SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SEMANA -7

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SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
La victoria siempre fue
de quien nunca dudó de
ella.
Raúl Follereau
Método de Cramer
El sistema de �n� ecuaciones lineales con �n� incóg-
nitas AX = B,con |A| 6= 0 tiene solución única, que
esta dado por:
x1 =
|A1|
|A| ;x2 =
|A2|
|A| ; ...;xn =
|An|
|A|
Ejemplo
Dado el sistema resolver por el metodo de cramer
{
3x− 5y = −8
2x+ 4y = 4
Solución
Método de Gauss
Escalonar una matriz
Es un proceso en el cual se toma la primera colum-
na y el primer elemento de una matriz(se llama pivot).
Luego todos los elementos bajo este número deben ser
ceros. Estas operaciones se pueden realizar:
-Intercambiar dos �las
-Multiplicar una �la por una constante
-Sumar el múltiplo de una �la con otra �la (sumas
y restas)
Pasos para la solución de sistemas de ecua-
ciones lineales usando escalonada
-Formar la matriz aumentada (A | B)
-Por medio de operaciones elementales obtener una
matriz escalonada (C | D) a partir de (A | B)
-Para cada �la distinta de cero de la matriz
(C | D)se despeja la incógnita correspondiente
Al aplicar el método de Gauss podemos encontrar-
nos con distintos casos:
Ejemplo
Tenemos el siguiente sistema
a11x+ a12y + a13z = b1
a21x+ a22y + a23z = b2
a31x+ a32y + a33z = b3
Ahora partiremos de la matriz ampliada
(A | B) =

a11 a12 a13
... b1
a21 a22 a23
... b2
a31 a32 a33
... b3

1
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
caso 1:Si se obtiene un sistema escalonado con co-
e�cientes no nulos, el sistema es compatible determina-
do, tiene solución única.
a11 a12 a13
... b1
0 a22 a23
... b2
0 0 a33
... b3

caso 2:Si se obtiene una o más �las de ceros, salvo
el elemento correspondiente al término independiente,
que es distinto de cero, el sistema no tiene solución y
por lo tanto es incompatible
a11 a12 a13
... b1
0 a22 a23
... b2
0 0 0
... b3

caso 3:Si se obtiene una o más �las en las que to-
dos los elementos sean ceros, el sistema tiene in�nitas
soluciones, es un sistema compatible indeterminado
a11 a12 a13
... b1
0 a22 a23
... b2
0 0 0
... 0

Ejemplo: Resolver por metodo de gauss{
2x+ y = 1
−x+ 2y = 7
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS I
Semana 7 Sesión 7
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el
método de Cramer:
x+ 2y + z = −1
4x+ y − 2z = 6
3x+ y − 5z = 4
2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el
método de Gauss:
x+ y + z = 2
2x− 3y + 2z = 4
4x+ y − 3z = 1
3. Un empresario compró acciones mineras y comer-
ciales de los tipos A y B respectivamente. Cada
acción del tipo A la adquirió a S/.10 y cada ac-
ción del tipo B la adquirió a S/.15. Si se sabe
que compró 900 acciones entre las del tipo A y
las del tipo B y que invirtió S/.11000 en la com-
pra. ¾Cuántas acciones del tipo A y del tipo B
adquirió el empresario? (desarrollar por el méto-
do de cramer)
4. Una compañía vende teléfonos celulares de los
modelos C1 y C2. El precio de venta unitario del
modelo C1 es de S/.150 y el del modelo C2 es de
S/.200. En el mes de Febrero la compañía vendió
200 celulares entre lo dos modelos y su ingreso
total en ese mes fue de S/.34000. ¾Cuántos celu-
lares de cada tipo se vendieron durante el mes de
febrero?(desarrollar por el método de Gauss)
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5. Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre
almohadas, mantas y edredones, gastando un to-
tal de 7500 soles. El precio de una almohada es
de 16 soles, el de una manta es de 50 soles y el
de un edredón es de 80 soles. Además el número
de almohadas compradas es igual al número de
mantas más el número de edredones. ¾Cuantas
almohadas, mantas y edredones ha comprado el
hotel?(desarrolla por método de gauss)
6. En una tienda de ropa se liquidan los pantalo-
nes que han quedado sin vender en la tempora-
da, Los hay de 3 tipos: - Sin defecto, todos al
mismo precio de 20 euros. - Con defecto no apre-
ciable, con una rebaja del 20% sobre el precio
de los anteriores. - Con defecto apreciable, con
una rebaja del 60% sobre el precio de los que no
tienen defecto. Hay 70 pantalones para vender.
El precio total de todos ellos es de 1280 euros, y
los que tienen defecto suponen el 40% de los que
no lo tienen. ¾Cuantos pantalones hay de cada
clase?(desarrolla por método de cramer)
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MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS I
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Utilizando el método de Cramer resuelva los si-
guientes sistemas:
2x+ y − 3z = −1
x− 3y − 2z = −12
3x− 2y − z = −5
2. Utilizando el método de Gauss resuelva el si-
guiente sistema:
x+ 2y − 3z = −16
3x+ y − 2z = −10
2x− 3y + z = −4
3. La empresa �Polistel� produce camisas y
corbatas, con un costo de producción uni-
tario de S/. 50 y S/. 60 respectivamente
y con un costo �jo mensual de S/. 3 300.
Sabiendo que el costo total mensual es de
S/. 10 000 y que cada camisa se vende
a S/. 80 y cada corbata S/.90, que ge-
neran un ingreso total mensual de s/. 10
300. Determine la cantidad de camisas y
corbatas producidas en un mes. (Resuelva
el problema aplicando el método de Cra-
mer)
4. Una fábrica de automóviles produce dos modelos
A y B. Suponga que cada modelo A requiere 10
partes del tipo I y 14 partes del tipo II, mientras
que cada modelo B requiere 8 partes del tipo I
y 6 partes del tipo II. Si La fábrica puede obte-
ner 850 partes del tipo I y 930 partes del tipo II,
¾cuántos automóviles de cada modelo se produ-
cen, si se utilizan todas las partes disponibles?
(método de cramer)
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5. Una empresa exportadora de artículos de lana de
vicuña tiene un costo �jo mensual de S/. 5000.
Sabiendo que produce chompas y faldas donde el
costo de producción es de S/. 80 y S/. 70 respec-
tivamente. Además el costo total mensual es de
S/. 15600. Cada chompa se vende S/. 200 y cada
falda a S/. 180 y la venta total del mes es de S/.
26800. Calcule la cantidad de chompas y faldas
producidas en el mes.(método de gauss)
6. En una residencia de estudiantes se com-
pran semanalmente 120 helados de distin-
tos sabores: vainilla, chocolate y nata. El
presupuesto destinado para esta compra
es de 580 soles y el precio de cada helado
es de 5 soles el de vainilla, 3 soles el de
chocolate y 6 soles el de nata. Conocidos
los gustos de los estudiantes, se sabe que
entre helados de chocolate y nata se han
de comprar el 40% más que de vainilla.
Resuelve, mediante el método de Gauss,
el sistema planteado para calcular cuán-
tos helados de cada sabor se compran a
la semana.
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MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS I
TAREA DOMICILIARIA
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el
método de Gauss

2x− y + z = −3
3x+ 2y − 2z = 20
x+ 3y − 5z = 29
2. Utilizando el método de Cramer resuelva los si-
guientes sistemas:

4x+ 3y − 2z = 14
3x+ 5y + 2z = 23
2x− y − 5z = −6
3. La empresa �Textiles del Perú� produce panta-
lones y faldas, con un costo de producción uni-
tario de S/. 90 y S/. 60 respectivamente y con
un costo �jo mensual de S/. 6000. Sabiendo que
el costo total mensual es de S/. 16800 y que ca-
da pantalón se vende a S/. 200 y cada falda a
S/.180, que generan un ingreso total mensual de
s/. 26800. Determine la cantidad de pantalones
y faldas producidas en un mes.
4. Un fabricante produce 3 artículos A, B y C.
La utilidad por cada unidad vendida es de $1,
$2 y $3 respectivamente. Los costos �jos son de
$17000 por año y los costos de producción por
cada unidad son $4, $5 y $7 respectivamente. El
año siguiente se producirán y venderán un total
de 11000 unidades entre los 3 productos y se ob-
tendrá una utilidad total de $ 25000. Si el costo
total será de $80000, ¾cuántas unidades de cada
producto deberán producirse el año siguiente?.
5. Una fábrica tiene plantas para la producción de
puertas en dos distritos diferentes de Lima: Los
Olivos y San Juande Mira�ores. En la planta de
los Olivos los costos �jos son de S/.20000 y el
costo de producción es de S/ 150 soles por cada
puerta. En la planta de San Juan de Mira�ores
los costos �jos son de S/ 25400 y el costo de pro-
ducción es de S/.180 por cada puerta. El año si-
guiente la compañía quiere producir 520 puertas.
Determine la producción de cada planta para el
próximo año, si el costo total de cada una debe
ser el mismo.
6. En una residencia de estudiantes se com-
pran semanalmente 120 helados de distin-
tos sabores: vainilla, chocolate y nata. El
presupuesto destinado para esta compra
es de 580 soles y el precio de cada helado
es de 5 soles el de vainilla, 3 soles el de
chocolate y 6 soles el de nata. Conocidos
los gustos de los estudiantes, se sabe que
entre helados de chocolate y nata se han
de comprar el 40% más que de vainilla.
Resuelve, mediante el método de Gauss,
el sistema planteado para calcular cuán-
tos helados de cada sabor se compran a
la semana.
RESPUESTA
1. Respuesta: x = 2; y = 4, z = −3
2. Respuesta: x = 3; y = 2; z = 2
3. Respuesta: 80pantalones y 60 faldas
4. Respuesta: x = 19000; y = −30000; z = 22000
5. Respuesta: 300 y 220
6. Respuesta: vainilla = 50; chocolate = 30;
nata = 40
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