grandes comparadas con sus dimensiones y con la longitud de onda de la radiación; el campo observado en
estas condiciones se llama campo de radiación.
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GENERACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
B y E perpendiculares entre sí
B y E perpendiculares a la
dirección de propagación
Onda transversal
La mayoría de las radiaciones ( luz, rayos X, rayos 
gamma, señales de radio y TV, etc) son del tipo 
dipolar
Nótese que el campo “se rompe y se desprende” alejándose de la antena y
forma anillos o espiras cerradas, en contraste con el campo estático de un
dipolo eléctrico, donde las líneas de campo comienzan siempre en cargas
positivas y terminan en cargas negativas.
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Unidad Nº7
GENERACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
Suponemos que el observador está ubicado tan lejos del
dipolo que los frentes de onda pueden considerarse como
planos. Como es siempre el caso, la densidad de las
líneas de campo indica la intensidad del campo. Nótese
especialmente que (1) E y B están en fase (ambos
alcanzan sus máximos en el mismo instante, y ambos
son cero en el mismo instante), y (2) E y B son
perpendiculares entre sí. Estas conclusiones se deducen
de un análisis de las ondas electromagnéticas que viajan
en el vacío usando las ecuaciones de Maxwell. La onda
se propaga hacia el observador que lee.
Estas ondas están polarizadas porque E apunta siempre 
en la misma dirección “y” al igual que B apunta en la 
dirección “z”, en cualquier punto.
ONDAS VIAJERAS
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GENERACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
ONDAS VIAJERAS Este es el Jpo de ondas que acabamos de describir en
forma cualitaJva. La descripción matemáJca de estas
ondas es consistente con las ecuaciones de Maxwell. Al
hacerlo, demostraremos también que la velocidad de tales
ondas por el espacio vacío es la misma que la velocidad de
la luz, lo cual nos lleva a concluir que la luz es, en sí misma,
una onda electromagné3ca.
Los frentes de onda que pasan por el punto P son planos por
encontrarse P muy alejado del dipolo eléctrico. Las líneas
de E son paralelas al eje y, y las líneas de B son paralelas al
eje z. Escribimos los campos E y B en la forma matemáJca
usual de una onda viajera senoidal.
E(x,t) = Em sen (kx - !t) 
B(x,t) = Bm sen (kx - !t) 
Aquí ! es la frecuencia angular asociada con el dipolo oscilatorio, y el
número de onda k tiene su significadousual de 2#/%. Si la onda se propaga
a una velocidad de fase c, entonces ! y k se relacionan de acuerdo con c =
!/k.
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GENERACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
ONDAS VIAJERAS
La figura representa la oscilación senoidal de los campos E y B en función de x en un instante de
tiempo en particular, dentro de un volumen de sección cuadrada.
Más adelante se demostrará que las amplitudes Em y Bm se relacionan entre sí. Nótese que al escribir
estas ecuaciones para las magnitudes de E y B hemos supuesto que E y B están en fase, esto es, las
constantes de fase en las ecuaciones de la diapositiva anterior, tienen el mismo valor (el cual hemos
considerado como cero).
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Unidad Nº7
Examinemos la onda cuando pasa por dos Jras rectangulares en el punto P.
ONDAS VIAJERAS.
Las Jras Jenen una altura h y un ancho dx. Una se
encuentra en el plano xy (es decir en el plano de E) y
la otra en el plano xz (es decir en el plano de B)
Al pasar la onda los lados del rectángulo son
paralelos a E mientras que B es perpendicular a dicho
rectángulo.
En terminología de la Ley de Faraday, conforme pasa
la onda, cambia el flujo magnéJco en la superficie
rectangular y se crea entonces un campo eléctrico
inducido alrededor de la superficie. El campo
eléctrico inducido es simplemente el campo eléctrico
de la onda viajera.
y
z
x
x
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Unidad Nº7
Examinemos la onda cuando pasa por dos Jras rectangulares en el punto P.
ONDAS VIAJERAS.
Apliquemos Faraday
∮E • d" = (E + dE)h - Eh = dE h. 
El fujo para el rectángulo es:
Φ$ = $. '( = $('* ℎ)
Lo derivamos respecto del Jempo
'Φ$
'- = ℎ '*
'$(*, -)
'-
1
2
Igualando 1 y 2, obtenemos:
dE h =− ℎ '* '$'-
dE(*, -)
'* = −
'$(*, -)
'-
y
z
x
x
SenJdo anJhorario
Flujo de B es posiJvo
0E • d" = −'Φ$'-
0E • d" = −'Φ$'-
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Examinemos la onda cuando pasa por dos Jras rectangulares en el punto P.
ONDAS VIAJERAS.
dE
!" =
!$
!%
Como E y B son E(x,t) y B(x,t) respecJvamente, esas derivadas se
transforman en parciales.
&E
&" = −
&$
&%
E(x,t) = Emáx sen (kx - (t) 
B(x,t) = Bmáx sen (kx - (t) 
)Emá" cos (kx − (t)= (Bmá" cos (kx − (t)
)Emá"= (Bmá"
Emá"
Bmá"
= () = +
La razón de las amplitudes de los componentes eléctrico y magnéJco de la onda es la velocidad c de ella y es igual a la
razón de los valores instantáneos.
E
B
= + , = +$
y
z
x
x
&E
&" = )Emá" cos (kx − (t)
&$
&% = − (Bmá" cos (kx − (t)
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Ahora nos concentremos en la Gra horizontal que se halla en el plano xz. En ese instante el campo
magnéGco B está creciendo en x y el flujo eléctrico disminuye en el Gempo porque la onda que se dirige
al interior de ella Gene un campo E más pequeño y se le interpone el signo menos .
ONDAS VIAJERAS.
Empleamos la ley de Ampère.
∮B •dl = "#$# %&'%( = *%
El flujo eléctrico cambiante en la superficie rectangular
induce un campo magnéGco en la Gra: es el campo
magnéGco de la Gra.
∮B •d+ = − - + /- ℎ + -ℎ = −ℎ /-
El cambio de ∮E•d+ es posiGvo y el cambio de ∮B •d+ es negaGvo a pesar que ambos flujos están
aumentando
Φ' = 2. ℎ /4 /Φ'/5 = ℎ. /4
/2
/5
z
SenGdo anGhorario
Flujo de E es posiGvo
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ONDAS VIAJERAS.
E(x,t) = Em sen (kx - !t) B(x,t) = Bm sen (kx - !t) 
"Bm cos (kx − !t)= − $%&%(−!)Em cos (kx − !t)
Em
Bm
= "$%&%!
= 1$% &% +
= +
E,
B,
= +
Por consiguiente escribimos la ley de Ampère.
−ℎ ./ = $%&%ℎ. .1
.2
.3
Sabemos que E= E(x,t) y B=B (x,t) entonces se tratan de
derivadas parciales.
+4 = 1$% &%
+ = 1$% &%
= 31 107,/9:;
./
.1 = −$%&%
.2
.3
</
<1 = − $%&%
<2
<3
<E
<3 = − !Emá1 cos (kx − !t)
</
<1 = kBmá1 cos (kx − !t)
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!
!" (
!E
!") = −
!
!" (
!'
!( )
∮E•dl = (E + dE)h - Eh = dE h *Φ'*( = ℎ *"
*'
*(
!2E
!"2 = −
!
!(
!'
!" = −
!
!( (−./0/
!1
!( ) = ./0/
!21
!(2
−ℎ *' = ./0/ℎ. *"
*1
*(∮B •dl = − ' + *' ℎ + 'ℎ = −ℎ *'
*Φ4
*( = ℎ. *"
*1
*(
dE h =ℎ *" *'*(
!2E
!"2 = ./0/
!21
!(2
!E
!" = −
!'
!(
!'
!" = −./0/
!1
!(
!
!"
!'
!" = −./0/
!
!" (
!1
!( )
!2'
!"2 = −./0/
!
!(
!1
!" = −./0/
!
!( (−
!'
!( )
!2'
!"2 = ./0/ (
!2'
!(2 )
Ecuaciones diferenciales para
las ondas electromagnéticas
en el vacío
5 = 1./ 0/
= 3" 109:/<=>
1
Si derivamos por segunda vez la 1 respecto de x, obtenemos: Si derivamos por segunda vez la 2 respecto de x, obtenemos:
2
!2'
!"2 =
1
5? (
!2'
!(2 )
!2E
!"2 =
1
5?
!21
!(2
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TRANSPORTE DE ENERGÍA. VECTOR POYNTING
Una onda electromagnéNca puede transportar energía de un lugar a otro.
La luz de una lámpara y el calor del fuego que se irradia son ejemplos comunes de energía que fluye
por medio de ondas electromagnéNcas
El flujo de energía de una onda electromagnéNca se mide en función de la rapidez con que fluye la
energía por unidad de superficie, o en forma equivalente, por la potencia electromagnéNca por unidad
de superficie.
La magnitud y la dirección del flujo de energía, se describe en función del vector POYNTING S y se
define como:
! = 1$%
& ' (
S indica la dirección del desplazamiento de la onda y es perpendicular
a E y B.
Demostrar que la dirección y senNdo de S no cambia aunque cambien
los senNdos de E y B.
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TRANSPORTE DE ENERGÍA. VECTOR POYNTING
Encontremos ahora la magnitud de S y con ello demostraremos que es la potencia por unidad de
superficie de la onda. Tanto E como B son los valores instantáneos en el punto de observación.
S = 1$%&
'( = )% & '(S = 1$%
'* S =
&
$%
*(E
B
= &Como
La fórmula con que calculamos la densidad de energía (energía por unidad de volumen) para los
campos está[cos es igualmente aplicable para los campos que varían con el [empo, es decir que:
+, =
1
2 )%'
( +. =
1
2
*(
$%
+ = +, + +. =
1
2 )%'
( + 12
*(
$%
= 02& +
0
2& =
0
&
De acá notamos que +, es igual a +. por donde quiera que pase la onda.
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TRANSPORTE DE ENERGÍA. VECTOR POYNTING
Consideremos un volumen diferencial dV puede expresarse A dx. La onda recorre una longitud dx en
un Tempo dt .
!" =
!$
%
La energía electromagnéTca dU en el elemento volumétrico dV es:
!& = ' !( =
)
%
*. !$ =
)
%
* % !" = ) * !" La magnitud del vector POYNTING es ) =
1
*
!&
!"
=
1
*
-
!&
!"
= - La rapidez de flujo de laenergía es la potencia
La unidad de S en el SI es ) =
./""0
12
La intensidad de una onda electromagnéTca es:
3 = )456 =
1
78%
(:2)456 =
1
78%
:2<á> 0?@2(A$ − C") DEF 3 =
G
2HIJ
:2<á> =
G
2HI
:<á> K<á>
3 =
G
HI
:5J< K5J<:5J<L
:<á>
2
K5J<L
K<á>
2