ElementosCuadernillo1

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Elementos de Matemática y Estadística
CUADERNILLO 1
UNIDAD 1: ARITMÉTICA ELEMENTAL
Unidad 1 – Cuadernillo 1
Contenido
1. NÚMEROS ENTEROS.....................................................................................4
a. El conjunto de los números enteros..........................................................4
b. Orden y representación de los números enteros en la recta numérica....4
2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I...................................................5
a. Suma y resta.............................................................................................5
b. Producto....................................................................................................5
i. Regla de los signos.................................................................................5
ii. Propiedad distributiva............................................................................6
c. Cociente....................................................................................................6
i. Regla de los signos.................................................................................6
ii. Propiedad distributiva............................................................................6
d. Operaciones combinadas..........................................................................7
e. Supresión de paréntesis, corchetes y llaves.............................................8
f. Resolución de ecuaciones..........................................................................8
3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS II................................................10
a. Potenciación............................................................................................10
i. Regla de los signos...............................................................................10
ii. Signo del exponente............................................................................10
iii. Propiedad distributiva.........................................................................11
iv. Producto de potencias de igual base..................................................11
v. Cociente de potencias de igual base...................................................12
vi. Potencia de potencia...........................................................................12
vii. Cuadrado de un binomio....................................................................12
2
Elementos de Matemática y Estadística
viii. Cubo de un binomio..........................................................................13
b. Radicación...............................................................................................13
i. Definición..............................................................................................13
ii. Regla de los signos..............................................................................13
iii. Propiedad distributiva.........................................................................14
iv. Potencias de exponente racional........................................................14
c. Operaciones combinadas con potenciación y radicación........................14
d. Resolución de ecuaciones con potenciación y radicación......................15
e. Concepto de módulo o valor absoluto....................................................16
3
Unidad 1 – Cuadernillo 1
UNIDAD 1:
ARITMÉTICA
ELEMENTAL
1.NÚMEROS ENTEROS
a.El conjunto de los números 
enteros
Los números enteros se utilizan para numerar
variables discretas, es decir, que no asumen
valores fraccionarios. Por ejemplo: número de
integrantes de un grupo, cantidad de unidades
producidas por una máquina, etc. 
El conjunto de los números enteros abarca a los
enteros positivos y negativos, y al número cero.
goo.gl/
YyZbnz 
Recurso
Multimedia 1
b. Orden y representación de los números enteros 
en la recta numérica
Para representar los números y su ordenamiento de una manera clara y
sencilla, usamos la recta numérica. En ella representamos al cero en el medio,
los números negativos hacia la izquierda, y los positivos hacia la derecha, de
manera creciente.
La ubicación de los números en la recta numérica nos indica la relación entre
los mismos. Por ejemplo, si queremos ordenar de manera creciente los números
11, -24 y 5, tendremos:
4
http://goo.gl/YyZbnz
http://goo.gl/YyZbnz
http://goo.gl/YyZbnz
Elementos de Matemática y Estadística
Al ubicarlos sobre la recta numérica, queda claro que la relación existente
es: −24<5 y 5<11.
En orden creciente: –24; 5; 11.
2.OPERACIONES CON NÚMEROS 
ENTEROS I
a. Suma y resta
Siempre que tenemos dos números con el mismo signo, se suman, y el
resultado obtenido lleva el mismo signo que los sumandos. Por ejemplo:
7+3=10
−7−3=−10
La suma de dos números negativos puede pensarse como la suma de dos
deudas; lo que se obtiene es el monto total adeudado.
Si debemos sumar números con signos diferentes, se restan, y el resultado
lleva el signo del número de mayor valor absoluto. Aquí también es útil pensar
los números positivos como ingresos y los negativos como egresos. 
Si los ingresos son mayores que los egresos,
el resultado final es positivo; si los egresos son
mayores, el resultado de la operación es
negativo.−5+9=4
6−11=−5
Para realizar una suma algebraica (una
sucesión de sumas y restas), sumamos todos los
números positivos, luego sumamos todos los
negativos, y posteriormente a la primera
cantidad le restamos la segunda:
−8+6+5−10−4=( 6+5 )−( 8+10+4 )=11−22=−11
goo.gl/zXf6sj 
Recurso
Multimedia 2
5
http://goo.gl/zXf6sj
http://goo.gl/zXf6sj
Unidad 1 – Cuadernillo 1
b. Producto
i. Regla de los signos
El producto de dos números del mismo signo da resultado positivo:
4 ∙3=−4 ∙ (−3 )=12
El producto de dos números de signos opuestos da resultado negativo:
−4 ∙3=4 ∙ (−3 )=−12
ii. Propiedad distributiva
La multiplicación es distributiva respecto de la suma y de la resta:
 6 ∙ ( 4+5 )=6 ∙ 4+6 ∙5 
 6 ∙9=24+30
 54=54
c. Cociente
La división de dos números cualesquiera puede expresarse como una razón
o fracción. El número de arriba es el dividendo o numerador, y el de abajo es el
divisor o denominador.
a b = 
a
b
Una restricción para esta operación es que el denominador debe ser distinto
de cero, ya que la división por cero no está definida en la matemática1.
i. Regla de los signos
Es igual que en el producto: para dividendo y divisor del mismo signo, el
resultado (que se denomina cociente) es positivo, si tienen signos contrarios es
negativo.
1La razón por la cual esta operación no está definida es la siguiente: Si dividimos un número
por una cantidad cada vez más pequeña, obtenemos un resultado cada vez más grande. Por
ejemplo: 10:1=10; 10: 0,1= 100; 10: 0,001= 1000; 10:0,0001 = 10.000. Es decir que, si
dividimos por un número que tiende a cero, el resultado tiende a infinito.
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Elementos de Matemática y Estadística
ii. Propiedad distributiva
En la suma y en la resta, puede distribuirse el numerador, pero no el
denominador:
 
24+8
4
=
24
4
+
8
4
 
 
32
4
=6+2 
 8=8 
 
12
2+1
≠
12
2
+
12
1
 
12
3
≠6+12
 4≠ 8
d. Operaciones combinadas
Para resolver operaciones combinadas, primero debemos separar en
términos. Los términos quedan limitados por los signos más y menos
Por ejemplo:
 −4−12 ∙2:8+5 ∙6+6 ∙5:10
Dividimos en términos:
−4⏞−12 ∙2 :8⏞+5∙6⏞+6 ∙5:10⏞
Resolvemos cada uno de los términos:
12 ∙2:8=24:8=3
5 ∙6=30
6 ∙5:10=30:10=3
Ubicamos cada resultado parcial en la operación:
−4−3+30+3
El –3 y el 3 pueden cancelarse, ya que son opuestos, entonces su suma da
cero:
7
Unidad 1 – Cuadernillo 1
−4−3+30+3=−4+30=26
e. Supresión de paréntesis, corchetes y llaves
Se suprimen en primer lugar los paréntesis, luego los corchetes, y por último
las llaves
12−{60:[10+2 ∙(−9+6)+11]−5∙(2−4) }+3
Primero resolvemos las operaciones que se encuentran dentro de los
paréntesis
12−{60:[10+2 ∙(−3)+11]−5 ∙(−2)}+3
Eliminamos los paréntesis, teniendo en cuenta la regla de los signos para el
producto
12−{60: [ 10−6+11 ]+10}+3
Ahora resolvemos las operaciones que están dentro del corchete:
12−{60:15+10 }+3
Resolvemos las operaciones de la llave:
12− { 4+10 }+3=12− {14 }+3
Eliminamos la llave, y resolvemos las últimas operaciones:
12−14+3=15−14=1.
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Elementos de Matemática y Estadística
f. Resolución de ecuaciones
Una ecuación es una igualdad de la que se
desconocen uno o más elementos. Por lo general
se designa a las incógnitas con las últimas letras
del alfabeto ( x , y , z ).
Nosotros vamos a trabajar por ahora con
ecuaciones con una incógnita.
Para resolverlas, debemos “despejar” la
incógnita, es decir, ir pasando al otro miembro
de la igualdad los elementos que no contienen a
la incógnita.
Por ejemplo:
 13−6 x : (−7 )=1
Dividimos en términos:
13⏞−6 x : (−7 )⏞=1
goo.gl/
HVzYLU
Recurso
Multimedia 3 
Primero pasamos los términos que no tienen x. En este caso el 13, que está
sumando, pasará restando al otro miembro: 
13−6 x :(−7)=1
−6 x :(−7)=1−13
−6 x :(−7)=−12
 
Ahora tenemos que pasar los elementos que están
en el mismo miembro que x. Al pasar un número al otro
miembro, se cambia la operación que realizaba por su
opuesta: suma por resta, resta por suma, producto por
división, división por producto.
En nuestro caso, el –7, que divide a x, pasa
multiplicando; y el –6, que multiplica a x, pasa
dividiendo:
−6 x : (−7 )=−12
−6 x=−12 ∙ (−7 )
−6 x=84
x=84: (−6 )
x=−14
 
goo.gl/
9fje6u
Recurso
Multimedia 4 
9
http://goo.gl/9fje6u
http://goo.gl/9fje6u
http://goo.gl/9fje6u
http://goo.gl/HVzYLU
http://goo.gl/HVzYLU
http://goo.gl/HVzYLU
Unidad 1 – Cuadernillo 1
 
Para comprobar si está bien, podemos
reemplazar x por el resultado obtenido en la
ecuación, y ver si se satisface la igualdad:
 
13−6.(−14):(−7)=1
13−(−84) :(−7)=1
13−12=1
1=1
 
 
 
 
goo.gl/derbGf
Recurso
Multimedia 5 
3.OPERACIONES CON NÚMEROS 
ENTEROS II
a. Potenciación
La potenciación consiste en multiplicar un número (la base) por sí mismo la
cantidad de veces que indique el exponente:
an=a ∙ a∙ a∙ a…a⏟
nveces
El número que ocupa el lugar de la a se denomina “base”, y el que ocupa el
lugar de la n se denomina “exponente”.
10
http://goo.gl/derbGf
http://goo.gl/derbGf
http://goo.gl/derbGf
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i. Regla de los signos
EXPONENTE PAR EXPONENTE
IMPAR
EJEMPLO
BASE POSITIVA
RESULTADO 
POSITIVO
RESULTADO 
POSITIVO
32=9
33=27
BASE NEGATIVA
RESULTADO 
POSITIVO
RESULTADO 
NEGATIVO
(−4)2=16
(−4)3=−64
ii. Signo del exponente
Cuando el exponente es negativo, se invierte la base.
Ejemplos:
 2−3=( 12)
3
=
1
8
 
 ( 34 )
−2
=( 43 )
2
=
16
9
 ( −25 )
−3
=( −52 )
3
=
−125
8
 ( −12 )
−4
=( −21 )
4
=16
iii. Propiedad distributiva
La potenciación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta.
 (3+4)2≠32+42
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Unidad 1 – Cuadernillo 1
 72≠ 9+16
 49≠25
La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y a la división.
( 3 ∙5 )2=32 ∙52 
 152=9 ∙ 25 
 225=225 
iv.Producto de potencias de igual base
El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la misma base
elevada a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores.
ab ∙ac=ab+c
Ejemplo:
43 ∙42=43+2=45=1024
v. Cociente de potencias de igual base
El cociente de dos potencias de igual base es igual a la misma base elevada
a un exponente que se obtiene restando los exponentes del dividendo y el
divisor
ab
ac
=ab−c
Ejemplo:
67 :65=67−5=62=36
vi.Potencia de potencia
La potencia de otra potencia es igual a una potencia de la misma base
elevada al producto de los exponentes dados.
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( ab)
c
=ab∙ c
Por ejemplo: (32)
3
=32 ∙3=36=729.
vii. Cuadrado de un binomio
Como la potenciación no es distributiva
respecto de la suma ni de la resta, para calcular
el cuadrado de un binomio debemos multiplicar
el binomio por sí mismo.
(a+b )2=(a+b ) ∙ (a+b )=a2+ab+ab+b2
Entonces:
(a+b ) 2=a2+2ab+b2
(a−b ) 2=a2−2ab+b2
Ejemplos:
goo.gl/jFv5cS
Recurso
Multimedia 6
 ( 4 x+3 y3)
2
=( 4 x ) 2+2 ∙4 x ∙3 y3+( 3 y3)
2
=16 x2+24 x y3+9 y6
 (5 x4−2 x2)
2
=( 5 x 4)
2
−2 ∙5 x4 ∙2 x2+( 2 x2)
2
=25 x8−20 x6+4 x4
viii. Cubo de un binomio
Se calcula del mismo modo que el cuadrado. Las fórmulas resultantes son:
(a+b ) 3=a3+3 a2b+3 ab2+b3
(a−b )3=a3−3a2b+3 ab2−b3
Ejemplos:
(3 b+4 c5 )
2
=( 3 b ) 3+3 ∙ ( 3b )2 ∙ 4 c5+3 ∙3b ∙( 4 c5)
2
+ ( 4 c5 )
3
=27b3+108b2 c5+144 b c10+64 c15
( z6−z8)
3
=( z6)
3
−3 ∙ ( z6)
2
∙ z8+3 ∙ z6 ∙ ( z8 )
2
−( z8)
3
=z18−3 z20+3 z22−z24
13
http://goo.gl/jFv5cS
http://goo.gl/jFv5cS
http://goo.gl/jFv5cS
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b. Radicación
i. Definición
n
√ a=b↔b
n
=a con n, el índice; a, el radicando y b, la raíz.
Por ejemplo:
3
√ 8=2↔2
3
=8
Para resolver una raíz, debemos buscar el número que elevado al índice nos
dé el radicando. En el ejemplo dado, la raíz cúbica de 8 es 2 porque 2 elevado al
cubo da 8.
ii. Regla de los signos
RADICANDO 
POSITIVO
RADICANDO 
NEGATIVO
EJEMPLO
ÍNDICE PAR
RESULTADO 
POSITIVO
NO TIENE 
SOLUCIÓN EN ℝ
4
√ 16=2
4
√−16∉ℝ
ÍNDICE IMPAR
RESULTADO 
POSITIVO
RESULTADO 
NEGATIVO
3
√8=2
3
√−8=−2
iii. Propiedad distributiva
La radicación no es distributiva respecto de la suma ni de la resta.
 √ 16+9≠√ 16+√ 9
 √ 25≠ 4+3
 5≠ 7
La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y la división.
 √ 9 ∙4=√ 9 ∙ √ 4
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Elementos de Matemática y Estadística
 √ 36=3 ∙2
 6=6
iv. Potencias de exponente racional
Cuando el exponente es una fracción, el numerador es el exponente, y el
denominador es el índice.
a
b
c=
c
√ ab
Por ejemplo: 16
3
4=
4
√ 163=23=8.
c. Operaciones combinadas con potenciación y 
radicación
Para resolver ejercicios combinados con potencias y raíces se siguen los
mismos lineamientos generales que con las operaciones ya vistas.
Veamos un ejemplo:
3√[−10+√(−4)2+32] ∙(7−9)+24−(−1) 
Dividimos en términos:
3√ [−10+√(−4)
2
+32] ∙(7−9)⏟+2
4
⏟−(−1)⏟
Resolvemos las operaciones parciales:
 3√ [−10+√ 16+9 ] ∙ (−2)+16+1 
 3√ [−10+√ 25 ] ∙ (−2)+17 
 3√ −5 ∙ (−2)+17 
 3√ 10+17 
 Sumamos los resultados de los términos y calculamos la raíz:
 3√ 27=3
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Unidad 1 – Cuadernillo 1
d. Resolución de ecuaciones con potenciación y 
radicación
Al igual que en los casos anteriores, para resolver una ecuación con
potenciación y radicación, dividimos en términos, y vamos resolviendo los que
no contengan a la incógnita
Desarrollaremos un ejemplo:
√ ( 2 x−7 )3+23=22 ∙ (−3 ) : (−6 )+1
Resolvemos las operaciones parciales:
√ ( 2 x−7 )3+23=22 ∙ (−3 ) : (−6 )+1
√ ( 2 x−7 )3+23=4 ∙ (−3 ) : (−6 )+1
√ ( 2 x−7 )3+23=−12: (−6 )+1
√ ( 2 x−7 )3+23=2+1
√ ( 2 x−7 )3+23=3
Pasamos la raíz como potencia:
( 2 x−7) 3+8=32
Pasamos el 8 restando:
( 2 x−7 )3=9−8
Pasamos el cubo como raíz cúbica:
2x−7= 3√1
2x=1+7
 
2x=8
x=8 :2
x=4
16
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e. Concepto de módulo o valor absoluto
El módulo o valor absoluto de un número es la cantidad que se expresa, sin
tomar en cuenta el signo.
El concepto de módulo está relacionado con el de la distancia entre dos
puntos. Por ejemplo, si viajamos deBuenos Aires a Mar del Plata, recorremos
una distancia de 400 km. Si realizamos el viaje desde Mar del Plata hacia
Buenos Aires, también recorremos 400 km; no “–400 km”.
El valor absoluto se simboliza con dos barras verticales: |5|=5 o |−5|=5.
Cuando debemos resolver una ecuación en la que figuran exponentes pares
afectando a la variable que debemos averiguar, obtendremos dos resultados,
ya que al pasar el exponente como índice, debemos agregar barras de módulo:
 (2 x−12)2=4
 |2 x−12|=√ 4
 |2 x−12|=2
2 x−12=2
 2 x=14
 x=7
 2 x−12=−2
 2 x=10
 x=5
Si reemplazamos en la ecuación, veremos 
que ambos resultados satisfacen la igualdad:
Si x=7:
 (2 ∙7−12)2=4
 (2)2=4
 4=4
Si x=5:
 (2 ∙5−12)2=4
 (−2)2=4
 4=4
goo.gl/
tNSVdp
Recurso
Multimedia 7
17
http://goo.gl/tNSVdp
http://goo.gl/tNSVdp
http://goo.gl/tNSVdp