Derivadas

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Derivar las siguientes funciones: 
1.- 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠(𝐥𝐧(𝒙)) 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒇′(𝒙) 
 
𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 
log𝑎 𝑏 =
ln(𝑏)
ln(𝑎)
 
 
𝐿𝑜𝑔(𝑎) = log10(𝑎) 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 
𝑓(𝑥) =
ln(ln(𝑥))
ln(10)
 
 
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 
𝑠𝑖 𝑔(𝑥) = ln(𝑎) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔′(𝑥) =
𝑎′
𝑎
 
𝑓′(𝑥) =
ln(𝑥)′
ln(𝑥)
ln(10)
 
𝑓′(𝑥) =
[ln(𝑥)]′
ln(10) ln(𝑥)
 
𝑓′(𝑥) =
𝑥′
𝑥
ln(10) ln(𝑥)
 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
ln(10) ln(𝑥)
 
𝑓′(𝑥) =
𝟏
𝐥𝐧(𝟏𝟎) 𝐥𝐧(𝒙) 𝒙
 
 
 
2.- 
𝒇(𝒙) = 𝒆𝟑𝒙 ∗ 𝒕𝒈𝟐(𝒙 + 𝟏) 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒇′(𝒙) 
 
𝑔(𝑥) = 𝑒𝑢 → 𝑔′(𝑥) = 𝑢′𝑒𝑢 
𝑔(𝑥) = tan(𝑢) → 𝑔′(𝑥) = sec2(𝑢) ∗ 𝑢′ 
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥)ℎ′(𝑥) 
𝑠𝑖 𝑔(𝑥) = 𝑒3𝑥 
𝑔′(𝑥) = 3𝑒3𝑥 
𝑆𝑖 ℎ(𝑥) = 𝑡𝑔2(𝑥 + 1) 
ℎ′(𝑥) = 2𝑡𝑔2−1(𝑥 + 1)(sec2(𝑥 + 1) ∗ 1) 
ℎ′(𝑥) = 2𝑡𝑔(𝑥 + 1)𝑠𝑒𝑛2(𝑥 + 1) 
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
𝑓′(𝑥) = 3𝑒3𝑥𝑡𝑔2(𝑥 + 1) + 2𝑒3𝑥𝑡𝑔(𝑥 + 1)𝑠𝑒𝑛2(𝑥 + 1) 
𝒇′(𝒙) = 𝒆𝟑𝒙(𝟑𝒕𝒈𝟐(𝒙 + 𝟏) + 𝟐𝒕𝒈(𝒙 + 𝟏)𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙 + 𝟏)) 
 
3.- 
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝒚 = 𝒆 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒚′ 
log𝑏 𝑎 = 𝑐 ↔ 𝑏
𝑐 = 𝑎 
𝑦 = log(𝑥2+1) 𝑒 
𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 
𝑦 =
ln(𝑒)
ln(𝑥2 + 1)
 
ln(𝑒) = 1 
𝑦 =
1
ln(𝑥2 + 1)
 
𝑦 = (ln(𝑥2 + 1))−1 
𝑦′ = (−1)(ln(𝑥2 + 1))−1−1 (
2𝑥2−1
𝑥2 + 1
) 
𝑦′ = −(ln(𝑥2 + 1))−2 (
2𝑥
(𝑥2 + 1)
) 
𝑦′ = −
1
(ln(𝑥2 + 1))2
(
2𝑥
(𝑥2 + 1)
) 
𝒚′ = −
𝟐𝒙
𝐥𝐧𝟐(𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙𝟐 + 𝟏)
 
 
4.- Elimine el parámetro “t” para determinar: la gráfica de la curva 
paramétrica y su derivada y’. 
𝑥 = 𝑡 − 1 
𝑦 = 2𝑡2 − 4𝑡 + 1 
0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
Primero eliminamos el parámetro t despejándolo en la función x y luego 
sustituyéndolo en y para así obtener la función de la curva. 
𝑥 = 𝑡 − 1 
𝑡 = 𝑥 + 1 
 
𝑦 = 2(𝑥 + 1)2 − 4(𝑥 + 1) + 1 
𝑦 = 2(𝑥2 + 2𝑥 + 1) − 4𝑥 − 4 + 1 
𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 + 2 − 4𝑥 − 3 
𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 
Ahora obtenemos la derivada de la función (y’) 
𝑦 = 2𝑥2 − 1 
𝑦′ = (2)(2𝑥2−1) 
𝑦′ = 4𝑥 
Ahora obtenemos los valores de la curva paramétrica. En este caso la gráfica se 
encuentra estudiada entre los valores del intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 es decir que los 
valores de t se encuentran entre 0 y 2, con esos valores sustituidos en las 
ecuaciones paramétricas encontramos los puntos de la gráfica para cada valor del 
parámetro t 
t 𝒙 = 𝒕 − 𝟏 𝒚 = 𝟐𝒕𝟐 − 𝟒𝒕 + 𝟏 
0 0 − 1 = −1 2(0)2 − 4(0) + 1 = 1 
1 1 − 1 = 0 2(1)2 − 4(1) + 1 = 2 − 4 + 1 = −1 
2 2 − 1 = 1 2(2)2 − 4(2) + 1 = 8 − 8 + 1 = 1 
 
𝒙 𝒚 
−1 1 
0 −1 
1 1