P_Sem 9_ Ses 17_ Valores Extremos de una Función ppt

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MATEMÁTICAS PARA 
LOS NEGOCIOS 2
VALORES EXTREMOS DE 
UNA FUNCIÓN 
CONOCIDOS COMO 
MÁXIMO Y MÍNIMO 
ABSOLUTO
SEMANA 9 
EL CICLO DE VIDA DE UN 
PRODUCTO
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante encuentra un valor
extremo y reconoce si es un máximo o mínimo absoluto.
VALOR EXTREMO
Sabemos que una función 𝑓 𝑥 es creciente si 𝒇′ 𝒙 > 𝟎 y es decreciente si 
𝒇′ 𝒙 < 𝟎
Pero que pasa cuando 𝒇′ 𝒙 = 𝟎
Geométricamente significa que hay 
una recta horizontal a la curva f(x)
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑦
El valor de “x” 
donde ocurre 
se llama Punto 
Crítico
Si evaluamos la función en el punto crítico f(x) a este valor se le llama Valor extremo
MÁXIMO DE UNA FUNCIÓN
DEFINICIÓN:
Una función 𝑓 𝑥 tiene un máximo en 𝑥 = 𝑐 si antes de este valor la 
función es creciente 𝒇′ 𝒙 > 𝟎 y después de este valor la función es 
decreciente 𝒇′ 𝒙 < 𝟎
Para todo “x” suficientemente cerca de “c”
MÁXIMO DE UNA 
FUNCIÓN
𝑓(𝑐)
Punto 
Crítico
Valor 
Extremo El valor 
extremo que 
cumpla la 
definición se 
llama Máximo
MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN
DEFINICIÓN:
Una función 𝑓 𝑥 tiene un mínimo en 𝑥 = 𝑐 si antes de este valor la
función es decreciente 𝒇′ 𝒙 < 𝟎 y después de este valor la función es
creciente 𝒇′ 𝒙 > 𝟎
Para todo “x” suficientemente cerca de “c”
MÍNIMO DE UNA FUNCION
Punto 
Crítico
𝑓(𝑐)
Valor 
Extremo
El valor 
extremo que 
cumpla la 
definición se 
llama Mínimo
MÁXIMO DE UNA FUNCION
Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la función
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥
𝑓´ 𝑥 = 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0
Si al hallar dos puntos críticos y los evalúa en la función, encuentra los valores
extremos pero; al mayor valor se le llama Máximo absoluto y al menor valor
Mínimo Absoluto.
Paso 1: Sabemos que los máximos y mínimos se encuentran en los puntos
críticos. Los puntos críticos los encuentra al hacer 𝑓′ 𝑥 = 0
Paso 2: Evaluando la función en los puntos críticos.
A encontrado los 
puntos críticos
𝑓 1 = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 = −1
𝑓 −
1
3
= 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 =
5
27
Primer valor 
extremo
El mayor de los valores es el Máximo Absoluto y el menor el Mínimo Absoluto
Segundo 
valor 
extremo
Resolviendo la ecuación.
𝑥 = −
1
3
; 𝑥 = 1
MÁXIMO DE UNA FUNCION
EJERCICIO EXPLICATIVO
Encuentre los máximos y mínimos de la función si existen
𝑓 𝑥 =
𝑥4
4
+
2
3
𝑥3 −
𝑥2
2
− 2𝑥 + 1
Solución.
Paso 1: Los puntos críticos los encuentra al hacer 𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓´ 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
Paso 2: Se resuelve la ecuación.
𝑥 = −2 ; 𝑥 = −1 ; 𝑥 = 1
A encontrado 
los puntos 
críticos
MÁXIMO DE UNA FUNCIÓN
Paso 3: Evalúe la función en los puntos críticos.
𝑓 1 = −
7
12
𝑓 −1 =
25
12
𝑓 −2 =
5
3
EJERCICIO EXPLICATIVO
¿será Máximo 
o Mínimo?
𝑓 1 = −
7
12
𝑓 −1 =
25
12
𝑓 −2 =
5
3
Al haber mas de dos puntos críticos, la teoría del Valor extremo no puede
identificar a todos los puntos entre el mayor y el menor valor.
Necesitamos el Criterio de la Primera Derivada que definirá si es máximo o mínimo
pero será relativo.
El menor valor se
llama Mínimo
Absoluto
El mayor valor se llama
Máximo Absoluto
El mayor de todos los 
máximos se llama máximo 
absoluto para todo x ∈
𝒂; 𝒃
𝑓(𝑥)
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6
Son los puntos 
críticos
𝑓(𝑥1)
𝑓(𝑥2)
𝑓(𝑥3)
𝑓(𝑥4)
𝑓(𝑥5)
𝑓(𝑥6)
Son los 
valores 
extremos
Gráficamente es fácil determinar cuál de los valores extremos es máximo o mínimo
a b
El menor de todos los 
mínimos se llama mínimo 
absoluto para todo x ∈
𝒂; 𝒃
El resto se llaman 
máximos o 
mínimos relativos
¡Ahora todos a practicar!