Poisson 4

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Presos escapan de una cárcel según un proceso de Poisson de intensidad 2 por día. 
Independientemente de eso a las 0:00 horas del 16 de diciembre de 2012 el guardiacárcel se 
quedó dormido y durmió un tiempo (en horas) aleatorio uniforme sobre el intervalo [5, 6]. 
Sabiendo que mientras el guardiacárcel dormía se escapó exactamente un preso calcular la 
probabilidad de que lo haya hecho entre las 3 y las 4 de la mañana. 
 
Los presos escapan según un proceso de Poisson de intensidad 𝜆 = 2/24 presos por hora. 
Definimos: 
𝑇: tiempo en horas que duerme el guardia; 𝑇~𝒰[5,6] 
𝑁: cantidad de presos escapados mientras el guardia duerme 
𝑁1: cantidad de presos escapados entre las 3 y las 4 mientras el guardia duerme 
Se quiere calcular 𝑃(𝑁1 = 1|𝑁 = 1). Sean: 
𝑁𝑡 : 𝑁|𝑇 = 𝑡~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆𝑡) 
𝑁1𝑡 : 𝑁1|𝑇 = 𝑡~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆) 
𝑁1𝑡|𝑁𝑡 = 𝑛~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝) con 𝑝 = 1/𝑡 ⟹ 𝑃(𝑁1𝑡 = 1|𝑁𝑡 = 1) = 1/𝑡 
La probabilidad calculada es condicional a 𝑇 = 𝑡. Para calcular la probabilidad pedida se debe 
aplicar probabilidad total en el continuo. Entonces: 
𝑃(𝑁1 = 1|𝑁 = 1) = ∫ 𝑃(𝑁1𝑡 = 1|𝑁𝑡 = 1)𝑓𝑇(𝑡)𝑑𝑡
6
5
= ∫
1
𝑡
𝑑𝑡
6
5
= 𝑙𝑛6 − 𝑙𝑛5 ≅ 0,18 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 𝑡 
𝑇 
𝑁1𝑡 
𝑁𝑡 
Poisson 4