UNIDAD N7 COMPLEMENTO(1)

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UNIDAD Nº7: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
COMPLEMENTO
Ecuaciones de Maxwell. 
ECUACIONES DIFERENCIALES
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI21/10/21
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI21/10/21
Unidad Nº7
Gradiente de un campo escalar 
Teoremas importantes de la teoría de campos 
En algunos problemas es de gran uJlidad conocer la rapidez o velocidad con que cambia un campo escalar
f(u1, u2, u3, t) en una determinada dirección del espacio. Supongamos que, para un Jempo constante t,
estamos interesados en la variación de esta función entre los puntos P y Q, los cuales están separados por un
diferencial de longitud vectorial
donde h1, h2 y h3 son los coeficientes métricos. Para los tres principales sistemas de coordenadas ortogonales estos
coeficientes son
Entonces para coordenadas cartesianas
!" = $% !% + $' !' + $( !(
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Gradiente de un campo escalar 
Teoremas importantes de la teoría de campos 
Un elemento de volumen en el entorno de P puede escribirse como dv = dl1 dl2 dl3 = h1 h2 h3 du1 du2 du3, por lo 
que para cada coordenadas cartesianas, por ejemplo, tendremos que 
El cambio diferencial correspondiente en f puede escribirse como 
!" = $"$% . !% +
$"
$( !( +
$"
$) !)
!" = (+,+- .% +
+,
+/ .( +
+,
+0 .)).(.% !% + .( !( + .) !))
!" = (1234 ") . !6
A parRr de esta expresión podemos deducir tres propiedades: 
•El vector grad f es perpendicular a cualquier superficie f = cte. Esto se comprueba notando que el producto escalar con dl
es igual a cero (ya que df = 0).
•Si dl apunta en la misma dirección de grad f, se obRene el máximo cambio en df. Es decir, el vector grad f indica tanto la
magnitud como la dirección de máxima rapidez de cambio de la función escalar f.
•La integral de línea de grad f a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es cero:
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Gradiente de un campo escalar 
Teoremas importantes de la teoría de campos 
Esta propiedad se demuestra observando que la integral de línea entre dos puntos cualesquiera P y Q, depende sólo de la
diferencia de los valores de la función f en dichos puntos. De hecho, teniendo en cuenta vemos que
donde fP y fQ simbolizan los valores de f en los puntos P y Q,
respecRvamente. Si P=Q (trayectoria cerrada), queda
demostrada la propiedad.
!"#$ % = (()(* +, +
()
(. +/ +
()
(0 +1)
Finalmente, definiendo el
operador ∇ llamado nabla
como
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Unidad Nº7
Divergencia de un campo vectorial 
La divergencia de una campo vectorial F, o div F, se define como el límite 
Teoremas importantes de la teoría de campos 
donde S es la superficie que encierra al volumen ∆v. Es decir, la expresión anterior representa el flujo neto (hacia afuera)
por unidad de volumen, del campo vectorial F a través de la superficie S, conforme el volumen ∆v Wende a cero. Se puede
demostrar que la forma de S no Wene efecto sobre el límite.
Las expresiones de la divF en los diferentes sistemas de coordenadas pueden obtenerse a parWr de
La divergencia en coordenadas cartesianas puede
escribirse usando el operador nabla
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Unidad Nº7
Teoremas importantes de la teoría de campos 
La divergencia en coordenadas cartesianas puede
escribirse usando el operador nabla
De acuerdo a su definición, la divergencia de un campo vectorial es cero en una región del espacio en la cual del elemento
diferencial de volumen entran y salen la misma canPdad de líneas de flujo. Sin embargo, la divergencia no es nula para
puntos en donde hay una fuente o un sumidero de campo.
Teorema de la divergencia 
Si F(x, y, z, t) es un campo vectorial bien definido, entonces la idenPdad 
es verdadera para la superficie cerrada S que limita a un volumen V arbitrario. Esta expresión nos dice que el flujo de un
campo vectorial a través de una superficie cerrada, es igual a la integral de volumen de su divergencia. A esa idenPdad se la
denomina teorema de la divergencia.
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Teorema de la divergencia 
Una demostración prácJca consiste en subdividir V en una canJdad grande n de elementos de volumen ∆vi (suponga que
son cubos de dimensiones muy pequeñas). De acuerdo a la definición de divergencia, el flujo neto en cada uno de estos
elementos será
donde Si es la superficie que encierra a ∆vi. Sumando los flujos correspondientes a los n elementos de volumen, obtenemos
el flujo total a través de S
Este resultado se debe a la cancelación de todos los flujos interiores, correspondientes a
los elementos de volumen que comparten una misma superficie exterior. Por otro lado,
sumando los términos del lado izquierdo y tomando el límite con ∆vi → 0, obtenemos
Esto prueba que la idenJdad es correcta. Para que sea válido el procedimiento anterior, se ha supuesto que
tanto F como sus primeras derivadas son con6nuas en V .
Teoremas importantes de la teoría de campos 
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Unidad Nº7
Rotacional de un campo vectorial 
Como vimos anteriormente, la integral de línea de gradf alrededor de cualquier trayectoria cerrada (circulación) siempre es
cero. Todos los campos vectoriales que cumplen con esta propiedad se denominan campos conservaRvos. No obstante, en
general existen campos no conservaRvos para los cuales la circulación es diferente de cero al menos para algunas
trayectorias cerradas en el espacio. En este contexto Rene senRdo definir lo que se denomina rotacional del campo
vectorial F, o rotF, el cual es un nuevo campo vectorial. En coordenadas generalizadas tenemos que
donde cada una de estas componentes se definen como los límites 
La circulación para cada una de estas componentes, se realiza sobre
una trayectoria l1 contenida en el plano u1 = cte, y que encierra el
elemento de superficie ∆s1. El senRdo de integración se elige con la
regla de la mano derecha, señalando con el pulgar en el mismo senRdo
que apunta a1.
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Rotacional de un campo vectorial 
En coordenadas cartesianas tenemos que 
!"# $ =
&' &( &)
*
*'
*
*(
*
*)
+' +( +)
Como en el caso del gradiente de una función escalar o la
divergencia de un campo vectorial, el rotacional en coordenadas
cartesianas puede escribirse usando el operador nabla.
Es importante destacar dos resultados. Sea cual sea el campo
vectorial considerado, la divergencia de su rotacional siempre será
igual a cero,
El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar f también
siempre será igual a cero,
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Unidad Nº7
Teoremas importantes de la teoría de campos 
Teorema de Stokes
Si F(x, y, z, t) es un campo vectorial bien definido, entonces la idenRdad 
es verdadera para una superficie S limitada por la trayectoria cerrada l. A la idenRdad se la denomina
teorema de la Stokes. Como en el caso del teorema de la divergencia, es necesario que tanto F como sus
primeras derivadas sean conRnuas en la región de integración.
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Ley de Gauss para campos eléctricos 
Aplicación de los Teoremas 
La ley de Gauss para campos eléctricos establece que el flujo total de E a través de una superficie cerrada S que limita a un
volumen V , es proporcional a la carga q encerrada por esta superficie
donde ρv es la densidad de carga eléctrica por unidad de volumen. La expresión
anterior es valida para el campo eléctrico en el espacio vacío, en el cual sólo están
presentes distribuciones de carga eléctrica estáXcas o en movimiento (la expresión
“espacio vacío” se refiere a que no están presentes materiales dieléctricos o
magnéXcos). Un concepto importante es que la ley de Gaussdebe cumplirse para
todas las superficies cerradas que sea posible construir entorno a q.
Usando el teorema de la divergencia en la integral de
superficie del lado izquierdo de la ecuación, obtenemos
Como las dos úlXmas integrales son válidas para
volúmenes de cualquier tamaño y forma, se
deduce que los integrandos deben ser iguales
Forma diferencial de la ley de Gauss
para campos eléctricos
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Ley de Gauss para campos magné2cos
Aplicación de los Teoremas 
La ley de Gauss para campos magnéMcos establece que el flujo total de B a través de cualquier superficie
cerrada S siempre es cero
Esto se debe a que las líneas de flujo del campo magnéMco se cierran sobre sí mismas ya que no existen carga
magnéMcas o monopolos magnéMcos.
Al igual que en la sección anterior, usando el teorema de la divergencia podemos obtener la expresión
diferencial correspondiente
Forma diferencial de la ley de Gauss
para campos magné2cos.
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Unidad Nº7
Ley de Ampère.
Aplicación de los Teoremas 
En el espacio vacío los campos magnéJcos son originados tanto por campos eléctricos que varían en el
Jempo como por cargas en movimiento.
! = #
$
&⃗. ()*+. (, = -./.
(Φ1
(2 + -.! *
+
-.
. (, = /.
(Φ1
(2 + !
En el espacio vacío, los campos B y E están relacionados a través de la ley de Ampère
Usando el Teorema de Stokes podemos reescribir la ecuación:
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Ley de Ampère.
Aplicación de los Teoremas 
Usando el Teorema de Stokes podemos reescribir la ecuación:
!
"
∇$ %&0 . )* =!"
,. )* + )).!
"
/0 0 . )*
Ley de Ampère en su forma diferencial 
la derivada total original se ha susNtuido por una derivada parcial, pues
el campo eléctrico depende tanto de variables espaciales como del
Nempo.
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Unidad Nº7
Ley de Faraday 
Aplicación de los Teoremas 
Ley de Faraday en su 
forma diferencial 
!". $% = − $Φ)$*
!". $% = − $$*+
,
-. $ .
Nuevamente, usando el Teorema de Stokes
!". $% = +
,
∇01 . $. = − $$*+
,
-. $ .
La ecuación nos dice que un campo magnéQco que varía
en el Qempo es capaz de inducir un campo eléctrico no
conservaQvo (la circulación de E es diferente de cero).
El campo eléctrico inducido se opone a la tendencia de la corriente a aumentar, lo 
que lleva al concepto de autoinductancia. 
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Unidad Nº7
Ecuación de con,nuidad 
Aplicación de los Teoremas 
Debido al postulado de conservación de la carga, la densidad de corriente está vinculada a la densidad de
carga eléctrica en cada punto del espacio. Para comprobar esta afirmación, tomemos la divergencia en ambos
miembros de la ley de Ampère
Como la divergencia de un rotor siempre es cero, obtenemos
Ecuación de 
con,nuidad
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Unidad Nº7
Resumen de Ecuaciones de Maxwell para el espacio vacío