Analisis dimensinal Fisica

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¿Qué es la Física?
Diego Jesús Mamani Vega 2
Es una ciencia natural que estudia la materia y las leyes fundamentales de sus
interacciones. Utiliza el método científico y elabora modelos matemáticos de los
procesos físicos, a partir de los cuales trata de explicar el comportamiento general de la
materia.
nivel átómico nivel macroscópico Universo
Magnitud Física
• Todo aquello que se puede medir.
• Ejemplo: Masa, longitud, tiempo, temperatura, velocidad, aceleración, etc.
• Las mediciones se pueden realizar de manera directa o indirectamente
Figura 1 Figura 2
Diego Jesús Mamani Vega 3
Clasificación de las magnitudes físicas
• Por su origen
Figura 3
Sistema internacional de medida (S.I)
Magnitudes fundamentales Magnitudes derivadas
Figura 4
Diego Jesús Mamani Vega 4
Clasificación de las magnitudes físicas
• Por su naturaleza
Magnitudes escalares
Requieren de un valor numérico y una unidad de medida para estar bien definidas.
Ejemplos: Masa, tiempo, temperatura, distancia recorrida, rapidez media, etc.
Nota 1: Podemos aplicar las operaciones entre números reales.
2 𝑘𝑔 + 3 𝑘𝑔 = 5 𝑘𝑔
Magnitudes vectoriales
Requieren de un valor numérico, unidad de medida y dirección para estar bien definidas.
Ejemplos: Posición, desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerzas, campo eléctrico, etc.
Nota 2: Se representan mediante vectores. (Flechas)
Nota 3: Para operar magnitudes vectoriales se requiere del cálculo vectorial.
2 𝑚 𝑒𝑠𝑡𝑒 + 3𝑚 𝑜𝑒𝑠𝑡𝑒 ≠ 5 𝑚
Diego Jesús Mamani Vega 5
Análisis Dimensional
Operador dimensional:
Notación:
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 : 𝑆𝑒 𝑙𝑒𝑒 "𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑"
Dimensiones básicas
Diego Jesús Mamani Vega 6
Ecuaciones dimensionales
Propiedades: Sea A y B magnitudes físicas.
1) AB = A B
2)
A
B
=
A
B
3) An = A n ; n: número real
4) A ± B n = A n = B n
5) n = 1 ; n: número real − cantidad adimensional
Ejemplos:
3 = 1;
1
2
= 1; 𝜋 = 1; 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1; 𝑒 = 1; 𝐿𝑜𝑔𝑥 = 1
Aplicación 1:
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝐿
𝑇
= 𝐿𝑇−1
Diego Jesús Mamani Vega 7
Ecuaciones dimensionales
Aplicación 2:
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝐿𝑇−1
𝑇
= 𝐿𝑇−2
Figura 5
Diego Jesús Mamani Vega 8
Principio de homogeneidad
“Toda ecuación que exprese una ley física debe ser dimensionalmente 
homogénea”.
Ejemplo:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡
Entonces aplicando el principio de homogeneidad, tenemos:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 = 𝑎𝑡
𝐿𝑇−1 = 𝐿𝑇−1 = 𝐿𝑇−2. 𝑇
𝐿𝑇−1 = 𝐿𝑇−1 = 𝐿𝑇−1
Demostrando así que lo términos son dimensionalmente homogéneas
Diego Jesús Mamani Vega 9
Cálculo vectorial
Representación geométrica de un vector y sus elementos
𝑥
𝑦
Ԧ𝐴
𝜃: 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝑂
𝑂𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑜
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜
Notación:
Ԧ𝐴: 𝑆𝑒 𝑙𝑒𝑒 − 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴
Ԧ𝐴 = A:Módulo, intensidad o magnitud del vector
Está representado por la longitud del vector.
Nota:
Ԧ𝐴 = 𝐴 ≥ 0
Ԧ𝐴
Diego Jesús Mamani Vega 10
Cálculo vectorial
Definiciones generales:
𝑥
Ԧ𝐴
𝜃
1. Vectores iguales
𝐵
𝜃
Ԧ𝐴 = 𝐵
𝑥
Ԧ𝐴
𝜃
2. Vectores paralelos
𝐵𝐵 = 2 Ԧ𝐴
𝜃
𝑥
Ԧ𝐴
𝜃
3. Vectores opuestos
𝐵
𝜃
Ԧ𝐴 = −𝐵
Ԧ𝐴 ≠ 𝐵
𝐴 = 𝐵
𝑥
𝑦
4. Vectores unitarios
Ƹ𝑖− Ƹ𝑖
Ƹ𝑗
− Ƹ𝑗
Ƹ𝑖 = − Ƹ𝑖 = Ƹ𝑗 = − Ƹ𝑗 = 1
Diego Jesús Mamani Vega 11
Cálculo vectorial – Suma de vectores
Método del polígono
Ԧ𝐴 𝐵
Ԧ𝐶
𝐷
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐶
𝐷
Simbólicamente se expresa:
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵 + Ԧ𝐶 + 𝐷
Donde:
𝑅: 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑚𝑎
Caso especial:
Ԧ𝐴 Ԧ𝐶
𝐵 Simbólicamente se expresa:
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵 + Ԧ𝐶
𝑅 = 0
𝑅
Diego Jesús Mamani Vega 12
Cálculo vectorial – Suma de vectores
Método del paralelogramo:
Ԧ𝐴
𝐵
Cálculo del módulo o magnitud del 
vector suma o resultante: 𝑅
𝑅 = 𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃
Casos especiales:
Simbólicamente se expresa:
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵
Magnitud o módulo
𝑅𝑚𝑎𝑥 = 𝐴 + 𝐵
Ԧ𝐴
𝐵
𝑅
𝜃
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐴
𝐵 Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐴
𝐵
𝑅
𝑅
𝑅 𝑅
60°
𝑅
120°
Simbólicamente se expresa:
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵
Magnitud o módulo
𝑅𝑚𝑖𝑛 = 𝐴 − 𝐵
Simbólicamente se expresa:
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵
Magnitud o módulo
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2
Simbólicamente se expresa:
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵
Magnitud o módulo: 
Si 𝐴 = 𝐵
𝑅 = 𝐴 3
Simbólicamente se expresa:
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵
Magnitud o módulo:
Si 𝐴 = 𝐵
𝑅 = 𝐴
Diego Jesús Mamani Vega 13
Cálculo vectorial – Diferencia de vectores
Ԧ𝐴
𝐵
Cálculo del módulo o magnitud del 
vector diferencia: 𝐷
𝐷 = 𝐷 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃
Ԧ𝐴
−𝐵
𝐷
𝜃
Simbólicamente se expresa:
𝐷 = Ԧ𝐴 − 𝐵
Donde:
𝐷: 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
Diego Jesús Mamani Vega 14
Cálculo vectorial – Método analítico
Método de los componentes rectangulares
𝑥(+)
𝑦(+)
Ԧ𝐴
𝑂𝑥(−)
𝑦(−)
𝐴𝑥
𝐴𝑦
Representación de un vector como par ordenado
Ԧ𝐴 = 𝐴𝑥; 𝐴𝑦
Representación de un vector con vectores unitarios
Ԧ𝐴 = 𝐴𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐴𝑦 Ƹ𝑗
𝑥(+)
𝑦(+)
Ԧ𝐴
𝑂𝑥(−)
𝑦(−)
𝐴𝑥
𝐴𝑦
37°
5 𝑢
Entonces: 
Ԧ𝐴 = 𝐴𝑥; 𝐴𝑦
Ԧ𝐴 = −4;+3
También: 
Ԧ𝐴 = −4 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗
Ejemplo
Diego Jesús Mamani Vega 15
Cálculo vectorial – Método analítico
Método de los componentes rectangulares
Suma o resta de vectores
Si:
Ԧ𝐴 = 𝐴𝑥; 𝐴𝑦
𝐵 = 𝐵𝑥; 𝐵𝑦
Ԧ𝐶 = 𝐶𝑥; 𝐶𝑦
Cálculo del vector resultante
𝑅 = 𝑅𝑥; 𝑅𝑦
Donde:
𝑅𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥
𝑅𝑦 = 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑦
Cálculo del módulo o magnitud del vector resultante
𝑅 = 𝑅𝑥
2 + 𝑅𝑦
2
Cálculo de la dirección del vector resultante
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑅𝑦
𝑅𝑥
Diego Jesús Mamani Vega 16
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA
Diego Jesús Mamani Vega 17
1. Sistema de Referencia
2. Distancia recorrida: (e)
Magnitud escalar
Mide la longitud de la trayectoria.
Unidad de medida: metros (m)
3. Vector posición: Ԧ𝑟
Magnitud vectorial
Ԧ𝑟𝑖:vector posición inicial
Ԧ𝑟𝑓:vector posición final
Unidad de medida: metros (m)
4. Vector desplazamiento: Ԧ𝑑
Magnitud vectorial
Mide el cambio de posición
Ԧ𝑑 = Ԧ𝑟𝑓 − Ԧ𝑟𝑖
Unidad de medida: metros (m)
𝑥
𝑦
𝑂
Ԧ𝑟𝑖
Ԧ𝑟𝑓
𝑡𝑖
𝑡𝑓
Trayectoria
Ԧ𝑑
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA
Diego Jesús Mamani Vega 18
5. Velocidad media: Ԧ𝑣𝑚
Magnitud vectorial
Se define:
Ԧ𝑣𝑚 =
Ԧ𝑑
∆𝑡
Unidad de medida: (m/s)
6. Rapidez media: 𝑅𝑚
Magnitud escalar
Se define:
𝑅𝑚 =
𝑒
∆𝑡
Unidad de medida: (m/s)
7. Velocidad instantánea: Ԧ𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡 = Ԧ𝑣
Magnitud vectorial
Se define:
Ԧ𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡 = Ԧ𝑣 = lim
∆𝑡→0
Ԧ𝑑
∆𝑡
Unidad de medida: (m/s)
𝑥
𝑦
𝑂
Ԧ𝑟𝑖
Ԧ𝑟𝑓
𝑡𝑖
𝑡𝑓
Trayectoria
NOTA
Ԧ𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡 = Ԧ𝑣: 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
Donde:
Ԧ𝑣 = 𝑣: 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧
Ԧ𝑑
Ԧ𝑣𝑚
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA: 
Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U)
Diego Jesús Mamani Vega 19
Se caracteriza por mantener la velocidad constante: 
• Dirección constante: Movimiento rectilíneo
• Magnitud o módulo constante: Rapidez constante
• Recorre las mismas distancias en el mismo intervalo de tiempo
NOTA
Ԧ𝑣𝑓 ≠ Ԧ𝑣𝑖
Donde:
𝑣𝑖 = 𝑣𝑓 𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA: 
Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U)
Diego Jesús Mamani Vega 20
Ecuación de posición
Ecuación vectorial
Tomando como referencia el eje “X”
Ԧ𝑥𝑓 = Ԧ𝑥𝑖 + Ԧ𝑣(𝑡𝑓 − 𝑡𝑖)
Donde:
Ԧ𝑥𝑓: posición final (m), para el instante 𝑡𝑓
Ԧ𝑥𝑖: posición inicial (m), para el instante 𝑡𝑖
Ԧ𝑣: velocidad (m/s)
𝑡𝑓: instante final (s)
𝑡𝑖: instante inicial (s)
Si: 𝑡𝑖 = 0 y 𝑡𝑓 = 𝑡 , entonces:
Ԧ𝑥𝑓 = Ԧ𝑥𝑖 + Ԧ𝑣𝑡
Recordar: 
Ԧ𝑥𝑓 − Ԧ𝑥𝑖 = Ԧ𝑣𝑡
Ԧ𝑑 = Ԧ𝑣𝑡
Ejemplo:
𝑥𝑂
20 𝑚
𝑡𝑖 = 0
𝑣 = 5 𝑚/𝑠
Ecuación de posición
Ԧ𝑥𝑓 = Ԧ𝑥𝑖 + Ԧ𝑣(𝑡𝑓 − 𝑡𝑖)
Ԧ𝑥𝑓 = −20 − 5𝑡
Aplicación:
Para: 𝑡 = 2 𝑠
Ԧ𝑥𝑓 = −20 − 5 2
Ԧ𝑥𝑓 = −30 𝑚
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA: 
Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U)
Diego Jesús Mamani Vega 21
Nota:
• Para el M.R.U, cumple:
Ԧ𝑑 = 𝑑 = 𝑒
• Entonces, tenemos la ecuación escalar:𝑑 = 𝑣𝑡
Donde:
𝑑: distancia recorrida (m)
𝑣: rapidez (m/s)
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA: 
Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U) – Gráficas
Diego Jesús Mamani Vega 22
Gráfica posición vs tiempo
𝑡(𝑠)
𝑥(𝑚)
𝑂
𝜃
Determinación de la velocidad
Ԧ𝑣 = +𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑡(𝑠)
𝑥(𝑚)
𝑂
𝜃
Determinación de la velocidad
Ԧ𝑣 = −𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑡(𝑠)
𝑣(𝑚/𝑠)
𝑂
Gráfica velocidad vs tiempo
𝑣
−𝑣
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA: 
Diego Jesús Mamani Vega 23
Aceleración media: Ԧ𝑎𝑚
Magnitud vectorial
Se define:
Ԧ𝑎𝑚 =
∆ Ԧ𝑣
∆𝑡
=
Ԧ𝑣𝑓 − Ԧ𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Unidad de medida: 𝑚/𝑠2
Aceleración instantánea: Ԧ𝑎𝑖𝑛𝑠𝑡 = Ԧ𝑎
Magnitud vectorial
Se define:
Ԧ𝑎𝑖𝑛𝑠𝑡 = Ԧ𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆ Ԧ𝑣
∆𝑡
Unidad de medida: 𝑚/𝑠2
NOTA
Ԧ𝑣𝑓 ≠ Ԧ𝑣𝑖
Donde:
𝑣𝑖 = 𝑣𝑓
𝑎
Ԧ𝑎
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA:
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V) 
Diego Jesús Mamani Vega 24
Se caracteriza por mantener la aceleración constante: 
• Dirección constante: Movimiento rectilíneo
• Magnitud o módulo constante: 
• Experimenta los mismos cambios de velocidad en los mismos intervalos de tiempo.
Ejemplo:
Considere: Ԧ𝑎 = −5 𝑚/𝑠2 y Ԧ𝑣𝑖 = −2 𝑚/𝑠
𝑥𝑂
𝑡1 = 0𝑣 = 2 𝑚/𝑠
𝑡2 = 1 𝑠𝑣 = 7 𝑚/𝑠𝑡3 = 2 𝑠𝑣 = 12 𝑚/𝑠
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA:
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V) 
Diego Jesús Mamani Vega 25
Ecuaciones vectoriales para el M.R.U.V
• Ecuación de posición en función del tiempo
Ԧ𝑥𝑓 = Ԧ𝑥𝑖 + Ԧ𝑣𝑖 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 +
1
2
Ԧ𝑎 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
2
Si: 𝑡𝑖 = 0 y 𝑡𝑓 = 𝑡
Ԧ𝑥𝑓 = Ԧ𝑥𝑖 + Ԧ𝑣𝑖𝑡 +
1
2
Ԧ𝑎𝑡2
• Ecuación de la velocidad en función del tiempo
Ԧ𝑣𝑓 = Ԧ𝑣𝑖 + Ԧ𝑎 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Si: 𝑡𝑖 = 0 y 𝑡𝑓 = 𝑡
Ԧ𝑣𝑓 = Ԧ𝑣𝑖 + Ԧ𝑎𝑡
• Ecuación de la velocidad en función de la posición
Ԧ𝑣𝑓
2
= Ԧ𝑣𝑖
2
+ 2 Ԧ𝑎 Ԧ𝑥𝑓 − Ԧ𝑥𝑖
NOTA
𝑆𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠
𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
Donde:
Ԧ𝑥𝑓: posición final 𝑚
Ԧ𝑥𝑖: posición inicial 𝑚
Ԧ𝑣𝑓: velocidad final 𝑚/𝑠
Ԧ𝑣𝑖: velocidad inicial 𝑚/𝑠
Ԧ𝑎: aceleración (𝑚/𝑠2)
𝑡𝑓: Tiempo final (s)
𝑡𝑖: Tiempo inicial (s)
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA:
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V) 
Diego Jesús Mamani Vega 26
Ecuaciones Escalares para el M.R.U.V
Si. 𝑡𝑖 = 0
𝑑 = 𝑣𝑖𝑡 ±
1
2
𝑎𝑡2
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 ± 𝑎𝑡
𝑣𝑓
2 = 𝑣𝑖
2 ± 2𝑎𝑑
𝑑 =
𝑣𝑖 + 𝑣𝑓
2
𝑡
NOTA
Solo se trabaja con los módulos
Donde:
d: distancia recorrida 𝑚
𝑣𝑖: rapidez inicial 𝑚/𝑠
𝑣𝑓: rapidez final 𝑚/𝑠
a:magnitud de la aceleración (𝑚/𝑠2)
𝑡: tiempo (s)
NOTA
(+): 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
(−): 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA: 
M-R-U.V – Gráficas
Diego Jesús Mamani Vega 27
Gráfica velocidad vs tiempo
𝑡(𝑠)
𝑣(𝑚/𝑠)
𝑂
𝜃
Determinación de la aceleración
Ԧ𝑎 = +𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑡(𝑠)
𝑣(𝑚/𝑠)
𝑂
𝜃
Determinación de la aceleración
Ԧ𝑎 = −𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑡(𝑠)
𝑎(𝑚/𝑠2)
𝑂
Gráfica aceleración vs tiempo
𝑎
−𝑎
Gráfica posición vs tiempo
𝑡(𝑠)
𝑥(𝑚)
𝑂
CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA: 
Gráficas velocidad versus tiempo
Diego Jesús Mamani Vega 28
Gráfica velocidad vs tiempo
𝑡(𝑠)
𝑣(𝑚/𝑠)
Cálculo del desplazamiento
Ԧ𝑑 = 𝐴1 − 𝐴2
𝑡1𝑡0 𝑡2 𝑡3
𝑡4
Cálculo de la distancia 
recorrida
𝑒 = 𝐴1 + 𝐴2
𝐴1
𝐴2
𝑡5