P_Sem10_Ses10_Algebra de Funciones

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FUNCIÓN DE VARIAS REGLAS DE 
CORRESPONDENCIA
ALGEBRA DE FUNCIONES 
LOGRO
• Al finalizar la unidad de aprendizaje, el estudiante
evalúa una función en un punto y conoce
funciones con varias reglas de correspondencia
que tienen aplicación en el campo de la
Administración y Economía, opera y resuelve
mediante el algebra de funciones problemas
relacionados a Gestión y Negocios.
FUNCIÓN DE VARIAS REGLAS 
DE CORRESPONDECIA
Estos 
comportamientos 
definen a una 
función a trozos
Representa los meses 
donde los ingresos 
suben y luego caen a 
través de una curva
En el campo de la Administración y Negocios las funciones tienen
diferentes comportamientos.
Suponga que 𝑓(𝑥) representa las ganancias o ingresos de una empresa; y “x” son 
los meses del año (siendo Enero 1, Febrero 2 , etc.)
Representa los meses 
del año en la cual los 
ingresos son 
constantes
Representa los meses 
de fin de año en la 
cual los ingresos 
aumentan
𝒇 𝒙 = ൞
𝟑𝟎; 𝒙 ∈ ሾ𝟏, 𝟑 >
𝟐𝟎 − 𝒙𝟐; 𝒙 ∈ ሾ𝟑, 𝟖 >
𝟓𝒙 + 𝟏𝟎; ∈ 𝟖, 𝟏𝟐
FUNCIÓN DE VARIAS REGLAS 
DE CORRESPONDECIA
𝑓 𝑥 = ൞
30; 𝑥 ∈ ሾ1,3 >
20 − 𝑥2; 𝑥 ∈ ሾ3, 8 >
5𝑥 + 10; ∈ 8,12
Debe entenderse que la función tiene tres reglas de correspondencia o 
comportamientos
1
2
3
Cada regla de correspondencia tiene su propio dominio
El dominio de la función es la unión de los dominios de cada comportamiento.
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = ቂ1,3 > ∪ ൣ3,8 > ∪ ሾ8, ሿ12
Una Función a trozos expresa comportamientos 
por eso puede tener varias reglas de 
comportamiento y cada una bajo un dominio 
específico
ALGEBRA DE FUNCIONES
Dados 𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) y 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑜𝑚 𝑔(𝑥)
El álgebra existe siempre y cuando exista una condición.
La suma de funciones
La diferencia de funciones
El Producto de funciones
𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆: 𝑫𝒐𝒎 𝒇 𝒙 ∩ 𝑫𝒐𝒎 𝒈(𝒙)
(𝑓 + 𝑔) 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
(𝑓 − 𝑔) 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
(𝑓. 𝑔) 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥
ALGEBRA DE FUNCIONES
Dados 𝑓 𝑥 = 3 + 2𝑥; 𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 =< −2,3 > y 𝑔 𝑥 =
𝑥+1
𝑥−2
Encuentre: (𝑓 + 𝑔) 𝑥 ; (𝑓 − 𝑔) 𝑥 ; (𝑓. 𝑔)(𝑥) si existe
Solución:
Toda función tiene su dominio; cuando la función no muestra el dominio 
debe poner el dominio que le corresponde teóricamente.
Es una función Racional cuyo dominio es : ℝ− {2}𝑔 𝑥 =
𝑥 + 1
𝑥 − 2
ALGEBRA DE FUNCIONES
𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑫𝒐𝒎 𝒇 𝒙 ∩ 𝑫𝒐𝒎 𝒈(𝒙)
2−𝟐 𝟑
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) < −2,2 > < 2,3 >∪
Esta es la condición 
que asegura el álgebra.
(𝑓 + 𝑔) 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
𝟑 + 𝟐𝒙 +
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
𝟑 + 𝟐𝒙 −
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
(𝑓 − 𝑔) 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
(𝑓. 𝑔) 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥
(𝟑 + 𝟐𝒙)(
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
)
Dom (f + 𝑔)(𝑥) < −2,2 >∪< 2,3 >
Dom (f − 𝑔)(𝑥) < −2,2 >∪< 2,3 >
Dom (f. 𝑔)(𝑥) < −2,2 >∪< 2,3 >
Las operaciones 
entre funciones no 
alteran el dominio
ALGEBRA DE FUNCIONES
Dados 𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) y 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑜𝑚 𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
= (
𝑓
𝑔
)(𝑥)
La diferencia con las operaciones anteriores es que la intersección 
que hace posible el cociente puede variar cuando se realizan las 
operaciones.
El Cociente entre funciones Denota:
𝑺ì 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆: 𝑫𝒐𝒎 𝒇 𝒙 ∩ 𝑫𝒐𝒎 𝒈(𝒙)
ALGEBRA DE FUNCIONES
Este valor no 
se encuentra 
en el dominio 
Dados 𝑓 𝑥 = 3 + 2𝑥; 𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 =< −4, ሿ3 y 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑥 = ሾ0, 4 >
Encuentre:(
𝑓
𝑔
)(𝑥) si existe
Solución: 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑫𝒐𝒎 𝒇 𝒙 ∩ 𝑫𝒐𝒎 𝒈(𝒙)
𝟎−𝟒 𝟑
𝟎, 𝟑 Existe el álgebra.
𝟒
(
𝑓
𝑔
) 𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
3 + 2𝑥
𝑥2 − 4
=
(3 + 2𝑥)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑷𝒆𝒓𝒐: (𝒙 + 𝟐) ≠ 𝟎 𝒙 ≠ −𝟐
En este caso 𝟎, 𝟑 no es el 
dominio si no ሾ𝟎, 𝟐 >∪< 𝟐, ሿ𝟑 .
(𝒙 − 𝟐) ≠ 𝟎 𝒙 ≠ 𝟐
Este valor se 
encuentra en 
el dominio 
ALGEBRA DE FUNCIONES
ambos valores 
no se 
encuentran en el 
dominio 
Dados 𝑓 𝑥 = 3 + 𝑥; 𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 =< −4, ሿ3 y 𝑔 𝑥 =
𝑥+1
𝑥+4
𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑥 = ሾ−2, 4 >
Encuentre:(
𝑔
𝑓
)(𝑥) si existe
Solución: 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑫𝒐𝒎𝒈 𝒙 ∩ 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙)
−𝟒 𝟑
−𝟐, 𝟑 Existe el álgebra.
𝟒
(
𝑔
𝑓
) 𝑥 =
𝑔 𝑥
𝑓 𝑥
=
𝑥 + 1
𝑥 + 4
3 + 𝑥
=
(𝑥 + 1)
(𝑥 + 4)(3 + 𝑥)
𝑷𝒆𝒓𝒐: 𝒙 + 𝟒 ≠ 𝟎 𝒙 ≠ −𝟒
𝟑 + 𝒙 ≠ 𝟎 𝒙 ≠ −𝟑
−𝟐
En este caso las operaciones 
realizadas no alteran el 
Dominio
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
𝑓 𝑥 = ቐ
2𝑥 − 4, 𝑥 ∈< −4,0 >
𝑥2 − 3, 𝑥 ∈ ሾ0, ሿ3
𝑥 + 6, 𝑥 ∈ < 3,10 >
𝑔 𝑥 = ቊ
𝑥 + 2 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ −2,2
3𝑥 + 2, 𝑥 ∈< 2,6 >
Dadas las funciones, halle (𝑓 + 𝑔)(𝑥); (𝑓 − 𝑔)(𝑥); (𝑓. 𝑔)(𝑥); (
𝑓
𝑔
)(𝑥) si es posible
1
2
3
4
5
Solución:
𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 =< −4,10 > y 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑥 = ሾ−2,6 >
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
No es la intersección de los dominios de las funciones la que habilita el 
álgebra sino de los comportamientos por separado
1 ∩ 4
1 ∩
∩
∩
∩
∩
4 4
5 5 5
2
2
3
3
Donde exista la
intersección, existe
el álgebra entre sus
comportamientos
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1 4∩ < −4,0 > ∩ −2,2 = ሾ−2,0 >
1 ∩ 5 < −4,0 > ∩ < 2,6 >= ∄
2 ∩ 4 ሾ0, ሿ3 ∩ −2,2 = ሾ0, ሿ2
2 ∩ 5 ሾ0, ሿ3 ∩ < 2,6 >=< 2, ሿ3
3 ∩ 4 < 3,10 > ∩ −2,2 = ∄
3 ∩ 5 < 3,10 > ∩ < 2,6 > =< 3,6 >
Conociendo donde existe la intersección podemos desarrollar el álgebra
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
𝑓 𝑥 = ቐ
2𝑥 − 4, 𝑥 ∈< −4,0 >
𝑥2 − 3, 𝑥 ∈ ሾ0, ሿ3
𝑥 + 6, 𝑥 ∈ < 3,10 >
𝑔 𝑥 = ቊ
𝑥 + 2 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ −2,2
3𝑥 + 2, 𝑥 ∈< 2,6 >
1
2
3
4
5
Solución:
(𝑓 + 𝑔)(𝑥)=
2𝑥 − 4 + 𝑥 + 2 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ ሾ−2,0 >
𝑥2 − 3 + 𝑥 + 2 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ 0,2
𝑥2 − 3 + 3𝑥 + 2 , 𝑥 ∈< 2, ሿ3
𝑥 + 6 + 3𝑥 + 2 , 𝑥 ∈< 3,6 >
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Las operaciones que se
hagan no alteran el
dominio de cada una de
ellas.
(𝑓 − 𝑔)(𝑥)=
2𝑥 − 4 − 𝑥 + 2 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ ሾ−2,0 >
𝑥2 − 3 − 𝑥 + 2 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ 0,2
𝑥2 − 3 − 3𝑥 + 2 , 𝑥 ∈< 2, ሿ3
𝑥 + 6 − 3𝑥 + 2 , 𝑥 ∈< 3,6 >
(𝑓. 𝑔)(𝑥)=
2𝑥 − 4 . 𝑥 + 2 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ ሾ−2,0 >
𝑥2 − 3 . 𝑥 + 2 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ 0,2
𝑥2 − 3 . 3𝑥 + 2 , 𝑥 ∈< 2, ሿ3
𝑥 + 6 . 3𝑥 + 2 , 𝑥 ∈< 3,6 >
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
𝑓 𝑥 = ቐ
2𝑥 − 4, 𝑥 ∈< −4,0 >
𝑥2 − 3, 𝑥 ∈ ሾ0, ሿ3
𝑥 + 6, 𝑥 ∈ < 3,10 >
𝑔 𝑥 = ቊ
𝑥 + 2 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ −2,2
3𝑥 + 2, 𝑥 ∈< 2,6 >
1
2
3
4
5
Solución:
Los dominios explican el cociente pero; las operaciones entre las
funciones cambian en algunos casos el dominio y en otros no.
(
𝑓
𝑔
)(𝑥)=
2𝑥 − 4
𝑥 + 2 𝑥 − 1
, 𝑥 ∈ ሾ−2,0 >
𝑥2 − 3
𝑥 + 2 𝑥 − 1
, 𝑥 ∈ 0,2
𝑥2 − 3
3𝑥 + 2
, 𝑥 ∈< 2, ሿ3
𝑥 + 6
3𝑥 + 2
, 𝑥 ∈< 3,6 >
(
𝑓
𝑔
)(𝑥)=
2𝑥 − 4
𝑥 + 2 𝑥 − 1
, 𝑥 ∈< −2,0 >
𝑥2 − 3
𝑥 + 2 𝑥 − 1
, 𝑥 ∈ 0,2 − {1}
𝑥2 − 3
3𝑥 + 2
, 𝑥 ∈< 2, ሿ3
𝑥 + 6
3𝑥 + 2
, 𝑥 ∈< 3,6 >
¡Ahora todos a practicar!