S15 s2 - Material - Algebra de Funciones

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FUNCIONES
ALGEBRA DE FUNCIONES
¿Para que sirven las funciones?
https://es.slideshare.net/featured/category/education
https://es.slideshare.net/ulearning/funciones-54930126
En la ingeniería civil las funciones son aplicadas 
par resolver problemas tomando como punto de 
partida la función cuadrática, si observas la 
construcción del puente colgante que se encuentra 
suspendido por cables en 2 torres fijas. 
Por otro lado los biólogos, también utilizan estas 
funciones para analizar los efectos nutricionales de 
los organismos.
¿Sabías que los astrónomos determinan la 
magnitud estelar de una estrella o planeta 
utilizando funciones logarítmicas? Dado que 
ciertos cálculos logarítmicos les permite determinar 
la brillantez y la magnitud.
Así mismo la geología requiere del planteamiento de 
funciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad 
sísmica.
Y ni que decir en la medicina, poder analizar el 
comportamiento de un virus y su comportamiento 
exponencial de propagación.
Como verás todo es nuestra vida necesita expresarse en 
funciones.
Funciones
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje los estudiantes realizan operaciones con 
funciones y reconoce la composición de funciones como una operación.
Datos/Observaciones
OPERACIONES COMPOSICIÓN
ALGEBRA DE FUNCIONES
1 OPERACIONES CON FUNCIONES
SUMA de funciones
𝐷𝑜𝑚 𝑓 + 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
DIFERENCIA de funciones
𝐷𝑜𝑚 𝑓 − 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
MULTIPLICACIÓN de funciones
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∙ 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥
DIVISIÓN de funciones
𝐷𝑜𝑚
𝑓
𝑔
= 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 − { Τ𝑥 𝑔 𝑥 ≠ 0}
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
Algebra de Funciones
Datos/Observaciones
Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 ; 𝑥 ≥ 0 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3 ; 𝑥 ∈ −2, 5
Determine 𝑓 + 𝑔 ; 𝑓 − 𝑔 ; 𝑓 ∙ 𝑔 ; Τ𝑓 𝑔 con sus respectivos dominios.
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝐷𝑓 = [0, +∞[
𝑓 + 𝑔 =
𝐷𝑔 = −2, 5
5−2 0
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 0, 5
(𝑥2+𝑥) (𝑥 − 3) =+ 𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑓 − 𝑔 = (𝑥2+𝑥) (𝑥 − 3) =− 𝑥2 + 3
𝑓 ∙ 𝑔 = 𝑥2 + 𝑥 (𝑥 − 3) =∙ 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥
𝑓
𝑔
=
𝑥2 + 𝑥
𝑥 − 3
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 𝟎, 𝟓
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 − { Τ𝑥 𝑔 𝑥 ≠ 0} = 𝟎, 𝟓 − 𝟑
𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 3
𝐴 𝐵 𝐶
2 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
𝑓 𝑔
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥
𝑥 𝑓 𝑥 𝑔(𝑓 𝑥 ) 
Algebra de Funciones
Datos/Observaciones
Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1 ; 𝑥 ∈ (1, 10) y 𝑔 𝑥 = 2𝑥2; 1 < 𝑥 < 7.
Determine 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 con sus respectivos dominios.
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
𝐷𝑓∘𝑔 = 𝑥 ∕ 𝑥 ∈ 1, 7 ∧ 2𝑥
2 ∈ 1, 10
1
2
< 𝑥 < 5
1
2
< 𝑥2 < 5
− 5 < 𝑥 < −
1
2
∨
1− Τ1 2 Τ1 2
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 1, 5
− 5 5 7
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥
= 𝑓 2𝑥2
= 3 2𝑥2 − 1
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 6𝑥2 − 1
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 1, 5
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Dadas las funciones𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 11𝑥 + 12 ; 𝑥 ∈ −4, 6 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 15.
Determine 𝑓 + 𝑔 ; 𝑓 − 𝑔 ; 𝑓 ∙ 𝑔 ; Τ𝑓 𝑔 con sus respectivos dominios.
SOLUCIÓN:
𝑥2 + 2𝑥 − 15 ≥ 0
𝐷 𝑔 = ⟨−∞,−5] ∪ [3,+∞⟩
𝑥 + 5 𝑥 − 3 ≥ 0
𝑥 = −5 𝑥 = 3
3−5
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 3, 6
6−4 3−5
𝑓 + 𝑔 = 2𝑥2 − 11𝑥 + 12 𝑥2 + 2𝑥 − 15+
𝑓 − 𝑔 = −
𝑓 ∙ 𝑔 = ∙
𝑓
𝑔
=
2𝑥2 − 11𝑥 + 12
𝑥2 + 2𝑥 − 15
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 𝟑, 𝟔
2𝑥2 − 11𝑥 + 12 𝑥2 + 2𝑥 − 15
2𝑥2 − 11𝑥 + 12 𝑥2 + 2𝑥 − 15
= 2𝑥4 − 7𝑥2 − 25𝑥2 + 189𝑥 − 180
𝑥2 + 2𝑥 − 15 > 0
𝐷 𝑔 = −∞,−5 ∪ 3,+∞
𝑥 ≠ −5 𝑥 ≠ 3
𝐷𝑜𝑚
𝑓
𝑔
= ⟨3, 6]
6−4 3−5
Algebra de Funciones
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Hallar el dominio de 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 +
3𝑥−2
3+2𝑥−𝑥2
SOLUCIÓN:
Algebra de Funciones
𝑥2 − 3𝑥 + 2 ≥ 0
⟨−∞, 1] ∪ [2,+∞⟩
𝑥 − 2 𝑥 − 1 ≥ 0
𝑥 = 2 𝑥 = 1
21
3 + 2𝑥 − 𝑥2 > 0
𝑥2 − 2𝑥 − 3 < 0
𝑥 − 3 𝑥 + 1 < 0
𝑥 = 3 𝑥 = −1
3−1
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ⟩⟨−1,1] ∪ [2,3
31 2−1
−1, 3
LISTO PARA MI EJERCICIOS RETOS
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIO RETO
1. Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 𝑥 + 6 ; −3 ≤ 𝑥 ≤ 8 y 𝑔 𝑥 = 4𝑥 − 8 ; 𝑥 ∈ 2, 20 . 
Determine 𝑔 ∘ 𝑓 con sus respectivos dominios.
2. Hallar 𝑓 + 𝑔 y 𝑓. 𝑔 si: 𝑓 = 1,3 ; 2,6 ; 4,8 ; 6,2 , 𝑔 =
{ 1,2 ; 2, −1 ; 0,1 ; 4, 5 ; (7, 0)}
3. Hallar 𝑓 + 𝑔 si: 𝑓 𝑥 = 2 𝑥, g = { −3,6 ; −2,1 ; 0,2 ; 1,5 ; 2,3 ; (4, −2)}
4. Dados 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1, 𝑥 ∈ [1,∞ >, 𝑔 𝑥 = { 2,−5 ; 0,1 ; −4,6 ; 8, −3 ; (−7,10)}. Hallar 
𝑓𝑜𝑔.
5. Dadas las funciones: 
𝑓 𝑥 = ቊ
𝑥; 𝑥 ∈ < −∞, 1]
−1; 𝑥 ∈< 1,∞]
, g 𝑥 = ቊ
𝑥2 − 8; 𝑥 < 0
𝑥 ; 𝑥 ≥ 0
Hallar 𝑓𝑜𝑔 𝑥 y graficarla.
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. Para poder componer funciones el dominio debe existir.
2. La suma, la resta la multiplicación de funciones exige la 
intersección de los dominios.
Datos/Observaciones
Algebra de Funciones
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
Excelente tu 
participación
Ser una persona 
positiva es lo que te 
ayudará en los 
momentos más difíciles
Ésta sesión quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios 
propuestos de ésta sesión y 
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus 
dudas.