SEM 9 - PRODUCTOS NOTABLES

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UNIDAD 3. Productos Notables
Adrien-Marie Legendre
(1752-1833), fue un
destacadísimo
matemático francés.
Hizo importantes
contribuciones a la
estadística, a la teoría
de números, al álgebra
abstracta y al análisis
matemático.
3.1 PRODUCTOS NOTABLES
Son productos que cumplen reglas �jas y cuyo resultado se puede obtener sin realizar la
multiplicación. A continuación veamos algunas de estas reglas.
3.1.1 Suma y diferencia de un binomio al cuadrado
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x − y)² = x² − 2xy + y²
Ejemplo.
(x + 3)² =
(5n - m)² =
3.1.2 Diferencia de cuadrados
(a + b)(a�b) = a2�b2
Ejemplo.
4x2 − y2=
3.1.3 Suma y diferencia de un binomio al cubo
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3= x3 + 3xy(x+ y) + y3
(x − y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3= x3 − 3xy(x − y)�y3
Ejemplo.
(x+4)3 =
(x-1)3 =
1
GESTIÓN
NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA
Semana 9
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Reducir:
(7
√
5 + 5
√
7)2 + (7
√
5− 5
√
7)2
Solución. :
Respuesta: 840
2. Reducir:
E = 32
√
1 + 80(92 + 1)(94 + 1)(98 + 1)
Solución. :
:
Respuesta: 3
3. Efectuar:
(2x+3y)(2x�3y)+ (2x�3y)2+(2x+3y)2
Solución. :
Respuesta: 12x2 + 9y2
4. Efectuar:
(x2 + xy + y2)(x2�xy + y2)
Solución. :
Respuesta:x4 + x2y2 + y4
5. Simpli�car:
( 6
√
5+ 6
√
6)
2−( 6
√
5− 6
√
6)
2
2 6
√
30
Solución. :
Respuesta: 2
6. Efectuar:
P = (x+2)(x2 � 2x + 4) � (x - 2)(x2 + 2x
+ 4)
Solución. :
Respuesta:16
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GESTIÓN
7. Si a+ b = 5 y ab = 2 calcular:
a2 + b2
Solución. :
Respuesta: 21
8. Hallar el valor numérico de:
M = (a−b)
2+(b−c)2+(a−c)2
12
Si se sabe que:
a− b = b− c =
√
3
Solución. :
Respuesta: 3/2
9. Reducir:
A = (
√
8 +
√
2 +
√
24)(2
√
6−
√
8−
√
2)
Solución. :
Respuesta: 6
10. Si: x+ 1x = 3 Calcular: E = x
2 + x−2
Solución. :
Respuesta: 7
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GESTIÓN
NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Reducir:
A = (2
√
3 + 3
√
2)2 + (2
√
3− 3
√
2)2
Solución. :
Por la identidad de Legendre
A = 2
[
(2
√
3)2 + (3
√
2)2
]
A = 2 [12 + 18]
A=60
Respuesta: 60
2. Reducir:
A = (2x + 3)2 � (2x - 3)2 + (3x - 4)2 �
8x2 - 16
Solución. :
Por la identidad de legendre, tenemos
(2x+ 3)2�(2x− 3)2 = 4(2x)(3)
(2x+ 3)2�(2x− 3)2 = 24x
Reemplazando y usando binomio al acua-
drado tenemos:
A = 24x+ 9x2 − 24x+ 16− 8x2 − 16
A = x2
Respuesta: x2
3. Calcular:
Q = 8
√
1 + 24(52 + 1)(54 + 1)(58 + 1)
Solución. :
= 8
√
1 + (52 − 1)(52 + 1)(54 + 1)(58 + 1)
= 8
√
1 + (54 − 1)(54 + 1)(58 + 1)
= 8
√
1 + (58 − 1)(58 + 1)
= 8
√
1 + 516 − 1
=
8
√
516
= 25
Respuesta: 25
4. Reducir:
B =
(
3
√
x+ 3
√
y
)2 − ( 3√x− 3√y)2
Solución. :
Respuesta: 4 3
√
xy
5. Efectuar:
(
√
x+2)(
√
x− 2)(x+4)+ (x+4)(4− x)
Solución. :
Respuesta: 0
6. Calcular:
F = 32
√
1 + 48(72 + 1)(74 + 1)(78 + 1)(716 + 1)
Solución. :
Respuesta: 7
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GESTIÓN
7. Si: a+ b = 3, ab=2 , calcular a3 + b3
Solución. :
(a+ b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+ b)
27 = a3 + b3 + 3(2)(3)
9 = a3 + b3
Respuesta: 9
8. Reducir: (x + 5)(x2 � 5x + 25) + (x2 +
5x + 25)(x - 5)
Solución. :
= x3 + 125 + x3 − 125
= 2x3
Respuesta: 2x3
9. Siendo:xy = 3
√
100 − 3
√
10 + 1, x2 + y2 =
1+ 3
√
10. Calcular el valor de: S = (x - y)4
� (x + y)4
Solución. :
S = [(x−y)2+(x+y)2][(x−y)2−(x+y)2]
S = [2(x2 + y2)][−4xy]
S = [2(1 + 3
√
10)][−4( 3
√
100− 3
√
10 + 1)]
S = −88
Respuesta: -88
10. Si: x + y = 2, x2 + y2 = 3 ; Hallar: E =
x3+y3
Solución. :
Respuesta: 5
11. Reducir: A = (xn + 6)(xn + 3) � (xn +
4)(xn + 5)
Solución. :
Respuesta: -2
12. Siendo: xy = 3
√
36 − 3
√
6 + 1, x2 + y2 =
1+ 3
√
6.Calcular el valor de: S = (x -y)4 �
(x + y)4
Solución. :
Respuesta: -56
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GESTIÓN
NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS
TAREA DOMICILIARIA
1. Reducir: M = (x + 2)2 � (2 - x)2 + (x - 4)2 � x2 - 16
Respuesta: 0
2. Simpli�car (a2x + b2x)(a2x − b2x)(a4x + b4x) + b8x
Respuesta: a8x
3. Simpli�car: Q = 8
√
1 + 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
Respuesta: 4
4. Simpli�car: E = (x− y)2 − (x+ y)2�2(3− 2xy)
Respuesta: -6
5. Efectuar (x2 + 5x+ 5)2 − (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)(x+ 4)
Respuesta: 1
6. Si x=
√√
2 + 1−
√√
2− 1 Hallar M=x2 + 2
Respuesta: 2
√
2
7. Si: x+ 1x = 2 Calcular: E = x
3 + x−3
Respuesta: 6
8. Si: x - y = 5, x2 + y2 =4 ; Hallar: E = x3-y3
Respuesta: -40
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