INECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS_SEMANA- 3

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INECUACIONES LINEALES Y
CUADRÁTICAS
�cuando las leyes de la
matemática se re�ere a
la realidad, no son
ciertas; cuando son
ciertas, no se re�eren a
la realidad�
Albert Einstein
INTERVALOS
Un intervalo es el conjunto de todos los nú-
meros reales entre dos números reales dados
Clases de Intervalos
ACOTADOS
Abierto: < a, b >= {x�R/a < x < b}
Cerrado:[a; b] = {x�R/a ≤ x ≤ b}
Semiabierto a la derecha:
[a, b >= {x�R/a ≤ x < b}
Semiabierto a la izquierda:
< a, b] = {x�R/a < x ≤ b}
NO ACOTADOS
In�nitos:
< a,∞ >, [a,∞ >,< −∞, a >,< −∞, a]
Representación Grá�ca
INECUACIÓN LINEAL
De�nición
Es una desigualdad que contiene varia-
bles(incognitas)
Son expresiones reducibles a la forma
ax+ b > 0 , donde a, b�R,a 6= 0
ax+ b ≥ 0 , donde a, b�R,a 6= 0
ax+ b < 0 , donde a, b�R,a 6= 0
ax+ b ≤ 0 , donde a, b�R,a 6= 0
1
INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Para resolver una inecuacion se despeja la
variable x, del mismo modo que para una ecua-
cion lineal, solo respetando las propiedades bá-
sicas de las desigualdades
Ejemplo 1. Resuelve en R el siguiente ejercicio
3x− 4 ≤ 4− x
Solución
4x ≤ 8
x ≤ 2
C.S =< −∞, 2]
INECUACIÓN CUADRÁTICA
De�nición.
Es una inecuación algebraica que puede re-
ducirse a la forma
ax2 + bx+ c > 0 , donde a, b, c�R,a 6= 0
ax2 + bx+ c ≥ 0 , donde a, b, c�R,a 6= 0
ax2 + bx+ c < 0 , donde a, b, c�R,a 6= 0
ax2 + bx+ c ≤ 0 , donde a, b, c�R,a 6= 0
Principales Métodos de solución
1. Método analítico: Basado en la ley de los
signos para la multiplicación
2. Método de los puntos críticos:
Factirizar y colocar los puntos críticos or-
denadamente sobre la recta real
Colocar el signo + sobre el intervalo ex-
tremo derecho y alternar signos para los
demás intervalos
Elegir los intervalos que tienen sobre sí el
signo �+� si la desigualdad es > 0 ó ≥ 0, o
los intervalos que tienen sobre sí el signo
�−�si la desigualdad es < 0 ó ≤ 0
Ejemplo 2. Resolver la siguiente inecuación:
x2 + x− 6 ≥ 0
Solución
(x+ 3)(x− 2) ≥ 0
C.S =< −∞,−3] ∪ [2,+∞ >
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INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS I
Semana 3 Sesión 3
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Considerando los siguientes intervalos:
S = [−5, 10 >
T =< 2, 12 >
V = [−2,∞ >
Hallar
S ∩ T
(V ∩ S) ∪ T
2. Hallar :A ∩B si
A = {−5, 5}
B = {x ∈ R/0 ≤ x ≤ 6}
3. Determinar el conjunto solucion de:
−5 ≤ 3x− 4 < 2
4. Determinar el conjunto solución de:
−5 + 3x < 5− 4x
2
< 3x+ 12
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5. Determinar el conjunto solucion :
3(2x− 1
3
) + 5(3x+
1
5
) > 10x
6. Determinar el conjunto solución de:
2x+ 3
5
− 3x− 6
4
≤ −3x+ 2
8
+
5x
3
7. Desarrollar.
−3x2 + 7x+ 6 ≤ 0
8. Resolver:
(x+ 1)2 + (x+ 2)2 ≤ (x+ 3)2
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9. Para una compañia que fabrica pantalo-
nes el costo variable es decir mano de obra
y material es de $10 por pantalón.El cos-
to �jo es decir el costo sin importar la
producción es de $80000. Si el precio de
venta de un pantalón es de $30.¾Cual es
el mínimo número de pantalones que de-
be vender, para que la compañia obtenga
ganancia?
10. Un fabricante puede vender todas las uni-
dades que produce a $70 cada una, te-
niendo costos �jos de 18000 al mes, y
además le cuesta $20 producir cada ar-
tículo.¾cuántas unidades puede producir
y vender la compañia para obtener utili-
dades de por lo menos $6000?
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INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS I
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Encontrar el conjunto solución
2(x− 1
2
) + 4(2x+
1
2
) > 3x
2. Encontrar el conjunto solución
3x− 12 ≤ 5x− 6
4
3. Encontrar el conjunto solución
3x+ 1
7
− 2x− 4
3
≥ −5x− 4
14
+
7x
6
4. Determinar el conjunto solucion de:
3x2 − 10x+ 3 < 0
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5. Desarrollar.
x (3x+ 2) < (x+ 2)2
6. Encontrar el conjunto solución
(x+ 5)2 + 3 < (x− 3)2 + 5
7. Desarrollar.
5 (x+ 3)+ 2x (3x− 2) ≤ (6x− 1) (x+ 1)
8. Una compañia de textiles fabrica un pro-
ducto que tiene un precio unitario de ven-
ta de $25 y un costo unitario de $20. Si los
costos �jos son $30000, determine el nú-
mero mínimo de las unidades que la com-
pañia debe fabricar y vender para obtener
ganacias
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9. Un fabricante puede vender todas las uni-
dades que produce a $70 cada una, tenien-
do costos �jos de 18000 al mes,y además le
cuesta $20 producir cada articulo. ¾cuán-
tas unidades puede producir y vender la
compañía para obtener utilidades de por
lo menos $6000?
10. Un fabricante puede vender todas las uni-
dades que produce al precio de $12000 al
mes y ademas,le cuesta $22 producir ca-
da articulo. ¾Cuantas unidades debe pro-
ducir y vender al mes la compania para
obtener utilidades ?
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MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS I
TAREA DOMICILIARIA
1. Resolver .
2(x+ 1)− 3(x− 2) < x+ 6
2. Resolver .
(2− 13x)(−3) + 4(−
1
2x+
7
4) > 0
3. Resolver .
6(x+18 −
2x−3
16 ) > 3(
3
4x−
1
4)−
3
8(3x− 2)
4. Resolver .
x2 − 9x− 10 < 0
5. Resolver .
x2 + 3x− 2 ≥ −x2 + 9x+ 8
6. Resolver .
9x2 − 12x− 4 ≤ 0
7. Resolver .
−8x2 − 22x+ 6 ≤ 0
8. Una compañia de textiles fabrica un pro-
ducto que tiene un precio unitario de ven-
ta de $85 y un costo unitario de $55. Si los
costos �jos son $60000, determine el nú-
mero mínimo de las unidades que la com-
pañia debe fabricar y vender para obtener
ganacias
9. Un fabricante puede vender todas las uni-
dades que produce a 70 soles cada uno,
teniendo costos �jos de 37280 al mes, y
además le cuesta 30 soles producir cada
artículo. Cuántas unidades puede produ-
cir y vender la compañía para obtener uti-
lidades de por lo menos 2720 soles
10. Un fabricante puede vender todas las uni-
dades que produce a $70 cada una, tenien-
do costos �jos de 18000 al mes, y ade-
más le cuesta $20 producir cada artículo.
¾cuántas unidades puede producir y ven-
der la compañía para obtener utilidades
de por lo menos $6000?
RESPUESTAS
1. C.S =< 1;+∞ >
2. C.S =< −∞; 1 >
3. C.S =< −∞; 5/3 >
4. C.S =< −1; 10 >
5. C.S =< −∞; 3−
√
29
2 ]U [
3+
√
29
2 ; +∞ >
6. C.S = [2−2
√
2
3 ;
2+2
√
2
3 ]
7. C.S =< −∞;−3]U [1/4;+∞ >
8. El número minimo es de 2001 unidades
9. La compañia debe fabricar y vender por
lo menos 1000 articulos
10. La compañia debe fabricar y vender por
lo menos 480 artículos
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